В научном обиходе термин «система» употребляется, конечно, строже, но и здесь каждый автор обычно оговаривает особенности этого употребления в конкретных случаях. Существуют, впрочем, и общие определения системы, на которых мы не будем останавливаться. Целью этой небольшой заметки является рассмотрение одной из возможностей объективного установления системы и системности в некоторой совокупности объектов, подлежащих исследованию. Обычно предполагается a priori, что данная совокупность систематизирована, иначе лишается смысла само применение к ней методов научного описания. И этот путь, по-видимому, в большинстве случаев себя оправдывает.
Однако нетрудно представить себе такую ситуацию, когда необходимость проверки исходной «гипотезы системы» оказывается существенной для формулировки каких-то конструктивных выводов. Возможна также и такая ситуация, когда системность описываемого объекта «не прощупывается» и требует не интуитивных, а строго формальных критериев своего обнаружения. Наконец, нас может интересовать не только сам факт наличия системы, т. е. определенных взаимосвязей объектов (единиц), но и степень их системности. Именно на два последних случая ориентируется описываемая ниже процедура.
1.0. Образует ли звездная карта систему? Ответить на этот вопрос невозможно, пока не будет выяснено, каковы те необходимые и достаточные определяющие, которые позволяют констатировать наличие системы. Сказать, что система – это множество объектов, связанных между собой некоторыми отношениями, значит сказать очень много и не сказать ничего, так как, с одной стороны, постулируется весьма важный в формальном плане факт – наличие отношений, с другой же стороны, неопределенность понятия «отношение» позволяет рассматривать любую совокупность объектов как систему. Например, с этой точки зрения биллиардный шар и кий образуют систему, поскольку находятся друг с другом в достаточно прозрачном отношении.
Понятно, что трудно удовлетвориться такого рода системами. Мало знать, что объект А находится в отношении х к объекту В. Если наш дескриптивный аппарат располагает только именами равноправных с обыденной точки зрения объектов, то определить А можно лишь при условии, что В займет более низкий дефиниционный уровень. «Скажи мне, кто твой друг, и я скажу, кто он». Объект В в этом случае становится признаком объекта А (или наоборот). Таким образом, описать объект (или совокупность объектов) значит прежде всего перечислить признаки, находящиеся в отношении «принадлежности – непринадлежности» к этому объекту.
1.1. Будем считать, что любому объекту из некоторой совокупности объектов может быть поставлен в такое соответствие некоторый набор признаков, что данный объект либо обладает каждым из признаков, либо не обладает им. Это означает, что признаки, выбираемые для описания объекта, характеризуются следующими свойствами: 1) они элементарны, т. е. принимают лишь два значения: + или –; 2) они равно необходимы, т. е. избыточность (предсказуемость значения признака) на данном этапе описания не фиксируется. Как станет ясно в дальнейшем, меризматическая избыточность44 не исчезает бесследно: она элиминируется из матриц идентификации, но отражается в определенных конфигурациях графов, представляющих эти матрицы. Будем считать также, что набор определенных выше признаков образует систему, если в нем некоторым образом задан порядок (последний понимается в общеалгебраическом смысле).
На основании сказанного предлагается следующее дефиниционное утверждение: совокупность объектов образует систему, если набор признаков, постулируемых для описания этих объектов, образует систему. Это означает, что проблема системности переносится с уровня объектов на уровень признаков. Целесообразность такого перенесения очевидна по крайней мере в прагматическом плане: уровень признаков в любом случае количественно более обозрим, чем уровень объектов; при п признаках теоретический максимум объектов, которые могут по ним различаться, равен 2n. Для определения системности множества эвристически выбранных признаков предлагается следующая процедура.
1.2. Рассмотрим набор из трех признаков Φ3 = (1°, 2°, 3°), об упорядоченности которых ничего не известно. Теоретический максимум объектов (классов), порождаемых в данной системе, описывается следующей матрицей:
Предположение 1. Пусть указанные признаки образуют систему, т. е. в Φ3 некоторым образом задан порядок.
Предположим далее, что из оптимального числа классов, различимых по трем данным признакам, отмеченными являются 1, 2, 3, 5, 7, 8, образующие матрицу отмеченности A′:
Очевидно, что данной матрице может соответствовать некоторое количество графов, равное, при п признаках, n!. Отличие каждого графа Γi от графа Γj обусловлено порядком выбора признаков, образующих ранги (горизонтальные сечения) графов. Граф имеет вид «дерева» и представляет собой определенную классификацию, результаты которой отражены в нумерации терминальных вершин графа. Каждый из таких графов может рассматриваться как алгоритм синтеза матрицы A′, а каждый ранг в графе отражает один из двух способов задания соответствующего признака φj в системе Φп: либо вилочный (допускающий выбор значения признака φj независимо от значений предшествующих рангов), либо ленточный (предполагающий автоматический вывод значения данного признака φj из значения некоторого признака φi). Для иллюстрации приведем граф, соответствующий кортежу признаков 〈2°, 1°, 3°〉 (рис. 1) (здесь В1 и В2 – ветви графа). Легко видеть, что признаки 2° и 1° характеризуются только вилочным заданием, а 3° – как вилочным, так и ленточным.
Рис. 1
1.3. Назовем всякую систему признаков Фn, представимую матрицей вида ||A′||, связанной, если хотя бы один признак в Фn задается ленточным способом. Всякая система характеризуется, таким образом, определенным количеством степеней свободы с, соответствующим числу выборов (вилок) в графе порождения.
Введем меру связанности κ (φi) признака (ранга) φj в графе:
Здесь c(φi) означает количество выборов по признаку φi (или число вилок на i-м ранге дерева), cm(φi) – теоретически возможных выборов на том же ранге.
Предположим, что свойства графа, представляющего матрицу ||А′||, образуют сумму свойств частей графа. Тогда мера связанности K для графа (матрицы) может быть определена следующим образом:
Ввиду того, что κm (φi) = 1, величина Σ κm (φi) = п – 1, и формула (1) может быть переписана в ином виде:
1.4. От изложенного понимания соотношения частей и целого отличается такое понимание, при котором система рассматривается как «гештальт», т. е. такое целое, которое не сводимо к простой сумме свойств, его составляющих.
В этом случае формула (1′) может быть преобразована так, что коэффициент (мера) связанности системы оказывается функцией более чем от одной переменной, т. е. K(Фn) = f(r, D), где D символизирует выражение, стоящее в правой части равенства (1′), а r есть некоторая качественная экспонента, отражающая несуммативный характер системы и определяемая как произведение весов p вершин m ветвей графа в порядке следования рангов, считая от терминального n-го, причем вес одной вершины W (ti) ранга Rj ветви Вk принимается равным ±1:
где αjk = R1ak, …, Rnak при ak = В1, …, Вт.
Предположение 2. Система введенных признаков несуммативна. Это значит, что, задавая различный порядок признаков, т. е. переходя от одного графа к другому, мы получим некоторую последовательность значений для K (Фп), которые могут отличаться друг от друга. Поскольку K (Фn) в этом случае является функцией от двух переменных, теоретически возможны следующие четыре ситуации, обусловленные изменением порядка признаков при построении графов:
(+ означает изменение соответствующей характеристики при изменении порядка признаков; – означает отсутствие такого изменения).
Четыре указанных случая интерпретируются следующим образом:
I. Система несуммативна.
II. Система суммативна.
III. Система антисуммативна (или целостна).
IV. Система отсутствует; признаки выбраны неудачно.
2.1. Произведем проверку двух базисных предположений, высказанных в 1.1 и 1.4. Проверка состоит в анализе n! графов, соответствующих матрице ||А′||, и фактически означает проверку заданного набора признаков на «безразличие» к порядку их следования в процедуре порождения объектов (классов), изображаемой графом на рис. 2.
Рис. 2
Проверка показывает, что значение K (Фп) для разных графов не одинаково, следовательно, а) случай IV не имеет места, и предположение I верно; б) случай II не имеет места (экспонента r есть знак при числовом значении коэффициента), и предположение 2 верно; в) система введенных признаков несуммативна.
2.2. Все кортежи, фиксирующие порядок признаков в приведенных шести графах, могут быть представлены в виде двух непересекающихся множеств:
М1 = (〈2°, 1°, 3°〉, 〈1°, 2°, 3°〉, 〈3°, 2°, 1°〉, 〈 2°, 3°, 1°〉)