геометрические фигуры – более формальные проявления идеальных и абстрактных чисел (см. Диоген Лаэртский, Гиерокл и др.) Числовой ряд от 1 до 10 описывает последовательные этапы сотворения вселенной – от источника всего, Единицы, до рождения проявленного мира72.
Платон в «Тимее» и «Государстве» развивал эту пифагорейскую теорию. Порфирий в «Жизни Пифагора» пишет: «Числа Пифагора были символами, посредством которых он объяснял все идеи, касающиеся природы всего».
С понятием гармонии пифагорейцы связывали музыкальную гармонию и гармонию восьми небесных сфер. Интервалы между небесными телами составляли наиболее гармоничные музыкальные интервалы (октаву, квинту и кварту). А последние имели числовые значения 2:1 (октава), 3:2 (квинта), 4:3 (кварта). Числа, составляющие эти интервалы, принадлежат Четверице»73.
Священными считались 1 и 10 – как символы совершенства.
В представлениях пифагорейцев Единица (монада) – начало всех чисел и всех вещей, символ божества, Единого без второго, порождающего весь мир. Двойка (дуада, двойственность) – начало любого разделения, противоречия и, следовательно, изменения (поэтому считалась у пифагорейцев нечистой). Единица и Двойка олицетворяют собой космические начала и творческие силы. Единица связывается с божественным и духовным началом, Двойка – с материальным.
Тройка (триада) – первое порождение Двойки, после нее начинается весь ряд чисел (будучи нечетным числом, она восстанавливает нарушенное Двойкой равновесие).
Как считали пифагорейцы, все вещи определены «тремя»: началом, серединой и концом или прошлым настоящим и будущим. С точки зрения теогонии, Единица соответствует первому Божеству, Двойка – разделению на Небесного Отца и Великую Мать, а Тройка – Богу – Сыну, рожденному от Отца и Матери, то есть первому рожденному»74.
Тройка отражала триадную сущность вещественного мира, а также число человеческой души (имелись в виду указанные Платоном наклонности души – к познанию, раздражению, влечению). Усиленный акцент на совершенстве числа «3», стойкое символическое соответствие с догматическими установками христианства, позволяет усматривать это число в основе всей церковной христианской архитектуры, как раннего, так и следующих периодов, вплоть до нашего времени. Это число, пользуясь терминологией пифагорейцев, можно назвать «вечным числом» числовой закономерности, которая выступает в качестве общего закона.
Четверица (Тетрактида) как символ стихий и материи – священное число, первый квадрат – символ справедливости и священного равновесия у пифагорейцев, являлся основой всего существующего (Гиерокл) и деления на четыре ступени мудрости (арифметика, музыка, геометрия, астрономия), четыре стихии, четыре времени года, четыре страны света и т. д. Кроме того, Четверица дает первое тело – пирамиду (четырехгранник).
Математическое обоснование Четверицы: 1+2+3+4=10. Это число описывает некий законченный цикл, и тот, кто хочет считать дальше, возвращается опять к одному, двум, трем и т. д. (11=1+1=2; 12=1+2=3 и т. д.) Так что можно дойти до бесконечности, повторяя интервал десяти75.
Гиерокл пишет: «В целом Четверица охватывает все существующее: число элементов, времен года, возрастов, сословий, и невозможно сказать, существует ли что-либо, не зависящее от четверицы как от корня и начала. Четверица есть, как мы сказали, …число чисел».
По-видимому, о Четверице можно говорить как о математическом выражении законов высшей гармонии, управляющих Вселенной.
Пятерица – символическое обозначение брачного союза, пять стихий. Седмица – знак универсального мироправящего начала и гармонии мира. Семь есть священное число, в древней традиции – число солнца, которое посредствует между небом и землей, оно занимает седьмое место от центра вселенной, четвертое – от Земли, и четвертое от Небесной тверди. Двенадцать – число всеобъемлющей сферы или ограды, фигура, ему соответствующая, – правильный двенадцатигранник, он символизирует сверхнебесный огонь и сверхнебесный свет, занимающий 12-е место от Престола вселенной; 25 – как число структурного строения вселенной (Пифагор)76, символ числа Престола вселенной и др. Числовой ряд от 1 до 10 описывает последовательные этапы сотворения вселенной – от источника всего, Единицы, до рождения проявленного мира.
Таким образом, знание чисел и пропорций лежало в основе понимания строения мироздания.
Пифагор прямо говорит, что «все происходит не из числа, но сообразно с числом, ибо в числе первичная упорядоченность (taxis), по причастию к которой и в исчисляемых предметах последовательно упорядочено и первое и второе и т. д.» (195, 14–17)77.
В неопифагорействе весьма характерно выражено выдвижение на первый план число смысловой структуры космоса. Именно идейная сторона космоса характеризуется здесь в первую очередь математически78 или, точнее сказать, арифметически. В связи с этим напрашивается сравнение с традиционным толкованием образа храма в ортодоксальных вероисповеданиях, где идея смысловой структуры космоса, выраженная гармоническими рядами чисел79, передавалась через «чудесные» откровения о Небесном Городе, Скинии, некоторых христианских храмах Византии, средневекового запада и древней Руси.
Мифологические сюжеты древних цивилизаций Вавилона, Египта, Индии, Китая и пр. демонстрируют идентичные явления. Для христианского мира эстетика неоплатонизма и неопифагорейства стала тем мостом, который соединил традиционные представления древности с эстетикой новозаветной.
Неопифагорейство (может быть, и с использованием более древних пифагорейских источников) с самого начала хочет быть именно структурно-числовым космическим построением, то есть такой эстетикой, которая должна в конкретной форме обрисовать перед нами всю космическую область в чисто материальном, чувственном и даже просто зрительном виде, что целиком и полностью соответствует основному принципу построения архитектурного пространства – города или храма.
В мировоззрении Средневековья подразумевалось использование заимствованного из античной геометрии аксиоматического метода для обоснования и изложения философских и теологических учений и концепций. Этот метод ведет из области архаичной концептуальной архитектурной мысли, сквозь средневековую архитектурную мысль к пониманию принципов древнерусского архитектурного творчества.
Ясность и очевидность, присущие геометрическим аксиомам, рассматривались как критерии истинности всякого знания вообще. Именно поэтому геометрическая система может быть рассмотрена как исходный образец для других наук, тем более это касается архитектуры, в которой отражена философия мироустроения, построенная по законам универсальной геометрии80.
Текст геометрии Евклида послужил образцом для многих концептуальных систем, начиная с установления необходимых для этого определений и аксиом и заканчивая доказательством вытекающих из них теорем, поскольку в основе подобного рода применений геометрического метода в истории мысли лежало представление о мире как грандиозном теле, подчиняющемся описанию и познанию по законам геометрии. Труд Евклида «Stoicea» (греч. «Начала»), вышедший в свет в Александрии в эпоху Птолемея I Сотера (323–285/283 гг. до Р. Х.), в котором кодифицировал одну из ветвей геометрии, используется и сегодня в почти неизменном виде.
Текст Евклида самым широким образом повлиял на развитие как математических дисциплин, так и смежных с этой областью знания направлений науки и практической деятельности. Работа Евклида в основе своей посвящена плоскостной геометрии, в которой даны основные определения всех известных геометрических элементов рассматриваемой дисциплины.
Например, определения точки, линии, плоскости. Как определяет Евклид, «точка – это то, что неделимо на части», «линия – чистая протяженность», «плоскость – это то, что имеет только длину и ширину». Рассмотрение вопросов геометрии были использованы философами и схоластами античности и Средневековья под именем геометрического метода познания действительности. И все же Евклид предлагал в основном решение геометрических задач, которые определяются по сложности геометрических фигур и объемных тел. Знание «Начал» позволяет практически каждому овладеть большинством тем геометрии, что служило начальным этапом для дальнейшего познания курса специальных наук. Евклидова геометрия – основной предмет в учебном курсе высших школ во всем мире, так же как и в «квадривиуме» Средних веков… Хотя Евклидова геометрия до XVII века была «просто геометрией» и только со второй половины XVII века начали развиваться другие направления геометрии – особенно аналитическая и проекционная, и намного позднее – топология81.
Новые дисциплины не столько оспаривали правильность Евклидовой геометрии, сколько открывали дополнительные направления и смыслы, обрамляя учение Евклида и подтверждая его эффективность. Однако, несмотря на формальное признание, некоторые Евклидовские темы подвергались яростным нападкам и способствовали возникновению мощных споров, проиллюстрировав тем самым ситуацию, в которой существование устоявшейся традиции, смысл которой определять и сохранять устоявшиеся идеи и ценности, обеспечивая преемственность знаний и методов исследования, совсем не всегда обеспечивает благоговейное к себе отношение, как мы уже отмечали выше82.
Огромная заслуга Евклида состояла в исключительной способности систематизировать и обобщать83. Хотя к нему относятся условно как к создателю целой дисциплины, он не был оригинальным писателем и оторванным от мира гением, и в этом ценность работы Евклида как хранителя традиционных знаний и представлений. Евклид, по утверждениям историков математики, интерпретировал и обобщал Фетеция, Евдоксия Книдского (IV в. до Р. Х.) и др. Несмотря на некоторые противоречия и пробелы, «Начала» представлялись «гигантским шагом вперед по сравнению с той фрагментарностью, в которой пребывала и передавалась тогдашняя геометрия»84.
«Начала» Евклида приобрели значение исчерпывающего свода правил в тех областях, которые призваны по-разному разрешать геометрические проблемы. Среди подобных дисциплин: оптика, геодезия, метрология, судоходство, астрономия, агрономия, география, архитектура. Следуя судьбе большинства греческих текстов, «Начала» вскоре были переведены на арабский язык и были известны на этом языке почти пятнадцать веков. Как мы уже отмечали, перевод на латинский язык был выполнен в XII веке Аделардом Батским, однако можно говорить о существовании более ранних переводов, вошедших в тексты Боэция, отрывок в «Gromatici» и Regius Manuscripta в Королевской Библиотеке Британского Музея. Приблизительно с XV столетия осуществляются первые публикации работы Евклида.