Теперь перейдем к шести числам. Имеется 49 вариантов выбора первого числа, 48 второго, 47 третьего, 46 четвертого, 45 пятого и, наконец, 44 варианта выбора последнего числа. Что дает 49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44 комбинаций шести чисел. Однако мы опять учли каждую комбинацию более одного раза. Например, сколько раз мы сосчитали комбинацию 1, 2, 3, 4, 5, 6? Что же, мы могли выбрать в качестве первого любое из этих шести чисел (и выбрали, скажем, 5). Тогда у нас останется пять возможных способов выбрать второе число (скажем, 1), четыре варианта для следующего числа (скажем, 2), три для последующего (скажем, 6), два для предпоследнего числа (скажем, 4), а последнее число – единственное, которое осталось (в данном случае 3). Итак, имеется 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 различных способов выбрать шесть чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. То же самое относится к любой комбинации шести чисел. Значит, нам нужно разделить 49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44 на 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1, чтобы получить правильное число всех возможных вариантов заполнить наш лотерейный билет. И каков ответ? 13 983 816.
Это число определяет также ваш шанс выиграть, потому что оно дает число всех возможных комбинаций шаров при розыгрыше. Другими словами, ваш шанс выбрать правильную комбинацию среди всех возможных будет 1 из 13 983 816.
А какова вероятность того, что вы не угадали ни одно число? Мы можем найти ее тем же способом, как и ранее. Ваше первое число должно быть одним из 43 невыпавших, второе число – одним из остающихся 42 и т. д. Это дает 43 × 42 × 41 × 40 × 39 × 38 разных комбинаций. Но каждая из комбинаций была учтена 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 раз. Итак, число всех комбинаций, в которых нет ни одного правильного числа, равно 43 × 42 × 41 × 40 × 39 × 38, поделенному на 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1, или 6 096 454. Итак, у чуть менее чем половины всех возможных выборов нет ни одного выигрышного числа. Чтобы сосчитать ваш шанс не угадать ни одного числа, нужно разделить 6 096 454 на 13 983 816. Это приблизительно равно 0,436, другими словами, вероятность того, что вы не угадаете ничего, составляет 43,6 %.
Итак, у вас есть шанс 56,4 % угадать хотя бы одно число. А каков шанс, что у вас будет ровно два верных числа? Чтобы найти его, нужно сначала определить количество комбинаций с двумя верными числами. У вас есть выбор из шести для одного правильного числа и выбор из пяти для второго правильного числа. Получается 6 × 5, но это число опять нужно разделить на 2 в силу двойного учета. Для четырех неверных чисел у вас имеется 43 × 42 × 41 × 40 комбинаций, что нужно разделить на 4 × 3 × 2 × 1 из-за многократного учета. Значит, количество комбинаций, в которых верны ровно два числа, составляет
В таблице 3.01 приведены ваши шансы угадать правильно от 0 до шести чисел, все вероятности рассчитаны таким же способом. Чтобы представить эти числа в перспективе, отметим, что если вы будете покупать билет национальной лотереи каждую неделю, то примерно через год вы можете ожидать, что у одного из ваших билетов будут по крайней мере три правильных числа. Примерно через двадцать лет вы могли бы увидеть билет по крайней мере с четырьмя верными числами. Король Альфред[7], покупай он билет каждую неделю, смог бы к настоящему времени увидеть один билет с пятью выигравшими числами. А если бы первой мыслью, появившейся в голове первого Homo sapiens, была бы идея зайти в ближайший киоск и начать покупать один лотерейный билет каждую неделю, то к настоящему времени он мог бы выиграть один большой приз.
Таблица 3.01. Шанс правильно угадать от 0 до 6 номеров национальной лотереи
Ниже приведен способ расчета количества лотерейных билетов, у которых есть хотя бы два последовательных числа. Математики часто применяют хитроумный трюк, состоящий в решении противоположной задачи, это мы сейчас и сделаем. Сначала мы сосчитаем количество билетов без последовательных чисел, затем вычтем результат из полного числа возможных комбинаций, чтобы найти, у какого количества комбинаций будут последовательные числа.
Сначала выберите любые шесть чисел от 1 до 44 (заметьте, что разрешается выбирать именно до 44, а не до 49, вскоре вы поймете почему). Назовите ваш выбор чисел А(1), …, А(6), причем число А(1) – меньшее из выбранных, а А(6) – самое большое. Хотя числа А(1) и А(2) могут быть последовательными, числа А(1) и А(2) + 1 уже не будут таковыми. Так что, если вы возьмете шесть чисел A(1), A(2) + 1, A(3) + 2, A(4) + 3, A(5) + 4 и A(6) + 5, никакие два из них не будут последовательными. (Ограничение на выбор чисел до 44 теперь становится понятным, потому что если А(6) равно 44, то А(6) + 5 равняется 49.)
Используя этот трюк, вы можете сгенерировать все билеты без последовательных чисел. То есть вы просто выбираете шесть чисел от 1 до 44 и разрежаете их, увеличивая каждое из них. Значит, мы найдем число возможных комбинаций, в которых нет последовательных чисел, и оно будет таким же, как число возможных комбинаций по выбору шести чисел от 1 до 44. Последнее равно
Итак, полное количество билетов с последовательными числами будет
Если вам когда-либо настолько повезет, что вы выиграете большой приз, вам не захочется, чтобы произошло то, что случилось в Великобритании 14 января 1995 г. Тогда шла лишь девятая неделя национальной лотереи, а джекпот превзошел немалую сумму в £ 16 миллионов. Когда шесть шаров выпали из лототрона, то победители наверняка прыгали у диванов и кричали от счастья. Но когда они пришли за выигрышем, то каждый из них обнаружил, что ему придется поделить джекпот с другими 132 обладателями счастливых билетов. Каждый из победителей получил пустяк в £ 122 510.
Но как получилось, что так много людей угадали правильную комбинацию? Дело заключается в том обстоятельстве, которое я отметил, когда мы рассматривали игру «Камень, ножницы, бумага»: мы, люди, печально известны своим неумением выбирать случайные числа. Нужно принять во внимание, что 14 миллионов человек играют в национальную лотерею, и многих из них притягивают схожие числа, например число удачи 7 либо дни рождений или юбилеев (что исключает числа 32–49). Также для выбора многих людей характерно то, что они стремятся распределить свои числа равномерно.
Вот выигравшие числа девятой недели лотереи:
Рис. 3.03
Такое равномерное распределение чисел не слишком-то характерно для случайных процессов: числа могут собираться вместе и отталкиваться с одинаковой вероятностью. Из 13 983 816 различных возможных комбинаций лотерейных билетов у 6 924 764 будут хотя бы два последовательных номера. Это составляет 49,5 %, что очень близко к половине всех комбинаций. Например, в предшествовавшую неделю выпали номера 21 и 22. А в последовавшую неделю были 30 и 31.
Однако не привязывайтесь слишком к последовательным числам. Вы могли бы решить, что комбинация 1, 2, 3, 4, 5, 6 будет умным выбором. В любом случае, как я надеюсь, к настоящему времени вы понимаете, что эта комбинация столь же вероятна, как и любая другая (то есть крайне маловероятна). Если вы сорвете джекпот с этой комбинацией, вы, наверное, рассчитываете получить выигрыш целиком. Но, оказывается, более 10 000 человек в Великобритании используют эту комбинацию каждую неделю – что лишь показывает, насколько разумно британское население. Единственная проблема состоит в том, что в случае выигрыша вам придется делиться джекпотом с другими 10 000 умными людьми.
Как обманывать в покере и показывать фокусы, используя задачу о простых числах на миллион долларов
Игроки-шулеры и фокусники тасуют карты не так, как прочие люди. Но после нескольких часов тренировки можно освоить прием, называемый совершенной тасовкой[8]. При этом колода карт делится на две равные части, и потом карты из разных половин чередуются одна за другой. Если вы играете в покер, такая тасовка очень опасна.
Давайте представим, что четыре человека сидят за покерным столом: сдающий, его сообщник и два ничего не подозревающих игрока, которых сейчас облапошат. Сдающий кладет четырех тузов на верх колоды. После одной совершенной тасовки тузы разделены одной картой, после еще одной – тремя картами, что идеально подходит для того, чтобы сдающий раздал своему сообщнику четырех тузов.
Совершенная тасовка крайне эффективна и в руках фокусника, который может использовать ее интересное свойство. Если вы возьмете колоду из 52 карт и выполните совершенную тасовку 8 раз, то чудесным образом карты в колоде вернутся к своему первоначальному положению. Человеку со стороны кажется, что тасовка совершенно разупорядочивает колоду. В конце концов, восемь тасовок – более чем достаточно для среднестатистического игрока перед началом игры. Действительно, математики доказали, что для обычного игрока достаточно семи тасовок, чтобы колода полностью потеряла свою первоначальную структуру и стала случайной. Но совершенная тасовка – вовсе не обычная тасовка. Представьте, что колода карт в чем-то соответствует монете восьмиугольной формы и совершенная тасовка поворачивает ее на одну восьмую полного оборота. После восьми таких поворотов монета возвращается к своему первоначальному положению.
Но сколько раз потребуется сделать совершенную тасовку с колодой, в которой более 52 карт, чтобы они вернулись к своему первоначальному положению? Если вы добавите двух джокеров и начнете делать совершенные тасовки, то понадобится 52 манипуляции для полного оборота. Однако когда вы добавите еще десять карт и их станет 64, то потребуется сделать лишь шесть совершенных тасовок, чтобы карты в колоде возвратились к исходному положению. Так что же нам говорит математика о количестве совершенных тасовок, необходимых для того, чтобы карты в колоде из 2