{103}. Такие перемешивания зависят от относительной скорости; они-то и позволяют говорить о пространстве-времени как о чем-то едином, а не простом соединении двух различных понятий.
А еще «относительность» означает, что мы с вами полностью равноправны в описании природы, пока движемся относительно друг друга без изменения скорости, и вообще равноправны со всеми другими возможными подобными наблюдателями – в том смысле, что законы природы действуют для всех нас одинаково. Отсюда возникает требование к физическим теориям, которые мы изобретаем для описания природы: они должны хорошо переносить «перемешивание пространства и времени», которое требуется для согласования точек зрения различных движущихся наблюдателей.
Уравнение Шрёдингера не такое. Его структура разрушается при подобном перемешивании. Сам Шрёдингер первоначально собирался записать уравнение, которое его выдерживало бы, но задача оказалась малопонятной и уводящей «не совсем туда». В итоге его уравнение не учитывало требований относительности, но оказалось тем не менее сверхуспешным в огромном числе случаев, где больших скоростей нет. Однако задача придумать релятивистское (т. е. согласованное со специальной теорией относительности) уравнение никуда не делась.
В 1928 г. за эту задачу взялся Дирак – действуя способом, весьма «инновационным» по форме, и в результате за несколько драматичных лет произошло то, чего изначально не прогнозировал решительно никто.
Исходная проблема была, конечно, в том, что в уравнении Шрёдингера фигурирует темп изменения волновой функции со временем, а при перемешиваниях пространства и времени отсюда возникнут еще и «темпы» изменения волновой функции по пространственным направлениям, которых в исходном уравнении по отдельности нет, отчего структура уравнения нарушится. Вообще-то к тому времени уже было известно, как записать уравнение, структура которого выдерживает перемешивания пространства и времени, но туда входили слишком сложные образования – «темпы изменения темпов изменения», а именно, темп изменения во времени темпа изменения во времени, и еще три аналогичные штуки для пространственных направлений. Рецепт состоял в том, чтобы все их сложить{104}, что и давало хорошо себя ведущую конструкцию. Результат стал известен под названием уравнения Клейна – Гордона (или Клейна – Гордона – Фока), хотя именно это уравнение первым рассмотрел Шрёдингер; он отверг его по ряду причин, в том числе потому, что из-за появления тех самых «темпов темпов» правило Борна могло давать отрицательные вероятности, что бессмысленно. Кроме того, уравнение определенно не годилось уже даже для описания атома водорода.
Дирак же, полностью осознавая эти сложности, пожелал невозможного. Он хотел видеть в релятивистском уравнении не «темпы темпов», а одни только «просто темпы» изменения волновой функции. Прямого способа сконструировать такое уравнение не просматривалось. Чувствительный к математической красоте Дирак вообще был склонен находить или изобретать изящную математику, а затем идти за ней туда, куда вели ее внутренние законы. Такой порядок действий впоследствии вдохновлял многих; нет ясных причин, в силу которых он должен гарантировать успех, и преуспевали на таком пути действительно не все и не всегда, но случай с Дираком – образец жанра.
Перед его глазами был успех Паули по описанию спина (см. главу 9) с помощью «волшебной стрелки» и спиноров. «Волшебная стрелка» выражает направление в трехмерном пространстве, а обитатели математического пространства, спиноры, максимально чутко откликаются на ее вращение: после ее поворота на 360º в обычном пространстве они, спиноры, не становятся прежними; чтобы они вернулись к своему первоначальному виду, следуя за вращением стрелки, та должна сделать полный оборот дважды, т. е. повернуться на 720º. Пространство спиноров тут двумерное, а это означает, что для описания электрона со спином волновая функция должна стать, как мы говорили, «двойной» – составленной из двух компонент.
Дирак решил обобщить эти свойства на случай пространства-времени. Хотя пространство-время – до некоторой степени математическая конструкция (мы-то сами живем в пространстве и ощущаем ход времени), в математике нет причин, мешающих построить объекты, столь же чуткие к поворотам в четырехмерном пространстве-времени. Для них потребовалось новое абстрактное пространство, которое по совпадению оказалось тоже четырехмерным. Это означало не две, а четыре компоненты волновой функции электрона, что с самого начала было несколько необычно, но иначе математика «не сходилась».
Ключевой момент здесь в том, что «повороты» в пространстве-времени включают в себя те самые пересчеты между картинами мира движущихся наблюдателей, которые перемешивают пространство и время, и поэтому хорошее поведение при таких поворотах обеспечивает согласованность со специальной теорией относительности. «Волшебная стрелка» в пространстве-времени, на повороты которой готовы были откликаться новые объекты, уже не изображала магнит, как в трехмерном пространстве, а стала чисто математической, но это никого не смущало – Дирака во всяком случае. Он смело согласился с тем, чего хотела математика: решил, что волновая функция будет составлена из четырех компонент, и при перемешиваниях пространства и времени они будут изменяться так, как говорит им живущая в пространстве-времени «воображаемая стрелка». Для них и удалось сформулировать уравнение со всеми желаемыми свойствами – ставшее известным как уравнение Дирака{105}.
Уравнение Дирака оказывается согласованным со специальной теорией относительности, если при пересчете между картинами мира движущихся наблюдателей не только перемешивать пространство и время, но и переставлять и комбинировать между собой компоненты волновой функции так, как велит это делать математика четырехмерных поворотов и отвечающих им спиноров.
Дирак в некотором роде доверился красоте математики, но успех в приложении к физическому миру последовал колоссальный: из нового уравнения автоматически получилось «удвоение силы магнита» для спина электрона – удвоение, которое Паули вынужден был использовать без объяснений (см. главу 9). Но это было далеко не все! Рассмотрев следствия из своего уравнения для атома водорода, Дирак нашел уточнения для разрешенных значений энергии по сравнению с теми, которые следовали из уравнения Шрёдингера после того, как Паули внедрил туда спин. Хотя и небольшие по величине, они улучшали совпадение между теоретическим результатом и экспериментальными данными, и это без сомнения свидетельствовало в пользу новоиспеченного уравнения (как мы помним, первоначально главным аргументом в пользу уравнения Шрёдингера тоже было вычисление разрешенных значений энергии в атоме водорода).
Но дальнейшая интрига развивалась по известному закону некоторых популярных жанров, где герой не добивается полного успеха с первой попытки, несмотря на то что поначалу все у него идет на удивление гладко; если это настоящий герой, ему предстоит пройти через кризис, когда рушится буквально все. Четырех компонент волновой функции, необходимых для записи уравнения, согласованного с теорией относительности, было ровно в два раза больше, чем нужно для описания электрона. Две из них работали, как было сказано, превосходно. На две другие можно было не обращать большого внимания в задачах типа атома водорода и в ряде других задач до тех пор, пока энергия описываемых ими электронов была достаточно мала: эти «непонятные» компоненты оказывались тогда несущественными. Но так было не во всех случаях.
Дело в том, что среди следствий специальной теории относительности имеется еще и формула Эйнштейна E = mc2: энергия покоящегося тела с массой m равна этой массе, умноженной на квадрат скорости света (в наши дни эта последовательность символов стала мемом). Уравнение Дирака «знало» об этой формуле – раз оно оказалось согласованным с требованиями теории относительности, математика обеспечивала появление этих эм-цэ-квадрат в нужных местах; в частности, «малые» энергии электронов, при которых две лишние компоненты волновой функции несущественны, означают энергию их движения, малую по сравнению с энергией mc2 (где масса m – это, конечно, масса электрона). При таких условиях Дирак и получил впечатляющие результаты для электрона в атоме. Однако полностью избавиться от двух «лишних» компонент было невозможно – само уравнение препятствовало этому.
Да и по принципиальным причинам систематически игнорировать их было нельзя, потому что если какая-то идея или уравнение претендует на описание мира, то решительно невозможно рассматривать только нравящиеся нам следствия из этой идеи или уравнения, забывая про все те, которые противоречат наблюдениям. Но «зачем» появились лишние компоненты? Противоречат ли они наблюдениям? И какой в них смысл?
Со смыслом все было совсем плохо. Две лишние компоненты описывали что-то вроде электрона – с тем же спином, что и у электрона, но с отрицательной массой, в точности противоположной массе электрона. Отрицательная масса – патологическое явление, которое не только не наблюдается в природе, но и вообще полностью противопоказано существованию мира. Решения уравнения, представленные двумя «хорошими» компонентами, имели положительную массу и обладали положительной энергией, несколько большей указанного эм-цэ-квадрат за счет энергии движения. А у «плохих» решений энергия тоже включала энергию движения, но все равно оставалась отрицательной из-за того, сколь «сильно отрицательный» вклад вносила отрицательная масса по формуле Эйнштейна. Кризис разразился вот где: нет никаких причин, мешающих электрону с положительной энергией отдать избыток энергии в виде излученного света, а самому занять состояние с отрицательной энергией. Однако если бы сколько-нибудь заметная доля окружающих нас электронов так поступила, наш мир (разумеется, вместе с нами) исчез бы в довольно яркой вспышке.