/N, а именно количество леммингов, выживших с предыдущего сезона, поделенное на максимально допустимую численность леммингов. Итак, K × L/N леммингов умирает, и в конце данного сезона остается в живых
леммингов. Чтобы упростить наши расчеты, положим максимальную численность N = 100.
Хотя данное уравнение выглядит просто, у него есть удивительные последствия. Давайте начнем с того, что изучим случай, когда число леммингов удваивается весной, то есть K = 2 L. Из них 2L × L/100 не выживут. Предположим, что в конце первого сезона было 30 леммингов. Тогда уравнение предсказывает нам, что к концу второго сезона будет 60 – (60 × 30/100) = 42 лемминга. Их численность будет возрастать, пока в конце четвертого сезона не станет 50 леммингов.
С этого момента численность леммингов, выживающих к концу каждого из сезонов, будет постоянной и составит 50. Удивительно и то, что, каково бы ни было исходное количество леммингов в начале первого сезона, численность леммингов к концу каждого из последующего сезонов будет приближаться к половине максимальной численности, и на этом значении она стабилизируется. Итак, когда будет достигнута численность в 50 леммингов, их количество удвоится и составит 100 весной следующего сезона, но к концу следующего сезона 100 × 50/100 = 50 умрут, и к концу следующего сезона останется снова 50 леммингов (рис. 5.09).
Рис. 5.09. Количество леммингов удваивается каждой весной, но их численность стабилизируется на постоянном значении независимо от того, сколько леммингов было вначале. На графике показана численность леммингов в конце соответствующего сезона
Но что произойдет, если лемминги будут более плодовиты? Когда количество леммингов чуть более чем утраивается весной, их численность не стабилизируется, а скачет между двумя значениями. Если к концу какого-то сезона численность выживших леммингов возрастает, то к концу следующего сезона она падает.
Рис. 5.10. Если количество леммингов утраивается весной, их численность начинает осциллировать
Когда лемминги становятся еще более плодовиты, их численность начинает флуктуировать странным образом. Если возрастание количества леммингов весной описывается множителем 3,5, численность леммингов осциллирует между четырьмя значениями, и эта закономерность повторяется каждые четыре года. (Точный множитель, при котором впервые появляются четыре значения, есть 1 + 6, что приблизительно равно 3,449.) В этом случае мы и обнаруживаем, что в одном сезоне из четырех происходит существенное падение количества леммингов, но не в силу решения совместно покончить с жизнью, а из-за математики.
Рис. 5.11. Когда количество леммингов весной возрастает в 3,5 раза, их численность осциллирует между четырьмя различными значениями
Но по-настоящему интересное изменение динамики численности леммингов происходит, когда увеличение их количества весной описывается множителем, превышающим 3,5699. Тогда их численность от года к году меняется скачками без видимого ритма и причины. Хотя уравнение, определяющее численность леммингов, довольно простое, оно начало выдавать хаотические результаты. Измените исходное количество леммингов, и динамика их численности будет совсем другой. После того как превзойден порог начала хаоса 3,5699, почти невозможно предсказать, как будет варьироваться численность. Мы видим, что уравнение, контролирующее численность леммингов, сначала приводило к совершенно предсказуемым результатам, но с небольшим увеличением плодовитости леммингов внезапно разразился хаос.
Рис. 5.12. Когда увеличение количества леммингов весной описывается множителем 3,5699 или более, изменение их численности становится хаотическим
Это игра для двух участников. Загрузите PDF-файл с веб-сайта «Тайн 4исел» и вырежьте десять рыб и аквариум. В игре исследуется то, как количество рыб меняется на протяжении десяти сезонов. Каждая из вырезанных рыб соответствует одному сезону, и на ее боку имеется пустое поле, куда вы можете вписать число рыб в аквариуме в этом сезоне. В условиях аквариума поддерживается жизнь не более чем 12 рыб. Рыба, дожившая до следующего года, приносит потомство, а потом с определенной вероятностью умирает.
Подкиньте две игральные кости. Число рыб, исходно имеющихся в аквариуме, равно сумме выпавших очков минус один (поэтому данное число лежит в диапазоне от 1 до 11). Назовем это число N0. Первый игрок выбирает число K от 1 до 50. С его помощью определяется количество потомков у каждой рыбы. Если первоначально имелось N0 рыб, то в первом году вследствие появления потомства их становится (K/10) × N0. То есть количество рыб умножается на K/10, этот множитель лежит в интервале от 0,1 до 5.
Не все рыбы доживают до следующего года. Если в конце предыдущего года было N рыб, то к концу следующего их будет
Комбинация с первым слагаемым в круглых скобках соответствует приведенному приросту количества рыб из-за рождения, а комбинация со вторым слагаемым – убыли рыб из-за смертности. Нужно округлить число, определяемое данной формулой, чтобы в аквариуме было целое число рыб (4,5 округляется до 5).
Пусть аквариум содержится на протяжении 10 лет. Счет первого игрока равен сумме количества рыб в конце нечетных лет, а счет второго игрока равен сумме количества рыб в конце четных лет.
То есть, если в конце года с номером i имеется Ni рыб:
счет игрока 1: N1 + N3 + N5 + N7 + N9,
счет игрока 2: N2 + N4 + N6 + N8 + N10.
Делая отметки на боках вырезанных фигурок, вы можете вести учет численности рыб от года к году. Если в какой-то момент все рыбы умирают, игрок 1, выбравший множитель K, проигрывает автоматически.
Вот пример одной из игр. На игральных костях выпало 4. Поэтому сначала в аквариуме было 3 рыбы, N0 = 3. Игрок 1 выбирает K = 20. Следовательно, количество рыб в конце первого года
Количество рыб в конце второго года
А в конце третьего года их
Количество рыб теперь стабилизировалось, потому что 6 будет повторяться при подстановке в формулу. Итак,
счет игрока 1: 5 + 6 + 6 + 6 + 6 = 29 рыб,
счет игрока 2: 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30 рыб.
Игрок 2 побеждает. Посмотрите, что произойдет при изменении множителя K. Поскольку мы округляли числа, в этой игре нет всех тонкостей хаотической модели, которая убила леммингов.
Если вы хотите воспользоваться онлайн-моделированием этой игры, пройдите по ссылке http://bit.ly/Tanksim.
В данной версии моделирования количество рыб в аквариуме также округляется до целого числа, но дробная часть числа подставляется в формулу для расчета количества рыб в следующем году. Например, если вы положите K = 27 и N0 = 3:
N1 = 6,075, округляется до 6 рыб
N2 = 8,09873, округляется до 8 рыб
N3 = 7,10895, округляется до 7 рыб
N4 = 7,8233, округляется до 8 рыб
N5 = 7,352, округляется до 7 рыб
N6 = 7,68872, округляется до 8 рыб
N7 = 7,45835, округляется до 7 рыб
N8 = 7,62147, округляется до 8 рыб
N9 = 7,50844, округляется до 8 рыб
N10 = 7,58804, округляется до 8 рыб
Счет игрока 1: 6 + 7 + 7 + 7 + 8 = 35 рыб,
счет игрока 2: 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 40 рыб.
Как делать обводящие прострелы, словно Бекхэм, или закручивать подобно Карлосу
Дэвид Бекхэм и Роберто Карлос выполнили за футбольную карьеру немало удивительнейших штрафных ударов, которые, казалось, противоречили законам физики. Вероятно, самым поразительным был удар, нанесенный Карлосом в матче Бразилии против Франции в 1997 г. Штрафной был назначен в 30 м от ворот. Большинство футболистов просто отдали бы пас партнеру, чтобы продолжить атаку. Но не Роберто Карлос. Он поставил мяч на газон и отступил назад, готовясь к удару.
Французский вратарь Фабьен Бартез выстроил оборонительную стенку, хотя он и не думал всерьез, что Карлос намеревается послать мяч непосредственно в его ворота. И действительно, когда Карлос разбежался и нанес удар, казалось, что мяч пролетит далеко от цели. Зрители в стороне от ворот начали нагибаться, ожидая, что мяч попадет в толпу. Неожиданно, в последние мгновения, мяч свернул влево и залетел в сетку французских ворот. Бартез не мог поверить своим глазам. Он не шевельнулся. «Как ему такое удалось?» – казалось, думал он.
Но удар Карлоса отнюдь не противоречил законам физики, при его исполнении была учтена наука движущихся футбольных мячей. Эффект вращения может приводить к самому невероятному поведению предметов. Если вы ударите по мячу, не придавая ему вращения, то он в своем движении как бы прочертит параболу на фиксированном двумерном листе бумаги. Но, если вы закрутите мяч, неожиданно геометрия его движения становится трехмерной. Он не только будет подниматься и опускаться, но и отклоняться влево или вправо.
Но что же толкает мяч, летящий в воздухе, влево или вправо? Возникающая сила обусловлена эффектом Магнуса, названным в честь немецкого физика Генриха Магнуса, который в 1852 г. первым объяснил воздействие вращения на мячи. (Немцы всегда были хороши в футболе.) Эффект схож с появлением силы, действующей на самолетное крыло. Как я объяснил на с. 254, разность скоростей потока воздуха над и под крылом приводит к уменьшению давления над крылом и его повышению под ним, вследствие чего возникает сила, толкающая крыло вверх.