Через неделю Рунге пишет, что он с удовольствием прочитал доказательство ее ученика о функции, для которой име:ет место теорема сложения, но он может предложить более простое доказательство того, что такая функция в конечной области может иметь только алгебраические особенности. Рунге излагает свое доказательство. Считая, что он не очень хорошо это делает, он добавляет, что Ковалевская, обладая большей, чем у него, живостью ума, поймет его. В конце письма он возвращается к обсуждению одного ее равенства, которое он уже оспаривал в одном из предыдущих писем. Здесь он говорит, что не может с ним согласиться, даже «если Вы предадите меня пыткам испанской инквизиции, на что я все же не хочу рассчитывать» [Р7].
5 июля Софья Васильевна еще в Берлине, и Рунге ей пишет: «Уважаемая фрау, я не мог дождаться вторника, чтобы сообщить Вам то, что я, как мне кажется, сейчас нашел. Ибо, так как Вам известно мое тщеславие, ясно
252
начертанное на моей ладони, то я не могу изменить Вашего мнения обо мне только тем, что буду несколько меньше хвастать». Речь идет о том, чтобы построить целую трансцендентную функцию от ии и2, . .. , ир с заданной нулевой областью, т. е. областью, состоящей из всех тех точек, в которых степенной ряд от ии и2,..., uQ обращается в нуль.
Рунге подробно излагает соображения, замечая, что такого длинного письма он еще никогда не писал; он говорит, что часть рассуждений он должен провести яснее и точнее, чтобы нигде не было зацепки; ему было бы приятно, если бы С. В. Ковалевская поговорила об этой его задаче с Вейерштрассом.
Осенью 1884 г. Рунге отдыхал в городе Феликсстоуне (Суффолк, Англия), откуда родом была его мать. 21 августа он пишет, что получил шведскую Иллюстрированную газету, которая превосходит немецкую как по изображению Ковалевской, так и по точности излагаемых фактов ее биографии. О себе он пишет, что его научная деятельность теперь равна нулю, его мозг не способен к работе. Однако он об этом не жалеет и радуется своему «растительному существованию». Дом, где он живет — Харланд хаус,— смотрит на море, на бере:гу которого расставлены палатки их большой семьи. Он и братья по утрам играют в теннис, купаются, после обеда опять теннис или прогулки, пешком или на велосипедах. Единственное его чтение-газета и «Мельница на Флоссе» Джордж Элиот. Конец письма не сохранился. В последней из имеющихся фраз Рунге говорит о теореме Миттаг-Леффдера о разложении в ряд однозначной функции [Р 8].
3 сентября 1884 г. Рунге пишет из Истборна, на пути в Стокгольм, и сообщаем, что 5 сентября он отплывает из Лондона на пароходе «Аллегро» и прибудет в Стокгольм 10 сентября. «Мое пребывание в Англии,— пишет он,— очень меня оздоровило. И только принцип „всегда уезжайте от обеда, чувствуя, что Вы можете охотно съесть еще больше“, утешает меня в том, что удовольствие уже закончилось. Теперь приходит серьезность жизни в лице абелевых функций, существенно особых точек, равномерно сходящихся рядов и т. п. Что касается первых, то я надеюсь как можно больше об этом узнать в Стокгольме. Только недавно я вступил в дружеское отношение с тета- рядами, которое, надеюсь, приведет к продолжительной дружбе» [Р9],
253
Софья Васильевна радовалась предстоящему приезду Рунге и писала своим друзьям, Гёсте и Сигне, которые в то время отдыхали в Южной Швеции: она надеемся, что Рунге им понравится; он интересный человек и энтузиаст в математике. Рунге приехал и произвел хорошее, впечатление на Миттаг-Леффлера.
По возвращении в Берлин Рунге 11 октября подробно описывает Софье Васильевне свое путешествие. Он ехал в одном вагоне со шведкой Юлией Чельберг, хорошей знакомой Ковалевской. «В Мальме, как и в Берлине, можно получить большое удовольствие от красивой ратуши и хорошей пищи», в Копенгагене они осматривали Христи- анбергский замок, в котором перед тем был сильный пожар, сгорели все деревянные части. В Любеке осматривали ратушу и другие здания и своевременно прибыли в Берлин, чтобы восхищаться «Юлием Цезарем» в исполнении труппы артистов из Мейнингена. Фрейлейн Чельберг поехала дальше, а перед этим они заглянули в «аквариум» и побеседовали о декадентстве, о четвертом измерении и о политике. При этом Рунге; чувствовал себя еще немного в Швеции, но теперь он снова в своем кругу идей. «В Стокгольме было очень хорошо, — пишет он, — кое-что я принял близко к сердцу и надеюсь, что это будет иметь хорошее влияние, и познакомился с хорошими и умными людьми. За все я должен благодарить Вас» [Р 11].
В Берлине Рунге успешно занимается, о чем сообщает Ковалевской 25 октября. Он отредактировал статью о разложении корней уравнений, затем занялся методом разложения целочисленных функций, провел большое упрощение и целесообразную систематизацию, а также рассмотрел один красивый пример.
Рунге рассказывает о каком-то английском математике, с которым он вел беседу еще два года тому назад и который был в отчаянии от одного непонятного места в книге Тодгентера. Рунге разъяснил ему это место и посоветовал ознакомиться с превосходными исследованиями Вейерштрасса и послушать его первые лекции по теории аналитических функций. На днях предстоят выборы в рейхстаг, но Рунге не выбирает, так как никто из трех кандидатов ему не нравится.
Следующие пять писем (31 октября, 1, 5, 7 и 17 ноября) связаны с корректурой статьи Софьи Васильевны о преломлении света в кристаллических средах, которая печаталась в «Acta mathematica». Рунге взялся просмотреть
ее и обнаружил много описок, неточностей и даже ошибок в выкладках, которые он рекомендует Ковалевской тщательно проверить. Он сделал бы это сам, но сейчас ему некогда, он готовится к лекциям.
В записке от 11 января 1885 г., относящейся ко времени пребывания Ковалевской в Берлине, Рунге пишет, что завтра, в понедельник, в 10 часов 45 минут он зайдет за Софьей Васильевной, чтобы им пойти вместе па его лекцию. Он надеется, что она получила свой бинокль, который остался в его пиджаке.
В архиве Миттаг-Леффлера имеется неоконченное письмо С. В. Ковалевской к К. Рунге и отрывок его письма. Может быть, это черновики писем. Одно написано в ответ на письмо Рунге от 11 февраля 1884 г., в котором он рассматривает систему дифференциальных уравнений
Софья Васильевна пишет:
Глубокоуважаемый господин Рунге! Большое спасибо за Ваше последнее письмо. Доказательство, которое Вы мне сообщаете, о существовании интегралов дифференциальных уравнений, как в случае, когда Rj, являются аналитическими функциями, так и любыми функциями, только удовлетворяющими определенным условиям, действительно очень красиво. Мне вчера представился удобный случай сообщить это доказательство моим слушателям во время семинара, где оно также было ими в высшей степени одобрено.
То замечание, которое находится в конце Вашего письма и которое относится к особым решениям дифференциальных уравнений, больше всего меня интересует, если даже я и не вполне убеждена, что поняла Вас правильно.
Можете ли Вы действительно показать, что имеются случаи, где неаналитическая функция является особым решением аналитического дифференциального уравнения (*)? Я могу себе легко представить, что это может случиться тогда, когда /?*. являются функциями с лакунарными областями, одпако разве это имеет место для алгебраических дифференциальных уравнений? До сих пор, по крайней мере, я всегда была уверена, что особые решения алгебраических дифференциальных уравнений являются не чем иным, как регулярными решениями других дифференциальных уравнений низшего порядка, и следовательно, ничего существенно нового дать не могут и что не следует ломать себе над этим голову. Вейер- штрасс также всегда исходил из этого, и на самом деле это кажется вытекающим из следующего соображения.
Каждая алгебраическая система дифференциальных уравнений может быть заменена другой, в которую производные входят только линейно, следовательно, системой следующего вида;
255
где Phi и Рк являются целыми функциями от t. Теперь могут встретиться два случая. Или детерминант
тождественно равен нулю, или нет.
В первом случае следует различать, равен ли тождественно нулю или нет каждый детерминант Dй, который получается из D заменой Р^,..., РЛц правыми частями Pi,..., Pv.
Если это так, то можно тотчас же показать, что рассматриваемая система дифференциальных уравнений недостаточна для полного определения яд, xz,.,.,xv как функций от t. Во втором случае уравнения Di=D2= ... =Z>V=0 дают различные соотношения, которые должны иметь место для яд, х2 ..., xv. Принимая во внимание эти уравнения, исключаем столько х\, сколько можно; для остальных получают систему дифференциальных уравнений той же формы, для которой, однако, детерминант не тождественно равен нулю.
Если теперь D не тождественно равен нулю, то для того, чтобы получить все же особые решения, для которых D=О, нужно взять V—1 любых из предложенных уравнений и присоединить к ним уравнение D=0. Для этой новой системы ищут все регулярные решения ii пытаются тогда между ними найти такие, для которых удовлетворяется последнее, v-e, отброшенное уравнение первоначальной системы.
Таким образом действуют и дальше; однако таким путем никогда нельзя прийти к неаналитическому решению данной системы. Должна ли я теперь названное место в Вашем письме понять так, что Вы действительно можете доказать* что может все же существовать неаналитическое решение алгебраического дифференциального уравнения?
Пожалуйста, будьте так любезны, напишите мне, что Вы об этом знаете. Если Ваше исследование не вполне зрело, то я, естественно, ни с кем не буду об этом говорить [Р 22].
Приведем отрывок письма Рунге:
Уравнение х2=2ау—а2 представляет для всех вещественных значений а семейства парабол, а прямые х=±у являются огибающими этого семейства. Оно представляет решение дифференциального уравнения
Где являются его особыми решениями. Чтобы иметь ту же самую форму, которую мы имели в предыдущих письмах, я полагаю