Вернемся к Гёделю. В 1931 году он обрушил все умозаключения Гильберта, показав, что существуют теоремы, относительно которых никогда нельзя сказать, истинные они или ложные, т. е. существуют неразрешимые проблемы. Попробуем уяснить это с помощью следующего примера. Пусть аксиомы – это каменный фундамент, а логика – строительные леса, связывающие фундамент с теоремами, парящими в вышине наподобие воздушных шаров. По мнению Гёделя, всегда останутся такие свободно летающие шары, до которых не дотянутся подмостки и не смогут связать их с каменными блоками основания. Конечно, основание можно расширить. Но при этом появятся и новые недосягаемые шары.
Теорема о неразрешимости – более известная как теорема Гёделя о неполноте – является одной из самых известных и знаменательных теорем в математике. Публикация этого результата повергла многих математиков в отчаяние и даже заставила некоторых из них отказаться от своей профессии. Как можно их в этом обвинять? Подобно тому, как большинство задач не поддаются вычислениям, большинство математических утверждений невозможно проверить. В огромном океане недоказуемых истин затерялись острова истин, которые могут быть доказаны.
Однако не все потеряно. Теорема Гёделя о неполноте не очень сильно влияет на математиков, которые вполне успешно доказывают свои теоремы. Точно так же проблема остановки Тьюринга не оказывает большого влияния на те проблемы, для решения которых обычно применяется компьютер. Математики сохранили свою работу.
Основной вопрос заключается в следующем: как математики могут найти доказуемую истину в огромном океане истин недоказуемых? По определению, правила логики не позволяют перекинуть мостик с одного острова архипелага доказуемых истин на другой остров этого архипелага. Некоторые объясняют такое умение математиков тем, что человеческий мозг обладает более обширными способностями, чем компьютер, и может делать то, к чему в принципе не способен никакой мыслимый компьютер.
29. Двойные неприятностиВ Лондоне, и в то же время в Нью-Йорке: вообразите себя атомом, который может находиться в двух местах одновременно
Вселенная не только удивительней, чем мы предполагаем; она удивительней даже, чем любое наше предположение о ней.
В начале XX века стало ясно, что мир атомов и их составных частей не имеет ничего общего с повседневным миром. Теперь, оглядываясь назад, мы понимаем, что удивляться нечему. Только представьте себе: в предложении, которое вы читаете, в конце стоит точка, в которой содержится не менее 10 миллионов атомов. Почему объекты микромира должны подчиняться тем же правилам, что столы, стулья и люди?
Физики поняли, что микроскопический мир не только ведет себя совсем по-другому, чем макромир; более того, оказалось, что микромир настолько причудлив и своеобразен, что все происходящее в нем кажется невероятным. Немецкий физик Вернер Гейзенберг вспоминает: «Я помню, как мы спорили до глубокой ночи и в конце беседы приходили в полное отчаяние. И когда после дискуссии я в одиночестве гулял по соседнему парку, то снова и снова спрашивал себя: может ли природа быть такой абсурдной, какой она представала перед нами в наших атомных экспериментах?»
В настоящее время нам известно, что элементарные строительные кирпичики материи – атомы, электроны и фотоны – обладают двойственной природой. Вообразите себе крошечные бильярдные шарики, а потом рябь от волн на поверхности пруда; и та, и другая картина применимы для описания элементарных частиц. Конечно, это с трудом укладывается у вас в голове, потому что в повседневной жизни вы ни с чем подобным не сталкиваетесь. Но не расстраивайтесь по этому поводу – вы не одиноки: никто не может понять до конца суть этого дуализма.
Квантовые волны – явление очень странное. Это все-таки не физические волны, распространяющиеся в виде ряби по воде; в пространстве микромира мы имеем дело с абстрактными математическими волнами, подчиняющимися уравнению Шрёдингера. Там, где амплитуда волны велика, вероятность обнаружить частицу возрастает; там, где волна имеет малую амплитуду, шансы найти частицу уменьшаются[94].
Одно из очевидных следствий корпускулярно-волнового дуализма элементарных частиц – их способность уподобляться волнам. Волны, например, могут огибать углы. Если бы это было не так, мы не слышали бы громких автомобильных выхлопов с соседней улицы. Среди прочего, волны обладают одной особенностью, которая незаметна в нашей повседневной жизни, но чрезвычайно важна для микромира.
Представьте, что на море разыгрался шторм и гигантские волны бороздят морское пространство. На следующий день, когда сильный ветер утих, остался небольшой ветерок. От него по поверхности моря идет волнистая рябь. Любой человек, которому довелось оказаться в море во время качки, скажет вам, что на поверхности крупных волн может появиться более мелкая рябь, то есть два типа волн присутствуют одновременно. Это волновое свойство имеет универсальный характер: если могут существовать две волны (или более), то может существовать и их комбинация.
Это свойство суперпозиции имеет чрезвычайно большое значение для микромира. Пусть где-то в нашей комнате есть атом кислорода. Его квантовая волна имеет очень большую амплитуду в левой половине комнаты; это означает, что вероятность нахождения атома кислорода в левой половине комнаты практически равна 100 %. Теперь представьте себе, что тот же самый атом кислорода характеризуется квантовой волной, амплитуда которой велика в правой половине комнаты, и существует почти стопроцентный шанс найти там этот атом. Поскольку возможны обе волны, их суперпозиция также возможна. Что это значит? В одно и то же время атом кислорода может находиться и в левой, и в правой частях комнаты, т. е. сразу в двух местах.
Природа допускает такое экстравагантное поведение для своих исходных элементов. Парадоксально то, что для нас это остается незамеченным. Если мы обнаруживаем атом кислорода в одной половине комнаты, та часть суперпозиции волн, которая представляет его в другой половине, мгновенно исчезает, но механизм этого разрушения суперпозиции понятен далеко не полностью. Дело в том, что, если мы проводим эксперимент, ставящий своей целью выявление некоего квантового объекта в виде локализованной частицы, мы автоматически отсекаем возможность выявления волновой природы этого объекта.
Но если природа позволяет атому находиться в двух местах одновременно, а мы не можем это наблюдать, может быть, это свойство не имеет значения? Оказывается, имеет, потому что оно приводит к важным последствиям – всевозможным странностям в квантовом мире. Само существование мира, в котором мы живем, зависит от этого свойства.
Вся ответственность лежит на таком волновом явлении, как интерференция. Всем нам доводилось гулять под дождем и наблюдать, как капли падают в лужу. От каждой капли по воде расходятся концентрические круги и накладываются друг на друга. Там, где два гребня круговых волн совпадают друг с другом, они усиливаются; а там, где гребень одной волны накладывается на впадину другой, они гасят друг друга. Если бы можно было водрузить прямую вертикальную стенку в том месте, где перекрываются волны, мы бы увидели, как участки усиления волн перемежаются с участками спокойной воды. Фактически подобный эксперимент был проведен в 1801 году английским ученым Томасом Юнгом, который слыл разносторонне одаренной личностью. Он спроектировал и осуществил опыт, в котором перекрывались световые волны от двух источников, и вставил белый экран на пути их распространения. И вдруг на экране он увидел чередующиеся светлые и темные полосы, отчасти напоминающие штрих-код, который ставят на товарах в современном супермаркете. Эта демонстрация показала, что свету свойственно явление интерференции, и доказала, что свет – это волна. Это совсем не так очевидно, как могло бы показаться. Длина волны света – расстояние между последовательными гребнями волны – составляет около тысячной доли миллиметра и слишком мала, чтобы ее можно было различить невооруженным глазом.
Явление интерференции состоит в том, что при наложении волн от двух источников происходят их усиление или нейтрализация. Этот процесс имеет решающее значение для формирования макромира на основе микромира.
Итак, каковы могут быть последствия явления интерференции для атома, находящегося в двух местах одновременно?
Представьте себе, что два шара для боулинга столкнулись и рикошетом отлетели в противоположных направлениях[95]. В плоскости циферблата часов, например, они могли бы разлететься в направлениях, соответствующих часу и семи часам. Или девяти и трем часам. Если вы будете сталкивать шары много раз, то убедитесь, что в конце концов траектории их полета покроют всю плоскость циферблата.
А теперь представьте себе столкновения двух микроскопических частиц, таких как атомы или электроны. Пусть они столкнутся несколько тысяч раз. Как это ни странно, но частицы будут упорно избегать некоторых направлений циферблата, явно предпочитая другие направления. Все дело в квантовых волнах, которые распространяют частицы. В некоторых направлениях циферблата две волны будут усиливать друг друга, в других – наоборот, ослаблять. В первом случае – когда волны усиливаются – отскакивающие частицы будут наблюдаться часто, во втором случае они не будут видны никогда.
Такой эксперимент был проделан в 1927 году физиками Клинтоном Дэвиссоном и Лестером Джермером в США и Джорджем Томсоном в Шотландии. В их опытах электроны отскакивали от кристалла, при этом вдоль некоторых направлений электроны охотно двигались, в то время как в других направлениях их никогда не было видно. Эксперимент доказал, что электроны могут вести себя подобно волнам. В 1937 году Томсон и Дэвиссон были удостоены Нобелевской премии по физике за это открытие.