Рис. 4.07
Рис. 4.08
Как мы увидим, The Beatles – вовсе не единственный ансамбль, неправильно использовавший код на обложке альбома.
Рис. 4.09. Знаете ли вы, что пацифистский символ, использующийся Движением за ядерное разоружение, на самом деле задействует семафорную азбуку? Он представляет буквы N и D (Nuclear Disarmament, ядерное разоружение), объединенные в один символ
Какое сообщение закодировано в Симфонии № 5 Бетховена?
Начало Симфонии № 5 Бетховена – три короткие ноты, за которыми следует длинная, – одно из самых знаменитых в истории музыки. Но почему радиостанция Би-би-си начинала каждый выпуск новостей во время Второй мировой войны с известного мотива Бетховена? Ответ состоит в том, что в нем содержалось закодированное сообщение. Этот новый код опирался на технику, умевшую посылать сигналы по проводам в виде последовательности электромагнитных импульсов.
Одним из первых людей, экспериментировавших с этим видом связи, был Карл Фридрих Гаусс. С его исследованиями по простым числам мы познакомились в главе 1. Но Гаусс интересовался не только математикой, но и физикой, включая развивавшуюся область электромагнетизма. Он и физик Вильгельм Вебер протянули километр провода от лаборатории Вебера в Гёттингене до обсерватории, где жил Гаусс, чтобы посылать сообщения друг другу.
Для этого им потребовалось разработать код. В приемной части аппаратуры имелся горизонтально расположенный постоянный магнит, к которому была прикреплена стрелка. Вокруг магнита была намотана проволочная катушка, и под действием импульсов тока, менявших направление, магнит сдвигался влево или вправо. Гаусс и Вебер придумали код, в котором буквы соответствовали комбинациям левых и правых смещений магнита (см. таблицу 4.04).
Таблица 4.04. Код Гаусса – Вебера[15]
Вебер был настолько воодушевлен потенциалом их открытия, что пророчески заявил:
Когда земной шар будет покрыт сетью железных дорог и телеграфных проводов, эта сеть будет служить человечеству подобно тому, как нервная система служит телу. Она будет использоваться и как средство транспорта, и как средство распространения идей и ощущений со скоростью света.
Для реализации потенциала электромагнетизма по передаче сообщений было предложено множество различных кодов. Однако код, разработанный американцем Сэмюэлом Морзе в 1838 г., был настолько успешен, что вытеснил все остальные. Подобно схеме Гаусса – Вебера, в нем каждая буква превращалась в комбинацию длинных и коротких импульсов электричества – тире и точек.
Рис. 4.10. Код Морзе
Логика, которой руководствовался Морзе при создании кода, в чем-то соответствует частотному анализу, используемому дешифровщиками для того, чтобы взломать шифр подстановки. Наиболее употребительные буквы английского алфавита – e и t, поэтому имеет смысл использовать максимально короткие последовательности для их кодирования. Поэтому e представляется точкой, коротким импульсом электричества, а t – тире, длинным импульсом. Для менее употребительных букв задействуются более длительные последовательности. Так, z соответствует тире-тире-точка-точка.
С помощью кода Морзе мы можем расшифровать сообщение, спрятанное в Симфонии № 5 Бетховена. Если мы интерпретируем драматичное начало этого произведения как код Морзе, то соотнесем последовательность точка-точка-точка-тире с буквой v, которой Би-би-си символизировала победу (victory).
Разумеется, Бетховен не собирался прятать в своей музыке сообщения на морзянке, ведь он умер до того, как она была изобретена. Но другие композиторы использовали ее ритмическую структуру, чтобы придать дополнительный смысл своим произведениям. Мелодия, сопровождающая знаменитый детективный сериал «Инспектор Морс» (Inspector Morse), совершенно оправданно начинается с ритмической последовательности, воспроизводящей фамилию детектива на коде Морзе:
Рис. 4.11. Код Морса
В некоторых сериях композитор даже вплел посредством морзянки имя убийцы в побочную музыкальную тему, хотя порою в партитурах встречается и ложный след.
Несмотря на то что код Морзе крайне широко использовался, причем не только композиторами, но и телеграфными операторами по всему миру, в нем имеется врожденная проблема. Если вы приняли точку, за которой следует тире, то как нужно декодировать эту последовательность? С одной стороны, она отвечает букве a, с другой стороны, это может быть буква e, за которой следует t. В результате математики предложили иной вид кода, использующий последовательности 0 и 1, который лучше подходит для восприятия машинами.
Как называется третий альбом группы Coldplay?
Когда фанаты устремились за покупкой третьего альбома группы Coldplay, выпущенного в 2005 г., они были сильно заинтригованы рисунком на обложке, пытаясь постичь его смысл. На нем были изображены расположенные на сетке разноцветные прямоугольники. В чем же заключалось значение картинки? Оказалось, она представляла название альбома, написанное с помощью одного из первых двоичных кодов, предложенного в 1870 г. французским инженером Эмилем Бодо. Цвета на рисунке не имели значения: смысл был лишь в том, что каждый прямоугольник представлял 1, а каждый пропуск нужно было истолковать как 0.
Немецкий математик XVII в. Готфрид Лейбниц одним из первых осознал приспособленность нулей и единиц к эффективному хранению информации. Он почерпнул эту идею из китайской «И цзин» – «Книги перемен», где исследуется динамический баланс противоположностей. В ней имелись 64 графических символа, называемые гексаграммами, каждый из которых представляет ту или иную ситуацию с точки зрения ее развития. Именно они побудили Лейбница создать двоичную математику (с ней мы познакомились в предыдущей главе, когда изучали выигрышную стратегию «Ним»). Каждая гексаграмма представляет стопку из шести горизонтальных линий, причем любая из линий либо цельная, либо прерванная посередине. В «И цзин» объясняется, как эти символы могут использоваться для гадания, в котором также совершаются подбрасывания монеток и веточек.
Например, если у прорицателя выпадет гексаграмма, изображенная на рис. 4.12, то она будет означать «тяжбу».
Но если линии сложатся иным образом и цельные поменяются с прерванными (рис. 4.13), то получится «поражение света».
Рис. 4.12
Рис. 4.13
Однако Лейбница больше заинтересовало то обстоятельство, что, как отметил Шао Юн, китайский философ XI в., каждому символу может быть приписано число. Если вы будете обозначать единицей сплошную линию, а нулем прерванную, то первая гексаграмма при чтении сверху вниз даст вам 111010. В числах, записанных в десятичной системе, каждый разряд соответствует степени 10, и число в этом разряде говорит вам, сколько этих степеней десяти нужно взять. Так, 234 обозначает 4 единицы, 3 десятка и 2 сотни.
Но Лейбниц и Шао Юн работали не в десятичной, а в двоичной системе, где каждый разряд соответствовал степени 2. Число 111010 в двоичной системе обозначает отсутствие единиц, одну двойку, отсутствие четверки, одну восьмерку, один набор из 16 и один набор из 32. При сложении мы получим 2 + 8 + 16 + 32 = 58. Красота двоичной записи заключается в том, что для представления любого числа нужны лишь два символа, вместо десяти в десятичной системе. Два (десятичных) набора по 16 становятся одним набором следующей степени 2, то есть 32.
Лейбниц понял, что этот способ представления чисел становится крайне действенным, если вы хотите автоматизировать вычисления. Правила сложения двоичных чисел крайне просты. В каждом разряде 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1 и 0 + 0 = 0. Четвертая возможность заключается в 1 + 1 = 0, что сопровождается эффектом домино – 1 переносится и прибавляется к следующему разряду слева. Например, когда мы прибавляем 1000 к 111010, то видим каскад перемещений 1 к высшим разрядам:
Лейбниц сконструировал великолепные механические калькуляторы. В одном из них использовались шарики для обозначения 1, а отсутствие шарика представляло 0, так что процесс сложения напоминал фантастическую машину для пинбола. Лейбниц полагал, что «не пристало одаренному человеку тратить, подобно рабу, часы на вычислительный труд, который можно надежно доверить любому лицу при использовании машин». Я думаю, что большинство математиков согласятся с этим.
Люди начали обозначать цепочками 0 и 1 не только числа, но и буквы. Хотя человеческому роду код Морзе представлялся мощным инструментом для коммуникации, машины были менее приспособлены к улавливанию тонких различий между точками и тире, прописывающими буквы, и пониманию того, когда закончилась предыдущая буква и началась следующая.
Рис. 4.14. Реконструкция двоичного калькулятора Лейбница
В 1874 г. Эмиль Бодо предложил кодировать каждую букву алфавита цепочкой из пяти нулей и единиц. Благодаря одинаковой длине обозначений всех букв стало совершенно очевидно, где заканчивалась предыдущая буква и начиналась следующая. Использование пяти 0 и 1 позволило Бодо представить в общей сложности 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 различных символа. Буква Х соответствовала цепочке 10111, а Y обозначалась как 10101. Это было огромным прорывом, потому что сообщения теперь могли кодироваться на бумажной ленте, на которой перфорировались отверстия для обозначения 1, а отсутствие отверстия соответствовало 0. Машина могла считывать эту ленту и посылать сигнал по проводному соединению с высокой скоростью, а на другом конце телетайп автоматически распечатывал сообщение.
Со временем код Бодо был вытеснен на обочину огромным разнообразием других кодов, использующих ту же идею представления всего, от текста до звуковых волн, от jpeg-изображений до видеофайлов, с помощью 0 и 1. Каждый раз, когда вы заходите на iTunes и скачиваете трек Coldplay, ваш компьютер подвергается натиску огромной армии