Игра «Камень, ножницы, бумага» недавно переросла рамки детских площадок и вышла на уровень международных соревнований. Каждый год чемпиона мира по «Камню, ножницам, бумаге» наряду с вожделенным титулом ожидает приз в $ 10 000. В списке славы доминировали участники из США, но в 2006 г. житель Северного Лондона Боб Купер по прозвищу Камень сумел сдержать свои нервы и завоевать звание. Как он готовился к турниру? «Несколько часов тяжелых тренировок перед зеркалом каждый день». Полагаю, что это помогает укрепить психологическую подготовку к противостоянию с оппонентом, намеревающимся читать ваши мысли. А каков секрет его успеха? Его прозвище подталкивает соперников к мысли, что он будет чаще обычного выкидывать «камень». Поэтому у Боба появляется возможность изрезать «ножницами» «бумагу», которую соперники готовят, чтобы обернуть его «камень». Но после того, как оппоненты догадываются о его уловке, Боб Купер использует математический подход.
С математической, а не психологической точки зрения лучшей стратегией было бы сделать ваш выбор совершенно случайным. Тогда вашему оппоненту будет не на что опираться, потому что в совершенно случайной череде событий то, что произошло ранее, никоим образом не влияет на последующее. Если я подкину монету десять раз, то первые девять бросков никоим образом не могут повлиять на исход последнего броска. Даже если у вас девять раз выпал орел, это не означает, что в десятый раз должна выпасть решка, чтобы навести баланс. У монеты нет памяти.
Стратегия, опирающаяся на рандомизацию, дает вам лишь равный шанс выиграть, потому что при этом игра «Камень, ножницы, бумага» ничем не отличается от подбрасывания монеты для определения победителя. Но, если мне приходится соперничать с чемпионом мира, я соглашусь на любую стратегию, дающую мне тот же шанс выиграть. Мне не приходит в голову много видов спорта, где можно придумать стратегию, дающую вам шанс пятьдесят на пятьдесят победить чемпиона мира. Может быть, спринт на 100 м? Я так не думаю.
Но как можно выбрать ряд исходов и быть совершенно уверенным, что он случаен и не характеризуется какой-то скрытой закономерностью? Это серьезная проблема: мы, люди, печально известны своей неспособностью выдать случайную последовательность – мы настолько склонны к закономерностям, что в любую нашу «случайную» последовательность просачивается структура. Вы можете загрузить PDF-файл с веб-сайта «Тайн 4исел», содержащий игральную кость «Камень, ножницы, бумага». Соберите игральную кость, которая поможет вам делать случайный выбор и победить в игре.
Игра «Камень, ножницы, бумага» использовалась для улаживания разногласий как в детских песочницах, так и на заседаниях директоров компаний. Был знаменитый случай, когда аукционные дома Sotheby’s и Christie’s решили выбрать, кому из них продавать коллекцию импрессионистских полотен Ван Гога и Сезанна, посредством единственного раунда «Камня, ножниц, бумаги». Каждый из аукционных домов должен был за выходные определиться со своим выбором. Sotheby’s нанял за немалые деньги команду аналитиков первого ранга, чтобы те предложили выигрышную стратегию. Аналитики пришли к выводу, что это игра случая и один выбор ничем не хуже другого. Поэтому они предложили «бумагу». А в Christie’s просто спросили одиннадцатилетнюю дочь одного из служащих, что бы сделала она. «Все полагают, что вы покажете “камень”, поэтому выбирают “бумагу”. Значит, нужно показать “ножницы”», – сказала она. Christie’s выиграл контракт на продажу. Сказанное лишь должно продемонстрировать вам, что математика не всегда дает преимущество.
Насколько вы сильны в случайности?
Интуиция зачастую подводит нас в отношении последствий случайности. Давайте я предложу вам пари. Я подкину монету 10 раз. Вы дадите мне £ 1, если случится так, что выпадут подряд три орла или три решки. Если такого не будет, я дам вам £ 2. Согласны ли вы на такое пари?
А если я повышу свою ставку до £ 4? Мне думается, что даже если вы не были уверены сначала, то примете пари теперь. В конце концов, насколько вероятно, что выпадет подряд три орла или три решки при десяти бросках монеты? Как это ни поразительно, такое происходит более чем в 82 % случаев. Поэтому, даже если я выплачиваю по £ 4 за три идущих подряд одинаковых исхода, я не останусь внакладе при достаточно долгой игре.
Точная вероятность того, что при десяти подбрасываниях монеты выпадет подряд три орла или три решки, равна 846/1024. Вот славные подробности того, как можно получить эту вероятность. Достаточно любопытно, что числа Фибоначчи, с которыми мы познакомились в главе 1, являются ключом к подсчету шансов – это еще одно свидетельство того, что они встречаются повсюду. Если я подброшу монету N раз, то имеется 2N различных исходов. Мы обозначим gN количество комбинаций, когда не встречается трех идущих подряд орлов или решек. С этими комбинациями вы выиграете пари. Мы можем сосчитать gN, воспользовавшись правилом для чисел Фибоначчи:
Для приведения чисел в движение нужно только знать, что g1 = 2 и g2 = 4, потому что при одном или двух бросках монеты не может выпасть последовательность из трех орлов или трех решек, ведь мы еще не подкидывали монету три раза. Итак, gN принимает следующий вид:
Следовательно, имеется 1024 – 178 = 846 различных комбинаций после десяти подбрасываний монеты, в которых содержится последовательность из трех идущих подряд орлов или решек. Итак, вероятность выпадения такой последовательности равна 846/1024, и я выигрываю приблизительно в 82 % случаев.
Почему правило Фибоначчи оказывается ключом к вычислению gN? Возьмите все возможные комбинации после N – 1 подбрасывания монеты, в которых нет идущих подряд трех орлов или трех решек. Мы обозначили их число gN – 1. Теперь возьмем такую комбинацию после N бросков, что у броска N был противоположный исход броску N – 1. А сейчас возьмем все комбинации после N – 2 бросков, не содержащие трех идущих подряд орлов или решек. Их число равно gN – 2. Пусть у бросков N – 1 и N был противоположный исход по сравнению с броском N – 2. Таким образом вы генерируете все возможные комбинации после N бросков, не содержащие трех идущих подряд орлов или решек.
Как выиграть в лотерею?
Этот вопрос чаще всего задают мне, когда я говорю, что провожу свою жизнь в играх с числами. Но, как и при подбрасывании монеты, числа, выпавшие в розыгрыше предыдущей недели, не могут повлиять на числа ближайшей субботы. В этом и состоит принцип случайности, но некоторых людей не убедить никогда.
Розыгрыши итальянской государственной лотереи проводятся два раза в неделю, они проходят в десяти городах страны. Участники выбирают числа от 1 до 90. В какой-то момент шар с номером 53 отказывался выпадать в Венеции на протяжении почти двух лет розыгрышей. Разумеется, после столь долгого отсутствия он наверняка выпадет на следующей неделе – так думали многие итальянцы. Одна женщина поставила все сбережения своей семьи на то, что выпадет шар с номером 53. Когда он снова не появился, женщина утопилась в море. Были и другие трагические случаи, например когда мужчина застрелил свою семью, а потом убил себя. У него образовался огромный долг после того, как он поставил на шар 53. Как оценивается, итальянцы вложили £ 2,4 миллиарда – в среднем £ 150 на семью – в ставки, что выпадет 53.
Были даже призывы к правительству запретить номер 53 в лотерее, чтобы положить конец общенациональной одержимости этим числом. Когда плотина наконец-то была прорвана, и 9 февраля 2005 г. шар 53 показался в розыгрыше, было выплачено £ 400 миллионов неназванному числу игроков. С неизбежностью нашлись те, кто обвинил правительство в подтасовке лотереи, чтобы не проводить огромные выплаты. Подобный слух циркулировал не впервые. В 1941 г. шар с номером 8 не появился после 201 розыгрыша в Риме. Многие полагали, что Муссолини подтасовал его невыпадение, чтобы направить ставки нации на шар номер 8 на финансирование итальянских военных расходов.
А теперь давайте проверим, насколько вы удачливы, и сыграем в нашу маленькую лотерею. Я не могу обещать вам миллионы фунтов, но зато участие в ней не будет вам стоить ничего. Чтобы сыграть в лотерею, сначала выберите 6 из 49 чисел билета (рис. 3.02).
Рис. 3.02. Лотерея «Тайн 4исел»
Выбрали числа? Чтобы посмотреть, оказались ли они выигрышными, зайдите на веб-сайт http://bit.ly/quickpick.
Чтобы проверить, выиграли ли вы, зайдите на веб-сайт, приведенный выше в тексте в рамке. Выберите 1 ticket, United Kindom and National Lottery (1 билет, Соединенное Королевство и Национальная лотерея), а затем щелкните «Pick Tickets» – «Вытянуть билеты». Если у вас нет доступа к интернету, то посмотрите на заранее выбранные шесть чисел в конце этой главы. Только не надо жульничать. Как и при решении математических головоломок, вы получите значительно большее удовольствие, если получите ответ сами, а не подглядите его.
Каков ваш шанс выбрать правильно все шесть чисел и выиграть в лотерею? Чтобы сосчитать вероятность, нужно найти число всех различных способов выбрать 6 чисел, назовем это число N. Тогда у вас будет 1 шанс из N выиграть в лотерею. Для разогрева давайте найдем число различных способов выбрать 2 числа. У вас есть 49 вариантов для вашего первого числа. Второе число вы можете выбрать 48 способами. Каждый выбор первого числа может сочетаться с одним из 48 оставшихся чисел. Итак, у вас имеется 49 × 48 различных пар чисел. Но постойте, ведь каждый выбор был сосчитан дважды. Например, если вы выбрали 27 в качестве вашего первого числа, а затем 23 в качестве второго, то получится то же самое, если вы выбрали 23 первым, а 27 вторым. Итак, возможных пар в 2 раза меньше, чем вы подумали сначала, что означает, что число пар, которые вы можете выбрать, равно ½ × 49 × 48.