Тени разума. В поисках науки о сознании — страница 9 из 14

5.1. Квантовая теория: головоломки и парадоксы

Квантовая теория дает нам превосходное описание физической реальности на микроскопическом уровне, однако полна при этом тайн и загадок. Нет никакого сомнения: разобраться в том, как именно работает эта теория, чрезвычайно трудно; еще труднее отыскать какой-либо смысл в той «физической реальности» (или нереальности), которая, как утверждает квантовая теория, и составляет основу нашего мира. На первый, неискушенный, взгляд может показаться, что эта теория способствует формированию мировоззрения, которое многие (включая и меня) находят в высшей степени неудовлетворительным. В лучшем случае, буквально понимая все положения и определения теории, мы получаем, мягко говоря, очень странную картину мира. В худшем — столь же буквально воспринимая заявления некоторых из наиболее знаменитых приверженцев квантовой теории, никакой картины мира мы не получаем вовсе, а та, что была, рассыпается на глазах.

Я думаю, все те загадки, что ставит перед нами квантовая теория, можно четко разделить на два совершенно различных класса. Одни я называю загадками-головоломками, или Z-загадками (от слова puzzle[32]). К этому классу я отношу те квантовые истины об окружающем нас мире, которые действительно способны кого угодно привести в замешательство и заставляют изрядно поломать над собой голову — и в то же время находят непосредственное экспериментальное подтверждение. Сюда же можно включить и те общие предсказания квантовой теории, которые не подтверждены экспериментально, но — ввиду уже подтвержденного — очень похожи на правду. Среди наиболее поразительных Z-загадок упомяну те, что известны под общим названием феномены Эйнштейна—Подольского—Розена (или ЭПР-феномены; подробнее о них мы поговорим позднее, см. §§5.4, 6.5). Второй класс составляют квантовые загадки, которые я называю загадками-парадоксами, или X-загадками (от слова paradox[33]). Согласно квантовому формализму, эти утверждения о мире вроде бы должны быть истинными, однако они настолько невероятны и парадоксальны, что мы просто не можем в них поверить, не можем признать их «действительно» истинными. Именно эти загадки и не дают нам принять предлагаемый формализм всерьез, препятствуют образованию на рассматриваемом уровне сколько-нибудь достоверной картины мира. Самая знаменитая X-загадка — парадокс шрёдингеровой кошки, в рамках которого, по всей видимости, утверждается, что макроскопические объекты (например, кошки) способны существовать в двух совершенно различных состояниях одновременно (этакое подвешенное состояние, в котором кошка и «жива», и «мертва» сразу). К подобным парадоксам мы еще вернемся в §6.6 (см. также §6.9, рис. 6.3, и НРК, с. 290-293).

Нередко утверждают, что все трудности, которые возникают у наших современников с восприятием квантовой теории, происходят исключительно от того, что мы чересчур крепко цепляемся за наши старые физические концепции. С каждым же последующим поколением люди будут «вживаться» в квантовые таинства все глубже, и в конце концов, после достаточного количества сменившихся поколений, смогут без какого-либо напряжения принять их все скопом — как Z-загадки, так и X-загадки. Этот взгляд представляется мне фундаментально ошибочным.

Я полагаю, что к Z-загадкам мы, возможно, и в самом деле сможем со временем привыкнуть и даже счесть их вполне естественными, однако с X-загадками такой номер не пройдет. По моему глубокому убеждению, X-загадки заведомо неприемлемы с философской точки зрения, а возникновение их объясняется только тем, что квантовая теория не является полной теорией — или, скорее, не является вполне точной на том уровне феноменов, на котором начинают проявляться X-загадки. В совершенной квантовой теории ни одной X-загадки в списке квантовых тайн не останется (а крест в их названии оказался символичен — им и перечеркнем). Иначе говоря, свыкаться нам предстоит лишь с Z-загадками.

Учитывая вышесказанное, мы имеем полное право поинтересоваться, где же проходит граница между Z-загадками и X-загадками. Одни физики утверждают, что квантовых загадок, которые следовало бы в этом смысле классифицировать как X-загадки, попросту нет, — все странные и на первый взгляд парадоксальные утверждения, в которые нам предлагает поверить квантовый формализм, действительно истинны и описывают реальный мир, нужно только правильным образом на этот самый мир посмотреть. (Если такие люди хотят избежать обвинений в отсутствии логики и всерьез воспринимают возможность описания физической реальности в терминах «квантовых состояний», то они должны также верить и во «множественность миров» в той или иной форме (см. §6.2). Согласно этой концепции, шрёдингеровы мертвая и живая кошки обитают в различных «параллельных» вселенных. Вы видите кошку, и тут же в каждой из двух вселенных возникает по вашей копии, один из вас глядит на живую кошку, а другой — на мертвую.) Другие физики устремляются к противоположной крайности. По их мнению, я слишком благодушно настроен по отношению к квантовому формализму, раз полагаю, что всем этим необъяснимым ЭПР-феноменам (о которых, напоминаю, мы еще поговорим) и впрямь найдется в будущем экспериментальное подтверждение. Я никоим образом не настаиваю, что все должны непременно разделять мое мнение о том, где именно надлежит проводить границу между Z- и X-загадками. Мой выбор определяется предположениями, согласующимися с точкой зрения, которую я представлю в следующей главе, в §6.12.

Вряд ли уместно будет приводить на этих страницах исчерпывающее объяснение природы квантовой теории. Поэтому в настоящей главе я ограничусь относительно кратким (но в достаточной мере полным) описанием некоторых необходимых нам аспектов теории, особое внимание уделив при этом природе Z-загадок. В следующей главе я расскажу, почему я полагаю, что наличие X-загадок делает современную квантовую теорию неполной, невзирая на все те поразительные экспериментальные подтверждения, которыми она на сегодняшний день может похвастаться. Читателям, желающим познакомиться с квантовой теорией поближе, я рекомендую обратиться к НРК (глава 6) или к более специальной литературе — например, [94], или [70].

Далее (глава 6, §6.12) я представлю одну новую идею относительно уровня, на котором имеет смысл предпринимать попытки усовершенствования квантовой теории (думаю, следует предупредить читателя, что идея эта существенно отличается от той, что была предложена в НРК, хотя мотивы остались почти теми же). В §7.10 (и в §7.8) я приведу некоторые предварительные причины, позволяющие предположить, что подобные попытки вполне могут быть связаны с невычислимостью в том общем смысле, который нас так интересует. Что касается стандартной квантовой теории, то невычислимой она является лишь постольку, поскольку в измерительной процедуре здесь наличествуют случайные элементы. Случайные же элементы, как я особо подчеркивал в первой части (§§3.18, 3.19), не способны сами по себе обусловить ту невычислимость, которая нам потребуется в конечном итоге для понимания процессов мышления.

Рассмотрим для начала некоторые из наиболее поразительных Z-загадок квантовой теории на примере двух весьма показательных и мозгодробительных головоломок.

5.2. Задача Элитцура—Вайдмана об испытании бомб

Вообразим себе бомбу, в носовой части которой закреплен детонатор, настолько чувствительный, что при малейшем давлении на него бомба взрывается. Для срабатывания такого детонатора достаточно одного-единственного фотона видимого света, хотя в некоторых случаях детонатор заклинивает, и бомба взорваться не может — бомбу с неисправным детонатором мы будем называть «холостой». Предположим, что детонатор снабжен зеркальцем, подвижно закрепленным на носу бомбы таким образом, что при отражении зеркальцем одного фотона (видимого света) оно смещается и приводит в движение ударный механизм, в результате чего бомба взрывается — за исключением, разумеется, тех случаев, когда бомба оказывается холостой, т.е. когда чувствительный механизм детонатора заклинивает. Поскольку все упомянутые устройства работают по классическим законам, мы должны также предположить, что после того, как бомба собрана, выяснить, не заклинило ли ее детонатор, невозможно без того, чтобы этот самый детонатор так или иначе не потревожить — что непременно приведет к немедленному взрыву. (Необходимо ввести еще одно допущение: детонатор может заклинить только в процессе сборки, по завершении сборки детонатор либо исправен, либо нет; см. рис. 5.1.)

Рис. 5.1. Задача Элитцура—Вайдмана об испытании бомб. Сверхчувствительный детонатор бомбы срабатывает от соприкосновения с одним-единственным оптическим фотоном — может, впрочем, и не сработать, если его заклинит, в каковом случае бомба считается холостой. Задача: найти гарантированно исправную бомбу при наличии большого количества бомб сомнительного качества.

Допустим, что таких бомб у нас огромное количество (денег мы здесь не считаем!), однако доля холостых среди них может оказаться чрезмерно высокой. Задача заключается в том, чтобы найти хотя бы одну бомбу, о которой можно было бы заранее с уверенностью сказать: «Вот эта точно сработает».

Эта задача (вместе с решением) была предложена Авшаломом Элитцуром и Львом Вайдманом [114]. Я не буду приводить решение прямо здесь, так как, возможно, кто-то из читателей, уже знакомых с квантовой теорией и с теми занимательными головоломками, которые я определил выше как Z-загадки, пожелает попробовать свои силы (интеллектуальные, разумеется) в отыскании этого самого решения. Достаточно будет сказать, что решение существует и даже, при неограниченном запасе бомб такого рода, не выходит за рамки современных технических возможностей. Тех же, кто в квантовой теории пока не сведущ (либо просто не склонен тратить время на поиски решения), я прошу потерпеть еще некоторое время (или, если хотите, можете сразу заглянуть в §5.9). Всему свое время — сначала я попытаюсь объяснить некоторые фундаментальные квантовые идеи, а затем приведу решение.

На данном этапе рассуждения необходимо лишь отметить: одно то, что эта задача имеет-таки решение (квантовомеханическое), уже указывает на глубинное различие между квантовой и классической физикой. При классическом подходе выяснить, не заклинило ли детонатор бомбы, можно только посредством приложения к нему какого-либо реального физического усилия (при этом, если детонатор исправен, бомба взрывается, и эксперимент считается благополучно проваленным). В рамках квантовой теории возможны и иные варианты — например, физический эффект, являющийся результатом того, что к детонатору могло быть приложено усилие, в то время как в действительности ничего подобного не произошло. В этом, собственно, и состоит одна из наиболее любопытных особенностей квантовой теории: реальный физический эффект здесь вполне может являться результатом контрфактуальных (как говорят философы) действий, т.е. действий, которые могли произойти, хотя на деле и не произошли. При рассмотрении следующей Z-загадки мы убедимся, что контрфактуальность играет далеко не последнюю роль и в ситуациях иного рода.

5.3. Магические додекаэдры

В качестве предисловия к нашей второй Z-загадке позвольте мне рассказать вам небольшую историю, не лишенную, впрочем, некоторой головоломности^{62}. Представьте себе, получил я не так давно по почте замечательно выполненный правильный додекаэдр (рис. 5.2). Отправитель — компания «Квинтэссенциальные Товары», предприятие с превосходной репутацией и штаб-квартирой на одной из планет далекого красного гиганта, известного нам под названием Бетельгейзе. Точно такой же додекаэдр они отослали и моему коллеге, который в настоящий момент проживает на планете, обращающейся вокруг альфы Центавра, что приблизительно в четырех световых годах отсюда. Мне также стало известно, что его додекаэдр прибыл к нему примерно в то же время, что и мой ко мне. На каждой вершине обоих додекаэдров имеется по кнопке. Нам с коллегой предлагается нажимать кнопки на наших додекаэдрах — по одной за раз. Выбор кнопок, порядок и время их нажатия оставлены целиком и полностью на наше усмотрение. Иногда при нажатии кнопки ничего не происходит, в каковом случае нам следует перейти к следующей кнопке. Может, впрочем, произойти следующее событие: зазвенит звонок, за чем последует впечатляющий фейерверк, сопровождающийся полным разрушением данного конкретного додекаэдра.

Рис. 5.2. Магический додекаэдр. У моего коллеги из системы альфы Центавра есть точно такой же. На каждой из вершин имеется кнопка. Результатом нажатия на какую-либо из кнопок может стать звонок и впечатляющий фейерверк. (FRAGILE = HE БРОСАТЬ; Quintessential Trinkets = Квинтэссенциальные Товары; Guarantee = Гарантии)

В коробку вместе с каждым додекаэдром был вложен перечень свойств, гарантированно присущих как моему додекаэдру, так и додекаэдру моего коллеги. Прежде всего нам следует очень тщательно расположить наши додекаэдры в пространстве таким образом, чтобы они были сориентированы совершенно одинаково. «Квинтэссенциальные Товары» предоставили и подробные инструкции, описывающие, как именно нужно располагать наши додекаэдры относительно, скажем, центров Туманности Андромеды и галактики M-87 и т.д. Самое главное здесь — добиться полной идентичности в ориентации наших двух додекаэдров. Перечень гарантированных свойств достаточно обширен, но нам понадобятся лишь некоторые из них, да и те довольно просты.

Следует учесть, что компания «Квинтэссенциальные Товары» производит подобные вещи уже очень долго — скажем, сотню миллионов лет или около того, — и никто никогда не смог уличить ее в том, что гарантированные ею свойства поставляемых устройств не соответствуют действительности. Эта надежность и составляет основу той безупречной репутации, которую компания поддерживает вот уже миллион столетий, поэтому мы можем быть совершенно уверены — если компания заявляет, что ее товар обладает тем или иным свойством, то так оно, безусловно, и есть. Более того, компания объявила, что выплатит некую ошеломительную ПРЕМИЮ любому, кто обнаружит-таки в гарантированных свойствах обман или ошибку, и никто пока за вознаграждением не обращался!

Нас с вами интересуют те из гарантированных свойств, которые касаются последовательности нажатия кнопок. Мы с коллегой независимо друг от друга выбираем одну из вершин своего додекаэдра. Такие вершины я буду называть ВЫБРАННЫМИ. Причем соответствующие кнопки мы не нажимаем. Вместо этого мы нажимаем по очереди (в любом порядке, как нам заблагорассудится) те три кнопки, что располагаются в вершинах, соседних с ВЫБРАННОЙ. Если при нажатии на одну из этих кнопок зазвенит звонок, то все операции с данным конкретным додекаэдром придется, разумеется, прекратить, однако он вполне может и не зазвенеть. Нам понадобятся следующие два свойства (см. рис. 5.3):

(a) если в качестве соответствующих ВЫБРАННЫХ вершин мы с коллегой вдруг выберем вершины диаметрально противоположные, то при одном из моих нажатий (на кнопки, соседние с ВЫБРАННОЙ вершиной) звонок может зазвенеть только в том случае, если он звенит при нажатии моим коллегой кнопки при диаметрально противоположной вершине, — независимо от порядка, в каком нам заблагорассудится упомянутые кнопки нажимать;

(б) если же в качестве соответствующих ВЫБРАННЫХ вершин мы с коллегой выберем одинаковые вершины (т.е. те, направления на которые из центров додекаэдров совпадают), звонок должен зазвенеть при нажатии, по крайней мере, на одну кнопку из наших общих шести.

Рис. 5.3. Свойства додекаэдров, гарантируемые компанией «Квинтэссенциальные Товары», (а) Если мы с коллегой ВЫБИРАЕМ противоположные вершины додекаэдра, то звонок может зазвенеть только при нажатии диаметрально противоположных кнопок, независимо от порядка нажатия, (б) Если мы ВЫБИРАЕМ одинаковые вершины, то при нажатии какой-то из шести кнопок звонок непременно зазвенит.

Теперь я попробую сделать кое-какие выводы о правилах, которым должен подчиняться мой додекаэдр (независимо от того, что там происходит на альфе Центавра), на основании того простого факта, что «Квинтэссенциальные Товары» оказываются каким-то образом способны давать столь нерушимые гарантии, не имея ни малейшего представления о том, какие именно кнопки мне или моему коллеге придет в голову нажать. В качестве ключевого допущения предположим, что никакой дальнодействующей «связи» между моим додекаэдром и додекаэдром моего коллеги нет. Будем считать, что после того, как наши додекаэдры покинули «сборочный цех», они существуют раздельно и совершенно независимо друг от друга. Выводы следующие (рис. 5.4):

(в) каждая из кнопок при вершинах моего додекаэдра заведомо является либо звонком (обозначим такие вершины БЕЛЫМ цветом), либо пустышкой (обозначим ЧЕРНЫМ), при этом ее «звонковость» никак не зависит от того, нажимаю я ее первой, второй или третьей из кнопок при вершинах, соседних с ВЫБРАННОЙ;

(г) две «следующие соседние» кнопки не могут обе быть звонками (т.е. БЕЛЫМИ кнопками);

(д) никакой набор из шести кнопок при вершинах, соседних с двумя антиподальными вершинами, не может состоять из одних пустышек (т.е. ЧЕРНЫХ кнопок)

(Антиподальными я здесь называю диаметрально противоположные вершины одного додекаэдра.)

Рис. 5.4. Предположим, что наши додекаэдры представляют собой независимые (никак не связанные друг с другом) объекты. Тогда каждая кнопка на моем додекаэдре заведомо является либо звонком (БЕЛЫЕ кнопки), либо пустышкой (ЧЕРНЫЕ кнопки), при этом две соседние кнопки не могут обе быть БЕЛЫМИ, и никакой набор из шести кнопок при вершинах, соседних с двумя антиподальными вершинами, не может состоять из одних ЧЕРНЫХ кнопок.

Утверждение (в) мы выводим из того факта, что вполне может случиться так, что мой коллега выберет в качестве ВЫБРАННОЙ вершины вершину, диаметрально противоположную моей ВЫБРАННОЙ вершине; по крайней мере, «Квинтэссенциальным Товарам» неоткуда узнать заранее, что он ее не выберет (вот она, контрфактуальность!). Таким образом, если в результате какого-либо из моих нажатий зазвенит звонок, то кнопка при диаметрально противоположной вершине додекаэдра моего коллеги (если он нажмет ее первой из трех) тоже должна быть звонком. Так должно быть вне зависимости от того, в каком порядке я решил нажимать свои собственные три кнопки, а значит (исходя из допущения об отсутствии «связи» между додекаэдрами), мы с полной уверенностью можем сказать, что «Квинтэссенциальные Товары» изначально сделали кнопку при этой конкретной вершине звонком (в каком бы порядке я ни нажимал на свои кнопки), дабы избежать противоречия со свойством (а).

Аналогичным образом, из свойства (а) выводится утверждение (г). Предположим, что обе кнопки при двух следующих соседних вершинах являются звонками. Какую бы из этих кнопок я ни нажал первой, зазвенит звонок. Предположим теперь, что ВЫБРАННОЙ вершиной я назначил вершину, соседнюю им обеим. В этом случае порядок, в котором я нажимаю на свои кнопки, уже имеет значение, что противоречит свойству (а), если ВЫБРАННАЯ вершина додекаэдра моего коллеги противоположна ВЫБРАННОЙ вершине моего додекаэдра (а уж возможность такого совпадения «Квинтэссенциальные Товары» наверняка должны были учесть).

Наконец, учитывая то, что мы уже выяснили, мы легко выведем утверждение (д) из свойства (б). Предположим, что мы с коллегой выбираем в качестве ВЫБРАННЫХ одинаково расположенные вершины своих додекаэдров. Если ни одна из моих трех кнопок, соседних с ВЫБРАННОЙ вершиной, не является звонком, то, согласно (б), звонком должна оказаться одна из трех соответствующих кнопок на додекаэдре моего коллеги. Из (а) следует, что кнопка моего додекаэдра, противоположная звонку на додекаэдре моего коллеги, также должна быть звонком. Получается (д).

А теперь, собственно, головоломка. Попробуйте окрасить каждую вершину додекаэдра в БЕЛЫЙ или ЧЕРНЫЙ цвет, строго следуя правилам (г) и (д). Очень скоро вы обнаружите, что как бы вы ни старались, ничего хорошего из этого не получается. В таком случае вот вам головоломка получше: докажите, что раскрасить вершины додекаэдра таким образом невозможно. Для того, чтобы дать всякому достаточно заинтригованному читателю шанс найти решение самостоятельно, я скромно помолчу до Приложения B, где и приведу свое (боюсь, не очень изящное) доказательство того, что подобная раскраска действительно невозможна. Может быть, кому-то из читателей придет в голову что-нибудь более остроумное.

Неужели? Неужели, впервые за миллион столетий, «Квинтэссенциальные Товары» допустили наконец ошибку? Убедившись, что раскрасить вершины моего додекаэдра в соответствии с правилами (в), (г) и (д) невозможно, и ни на секунду не забывая о величине ожидающей нас ПРЕМИИ, мы, подпрыгивая на месте от нетерпения, ждем четыре (приблизительно) долгих года, по истечении которых приходит сообщение от моего коллеги, в котором подробно описано, какие он нажимал кнопки и когда, и не звенел ли звонок в его додекаэдре. Ознакомившись с сообщением, мы впадаем в уныние, а все наши надежды на ПРЕМИЮ тают как снег в жаркий день, потому что «Квинтэссенциальные Товары» снова подтвердили свою безупречную репутацию!

Рассуждения, приведенные в Приложении B, однозначно демонстрируют, что в рамках любой классической модели просто-напросто не существует способа построить магические додекаэдры, обладающие теми свойствами, на которые «Квинтэссенциальные Товары» с такой легкостью выдают безусловную гарантию, — не существует, если исходить из допущения, что по окончании сборки два додекаэдра представляют собой абсолютно отдельные, никак не связанные друг с другом объекты. Ибо никто не в состоянии гарантировать наличие у двух додекаэдров требуемых свойств (а) и (б) без того, чтобы эти додекаэдры не были неким таинственным образом «связаны» друг с другом. По крайней мере, в тот момент, когда мы начинаем нажимать на кнопки, эта «связь» должна наличествовать — кроме того, природа ее такова, что передача сигнала на расстояние около четырех световых лет осуществляется, по всей видимости, мгновенно. И все же «Квинтэссенциальные Товары» почему-то считают для себя возможным предоставлять такие гарантии — гарантии невозможного! — и никто до сих пор не смог уличить их в ошибке.

В чем же здесь подвох? Как «Квинтэссенциальные Товары» — или «КТ», эта аббревиатура хорошо известна многим их клиентам — умудряются проделывать такие фокусы? Вы говорите, вам всегда казалось, что КТ — это квантовая теория? Пусть так, не буду спорить. Так вот, что делают «КТ» — они просто берут и подвешивают в центре каждого из наших додекаэдров по одному атому, спин которого равен 3/2, ни больше ни меньше. Эти два атома производятся на Бетельгейзе изначально вместе (общий спин пары равен 0), а затем аккуратно разделяются и помещаются в центры двух додекаэдров; общий спин связанной пары атомов при этом так и остается равным 0. (О том, что все это означает, мы поговорим в §5.10.) В результате, когда я нажимаю кнопку при одной из вершин своего додекаэдра (то же относится и к моему коллеге с его додекаэдром), производится некое измерение спина (неполное) в направлении от центра додекаэдра к данной конкретной вершине. Если результат измерения оказывается утвердительным, то звенит звонок, и через некоторое время додекаэдр рассыпается замечательным фейерверком. Более подробно о природе этого измерения я расскажу позднее (см. §5.18), а также покажу в §5.18 и Приложении B, почему правила (а) и (б) являются следствием из стандартных правил квантовой механики.

Замечательный вывод, который из всего этого следует, заключается в том, что допущение об отсутствии дальнодействующей «связи» между додекаэдрами к квантовой теории неприменимо!. На пространственно-временной диаграмме (рис. 5.5) хорошо видно, что наши с коллегой нажатия на кнопки представляют собой пространственноподобно разделенные события (см. §4.4): согласно теории относительности, никакой обмен сигналами, передающими информацию о том, какие кнопки мы нажимаем или какие кнопки (на моей или на его стороне) окажутся в действительности звонками, между нами невозможен. Квантовая же теория, напротив, вполне допускает существование некоей «связи», соединяющей наши додекаэдры через пространственноподобно разделенные события. Вообще говоря, эту «связь» нельзя использовать для передачи непосредственно «пригодной к употреблению» информации, и в этом смысле никакого операционного конфликта между специальной теорией относительности и квантовой теорией нет. Имеет место лишь конфликт с духом специальной теории относительности — что, собственно, и является превосходной иллюстрацией одной из наиболее глубоких Z-загадок квантовой теории, феномена квантовой нелокальности. Два атома в центрах наших додекаэдров образуют сцепленное состояние, и, согласно правилам стандартной квантовой теории, их нельзя считать отдельными независимыми объектами.

Рис. 5.5. Пространственно-временная диаграмма истории двух додекаэдров. Прибытие моего додекаэдра на Землю и прибытие додекаэдра моего коллеги на альфу Центавра — пространственноподобно разделенные события.

5.4. Z-загадки ЭПР-типа: экспериментальный статус

Вышеприведенный эксперимент (мысленный, конечно же) относится к классу так называемых ЭПР-измерений, впервые описанных в знаменитой статье Альберта Эйнштейна, Бориса Подольского и Натана Розена, опубликованной в 1935 году [113] (отсюда и название; подробнее об ЭПР-эффектах мы поговорим в §5.17). В оригинальном варианте статьи речь шла, правда, не о спине, а об определенных комбинациях положения и импульса. Впоследствии Дэвид Бом включил в рассмотрение и спины — на примере пары частиц со спином 1/2 (скажем, электронов), испускаемых из некоего источника в связанном состоянии со спином 0. На первый взгляд, из этих мысленных экспериментов следует, что измерение, произведенное в некоторой точке пространства на одной из частиц, составляющих квантовую пару, может мгновенно оказать некое весьма специфическое «воздействие» на другую частицу пары, причем эта другая частица может находиться на произвольно большом расстоянии от первой частицы. Впрочем, этим «воздействием» нельзя воспользоваться для передачи сколько-нибудь полезного послания от одной частицы к другой. В терминах квантовой теории говорят, что такие две частицы находятся в состоянии сцепленности друг с другом. Феномен квантовой сцепленности — истинная Z-загадка — был впервые отмечен Эрвином Шрёдингером [335].

Много позже Джон Белл в своей знаменитой теореме (1966, [21]) показал, что совместные вероятности различных измерений спина, производимых на любой паре сцепленных частиц, связаны определенными математическими соотношениями (известными ныне как неравенства Белла), с необходимостью следующими из того, что упомянутые частицы представляют собой отдельные независимые друг от друга сущности — каковыми они, собственно, и являются с точки зрения обыкновенной классической физики. Однако в квантовой теории эти соотношения могут нарушаться, причем весьма специфическим образом. Следовательно, открывается возможность для проведения реальных экспериментов с целью выяснить, наконец, действительно ли в реальных физических системах эти соотношения нарушаются, как утверждает квантовая теория, или же мы пока можем положиться на классическое представление, согласно которому пространственно разделенные объекты никоим образом не могут влиять друг на друга, а неравенства Белла с необходимостью выполняются. (Соответствующие примеры можно найти в НРК, с. 284,301.)

В качестве наглядного примера того, чего не следует искать в понятии сцепленности, Джон Белл любил приводить носки Бертлмана. Бертлманом звали его коллегу, который неизменно появлялся на людях в носках разного цвета. Об этой причуде Бертлмана знали все. (Я сам встречал Бертлмана однажды, и на основании собственных наблюдений могу подтвердить: носки его действительно были разного цвета.) Таким образом, если кому-нибудь случалось заметить, что, скажем, левый носок Бертлмана сегодня, скажем, зеленого цвета, то этот кто-то мгновенно обретал знание о том, что правый носок Бертлмана зеленым не является. Тем не менее, вряд будет разумным сделать отсюда вывод, что левый носок Бертлмана способен неким таинственным образом оказывать мгновенное воздействие на правый носок Бертлмана. Эти два носка представляют собой независимые друг от друга объекты, и для того, чтобы «свойство отличия носков» всегда выполнялось, нет никакой нужды прибегать к услугам «Квинтэссенциальных Товаров». Такой эффект может быть легко организован силами самого Бертлмана, который возьмет себе за правило всегда, что бы ни случилось, надевать на ноги разные по цвету носки. Носки Бертлмана не вступают в противоречие с неравенствами Белла; никакой дальнодействующей «связи» между носками нет. Однако в случае магических додекаэдров производства «КТ» никакая «бертлмано-носочная» трактовка не в состоянии объяснить гарантированные свойства фигур. Именно в этом, собственно, и заключалась главная мысль предыдущего параграфа.

Через несколько лет после опубликования работы Белла был предложен^{63} и впоследствии проведен^{64} ряд натурных экспериментов. Кульминационным стал знаменитый парижский эксперимент Алена Аспекта (совместно с группой коллег, 1981), в рамках которого исследовалось поведение фотонов, образующих «сцепленную» пару(см. §5.17): фотоны излучались в противоположных направлениях и улавливались детекторами, разнесенными на расстояние приблизительно 12 метров. Эксперимент блестяще оправдал возложенные на него надежды, установив физическую реальность Z-загадок ЭПР-типа (в полном соответствии с предсказанием стандартной квантовой теории) — и нарушив все, какие только можно, неравенства Белла (рис. 5.6).

Рис. 5.6. ЭПР-эксперимент Алена Аспекта и его коллег. Пары фотонов в сцепленном состоянии испускаются из источника. Решение о том, с какой стороны от источника измерять поляризацию фотона, принимается уже после того, как фотоны устремляются в разных направлениях, — исключая возможность передачи «сообщения» об этом решении от одного фотона другому.

Следует, впрочем, упомянуть, что несмотря на весьма хорошее согласие между результатами эксперимента Аспекта и предсказаниями квантовой теории, до сих пор есть еще физики, отнюдь не считающие, что эти результаты как-то подтверждают существование феномена квантовой нелокальности. Они указывают на то, что детекторы фотонов в эксперименте Аспекта (и в прочих подобных опытах) не обладали достаточной чувствительностью, вследствие чего большую часть испущенных пар фотонов экспериментаторы в конечном итоге просто упустили. Последующая аргументация неизбежно приводит к следующему: если чувствительность детекторов повысить до некоторой пороговой степени, то пресловутое превосходное согласие между результатами наблюдений и предсказаниями квантовой теории рассеется как дым, немедленно восстановив в правах все те соотношения, которые, согласно Беллу, должны выполняться в любой локальной классической системе. Мне представляется крайне маловероятным, что то практически идеальное согласие квантовой теории и эксперимента, которое демонстрирует эксперимент Аспекта (см. рис. 5.7), окажется вдруг артефактом — более того, следствием недостаточной чувствительности детекторов. Еще менее правдоподобным выглядит предположение о том, что более совершенные детекторы каким-то образом это согласие ослабят — причем ослабят до такой степени, что можно будет говорить о справедливости в данном случае неравенств Белла^{65}.

Рис. 5.7. Результаты эксперимента Аспекта очень хорошо согласуются с предсказаниями квантовой теории — и совершенно не вписываются в классические неравенства Белла. Неясно, каким образом более совершенные детекторы могут этому согласию помешать.

Первоначально Белл получил соотношения между совместными вероятностями различных возможных событий (неравенства Белла). Для того чтобы оценить действительные вероятности событий в рамках того или иного физического эксперимента, необходимо прежде накопить достаточный объем результатов наблюдений, а затем подвергнуть их соответствующему статистическому анализу. Не так давно был предложен ряд альтернативных проектов экспериментов (гипотетического характера), построенных исключительно на принципе «да/нет» и не нуждающихся в каком бы то ни было учете вероятностей. Первый из этих недавних проектов, разработанный в 1989 году Гринбергером, Хорном и Цайлингером [170], включает в себя измерение спина на частицах со спином 1/2 в трех отдаленных друг от друга точках (скажем, на Земле, на альфе Центавра и на Сириусе — на случай, если этим проектом вдруг заинтересуются «Квинтэссенциальные Товары»). Ранее (в 1967 году) очень похожую идею выдвинули Кохен и Спекер [225], только они предполагали использовать частицы со спином 1 и чрезвычайно сложные геометрические конфигурации; да и сам Белл еще в 1966 году также работал над чем-то подобным, хотя и не столь конкретным [21]. (Эти ранние исследования, разумеется, не формулировались сразу в терминах ЭПР-феноменов; соответствующая переформулировка была предложена в 1983 году Хейвудом и Редхедом [197], см. также [358]^{66}.) Приведенный выше пример с додекаэдрами хорош тем, что его геометрия весьма проста и легко представима визуально^{67}. (Предлагались также эксперименты для изучения феноменов, эквивалентных уже упомянутым примерам Z-загадок, но иных физически; [394].)

5.5. Фундамент квантовой теории: исторический экскурс

Каковы же фундаментальные принципы квантовой механики? Прежде чем мы перейдем непосредственно к поискам ответа на этот вопрос, я хотел бы пригласить читателя на небольшую историческую экскурсию с целью проследить происхождение двух важнейших математических ингредиентов современной квантовой теории. При этом выяснятся совершенно замечательные (и малоизвестные широкой публике) вещи: во-первых, оба этих ингредиента появились, причем независимо друг от друга, еще в XVI веке, а во-вторых, придумал их один и тот же человек!

Человек этот. Джероламо Кардано (рис. 5.8), родился 24 сентября 1501 года в итальянском городе Павия, стал, помимо прочего, лучшим и известнейшим врачом своего времени и умер 20 сентября 1576 года в Риме. Несмотря на то. что его жизнь представляет собой один сплошной скандал (начиная с того, что союз его родителей не был освящен церковью, и заканчивая арестом и заключением в тюрьму уже самого Кардано на закате его жизни), он был человеком выдающегося ума и личных качеств, о чем, к сожалению, сегодня мало кому известно. Надеюсь, читатель простит меня, если я ненадолго отвлекусь от собственно квантовой механики и коротко расскажу об этом неординарном человеке.

Рис. 5.8. Джероламо Кардано (1501-1576). Выдающийся врач, изобретатель, игрок, писатель и математик. Первооткрыватель комплексных чисел и теории вероятности — фундаментальных составляющих современной квантовой теории.

В самом деле, в квантовой механике он совершенно неизвестен — зато его имя (все лучше, чем ничего) хорошо знакомо автомеханикам. Карданным валом называется универсальное устройство, соединяющее коробку передач автомобиля с его задними колесами и обеспечивающее гибкость, необходимую для поглощения переменного вертикального движения подрессоренной задней оси. Прототип этого изобретения Кардано создал приблизительно в 1545 году, а в 1548 уже смог встроить его в шасси кареты, предназначенной для императора Карла V, что весьма скрасило тому путешествия по разбитым ухабистым дорогам. Кардано изобрел и многие другие полезные вещи — например, кодовый замок, аналогичный тем, что используются в современных сейфах. Как врач, Кардано достиг широчайшей известности, среди его пациентов были короли и принцы. Он совершил множество открытий в медицине и написал немало книг на медицинские и другие темы. По всей видимости, именно Кардано первым указал, что такие венерические болезни, как сифилис и гонорея, представляют собой разные болезни и требуют, соответственно, различного лечения. Он же первым предложил лечить больных туберкулезом «санаторно» — на 300 лет раньше Джорджа Боддингтона, который в 1830 году, в сущности, «переоткрыл» уже известное. В 1552 году Кардано вылечил Джона Гамильтона, архиепископа Шотландского, страдавшего астмой в тяжелой форме, — и оказал тем самым серьезное влияние на историю Британии.

Какое же отношение все эти впечатляющие достижения имеют к квантовой теории? Совершенно никакого, разве что демонстрируют широту ума человека, которому мы фактически обязаны открытием двух наиболее фундаментальных составляющих этой самой теории, причем открытия эти никак одно с другим не связаны. Кардано был выдающимся врачом и выдающимся изобретателем, однако этими областями деятельности он не ограничивался — он был еще и выдающимся математиком.

Первая из упомянутых составляющих — теория вероятностей. Как известно, квантовая теория является теорией скорее вероятностной, нежели детерминистской. Сами ее правила фундаментально обусловлены вероятностными законами. В 1524 году Кардано написал свою «Книгу об азартных играх» («Liber de Ludo Aleae»), где заложил основы математической теории вероятностей. Описанные в книге законы Кардано сформулировал несколькими годами ранее и не преминул ими воспользоваться. Применение свежеоткрытых законов на практике (а вот и выдающийся игрок!) принесло ему достаточно денег для того, чтобы заплатить за обучение в медицинской школе в Павии. По всей видимости, Кардано с самых юных лет знал, что зарабатывать деньги шулерством — занятие весьма рискованное, поскольку именно в результате подобной деятельности был убит бывший муж его матери. Джероламо же обнаружил, что, используя открытые им законы, управляющие самим случаем, выигрывать можно вполне честно.

Вторая фундаментальная составляющая квантовой теории, открытая Кардано, — понятие комплексного числа. Комплексным называется число вида

a + ib,

где под i понимается квадратный корень из минус единицы,

i = √-1

а a и b суть обычные вещественные числа (т.е. числа, которые можно представить в виде десятичных дробей). Сегодня мы называем число a вещественной частью комплексного числа a + ib, а число b — его мнимой частью. На эти странные числа Кардано наткнулся, пытаясь отыскать способ решения общего кубического уравнения. Кубическими называются уравнения вида

Ax³ + Bx² + Cx + D = 0,

где A, B, C и D — некоторые заданные вещественные числа, а уравнение следует решать относительно x. В 1545 году Кардано опубликовал трактат под названием «Ars magna»[34], где и привел первый полный анализ решения таких уравнений.

С публикацией этого решения связана пренеприятнейшая история. Еще в 1539 году учитель математики Николо Фонтана, более известный по прозвищу Тарталья (что в переводе с итальянского означает «заика»), отыскал общее решение для некоторого широкого класса кубических уравнений. Тогда же Кардано подослал к нему одного своего приятеля, чтобы тот выведал у Тартальи, как выглядит это решение. Тарталья, однако, не пожелал о нем говорить, вследствие чего Кардано засел за работу и вскоре обнаружил искомое решение самостоятельно, опубликовав результат в 1540 году в своей книге «Практическая арифметика и простые измерения». Более того, Кардано удалось распространить свое решение на все возможные случаи; позднее Кардано описал этот общий аналитический метод решения в «Ars magna». В обеих книгах Кардано указывал на первенство Тартальи в отыскании решения для того класса случаев, где это решение применимо, однако в «Ars magna» он допустил ошибку, утверждая, что Тарталья дал ему разрешение на публикацию. Узнав об этом, Тарталья пришел в ярость и заявил, что он сам однажды рассказал Кардано (будучи у него в доме по какому-то делу) о своем решении, взяв с хозяина клятву, что тот никому и ни при каких обстоятельствах это решение не откроет. Как бы то ни было, Кардано оказался в непростой ситуации: публикуя свое решение, обобщающее ранее полученное решение Тартальи, он тем самым неизбежно раскрывал «тайну» этого частного случая. Единственным выходом, по всей видимости, было бы полное замалчивание уже полученных результатов и прекращение каких бы то ни было исследований в этой области — и вряд ли Кардано пошел бы на такое. Тарталья, однако, затаил на Кардано обиду и выжидал вплоть до 1570 года. Именно тогда, воспользовавшись тем, что репутация Кардано оказалась серьезно подмочена в силу других скандальных обстоятельств, Тарталья и нанес завершающий удар, приведший в конечном итоге к унижению и смерти Кардано. В тесном сотрудничестве с Инквизицией Тарталья собрал огромную коллекцию всевозможных улик против Кардано и лично организовал его арест и заключение под стражу. Освободили Кардано только в 1571 году, после того, как в Рим прибыл особый посланник от архиепископа Шотландского (которого, как мы помним, Кардано вылечил от астмы) с прошением об освобождении узника — «ученого, пекущегося лишь о сохранении и исцелении тел, дабы души Господни проживали в них весь отпущенный им срок».

Вышеупомянутые «скандальные обстоятельства» включают в себя, в частности, суд над старшим сыном Кардано, Джованни Баттистой, по обвинению в убийстве. На суде Джероламо, рискнув своей репутацией, выступил с поручительством за сына. Это не принесло им обоим ничего хорошего, поскольку Джованни был-таки виновен — он убил жену (женился он, впрочем, не по своей воле), пытаясь прикрыть еще одно совершенное им же убийство. По всей видимости, убийство жены Джованни совершил по наущению и при содействии своего младшего брата Альдо (еще больший, как выясняется, негодяй: тогда же он предал Джованни, а позднее выдал собственного отца Инквизиции; наградой Альдо стало назначение его палачом Инквизиции в Болонье). Не способствовала восстановлению репутации Кардано и его дочь, которая умерла от сифилиса, приобретенного благодаря ее профессиональной деятельности — проституции.

Интересное упражнение в исторической психологии — попытаться понять, как же так вышло, что Джероламо Кардано, любящий, судя по всему, отец, преданный жене и детям, и вообще честный и чуткий человек, не лишенный высоких устремлений, воспитал столь недостойное потомство. Несомненно, от семейных забот его часто отвлекали другие интересы, многочисленные и требующие немалого времени. Несомненно, его более чем годичное (когда ему пришлось ехать в Шотландию для лечения архиепископа, хотя в первоначальной договоренности речь шла лишь о встрече в Париже) отсутствие дома после смерти жены очень неблагоприятно сказалось на детях. Несомненно также, что в смерти жены непосредственно повинна убежденность Кардано в том, что ему самому звезды предсказали смерть в 1546 году, — чем ближе к этому сроку, тем больше погружался Кардано в лихорадочные исследования и запись еще не записанного, совершенно позабыв не только о детях, но и о жене, что и свело ее (а не его) в могилу к концу того самого года.

Сегодня Кардано известен гораздо меньше, чем он того заслуживает, и истоки этого забвения, как я подозреваю, кроются в его злосчастной судьбе и безнадежно запятнанной (совместными стараниями его детей, Инквизиции и — в особенности — Тартальи) репутации. В моей же личной «табели о рангах» он безоговорочно принадлежит к величайшим фигурам эпохи Возрождения. Несмотря на то, что Джероламо рос в бедности, на формирование его личности очень большое влияние оказала царившая в доме атмосфера стремления к знаниям. Его отец, Фацио Кардано, был увлечен геометрией; Джероламо вспоминал, как однажды, когда он был еще ребенком, отец взял его с собой в гости к Леонардо да Винчи и как взрослые засиделись за полночь, обсуждая какие-то геометрические задачи.

Что же касается опубликования Кардано раннего результата Тартальи и некорректного, мягко говоря, утверждения, что последний эту публикацию разрешил, то, думаю, большего уважения все же заслуживает желание сделать свое открытие достоянием общественности, нежели стремление утаить новые знания. Разумеется, Тарталью тоже можно понять — от сохранения открытий в тайне зависел, до некоторой степени, его достаток (особенно если учесть, что Тарталья являлся завсегдатаем публичных математических состязаний), однако именно трактат Кардано, включающий решение Тартальи в качестве частного случая, оказал серьезное и долговременное влияние на развитие математической науки. Более того, раз уж мы затронули вопрос первенства, то оно, судя по всему, принадлежит и вовсе третьему ученому — Сципионе дель Ферро, преподававшему в Болонском университете вплоть до своей смерти в 1526 году. Во всяком случае, в записях дель Ферро имеется то решение, которое позднее заново открыл Тарталья, хотя остается неясным, понимал ли дель Ферро, каким образом это решение можно модифицировать для описания случаев, рассмотренных Кардано в «Ars magna»; отсутствуют также какие бы то ни было свидетельства в пользу того, что дель Ферро добрался до концепции комплексных чисел.

Для того чтобы понять, в чем заключается фундаментальность вклада Кардано, рассмотрим решение кубического уравнения более подробно. Воспользовавшись подстановкой x↣x + a, нетрудно свести общее кубическое уравнение к виду

x³ = px + q,

где p и q — вещественные числа. С такой подстановкой математики XVI века были прекрасно знакомы. Однако если вспомнить о том, что числа, которые мы сегодня называем отрицательными, в те времена далеко не все считали «настоящими» числами, то можно предположить, что во избежание появления в окончательном уравнении отрицательных чисел, получаемые в результате уравнения имели несколько иной вид — в зависимости от знака при p и q (например, x³ + p'x = q или x³ + q' = px). Чтобы не усложнять рассуждения без необходимости, я буду в дальнейшем придерживаться современного способа записи.

Решения вышеприведенного кубического уравнения можно представить графически. Для этого построим кривые y = x³ и y = px + q и отметим точки их пересечения. Координаты x этих точек и будут искомыми решениями уравнения. Обратите внимание на рис. 5.9: функция y = x³ представлена в виде кривой, а для прямой y = px + q показаны несколько возможных вариантов. (Мне неизвестно, использовали ли Кардано или Тарталья такое графическое представление, хотя это вполне возможно. Здесь я использую его исключительно для удобства рассмотрения различных возможных случаев.) Те случаи, для которых годилось решение Тартальи, соответствуют в наших обозначениях прямым с отрицательным (или нулевым) p. В этих случаях прямая «опускается» слева направо, типичный пример — прямая P на рис. 5.9. Отметим, что в таких случаях всегда существует только одна точка пересечения прямой и кривой, т.е. кубическое уравнение имеет лишь одно решение. В современных обозначениях мы можем записать решение Тартальи следующим образом:

где

Через p' мы здесь обозначаем —p; сделано это для того, чтобы все входящие в выражение величины оставались неотрицательными (число q также выбирается положительным).

Рис. 5.9. Решения кубического уравнения x³ = px + q могут быть получены графически в виде точек пересечения прямой y = px + q и кубической кривой y = x³. Случай Тартальи охватывает прямые с p ≤ 0 (на графике представлены убывающей прямой P), Кардано же описал и случаи с p> 0 (прямые Q и R). Casus irreducibilis — случай с тремя точками пересечения (прямая R). В этом случае при записи решения возникает нужда в комплексных числах.

Обобщение Кардано этой процедуры учитывает также случаи p> 0 и позволяет записать решения для этих случаев (при положительном p и отрицательном q; впрочем, знак при q погоды не делает). Соответствующие прямые «поднимаются» слева направо (обозначены на рисунке буквами Q и R). Мы видим, что при некотором заданном значении p (т.е. при заданном угле наклона) и достаточно большом (т.е. таком, чтобы прямая пересекала ось y в точке, расположенной достаточно высоко) q' (иначе говоря, —q) снова существует одно-единственное решение. Выражение Кардано для этого решения имеет вид (в современных обозначениях)

где

Вооружившись современными обозначениями и современной же концепцией отрицательного числа (а также учитывая тот факт, что кубический корень отрицательного числа равен отрицательному кубическому корню того же, но положительного числа), мы легко убеждаемся, что выражение Кардано, в сущности, идентично выражению Тартальи. Однако в случае Кардано в том же, казалось бы, выражении появляется нечто принципиально новое. Теперь при достаточно малом q' прямая может пересечь кривую в трех точках, т.е. у исходного уравнения окажется три решения (при p> 0 два из них отрицательны). Случай этот — так называемый casus irreducibilis[35] — возникает, когда (1/2 q')²< (1/3 p)³; нетрудно видеть, что w оказывается при этом квадратным корнем из отрицательного числа. Таким образом, числа 1/2 q' + w и 1/2 q' - w под знаком кубического корня в выражении Кардано являются не чем иным, как комплексными числами; сумма же этих двух кубических корней, если мы хотим получить решение уравнения, должна быть вещественным числом.

Это таинственное обстоятельство не избежало внимания Кардано, и позднее в «Ars magna» он отдельно обратился к вопросу, поставленному появлением комплексных чисел в решении уравнения, на примере задачи об отыскании двух чисел, произведение которых равно 40, а сумма равна 10. Эту задачу он решил (причем решил правильно), получив в качестве ответа два комплексных числа:

и

В графическом представлении задача сводится к отысканию точек пересечения кривой xy = 40 и прямой x + у = 10 (см. рис. 5.10). Отметим, что построенные на рисунке кривая и прямая нигде не пересекаются (в вещественных числах), что вполне согласуется с тем фактом, что для записи решения задачи требуются комплексные числа. Кардано эти новые числа в восторг отнюдь не приводили; он жаловался, что работа с ними «мучительна для разума». Тем не менее, изучая кубические уравнения, он вынужден был признать необходимость рассмотрения таких чисел.

Рис. 5.10. Задача Кардано об отыскании двух чисел, произведение которых равно 40, а сумма равна 10, может быть представлена графически как отыскание точек пересечения кривой xy = 40 и прямой x + y = 10. При этом становится очевидным, что в вещественных числах эта задача решения не имеет.

Следует отметить, что необходимость в комплексных числах при записи решения кубического уравнения (представленного графически на рис. 5.9) обусловлена причинами, значительно более загадочными, нежели появление таких чисел в задаче, изображенной на рис. 5.10 (задача эта, в сущности, эквивалентна задаче отыскания корней квадратного уравнения x² - 10x + 40 = 0). В последнем случае вполне очевидно, что без привлечения комплексных чисел задача не имеет решения вовсе, и ничто не мешает нам объявить введение таких чисел безосновательной выдумкой, затеянной исключительно ради того, чтобы снабдить хоть каким-то «решением» уравнение, в действительности решений не имеющее. Эта позиция, однако, не объясняет, что происходит в случае кубического уравнения. Здесь (casus irreducibilis или прямая R на рис. 5.9) уравнение действительно имеет три вещественных решения, отрицать существование которых невозможно, однако для того, чтобы выразить любое из этих решений даже в иррациональных числах (т.е. в квадратных и кубических корнях, как в данном случае), нам приходится забираться в таинственные дебри комплексных чисел, хотя окончательный результат и принадлежит миру чисел вещественных.

Похоже, что до Кардано никто в эти таинственные дебри не углублялся и не задумывался над тем, каким образом из них «произрастает» наш собственный «вещественный» мир. (Снаружи заглядывали — например, Герон Александрийский и Диофант Александрийский в первом и, соответственно, в третьем веках нашей эры, судя по некоторым свидетельствам, размышляли над идеей существования у отрицательного числа чего-то вроде «квадратного корня», однако ни один из них не набрался храбрости объединить такие «числа» с числами вещественными и прийти таким образом к понятию комплексного числа; не разглядели они и глубинной связи между своими «псевдочислами» и вещественными решениями уравнений.) Возможно, именно удивительное сочетание в одном человеке двух личностей — мистика и рационально мыслящего ученого — позволило Кардано уловить эти первые проблески того, что развилось позднее в одну из мощнейших математических концепций. В последующие годы, благодаря трудам Бомбелли, Коутса, Эйлера, Весселя, Арганда, Гаусса, Коши, Вейерштрасса, Римана, Леви, Льюи и многих других, теория комплексных чисел разрослась вглубь и вширь и занимает сегодня заслуженное место среди наиболее изящных и универсально применимых математических конструкций. Однако лишь с появлением в первой четверти двадцатого века квантовой теории мы осознали, какую странную и всепронизывающую роль играют комплексные числа в самой фундаментальной структуре того физического мира, в котором мы живем, — не знали мы прежде и том, насколько тесна связь между комплексными числами и вероятностями. Даже у Кардано не возникло (да и не могло возникнуть) ни малейшего подозрения о существовании таинственной глубинной связи между двумя величайшими его вкладами в математику — связи, которая образует самый фундамент материальной Вселенной на тончайшем из ее уровней.

5.6. Основные правила квантовой теории

Что же это за связь? Что объединяет комплексные числа и теорию вероятностей, имея результатом неоспоримо превосходное описание работы тончайших внутренних механизмов нашего мира? Грубо говоря, законы комплексного исчисления справедливы на очень тонком подуровне феноменов, тогда как вероятности играют свою роль на узком мостике, что соединяет тот тонкий подуровень с хорошо знакомым нам уровнем обыденного восприятия, — от такого «объяснения», разумеется, проку немного; для сколько-нибудь реального понимания нам понадобится нечто более существенное.

Рассмотрим для начала роль комплексных чисел. В силу самого их определения их очень сложно принять в качестве инструмента для описания действительной физической реальности. Наибольшая сложность заключается в том, что им, на первый взгляд, просто нет места на уровне тех феноменов, что мы способны непосредственно воспринимать, на уровне, где действуют классические законы Ньютона, Максвелла и Эйнштейна. Таким образом, для того, чтобы наглядно представить себе, как именно работает квантовая теория, необходимо (хотя бы предварительно) учесть, что физические процессы происходят на двух четко разделенных уровнях: квантовом подуровне, где как раз и играют свою странную роль комплексные числа, и классическом уровне привычных макроскопических физических законов. На квантовом уровне комплексные числа выглядят вполне естественно — однако вся эта естественность напрочь пропадает, случись им забрести на уровень классический. Я вовсе не хочу сказать, что между уровнем, на котором действуют квантовые законы, и уровнем классически воспринимаемых феноменов непременно должно наличествовать физическое разделение; давайте просто вообразим (пока), что такое разделение существует — это поможет понять смысл процедур, реально применяемых в квантовой теории. Вопрос о существовании такого физического разделения в действительности очень глубок, и мы попытаемся на него ответить несколько позднее.

Где же начинается квантовый уровень? Надо думать, квантовым называется уровень тех физических объектов, которые «достаточно малы» — например, молекулы, атомы, элементарные частицы. Впрочем, на физические расстояния это требование «малости» распространяется далеко не всегда. Эффекты квантового уровня могут возникать и на огромном удалении. Вспомним о четырех световых годах, разделяющих два додекаэдра в моей истории в §5.3, или о двенадцати метрах, разделяющих фотоны во вполне реальном эксперименте Аспекта (§5.4). Иначе говоря, квантовый уровень определяется не малым физическим размером, но чем-то более тонким, причем на данном этапе этой «формулировкой» лучше и ограничиться. Можно также приблизительно считать квантовым уровень, где мы рассматриваем очень малые изменения в энергии. Более подробно мы обсудим этот вопрос в §6.12.

Классическим же мы называем уровень, который мы, как правило, воспринимаем непосредственно. Здесь действуют законы классической физики, оперирующие вещественными числами, здесь имеют смысл самые обычные описания — например, те, что задают положение, скорость движения и форму футбольного мяча. Существует ли какая-либо реальная физическая граница между квантовым уровнем и уровнем классическим? Вопрос этот, как я только что отметил, очень глубок и тесно связан с трактовкой X-загадок, или квантовых парадоксов (см. §5.1). Поиск ответа мы отложим до лучших времен, а пока, просто из соображений удобства, будем рассматривать квантовый уровень отдельно от классического.

Какую фундаментальную роль играют комплексные числа на квантовом уровне? Возьмем для примера отдельную частицу — скажем, электрон. В классической картине мира электрон может занимать либо положение A, либо какое-нибудь другое положение B. Однако в квантовомеханическом описании перед тем же электроном открываются гораздо более широкие возможности. Он не только может занимать то или иное из указанных положений, он может находиться и в любом из ряда возможных состояний, занимая при этом (в некотором строгом смысле) оба положения одновременно! Обозначим через |A〉 состояние, в котором электрон занимает положение A, а через |B〉 — состояние, в котором электрон занимает положение B.[36] Тогда, согласно квантовой теории, электрону доступны следующие возможные состояния:

w|A〉 + z|B〉,

причем фигурирующие здесь весовые коэффициенты w и z представлены комплексными числами (и по крайней мере одно из них должно быть отлично от нуля).

Что это означает? Если бы весовые коэффициенты были неотрицательными вещественными числами, то можно было предположить, что записанная комбинация представляет собой, в некотором смысле, взвешенное вероятностное ожидание положения электрона, где w и z символизируют относительные вероятности нахождения электрона в положении, соответственно, A и B. Тогда отношение w : z даст отношение вероятности нахождения электрона в точке A к вероятности нахождения электрона в точке B. Таким образом, если этими двумя и исчерпываются доступные электрону положения, то мы получаем ожидание w/(w + z) для электрона в точке A и ожидание z/(w + z) для электрона в точке B. При w = 0 электрон определенно находится в точке B; при z = 0 ищите его в точке A, больше ему деться некуда. Если состояние электрона записывается как |A〉 + |B〉, это означает, что электрон может с равной вероятностью оказаться как в положении A, так и в положении B.

Однако числа w и z — комплексные, так что вышеприведенная интерпретация не имеет никакого смысла. Отношения квантовых весовых коэффициентов w и z не являются отношениями вероятностей. Это невозможно хотя бы потому, что вероятности всегда выражаются вещественными числами. Несмотря на широко распространенное мнение о вероятностной природе квантового мира, на квантовом уровне не действует карданова теория вероятностей. А вот его таинственная теория комплексных чисел пришлась здесь как нельзя более кстати — именно она лежит в основе математически точного и абсолютно безвероятностного описания процессов, протекающих на квантовом уровне.

Пользуясь привычным и понятным языком, невозможно объяснить, что «означает» фраза «в данный момент времени электрон находится в состоянии суперпозиции двух положений с комплексными весовыми коэффициентами w и z». На настоящем этапе нам придется просто принять все это как должное; именно такими описаниями мы и вынуждены довольствоваться при рассмотрении квантовых систем. Такие суперпозиции, как сообщают естествоиспытатели, играют важную роль в действительной конструкции нашего микромира. Квантовый мир на самом деле ведет себя именно таким необычным и непостижимым образом, а нам повезло набрести на этот простой факт. А от фактов никуда не уйти — имеющиеся в нашем распоряжении описания, в соответствии с которыми эволюционирует микромир, действительно являются не только математически точными, но и, более того, целиком и полностью детерминированными!

5.7. Унитарная эволюция U

Таким детерминированным описанием является, например, унитарная эволюция (обозначим ее буквой U). Эта эволюция описывается точными математическими уравнениями, однако нам не так уж важно знать, как именно эти уравнения выглядят. Нам понадобятся лишь некоторые из свойств эволюции U. В так называемом «шрёдингеровом представлении» U задается уравнением Шрёдингера, которое характеризует скорость изменения квантового состояния (или волновой функции) во времени. Это квантовое состояние (обычно обозначаемое греческой буквой ψ, или так: |ψ〉) представляет собой полную взвешенную сумму (с комплексными весовыми коэффициентами) всех возможных альтернатив, доступных данной квантовой системе. Таким образом, для приведенного выше примера с двумя альтернативными положениями электрона квантовое состояние \гр) записывается в виде следующей комбинации комплексных чисел:

|ψ〉 = w|A〉 + z|B〉,

где w и z — комплексные числа (причем хотя бы одно из них не равно нулю). Комбинацию w|A〉 + z|B〉 мы называем линейной суперпозицией состояний |A〉 и |B〉. Величина |ψ〉 (равно как и |A〉 или |B〉) часто называется вектором состояния. Квантовые состояния (или векторы состояния) могут записываться и в более общем виде — например, так:

|ψ〉 = u|A〉 + v|B〉 + w|C〉 + … + z|F〉,

где u, v, …, z — комплексные числа (причем хотя бы одно из них не равно нулю), а |A〉, |B〉, …, |F〉 символизируют различные возможные положения, которые может занимать частица (или какое-либо иное возможное свойство частицы — например, ее спиновое состояние; см. §5.10). Обобщая далее, можно допустить выражение волновой функции или вектора состояния в виде бесконечной суммы (поскольку число положений, которые может занимать точечная частица, бесконечно велико); впрочем, подобные случаи нас пока не занимают.

Здесь необходимо упомянуть об одной технической особенности квантового формализма. Дело в том, что значимыми являются только отношения комплексных весовых факторов. Подробнее об этом я расскажу позднее. А пока мы просто отметим, что для любого отдельно взятого вектора состояния |ψ〉 верно следующее: любое комплексное кратное u|ψ〉 (где u≠ 0) описывает то же самое физическое состояние, что и |ψ〉. Таким образом, например, физические состояния uw|A〉 + uz|B〉 и w|A〉 + z|A〉 совершенно идентичны. Соответственно, физический смысл имеет отношение w : z, но не отдельные числа w и z.

Наиболее фундаментальным свойством уравнения Шрёдингера (а значит, и эволюции U) является его линейность. Иначе говоря, если у нас есть два состояния (скажем, |ψ〉 и |φ〉) и уравнение Шрёдингера, согласно которому по прошествии времени t состояния |ψ〉 и |φ〉 эволюционируют в новые состояния, соответственно, |ψ'〉 и |φ'〉, то любая линейная суперпозиция w|ψ〉 + z|φ〉 за то же время t неминуемо эволюционирует в суперпозицию w|ψ'〉 + z|φ'〉. Для обозначения эволюции за время t воспользуемся символом ⇝. Тогда линейность подразумевает следующее: если

|ψ〉⇝ |ψ'〉 и |φ〉⇝ |φ'〉,

то имеет место и эволюция

w|ψ〉 + z|φ〉⇝w|ψ'〉 + z|φ'〉.

Это рассуждение применимо (разумеется) и к линейным суперпозициям трех и более индивидуальных квантовых состояний: например, состояние u|χ〉 + w|ψ〉 + z|φ〉 эволюционирует за время t в состояние u|χ'〉 + w|ψ'〉 + z|φ'〉, если каждое из состояний |χ〉, |ψ〉 и |φ〉 в отдельности эволюционирует за это же время, соответственно, в |χ'〉, |ψ'〉 и |φ'〉. Иными словами, эволюция всегда происходит так, словно каждый отдельно взятый компонент суперпозиции не «знает» о присутствии других. Можно сказать, что каждый отдельно взятый «мир», описываемый упомянутым компонентом, эволюционирует независимо от других, но всегда в соответствии с тем же уравнением Шрёдингера, что и другие. При этом комплексные весовые коэффициенты в суперпозиции, описывающей совокупное состояние, в процессе эволюции остаются неизменными.

Ввиду вышесказанного можно подумать, что суперпозиции и комплексные весовые коэффициенты не играют сколько-нибудь эффективной физической роли, поскольку эволюция отдельных состояний во времени происходит так, словно других состояний тут вовсе нет. Это заблуждение. Проиллюстрируем на примере, что может произойти с такой системой в реальности.

Рассмотрим случай падения света на полусеребрёное зеркало, т.е. на полупрозрачное зеркало, отражающее ровно половину падающего на него света и беспрепятственно пропускающее все остальное. По квантовой теории, свет образуют частицы, называемые фотонами. Вполне естественно будет предположить, что половина фотонов из падающего на полусеребрёное зеркало потока отражается от его поверхности, а половина проходит зеркало насквозь. Не тут-то было! Согласно все той же квантовой теории, при столкновении с поверхностью зеркала каждый отдельный фотон переходит в состояние суперпозиции отражения и пропускания. Если фотон находился до столкновения с зеркалом в состоянии |A〉, то после столкновения состояние фотона эволюционирует (в соответствии с U) в состояние, которое можно записать в виде |B〉 + i|C〉, где |B〉 символизирует состояние, в котором фотон проникает сквозь зеркало, а |C〉 — состояние, в котором фотон от зеркала отражается (см. рис. 5.11). Запишем эту эволюцию:

|A〉⇝ |B〉 + i|C〉.

Коэффициент i появляется здесь вследствие результирующего фазового сдвига на четверть длины волны^{68}, который возникает в таком зеркале между отраженным и прошедшим лучом света. (Для большей точности мне следовало бы включить в выражение зависящий от времени коэффициент осцилляции и выполнить полную нормировку, однако в настоящем обсуждении никакой необходимости в такой точности нет. В приводимых описаниях я выделяю лишь существенные для нас аспекты происходящего. Несколько подробнее о коэффициенте осцилляции мы поговорим в §5.11, а вопроса о нормировке коснемся в §5.12. Более полное описание можно найти в любой стандартной работе по квантовой теории^{69}; см. также НРК, с. 243-250.)

Рис. 5.11. Фотон в состоянии |A〉 падает на полупрозрачное зеркало; в результате его состояние эволюционирует (согласно U) в суперпозицию |B〉 + i|C〉.

В рамках классической картины поведения частицы мы, разумеется, предположим, что состояния |B〉 и |C〉 представляют собой альтернативные варианты возможного поведения фотона. В квантовой же механике нам предлагается поверить, что фотон, находясь в такой чудесной комплексной суперпозиции, действительно совершает оба указанных действия одновременно. Чтобы убедиться в том, что здесь никоим образом не может идти речь о классических вероятностно-взвешенных альтернативах, разовьем наш пример еще немного и попытаемся снова свести вместе два частных состояния фотона (два фотонных луча). Для этого отразим сначала каждый луч от обычного, непрозрачного зеркала. В результате отражения^{70} состояние |B〉 фотона эволюционирует, согласно U, в некоторое другое состояние, скажем, i|D〉, тогда как состояние |C〉 эволюционирует в i|E〉:

|B〉⇝i|D〉 и |C〉⇝i|E〉.

Таким образом, совокупное состояние |B〉 + i|C〉 эволюционирует по U следующим образом:

|B〉 + i|C〉⇝i|D〉 + i(i|E〉) = i|D〉 - |E〉

(поскольку i² = —1). Вообразим далее, что эти два луча сходятся на четвертом зеркале, на этот раз снова полупрозрачном (как показано на рис. 5.12; предполагается, что длины всех лучей одинаковы, благодаря чему коэффициент осцилляции, которым я по-прежнему пренебрегаю, не играет никакой роли и здесь). Состояние |D〉 эволюционирует при этом в комбинацию |G〉 + i|F〉, где |G〉 представляет состояние прохождения, a |F〉 — состояние отражения. Аналогичным образом, |E〉 эволюционирует в |F〉 + i|G〉, поскольку в этом случае |F〉 символизирует состояние прохождения, a |G〉 — состояние отражения:

|D〉 = |G〉 + i|F〉 и |E〉 = |F〉 + i|G〉.

Нетрудно убедиться (ввиду линейности эволюции U), что совокупное состояние i|D〉—|E〉 эволюционирует следующим образом:

i|D〉—|E〉⇝i(|G〉 + i|F〉) - (|F〉 + i|G〉) = i|G〉 - |F〉 - |F〉 - i|G〉 = —2|F〉.

(Коэффициент —2 физического смысла не имеет, поскольку, как уже упоминалось выше, при умножении совокупного физического состояния системы — в данном случае, |F〉 — на некоторое отличное от нуля комплексное число физическая ситуация остается прежней.) Таким образом, мы видим, что возможность |G〉 оказывается для фотона закрытой: после слияния двух лучей в один открытой остается единственно возможность |F〉. Этот любопытный результат обусловлен тем, что в физическом состоянии фотона в промежутке между его столкновениями с первым и последним зеркалом присутствуют оба луча одновременно. Мы говорим, что при этом происходит интерференция двух лучей. Как следствие, получается, что альтернативные «миры» фотона между упомянутыми столкновениями не отделены в действительности один от другого, но могут друг на друга влиять посредством этих самых феноменов интерференции.

Рис. 5.12. Две составляющие состояния фотона сводятся вместе посредством двух непрозрачных зеркал; в точке слияния двух лучей установлено еще одно полупрозрачное зеркало. Лучи интерферируют таким образом, что результирующий луч приобретает состояние |F〉, тогда как детектор в точке G фотона не регистрирует.

Важно помнить о том, что описанное свойство демонстрируют единичные фотоны. Следует понимать, что каждый отдельный фотон «пробует» оба открытых перед ним пути, оставаясь при этом все тем же одним фотоном. Он не расщепляется на два фотона на некоем промежуточном этапе, однако местоположение его определяется этаким странным комплексно-взвешенным сосуществованием альтернатив, что как раз и характерно для квантовой теории.

5.8. Редукция R вектора состояния

В рассмотренном выше примере суперпозиция состояний фотона переходит в конечном счете в одно-единственное состояние. Представим, что в точках, обозначенных на рис. 5.12 буквами F и G, размещены детекторы фотонов (фотоэлементы). Поскольку в данном конкретном примере фотон, миновав последнее зеркало, оказывается в состоянии |F〉 (точнее, пропорциональном |F〉), а состояние |G〉 никакого участия в его дальнейшей судьбе не принимает, детектор в точке F зарегистрирует фотон, а детектор в точке G не зарегистрирует ничего.

Что произойдет в более общем случае — например, если мы попытаемся подать на эти детекторы суперпозицию состояний вроде w|F〉 + z|G〉? Детекторы выполнят измерение с целью определить, находится фотон в состоянии |F〉 или же в состоянии |G〉. Квантовое измерение равносильно разглядыванию квантового события через увеличительное стекло и переводит событие с квантового на классический уровень. На квантовом уровне, при непрерывном воздействии U-эволюции, линейные суперпозиции сохраняются. Однако как только мы вытягиваем процесс на классический уровень, на котором события уже можно рассматривать как нечто действительно произошедшее, выясняется, что объекты больше не находятся в прежних странных комплексно-взвешенных комбинациях состояний. Выясняется (в нашем примере), что фотон регистрируется либо детектором в точке F, либо детектором в точке G, причем эти альтернативные варианты реализуются с определенной вероятностью. Квантовое состояние таинственным образом «перескакивает» от суперпозиции w|F〉 + z|G〉 к состоянию «либо |F〉, либо |G〉». Такой «скачок» в описании состояния системы (от суперпозиции состояний квантового уровня к состоянию, при котором реализуется лишь одна из возможных альтернатив классического уровня) называется редукцией вектора состояния, или коллапсом волновой функции; эту операцию я буду обозначать буквой R. Вопрос о том, следует ли рассматривать операцию R как реальный физический процесс либо как некую иллюзию или аппроксимацию, чрезвычайно для наших целей важен, и мы к нему еще обязательно вернемся. Тот факт, что нам приходится (во всяком случае, в математических описаниях) отбрасывать эволюцию U и заменять ее совершенно отличной от нее процедурой R, есть фундаментальная X-загадка квантовой теории. На данном этапе, думаю, будет лучше, если мы не станем слишком углубляться в исследование этого парадокса, а будем (условно) рассматривать R как, в сущности, некий процесс, который просто сопутствует (в используемых нами математических описаниях, по крайней мере) процедуре «перемещения» события с квантового уровня на классический.

Как же вычисляются вероятности альтернативных результатов измерения на суперпозиции состояний? Для этого имеется одно весьма замечательное правило. Допустим, для измерения, определяющего окончательный выбор между альтернативными состояниями |F) и |G), как в приведенном выше примере, мы используем детекторы в точках, соответственно, F и G. Согласно упомянутому правилу, в случае суперпозиции состояний

w|F〉 + z|G〉

отношение вероятности того, что фотон будет зарегистрирован детектором F, к вероятности того, что фотон будет зарегистрирован детектором G, равно

|w|² : |z|²,

т.е. отношению квадратов модулей комплексных чисел w и z. Квадрат модуля комплексного числа равен сумме квадратов его вещественной и мнимой частей; т.е. квадрат модуля числа

z = x + iy,

где x и у — вещественные числа, равен

|z|² = x² + y² = (x + iy)(x - iy) = zz'.

Число z' (= x - iy) называется комплексным сопряженным числа z; аналогичная операция проделывается и с w. (В вышеприведенном рассуждении я неявно подразумеваю, что состояния, обозначенные мною через |F〉, |G〉 и т.д., должным образом нормированы. Смысл этого термина я объясню позднее, см. §5.12; строго говоря, нормировка необходима для того, чтобы выполнялось правило вероятностей в указанной форме.)

Именно здесь, и только здесь, на квантовую сцену выходят кардановы вероятности. Мы видим, что на квантовом уровне комплексные весовые коэффициенты не играют сами по себе роли относительных вероятностей (да и не могут этого делать, поскольку они комплексные), а вот вполне вещественные квадраты модулей этих комплексных коэффициентов такие роли играют. Более того, только теперь, после выполнения измерений, приобретают смысл понятия неопределенности и вероятности. Измерение квантового состояния происходит, в сущности, тогда, когда имеет место значительное «увеличение» некоторого физического процесса, вытягивающее его с квантового на классический уровень. В случае фотоэлемента регистрация квантового события — в виде приема фотона — вызывает в конечном счете возмущение на классическом уровне, скажем, вполне отчетливый «щелчок». Вместо фотоэлемента мы могли бы использовать для регистрации фотона высокочувствительную фотографическую пластинку. В этом случае квантовое событие «прибытие фотона» вытягивается на классический уровень в виде хорошо различимой отметки на пластинке. В каждом из случаев измерительное устройство включает в себя некую неустойчиво уравновешенную систему — ничтожно малого квантового события оказывается достаточно, чтобы нарушить это равновесие и вызвать значительно больший по масштабу и наблюдаемый на классическом уровне эффект. Именно при этом переходе от квантового уровня к классическому комплексные числа Кардано возводятся в квадрат и становятся вероятностями Кардано!

Посмотрим, как можно применить это правило к конкретной ситуации. Предположим, что вместо зеркала в правом нижнем углу установлен фотоэлемент; тогда падающий на него фотон находится в состоянии

|B〉 + i|C〉,

где состояние |B〉 означает, что фотон регистрируется фотоэлементом, тогда как в состоянии |C〉 регистрации фотона не происходит. Отношение соответствующих вероятностей при этом равно |1|² : |i|² = 1 : 1; т.е. вероятности каждого из двух возможных событий равны, и фотон активирует фотоэлемент с той же вероятностью, с какой и вовсе не попадает на него.

Рассмотрим несколько более сложный случай. Допустим, что мы не заменяем зеркало в правом нижнем углу фотоэлементом, а полностью блокируем один из лучей неким непрозрачным «фотонопоглощающим» препятствием — скажем, луч, соответствующий состоянию |D〉 фотона (см. рис. 5.13); при этом интерференция, имевшая место ранее, оказывается нарушена. Теперь, миновав последнее зеркало, фотон может перейти в состояние |G〉 (возможность |F〉 тоже пока никто не отменял) — однако лишь при условии, что не будет поглощен препятствием. Если препятствие поглощает фотон, то он вообще не дойдет до детекторов, ни в состоянии |F〉, ни в состоянии |G〉, ни в какой бы то ни было их комбинации. Если же поглощения не происходит, то последнего зеркала фотон достигнет, пребывая в «простом» состоянии —|E〉, которое после прохождения зеркала эволюционирует в —|F〉 - i|G〉. Таким образом, в конечном результате действительно присутствуют обе альтернативы — и |F〉, и |G〉.

Рис. 5.13. Если перекрыть луч |D〉 каким-либо препятствием, то детектор G также сможет зарегистрировать прибытие фотона (при условии, что этот фотон не будет раньше поглощен препятствием!).

В том случае, когда препятствие (в рассмотренной конкретной схеме) не поглощает фотон, комплексные весовые коэффициенты, соответствующие возможным состояниям |F〉 и |G〉, равны —1 и —i. Таким образом, отношение вероятностей равно |—1|² : |—i|², что опять дает одинаковые вероятности для обоих возможных событий — фотон активирует детектор в точке |F〉 с той же вероятностью, с какой он активирует детектор в точке |G〉.

Кроме того, само препятствие также следует считать «измерительным устройством» — коль скоро варианты «препятствие поглощает фотон» и «препятствие не поглощает фотон» мы рассматриваем как классические альтернативы, которым нельзя поставить в соответствие комплексные весовые коэффициенты. Даже если препятствие не устроено таким деликатным образом, что квантовое событие «поглощение препятствием фотона» порождает событие, наблюдаемое на классическом уровне, следует все же полагать, что такое устройство препятствия принципиально возможно. Существенным обстоятельством здесь является то, что в результате поглощения фотона некое значительное количество составляющего препятствие материала подвергается определенному, пусть и малому, возмущению — при этом практически невозможно собрать всю связанную с таким возмущением информацию, чтобы восстановить по ней сопутствующие эффекты интерференции, характеризующие квантовые феномены. Итак, препятствие (во всяком случае, в практическом смысле) следует рассматривать как объект классического уровня, эквивалентный измерительному устройству — вне зависимости от того, регистрирует оно поглощение фотона каким-либо практически наблюдаемым образом или нет. (К этому вопросу мы еще вернемся, см. §6.6.)

Учитывая вышесказанное, мы вольны воспользоваться «правилом квадратов модулей» и для вычисления вероятности того, что фотон и вправду окажется поглощен препятствием. Перед столкновением с препятствием фотон находится в состоянии i|D〉 - |E〉, причем поглощается лишь фотон в состоянии |D〉, тогда как в состоянии |E〉 поглощения не происходит. Отношение вероятности поглощения к вероятности не-поглощения равно |i|² : |—1|² = 1 : 1 — обе альтернативы и здесь равновероятны.

Можно произвести еще одну небольшую модификацию рассматриваемой системы: уберем препятствие для луча D, зеркало же в правом нижнем углу не будем заменять детектором, но «прикрутим» вместо этого к зеркалу некое особого рода измерительное устройство. Предположим, что чувствительность этого устройства такова, что оно способно регистрировать (т.е. выводить на классический уровень) воздействие, оказываемое на зеркало фотоном при отражении, каким бы малым это воздействие ни было; сигналом о регистрации воздействия пусть будет отклонение стрелки на циферблате нашего устройства (см. рис. 5.14). Здесь отклонение стрелки вызывается фотоном в состоянии |B〉, состояние же |C〉 никакого воздействия на стрелку не оказывает. Принимая фотон в состоянии |B〉 + i|C〉, устройство «коллапсирует волновую функцию» и интерпретирует суперпозицию либо как состояние |B〉 (стрелка отклоняется), либо как состояние |C〉 (стрелка остается неподвижной), причем вероятности обоих исходов одинаковы (поскольку |1|² : |i|² = 1 : 1). Таким образом, на этом этапе также имеет место процедура R. О дальнейшей судьбе фотона мы рассуждаем примерно так же, как мы делали это выше; при этом выясняется, что — как и в случае с препятствием — вероятности регистрации фотона детекторами F и G снова равны (причем независимо от того, отклонялась стрелка или нет). Для того чтобы фотон в данной схеме мог вызвать отклонение стрелки, зеркало в правом нижнем углу должно быть достаточно «подвижным», отсутствие же жесткого закрепления нарушает хрупкий порядок, необходимый для возникновения той «деструктивной интерференции» между двумя траекториями движения фотонов от точки A к точке G, благодаря которой фотон в исходном примере не регистрировался детектором G.

Рис. 5.14. Аналогичного эффекта можно достичь, поместив в правый нижний угол подвижное зеркало, снабженное неким детектором, который способен по движению зеркала определить, отразило оно фотон или нет. Интерференция здесь также оказывается нарушена, благодаря чему детектор в точке G получает возможность зарегистрировать прибытие фотона.

Читатель, должно быть, уже отметил некую досадную незавершенность всех наших рассуждений, выражающуюся в отсутствии ответа на вопрос «Когда (а главное, почему) квантовые правила переходят от квантового детерминизма комплексных весовых коэффициентов к классическим вероятностно-взвешенным недетерминированным альтернативам, каковой переход выражается математически в возведении в квадрат модулей соответствующих комплексных чисел?». Что есть такого в одних физических материальных образованиях — таких, например, как детекторы фотонов в точках F и G или зеркало в нижнем правом углу (или то же возможное препятствие для фотонов на пути луча D), — что делает их объектами классического уровня, в противоположность другим физическим объектам, скажем, фотонам, которые оказываются на квантовом уровне, и требуют поэтому совершенно иного с собой обращения? Только ли в том дело, что фотон — это система физически простая, что позволяет рассматривать его целиком как объект квантового уровня, тогда как детекторы и препятствия являются системами сложными, которые можно рассматривать лишь приближенно, в результате чего тонкости квантового поведения растворяются в усредненных данных наблюдений? Многие физики, несомненно, ответят на последний вопрос утвердительно: все физические объекты, скажут они вам, следует рассматривать с позиций квантовой механики, и лишь руководствуясь соображениями удобства, мы исследуем большие и сложные системы классическими методами, причем правила вероятностей, задействованные в процедуре R, являются, в некотором роде, следствием упомянутого приближенного рассмотрения. В §§6.6 и 6.7 мы увидим, что от наших трудностей (связанных с присутствием в квантовой теории X-загадок) такая точка зрения отнюдь не спасает, равно как не объясняет она и смысла удивительного R-правила, согласно которому из квадратов модулей комплексных весовых коэффициентов чудесным образом получаются вероятности. И все же нам придется пока как-то усмирить нашу досаду и продолжить знакомство с выводами квантовой теории, в особенности с теми, что имеют отношение к ее Z-загадкам.

5.9. Решение задачи Элитцура—Вайдмана об испытании бомб

Мы уже знаем вполне достаточно для того, чтобы отыскать решение задачи об испытании бомб, поставленной в §5.2. Прежде всего нужно выяснить, нельзя ли использовать сверхчувствительное зеркальце на носу бомбы в качестве измерительного устройства (как были использованы, например, препятствие и подвижное зеркало с детектором в описанных выше примерах). Построим систему зеркал (два непрозрачных, два полупрозрачных), которая в точности повторяет систему из предыдущего примера (см. рис. 5.14) за одним исключением: в правом нижнем углу вместо подвижного зеркала поместим зеркальце бомбы.

Смысл такого построения в том, что если бомба является холостой (в том единственном смысле, который подразумевается в условии задачи), то ее зеркальце остается в любом случае неподвижным (поскольку его заклинило), и общая картина эквивалентна показанной на рис. 5.12. Фотон, испущенный из источника, попадает на первое зеркало, будучи в состоянии |A〉. Поскольку такая ситуация полностью совпадает с той, что мы рассмотрели в §5.7, фотон после последнего зеркала приобретает, как и тогда, состояние |F〉 (пропорциональное |F〉, если точнее). Иначе говоря, детектор в точке F регистрирует прибытие фотона, а детектор в точке G не регистрирует ничего.

Если же бомба исправна, то падение фотона на ее зеркальце приводит к срабатыванию детонатора, и бомба взрывается. Бомба, фактически, представляет собой измерительное устройство. Альтернативы квантового уровня — «фотон падает на зеркальце» и «фотон не падает на зеркальце» — переводятся бомбой в альтернативы классического уровня — «бомба взрывается» и «бомба не взрывается». На состояние |B〉 + i|C〉 бомба реагирует взрывом, если обнаруживает, что фотон находится в состоянии |B〉; если же фотон находится в каком-то ином состоянии (т.е., в данном случае, |C〉), бомба не взрывается. Отношение вероятностей этих двух событий равно |1|² : |i|² = 1 : 1. Если бомба таки взорвалась, это означает, что она зарегистрировала прибытие фотона, а что будет дальше, никого уже не интересует. Если же взорваться бомбе не удалось, то состояние фотона редуцируется (как результат процедуры R) до состояния i|C〉 (падение на зеркало в левом верхнем углу), сменяясь далее (после отражения от этого зеркала) состоянием —|E〉. По прохождении последнего (полупрозрачного) зеркала фотон переходит в состояние —|F〉 - i|G〉, т.е. отношение вероятностей возможных исходов — «прибытие фотона регистрируется детектором в точке F» и «прибытие фотона регистрируется детектором в точке G» — равно |—1|² : |—i|² = 1 : 1. Точно такое же отношение мы получили в примерах, описанных в предыдущем параграфе, для тех случаев, когда фотон не поглощался препятствием, а стрелка не отклонялась. Детектор, расположенный в точке G, получает, таким образом, вполне определенную возможность уловить фотон.

Предположим теперь, что при проведении одного из таких испытаний в некоторых случаях «не-взрыва» бомбы обнаруживается, что детектор G и в самом деле регистрирует прибытие фотона. Согласно нашим рассуждениям, это возможно лишь в том случае, если детонатор бомбы исправен! Если бомба неисправна, то фотон может быть зарегистрирован только детектором F. Следовательно, во всех случаях, когда срабатывает детектор G, мы можем с чистой совестью гарантировать, что данная бомба «работоспособна» и в случае необходимости не подведет. Таким образом, задачу об испытании бомб (§5.2) можно считать решенной[37].

Судя по участвующим в процессе вероятностям, после достаточно большого количества испытаний половина бомб взорвется, и никакой дальнейшей пользы из них извлечь не удастся. Более того, на тех бомбах, что не взорвались, детектор G сработает только в половине случаев. Таким образом, после того, как мы переберем все бомбы одну за другой, мы сможем гарантировать работоспособность только четверти из первоначального запаса исправных бомб. Оставшиеся бомбы мы можем подвергнуть повторному испытанию, отбирая те, на которых сработал детектор G. Повторим испытание еще раз. И еще. В конечном счете у нас останется треть (поскольку 1/4 + 1/16 + 1/64 + … = 1/3) от первоначального количества исправных бомб, но зато все эти бомбы будут гарантированно работоспособны. (Я не знаю, для чего эти бомбы предназначены, однако, думаю, благоразумно будет лишних вопросов не задавать!)

Читателю описанная процедура может показаться чересчур расточительной, однако поразительно здесь то, что она вообще осуществима. Никакими классическими методами задача не решается. Только в квантовой теории контрфактуальные вероятности могут действительно повлиять на физический результат. Наша квантовая процедура позволяет добиться того, что кажется невозможным, — что и в самом деле невозможно в рамках классической физики. Следует, кроме того, отметить, что с помощью некоторых усовершенствований потери можно снизить с двух третей до практически половины (см. [114]). Еще более поразительного результата добились не так давно П. Г. Квят, X. Вайнфуртер, А. Цайлингер и М. Казевич, описав процедуру (отличную от решения Элитцура—Вайдмана), позволяющую снизить потери почти до нуля!

Что касается сложностей с разработкой экспериментального устройства, способного испускать отдельные фотоны по одному за раз, то они теперь позади — такие устройства уже созданы и вполне доступны (см. [168]).

В заключение отмечу, что в качестве измерительного устройства вовсе не обязательно должен выступать столь «сногсшибательный» объект, как фигурирующая в условии задачи бомба. Более того, нет никакой необходимости в том, чтобы упомянутое «устройство» оповещало бы весь внешний мир о том, что оно зарегистрировало (или не зарегистрировало) прибытие фотона. Подвижное зеркало может само по себе послужить измерительным устройством, если его вес достаточно мал для того, чтобы оно могло сколько-нибудь заметно поворачиваться под воздействием падающих на него фотонов и затем останавливаться вследствие трения. Один лишь факт подвижности зеркала (скажем, зеркала в правом нижнем углу, как в рассмотренном примере) позволит детектору в точке G зарегистрировать прибытие фотона, даже если зеркало в действительности и не повернулось, указывая тем самым на то, что фотон отправился другой дорогой. Достичь точки G фотону позволяет потенциальная возможность поворота зеркала и ничто иное! Очень похожую роль играет и поглощающее фотоны препятствие из предыдущего параграфа. Оно, в сущности, служит для «измерения» наличия фотона где-то на пути, описываемом последовательными состояниями |B〉 и |D〉. То, что препятствие не поглощает фотон, будучи на это способно, является точно таким же «измерением», каким мы считаем состоявшееся поглощение фотона.

Такие отрицательные и бесконтактные измерения, называемые нулевыми (или невзаимодействующими) измерениями (см. [91]), имеют большое теоретическое (а возможно, в конечном счете, и практическое) значение. Предсказания квантовой теории относительно такого рода ситуаций непосредственно подтверждаются экспериментально. В частности, Квят, Вайнфуртер и Цайлингер разработали и провели эксперимент, точно воспроизводящий теоретическую процедуру Элитцура—Вайдмана для решения задачи об испытании бомб! И теоретические ожидания полностью подтвердились, что, впрочем, нас уже почему-то не удивляет. Сами же нулевые измерения мы по праву относим к наиболее фундаментальным Z-загадкам квантовой теории.

5.10. Квантовая теория спина. Сфера Римана

Для того, чтобы разобраться со второй вводной квантовой головоломкой, необходимо рассмотреть структуру квантовой теории несколько подробнее. Если помните, в центр моего додекаэдра (равно как и додекаэдра моего коллеги) был помещен атом со спином 3/2. Что же такое спин, и каково его место в квантовой теории?

Спин — неотъемлемое свойство частицы. По существу, физическое понятие спина совпадает с понятием вращения[38] (или кинетического момента) классического объекта — например, бильярдного шара, футбольного мяча или даже планеты Земля. Существует, впрочем, различие (незначительное): наибольший (практически весь) вклад в кинетический момент макроскопического объекта дают круговые движения всех составляющих его частиц вокруг общего центра масс, тогда как спин одной-единственной частицы есть свойство, присущее самой частице. Более того, спин элементарной частицы обладает любопытной особенностью: его величина всегда одинакова, а вот направление оси спина может быть разным (хотя, надо сказать, что эта самая «ось» также ведет себя весьма странно, в общем случае малосообразно с тем, как ведут себя классические оси вращения). Спин измеряется в единицах фундаментальной квантовомеханической постоянной ħ; символ этот предложен Дираком для обозначения величины, равной постоянной Планка h, деленной на 2π. Спин частицы всегда равен (неотрицательному) целому или полуцелому кратному постоянной ħ: 0, 1/2 ħ, ħ, 3/2 ħ, 2ħ и т.д. Мы, соответственно, говорим: частица со спином 0, 1/2, 1, 3/2, 2 и т.д.

Начнем с рассмотрения простого случая: спин 1/2; таким спином обладают, например, электрон и нуклоны (протон и нейтрон). (Спин 0 мы рассматривать не будем, поскольку он слишком прост — в этом случае спин может находиться лишь в одном, сферически симметричном, состоянии.) Все состояния спина 1/2 являются линейными суперпозициями двух состояний: скажем, правого спина вокруг оси, направленной вертикально вверх (обозначим это состояние через |↑〉) и правого спина вокруг оси, направленной вертикально вниз (обозначим |↓〉); см. рис. 5.15. Таким образом, в общем случае состояние спина можно представить в виде комплексной комбинации |ψ〉 = w|↑〉 + z|↓〉. На практике же каждой такой комбинации соответствует вполне определенное состояние спина (величины 1/2 ħ) частицы, при котором отношение комплексных коэффициентов w и z определяет направление оси спина. Выбор направлений ↑ и ↓ достаточно условен: для однозначного описания состояния спина сгодилась бы и любая другая пара направлений.

Рис. 5.15. В случае частицы со спином 1/2 (электрона, протона или нейтрона) все спиновые состояния представляют собой комплексные суперпозиции двух основных состояний: «вверх» и «вниз».

Попробуем представить все вышесказанное в более явном и геометрически наглядном виде. Такое представление поможет нам увидеть, что комплексные весовые коэффициенты w и z вовсе не являются такими уж абстрактными конструкциями, какими они могли показаться на первый взгляд. Более того, к геометрии пространства они имеют самое непосредственное отношение. (Мне думается, такие геометрические воплощения понравились бы Кардано и, возможно, облегчили бы его «мучения разума» — впрочем, и квантовая теория вполне исправно снабжает наши разумы все новыми мучениями!)

Для начала будет весьма полезно ознакомиться со ставшим уже стандартным представлением комплексных чисел в виде точек на плоскости. (У этой плоскости много названий: плоскость Арганда, плоскость Гаусса, плоскость Весселя или просто комплексная плоскость.) Идея состоит в том, чтобы поставить в соответствие комплексному числу z = x + iy (где x и y — вещественные числа) точку, координаты которой в некоторой заданной прямоугольной системе координат равны (x, y) (см. рис. 5.16). Таким образом, например, четыре комплексных числа 1, 1 + i, i и 0 образуют на комплексной плоскости квадрат. Существуют простые геометрические правила для отыскания суммы и произведения двух комплексных чисел (см. рис. 5.17). Отрицательное комплексное число —z находится отражением точки, соответствующей числу z, относительно начала координат; комплексное сопряженное z — отражением точки z относительно оси x.

Рис. 5.16. Представление комплексного числа в виде точки на комплексной плоскости (плоскости Арганда—Гаусса—Весселя).

Рис. 5.17. Геометрические описания основных операций над комплексными числами.

Модуль комплексного числа равен расстоянию от соответствующей этому числу точки до начала координат; квадрат модуля, таким образом, равен квадрату этого расстояния. Точки, расстояние от которых до начала координат равно единице, образуют единичную окружность (см. рис. 5.18). Этим точкам соответствуют комплексные числа с единичным модулем, называемые иногда чистыми фазами; эти числа можно записать в виде

e^iθ = cos θ + i sin θ,

здесь θ — вещественное число, равное величине угла между прямой, соединяющей начало координат с соответствующей этому числу точкой, и осью x.[39]

Рис. 5.18. Единичную окружность образуют точки, соответствующие комплексным числам z = e^iθ, где θ — вещественное число; |z| = 1.

Теперь выясним, как в таком представлении выглядят отношения комплексных чисел. Выше я уже указывал на то, что при умножении вектора состояния на ненулевое комплексное число состояние не претерпевает физических изменений (например, если помните, состояния —2|F〉 и |F〉 мы полагали физически одинаковыми). Таким образом, в общем случае, состояние |ψ〉 физически идентично состоянию u|ψ〉 при любом ненулевом комплексном u. Применительно к состоянию

|ψ〉 = w|↑〉 + z|↓〉,

умножение w и z на одно и то же ненулевое комплексное число и не приведет к какому-либо изменению физического феномена, соответствующего этому состоянию. Физически различными спиновые состояния могут быть только в том случае, если их векторы состояний характеризуются различными отношениями z : w (а при u≠ 0 отношения uz : uw и z : w равны).

Как же изобразить комплексное отношение геометрически? Существенное отличие комплексного отношения от просто комплексного числа заключается в том, что в качестве значения комплексного отношения допускается не только конечное комплексное число, но и бесконечность (обозначается символом ∞). Так, если рассматривать, в общем случае, отношение z : w как эквивалент «одиночного» комплексного числа z/w, то при w = 0 мы сталкиваемся с некоторыми, мягко говоря, затруднениями. Для того чтобы этих затруднений избежать, математики условились в случае w = 0 полагать число z/w равным бесконечности. Такая ситуация возникает, например, в состоянии «спин вниз»: |ψ〉 = z|↓〉 = 0|↑〉 + z|↓〉. Вспомним, что нулю не могут быть равны оба коэффициента (т.е. и w, и z одновременно), поэтому случай w = 0 вполне допустим. (Мы могли бы вместо z/w взять отношение w/z, если оно по каким-либо причинам понравилось бы нам больше; тогда символ ∞ понадобился бы нам для случая z = 0, что соответствует состоянию «спин вверх». Никакой разницы между этими двумя описаниями нет.)

Пространство всех возможных комплексных отношений мы можем представить с помощью так называемой сферы Римана. Точки, образующие сферу Римана, соответствуют комплексным числам, либо ∞. Сферу Римана можно изобразить в виде единичной сферы, экваториальная плоскость которой совпадает с комплексной плоскостью, а центр располагается в точке начала координат (т.е. в нуле). Собственно экватор сферы есть не что иное, как единичная окружность на комплексной плоскости (см. рис. 5.19). Для представления какого-либо комплексного отношения, скажем, z : w, мы отмечаем на комплексной плоскости точку P, соответствующую комплексному числу p = z/w (допустим пока, что w≠ 0), а затем проецируем эту точку P в точку P' на сфере, при этом в качестве центра проекции выбираем южный полюс S сферы. Иначе говоря, мы проводим через точки S и P прямую; там, где эта прямая пересекает сферу (кроме самой точки S), отмечаем точку P'. Такое точечное отображение плоскости на сферу называется стереографической проекцией. Сам южный полюс S при таком отображении соответствует комплексному отношению ∞. В самом деле, представим себе, что точка P комплексной плоскости удалена на очень большое расстояние от центра координат; соответствующая ей точка P' на сфере окажется при этом очень близко от полюса S — в пределе, когда модуль комплексного числа p устремляется к бесконечности, точки P' и S совпадают.

Рис. 5.19. Сфера Римана. Точка P на комплексной плоскости, соответствующая числу p = z/w, проецируется из южного полюса S на точку P' на сфере. Направление OP совпадает с направлением оси спина для общего состояния спина 1/2 (см. рис. 5.15).

Сфера Римана играет фундаментальную роль в квантовом описании систем с двумя состояниями. Эта роль не всегда очевидна, однако это не делает ее менее важной, и сфера Римана, пусть и незримо, где-то на сцене все равно присутствует. Она описывает — в абстрактном геометрическом виде — пространство всех физически достижимых состояний, которые можно получить из двух различных квантовых состояний посредством квантовой линейной суперпозиции. В качестве исходных можно взять, например, возможные состояния фотона |B〉 и |C〉. В общем случае их линейная комбинация имеет вид w|B〉 + z|C〉. В §5.7 мы подробно рассматривали только один конкретный случай |B〉 + i|C〉 (результат отражения/пропускания света, падающего на полусеребрёное зеркало), однако нетрудно реализовать и другие комбинации состояний. Для этого нужно всего лишь изменить степень «серебрёности» зеркала и поместить на пути одного из лучей что-нибудь преломляющее. Так можно набрать полную сферу Римана всевозможных альтернативных состояний, соответствующих различным физическим ситуациям вида w|B〉 + z|C〉, т.е. комбинациям двух начальных состояний |B〉 и |C〉.

Впрочем, в таких случаях геометрическая роль сферы Римана как раз и неочевидна. Однако возможны и иные ситуации, в которых целесообразность построения сферы Римана проявляется в полной мере. Самым наглядным примером такого рода является описание спиновых состояний частицы со спином 1/2 — электрона, скажем, или протона. В общем случае спиновое состояние можно записать в виде комбинации

|ψ〉 = w|↑〉 + z|↓〉;

как оказывается (при соответствующем выборе направлений ↑ и ↓ из физически эквивалентных возможных вариантов), это самое |ψ〉 представляет собой состояние правого спина (величины 1/2 ħ), направление оси которого совпадает с направлением от начала координат к точке, соответствующей отношению z/w, на сфере Римана. Таким образом, любое направление в пространстве выступает как возможное направление оси спина для любой частицы со спином 1/2. Хотя большая часть спиновых состояний представляется изначально в виде «таинственных комплексно-взвешенных комбинаций возможных альтернативных состояний» (т.е. состояний |↑〉 и |↓〉), мы видим, что эти состояния ничуть не более (но и не менее) таинственны, чем оригинальные состояния |↑〉 и |↓〉, выбранные нами в качестве начальных. Каждое физически реально в той же мере, что и все остальные.

А что же с состояниями большего спина? Здесь ситуация становится несколько более запутанной — и более таинственной! Приводимое ниже общее описание не пользуется широкой известностью среди современных физиков, хотя оно было предложено еще в 1932 году блестящим итальянским физиком Этторе Майораной (в 1938 году, в возрасте 31 года, Майорана бесследно исчез с борта входившего в Неаполитанский залив парома при обстоятельствах, которые до сих пор не получили удовлетворительного объяснения).

Рассмотрим сначала то, что физикам таки известно. Допустим, у нас есть атом (или какая-то другая частица) со спином 1/2 n. В качестве исходного направления мы снова можем выбрать направление вверх, а заодно и полюбопытствуем, «какая доля» спина атома действительно ориентирована в этом направлении (т.е. является правой относительно направленной вверх оси). Для удовлетворения любопытства можно воспользоваться стандартным устройством, которое называется установкой Штерна—Герлаха и способно осуществлять упомянутые измерения с помощью неоднородного магнитного поля. Как выясняется, различных возможных вариантов развития событий всего n + 1, что обусловлено тем фактом, что атомы в магнитном поле могут отклоняться только в одном из n + 1 возможных направлений (см. рис. 5.20). Доля спина, ориентированного в выбранном направлении, определяется конкретным направлением, в котором отклоняется атом. Будучи измеренной в единицах 1/2 ħ, доля ориентированного в данном направлении спина принимает одно из следующих значений: n, n - 2, n - 4, …, 2 - n, —n. Возможные же спиновые состояния для атома со спином 1/2 n представляют собой комплексные суперпозиции перечисленных допустимых состояний. Возможные результаты измерения Штерна—Герлаха для спина n + 1 (направление поля в установке — вертикально вверх) я буду записывать следующим образом:

|↑↑↑…↑〉, |↓↑↑…↑〉, |↓↓↑…↑〉, …, |↓↓↓…↓〉,

что соответствует значениям n, n - 2, n - 4, …, 2 - n, —n доли спина, ориентированного в этом направлении (запись каждого состояния содержит ровно n стрелок). Результаты можно интерпретировать так: каждая стрелка вверх дает долю 1/2 ħ спина, ориентированного вверх, а каждая стрелка вниз дает долю 1/2 ħ спина, ориентированного вниз. Складывая эти величины, мы получаем полный спин для каждого конкретного случая измерения с помощью установки Штерна—Герлаха (при ориентации осей в направлении вверх/вниз).

Рис. 5.20. Измерение спина с помощью установки Штерна—Герлаха. Для частицы со спином 1/2 n мы можем получить n +1 возможных результатов, в зависимости от того, какая «доля» спина ориентирована в выбранном направлении.

В общем случае суперпозиция этих состояний записывается в виде комплексной комбинации

z₀|↑↑↑…↑〉 + z₁|↓↑↑…↑〉 + z₂|↓↓↑…↑〉 + … + z_n|↓↓↓…↓〉,

где хотя бы один из комплексных коэффициентов z₀, z₁, z₂, …, z_n не равен нулю. Можно ли представить такое состояние с помощью отдельных направлений оси спина, отличных от элементарных «вверх» или «вниз»? Как показал Майорана, такое представление действительно возможно, однако следует допустить, что направления эти будут вполне независимы друг от друга: нет никакой необходимости брать в качестве исходных обязательно пару обязательно противоположных направлений (как в случае измерения с помощью установки Штерна—Герлаха). Иными словами, общее состояние спина 1/2 n мы представим в виде набора из n независимых «стрелок-направлений»; эти направления можно рассматривать как направления, задаваемые n точками на сфере Римана, — при этом каждая «стрелка» исходит из начала координат и заканчивается в соответствующей точке на сфере (см. рис. 5.21). Важно помнить, что мы имеем дело с неупорядоченной совокупностью точек (или направлений), и, следовательно, в порядок их рассмотрения никакого особого смысла вкладывать не нужно.

Рис. 5.21. Майорана описывает общее состояние спина 1/2 n как неупорядоченную совокупность из n точек P₁, P₂, …, P_n на сфере Римана, причем каждая точка соответствует «элементарному» спину 1/2, направление оси которого совпадает с направлением от начала координат к этой самой точке.

Получившаяся картина выглядит очень странно — если мы попытаемся подойти к квантовомеханическому спину с теми же мерками, что и к привычной концепции вращения на классическом уровне. Вращение классического объекта (например, бильярдного шара) всегда происходит вокруг некоторой вполне определенной оси, тогда как объекту квантового уровня позволено, судя по всему, вращаться одновременно вокруг множества осей, ориентированных в самых разных направлениях. Полагая, что квантовые объекты — это, в сущности, те же классические объекты, только «маленькие», мы неизбежно сталкиваемся с парадоксом. Чем больше величина спина, тем большее количество направлений осей необходимо для описания его состояния. Почему же, в таком случае, классические объекты не вращаются вокруг нескольких осей одновременно? Перед нами типичный пример квантовой X-загадки. Что-то вмешивается в процесс (на некоем неустановленном уровне), и мы обнаруживаем, что большинство типов квантовых состояний на классическом уровне феноменов — т.е. там, где мы могли бы их воспринимать, — не возникают вовсе (или, по меньше мере, почти никогда). В случае спина мы видим, что на классическом уровне сохраняются только те состояния, в которых оси преимущественно группируются в каком-то одном направлении — в направлении оси вращения классического вращающегося объекта.

В квантовой теории есть одно занимательное допущение, называемое «принципом соответствия». Суть этого принципа такова: как только какая-либо физическая величина (например, величина спина) возрастает до некоего предела, становится возможным такое поведение системы, которое очень близко аппроксимирует классическое поведение (как, например, спиновое состояние, где направления всех осей приблизительно одинаковы). Однако нигде почему-то не объясняется, каким образом к подобным состояниям приводит одна лишь шрёдингерова эволюция U. В действительности «классические состояния» так не возникают почти никогда. Состояния классического типа являются результатом действия совершенно иной процедуры — редукции R вектора состояния.

5.11. Местонахождение частицы и ее количество движения

Еще более наглядным примером такого рода является квантовомеханическая концепция положения частицы в пространстве. Выше мы говорили о том, что состояние частицы может включать в себя суперпозицию двух или более различных ее положений. (Вспомним также и о примерах из §5.7, где после прохождения полупрозрачного зеркала фотон оказывается в состоянии, предполагающем его нахождение в двух различных лучах одновременно.) Такие суперпозиции возможны и в случае любых других типов частиц (как простых, так и составных) — электронов, протонов, атомов или молекул. Более того, в части U формализма квантовой теории нет ничего, что запрещало бы оказаться в двусмысленном состоянии суперпозиции положений макроскопическим объектам вроде бильярдных шаров. Однако никто ни разу не видел бильярдный шар в состоянии суперпозиции нескольких положений одновременно, равно как никто не видел и бильярдный шар, вращающийся одновременно вокруг нескольких осей. Почему получается так, что некоторые физические объекты оказываются слишком большими, или слишком массивными, или слишком какими-то еще для того, чтобы «протиснуться» на квантовый уровень, вследствие чего не могут в реальном мире находиться в какой бы то ни было суперпозиции состояний? В стандартной квантовой теории переход от квантовых суперпозиций возможных альтернатив к единственному действительному классическому результату осуществляется исключительно благодаря действию процедуры R. Действие же одной лишь процедуры U практически неизбежно приводит к таким классическим суперпозициям, которые выглядят, мягко говоря, «неестественно». (К этому вопросу я еще вернусь в §6.1.)

На квантовом же уровне те состояния частицы, в которых она не имеет четко определенного положения, могут играть, ни много ни мало, фундаментальную роль: если частица обладает определенным количеством движения (т.е. движется по некоторой определенной траектории в определенном направлении, а не в суперпозиции нескольких разных направлений одновременно), то в состоянии этой частицы непременно должна присутствовать суперпозиция всех ее различных положений одновременно. (Это одно из свойств уравнения Шрёдингера, и для должного объяснения этого свойства потребовалось бы слишком далеко углубиться в технические детали, что нам сейчас совсем не нужно; см., например, НРК, с. 243-250, а также [94] и [70]. Оно, кроме того, тесно связано с принципом неопределенности Гейзенберга, устанавливающим предел точности для одновременного измерения положения частицы и ее количества движения.) Более того, в состояниях с определенным количеством движения частицы демонстрируют колебательное (в направлении движения) пространственное поведение, чего при обсуждении состояний фотонов в §5.7 мы не учитывали. Строго говоря, термин «колебательное» здесь не совсем подходит. Как выясняется, упомянутые «колебания» отнюдь не похожи на колебания, скажем, струны — комплексные весовые коэффициенты не «мечутся» взад и вперед сквозь начало координат на комплексной плоскости, но, будучи чистыми фазами (см. рис. 5.18), движутся вокруг начала координат с постоянной скоростью, причем эта самая скорость задает частоту v, пропорциональную энергии E частицы в соответствии со знаменитой формулой Планка E = hv. (Графическое представление состояний количества движения в виде этакого «штопора» можно найти в НРК, рис. 6.11.) Все эти вещи, хоть они и важны для квантовой теории, в наших дальнейших рассуждениях особой роли не играют, поэтому читатель вполне может обойтись и без детального их изучения.

В общем случае комплексные весовые коэффициенты вовсе не обязательно должны иметь именно такой «колебательный» вид, они могут изменяться от точки к точке произвольным образом. Весовые коэффициенты задают комплексную функцию положения, которая называется волновой функцией частицы.

5.12. Гильбертово пространство

Чтобы более внятно (и более точно) рассказать о том, как работает процедура R в стандартных квантовомеханических описаниях, необходимо перейти на несколько (совсем немного) более высокий уровень математической абстракции. Семейство всех возможных состояний квантовой системы образует так называемое гильбертово пространство. Нужды объяснять значение этого термина во всех математических тонкостях у нас в данный момент нет, однако некоторое представление о нем все же получить стоит — это поможет нам прояснить существующую картину квантового мира.

Первая и наиболее важная особенность, на которую следует обратить внимание: гильбертово пространство является комплексным векторным пространством. Это, в сущности, означает, что здесь мы вправе выполнять действия с комплексно-взвешенными комбинациями, посредством которых описываются квантовые состояния. Для обозначения элементов гильбертова пространства я продолжу использовать диракову скобку «кет», т.е. если состояния |ψ〉 и |φ〉 являются элементами гильбертова пространства, то таким же его элементом является и состояние w|ψ〉 + z|φ〉, где w и z — любая пара комплексных чисел. Допускается даже комбинация w = z = 0, она дает элемент 0 гильбертова пространства — единственный элемент, не соответствующий никакому возможному физическому состоянию. Как и в любом другом векторном пространстве здесь действуют самые обыкновенные алгебраические правила:

|ψ〉 + |φ〉 = |φ〉 + |ψ〉,

|ψ〉 + (|φ〉 + |χ〉) = (|ψ〉 + |φ〉) + |χ〉,

w(z|ψ〉) = (wz)|ψ〉,

(w + z)|ψ〉 = w|ψ〉 + z|ψ〉,

z(|ψ〉 + |φ〉) = z|ψ〉 + z|φ〉,

0|ψ〉 = 0,

z0 = 0,

а это более или менее означает, что мы можем использовать алгебраическую систему обозначений привычным нам образом.

Иногда гильбертово пространство имеет конечную размерность — как, например, при описании спиновых состояний частицы. В случае спина 1/2 гильбертово пространство двумерно, а его элементы представляют собой комплексные линейные комбинации двух состояний, |↑〉 и |↓〉. Для спина 1/2 n гильбертово пространство (n + 1)-мерно. Однако размерность гильбертова пространства может быть и бесконечной — такое пространство необходимо, например, для описания состояний положения частицы. В этом случае каждое альтернативное положение, которое может занимать частица, рассматривается как отдельное измерение гильбертова пространства. Общее же состояние, определяющее квантовое местоположение частицы, записывается как комплексная суперпозиция всех этих различных отдельных положений (волновая функция для данной конкретной частицы). Надо сказать, что с рассмотрением такого бесконечномерного гильбертова пространства связаны определенные математические осложнения, которые лишь запутают нас без всякой на то необходимости, поэтому ниже я сосредоточусь (в основном) на конечномерном случае.

Попытавшись представить гильбертово пространство визуально, мы сталкиваемся с двумя трудностями. Во-первых, размерность такого пространства, как правило, слишком велика для того, чтобы наше воображение сколько-нибудь адекватно справилось с задачей. Во-вторых, пространство это является не вещественным, но комплексным. Впрочем, часто бывает полезно не задумываться о подобных трудностях с самого начала — это помогает выработать некоторое интуитивное понимание математических аспектов концепции. Поэтому давайте на некоторое время сделаем вид, будто для представления гильбертова пространства вполне достаточно той привычной двух- или трехмерной картины, которая у нас уже есть. На рис. 5.22 проиллюстрирована геометрически операция линейной суперпозиции на примере обычного трехмерного пространства.

Рис. 5.22. Если вообразить, что гильбертово пространство тождественно трехмерному евклидову пространству, то сумму векторов |ψ〉 и |φ〉 можно найти с помощью обычного правила параллелограмма (в плоскости (0, |ψ〉, |φ〉).

Вспомним, что вектор квантового состояния |ψ〉 соответствует тому же физическому состоянию, что и любой кратный ему вектор u|ψ〉, где u — ненулевое комплексное число. В нашей геометрической интерпретации это означает, что физическое состояние представляется не одинокой точкой в гильбертовом пространстве, но прямой, соединяющей гильбертову точку |ψ〉 с началом координат 0 (такую прямую называют лучом). Пример луча изображен на рис. 5.23; следует, впрочем, учитывать, что ввиду комплексного характера гильбертова пространства луч этот только выглядит как обычная одномерная прямая, на деле же за ним скрывается целая комплексная плоскость.

Рис. 5.23. Луч в гильбертовом пространстве есть множество всех комплексных кратных вектора состояния |ψ〉. Мы представляем этот луч в виде прямой, проходящей через начало гильбертовых координат, однако не следует забывать о том, что за этой прямой на деле скрывается комплексная плоскость.

До сих пор мы рассматривали гильбертово пространство, имея в виду лишь то, что структурно оно представляет собой комплексное векторное пространство. Однако, помимо комплексно-векторной структуры, у гильбертова пространства имеется еще одно, не менее важное, свойство, крайне полезное для описания процедуры редукции R. Речь идет об эрмитовом скалярном произведении (или внутреннем произведении), каковая операция позволяет из любой пары гильбертовых векторов получить одно-единственное комплексное число. Она же дает нам возможность ввести два весьма важных понятия. Первое — квадрат длины гильбертова вектора как скалярное произведение вектора на самого себя. Например, нормированное состояние (необходимое, как мы отмечали выше — см. §5.8, — для строгой применимости правила квадратов модулей) задается гильбертовым вектором, квадрат длины которого равен единице. Вторым важным понятием, сопутствующим скалярному произведению, является понятие ортогональности гильбертовых векторов — векторы ортогональны, когда их скалярное произведение равно нулю. Ортогональными считаются векторы, направленные, в том или ином смысле, «под прямым углом» друг к другу. Применительно к состояниям, ортогональными обычно называют состояния, независимые одно от другого. Важность этого понятия для квантовой физики заключается в том, что различные альтернативные результаты любого измерения всегда ортогональны друг другу.

В качестве примера ортогональных состояний можно привести состояния |↑〉 и |↓〉, с которыми мы встречались при рассмотрении частицы со спином 1/2. (Отметим, что ортогональность в гильбертовом пространстве, как правило, не соответствует перпендикулярности в пространстве обычном; в случае спина 1/2 ортогональные состояния |↑〉 и |↓〉 представляют физические конфигурации, ориентированные, скорее, в противоположных направлениях, нежели под прямым углом.) Следующий пример — состояния |↑↑…↑〉, |↓↑…↑〉, …, |↓↓…↓〉 спина 1/2 n; каждое такое состояние ортогонально всем остальным. Ортогональными являются и все различные возможные положения, в которых может находиться квантовая частица. Более того, ортогональны как состояния |B〉 и i|C〉 (см. §5.7 — прошедшая и отраженная части состояния фотона, получаемые в результате падения фотона на полупрозрачное зеркало), так и состояния i|D〉 и —|E〉, в которые эволюционируют первые два после отражения от двух непрозрачных зеркал.

Последний факт иллюстрирует одно важное свойство шрёдингеровой эволюции U. Любые два изначально ортогональных состояния ортогональными и остаются, если каждое эволюционирует в соответствии с U в течение одного и того же временного периода. Таким образом, свойство ортогональности при эволюции Uсохраняется. Кроме того, эволюция U сохраняет и значение скалярного произведения состояний. Собственно, именно в этом и заключается формальный смысл понятия унитарная эволюция.

Как уже упоминалось выше, ключевая роль ортогональности состоит в следующем: различные возможные квантовые состояния, возникающие при любом «измерении» квантовой системы и дающие — при поднятии на классический уровень — непосредственно различимые результаты, непременно ортогональны друг другу. Особенно наглядно это проявляется в нулевых измерениях — таких, например, как в задаче об испытании бомб, §§5.2 и 5.9. Не-обнаружение какого-либо квантового состояния устройством, способным это состояние обнаружить, приводит в конечном счете к тому, что результирующее состояние «перескакивает» в нечто, ортогонально противоположное тому состоянию, какое детектор, собственно, призван обнаруживать.

Как мы только что отметили, ортогональность математически выражается как обращение в нуль скалярного произведения состояний. Это скалярное произведение, в общем случае, представляет собой комплексное число, поставленное в соответствие какой-либо паре элементов гильбертова пространства. Если обозначить эти элементы (или состояния) через |ψ〉 и |φ〉, то упомянутое комплексное число записывается так: 〈ψ|φ〉. При этом выполняется ряд простых алгебраических тождеств, которые мы можем записать в следующем (несколько, правда, неуклюжем) виде:

〈ψ¯|¯φ〉 = 〈φ|ψ〉,

〈ψ|(|φ〉 + |χ〉) = 〈ψ|φ〉 + 〈ψ|χ〉,

(z〈ψ|)|φ〉 = z〈ψ|φ〉,

〈ψ|ψ〉> 0, кроме случая |ψ〉 = 0.

Кроме того, можно показать, что 〈ψ|ψ〉 = 0 при |ψ〉 = 0. Мне не хочется надоедать читателю прочими математическими подробностями (если же таковые подробности кого-то заинтересуют, то ознакомиться с ними можно, открыв любой стандартный текст по квантовой теории; см., например, [94]).

Существенными для наших дальнейших нужд свойствами скалярного произведения являются лишь следующие два (уже, впрочем, упоминавшиеся выше):

векторы |ψ〉 и |φ〉ортогональны тогда и только тогда, когда 〈ψ|φ〉 = 0,

произведение 〈ψ|ψ〉 есть квадрат длины вектора |ψ〉.

Отметим, что отношение ортогональности является симметричным (поскольку 〈ψ¯|¯φ〉 = 〈φ|ψ〉). Более того, произведение 〈ψ|ψ〉 всегда представляет собой неотрицательное вещественное число, из какового числа легко извлекается неотрицательный квадратный корень, который мы можем называть длиной (или величиной) вектора |ψ〉.

Поскольку при умножении любого вектора состояния на ненулевое комплексное число физическая интерпретация этого вектора никаких изменений не претерпевает, мы всегда можем нормировать состояние таким образом, чтобы длина соответствующего вектора стала равна единице, получив в результате так называемый единичный вектор, или нормированное состояние. Тут, впрочем, имеется некоторая неясность, так как мы можем умножить вектор состояния и на чистую фазу (число вида e^iθ, где θ — вещественное число; см. §5.10).

5.13. Описание редукции R в терминах гильбертова пространства

Как в терминах гильбертова пространства представить процедуру R? Рассмотрим простейший случай измерения (типа «да/нет»), при котором прибор делает запись ДА при достоверном обнаружении у измеряемого квантового объекта некоторого свойства и НЕТ, если обнаружить данное свойство не удается (или, что то же самое, прибор обнаруживает достоверное указание на то, что таким свойством измеряемый квантовый объект не обладает). Этот случай включает в себя и ту возможность, которая нас в настоящий момент как раз и интересует, — вариант НЕТ может оказаться нулевым измерением. Подобные измерения выполняют, например, детекторы фотонов из §5.8. Они регистрируют результат ДА, обнаруживая прибытие фотона, и НЕТ, если обнаружения фотона не произошло. В данном случае измерение НЕТ является не чем иным, как нулевым измерением — измерением оно при этом быть не перестает, вследствие чего состояние системы «скачком» переходит в состояние, ортогональное тому, какое наблюдалось бы, получи мы при измерении результат ДА. Аналогичным образом, к нулевым можно непосредственно отнести и измерения спина (для атома со спином 1/2) в опыте Штерна—Герлаха; можно говорить, что измерение дает результат ДА, если обнаруживается, что атом имеет спин |↑〉 (что происходит, когда атом отклоняется в сторону, соответствующую направлению «вверх»), или НЕТ, если атом в эту сторону не отклоняется, что дает нам спиновое состояние, ортогональное состоянию |↑〉, т.е. |↓〉.

Более сложные измерения всегда можно представить в виде последовательности измерений типа «да/нет». Рассмотрим, например, атом со спином 1/2 n. Чтобы не упустить ни одного из n + 1 различных возможных результатов измерения доли спина, ориентированного в направлении «вверх», начнем с того, что зададим вопрос, не находится ли атом в спиновом состоянии, например, |↑↑…↑〉. Для ответа на вопрос попытаемся обнаружить атом в луче, соответствующем этому спиновому состоянию «единодушно вверх». Если измерение дает ответ ДА, то на этом наши мучения и заканчиваются. Если же мы получаем НЕТ, то измерение оказывается нулевым, и мы переходим к следующему вопросу: «Не находится ли атом в спиновом состоянии |↓↑…↑〉?» И так далее. Каждый раз ответ НЕТ следует считать нулевым измерением, каковое указывает лишь на то, что в данном случае не был получен ответ ДА. Запишем наши рассуждения более подробно. Предположим, что первоначально атом находится в спиновом состоянии

z₀|↑↑↑…↑〉 + z₁|↓↑↑…↑〉 + z₂|↓↓↑…↑〉 + … + z_n|↓↓↓…↓〉,

а мы выполняем измерение с целью выяснить, не ориентирован ли весь спин атома в направлении «вверх». Получив ответ ДА, мы удостоверяемся в том, что атом действительно находится в состоянии |↑↑↑…↑〉, или, если точнее, «перескакивает» в состояние |↑↑↑…↑〉 при измерении. Если же ответ НЕТ, то измерение является нулевым, и приходится предположить, что первоначальное состояние «перескакивает» в ортогональное состояние

z₁|↓↑↑…↑〉 + z₂|↓↓↑…↑〉 + … + z_n|↓↓↓…↓〉.

Мы выполняем следующее измерение, на этот раз желая выяснить не находится ли атом в состоянии |↓↑↑…↑〉. Получив при этом измерении ответ ДА, мы говорим, что атом и в самом деле находится в состоянии |↓↑↑…↑〉 или, что правильнее, «перескакивает» в состояние |↓↑↑…↑〉 в результате измерения. Если же мы получаем ответ НЕТ, то происходит «скачок» в следующее состояние,

z₂|↓↓↑…↑〉 + … + z_n|↓↓↓…↓〉,

и так далее.

Эти «скачки», совершаемые (или, по крайней мере, кажущиеся совершаемыми) вектором состояния, олицетворяют собой наиболее головоломный аспект квантовой теории. Думаю, недалеко от истины утверждение, что большинство квантовых физиков либо испытывают немалые трудности, пытаясь примириться с тем фактом, что подобные «скачки» неотъемлемо присущи объективной физической реальности, либо вообще отказываются признавать, что реальность может вести себя столь абсурдным образом. Тем не менее, какой бы точки зрения относительно связи описываемых здесь процессов с «реальностью» мы ни придерживались, упомянутые «скачки» представляют собой существенный элемент квантового формализма.

В предыдущем рассуждении я воспользовался правилом, иногда называемым проекционным постулатом и однозначно определяющим форму подобных «скачков» (например, состояние z₀|↑↑↑…↑〉 + z₁|↓↑↑…↑〉 + … + z_n|↓↓↓…↓〉 Должно «перескакивать» в состояние z₁|↓↑↑…↑〉 + … + z_n|↓↓↓…↓〉). Название постулата обусловлено геометрическими соображениями, в чем мы вскоре убедимся. По мнению некоторых физиков, проекционный постулат представляет собой несущественное допущение квантовой теории. Физики эти, впрочем, имеют в виду, как правило, отнюдь не нулевые измерения, но измерения, при которых квантовое состояние нарушается неким физическим взаимодействием. Такое нарушение происходит, когда измерение (в вышеописанных примерах) дает ответ ДА, т.е. детектор регистрирует фотон, поглощая его при этом, а атом по прохождении установки Штерна—Герлаха оказывается в некотором конкретном луче (что опять же означает ДА). Для рассматриваемого же нулевого измерения (т.е. измерения, при котором мы получаем ответ НЕТ) проекционный постулат оказывается как нельзя более существенным, поскольку без него никак невозможно узнать, что квантовая теория думает (и, кстати, правильно думает) по поводу измерений, следующих за нулевым.

Для того, чтобы получить более наглядное представление о смысле проекционного постулата, попробуем описать происходящее в терминах гильбертова пространства. Для этого введем понятие примитивного измерения. Примитивным я буду называть измерение типа «да/нет», при котором результат ДА означает, что система находится в некотором определенном квантовом состоянии |α〉 (либо в кратном ему состоянии u|α〉. где u ≠ 0) — или только что в это состояние «перескочила». Таким образом, в случае примитивного измерения результат ДА определяет физическое состояние системы как нечто конкретное и единственное, тогда как результат НЕТ может предполагать несколько альтернативных вариантов развития событий. Примитивными являются, например, описанные выше измерения спина, посредством которых мы пытались установить, не находится ли спин в том или ином состоянии (скажем, в состоянии |↓↓↑…↑〉).

При примитивном измерении результат НЕТпроецирует состояние системы на состояние, ортогональное |α〉. На рис. 5.24 представлена геометрическая интерпретация этой процедуры. За начальное состояние примем состояние |ψ〉 (обозначенное на рисунке большой стрелкой) — в результате измерения оно «перескакивает» либо в состояние, кратное |α〉 (если ответ ДА), либо проецируется на состояние, ортогональное |α〉 (если ответ НЕТ). Со случаем НЕТ никаких дополнительных проблем не возникает — согласно стандартной квантовой теории, именно такого результата и следует ожидать. В случае же ответа ДА ситуация осложняется тем, что здесь квантовая система вступает во взаимодействие с измерительным устройством, переходя в состояние, значительно более хитроумное, нежели просто |α〉. Результатом такой эволюции оказывается, в общем случае, так называемое сцепленное состояние, «сплетающее» в одно целое исходную квантовую систему и измерительное устройство. (Сцепленные состояния мы рассмотрим в §5.17.) Тем не менее, дальше квантовая система должна эволюционировать так, будто она и в самом деле перескочила в состояние, кратное |α〉; в противном случае последующая эволюция системы становится неоднозначной.

Рис. 5.24. Примитивное измерение проецирует состояние |ψ〉 в состояние, кратное заданному состоянию |α〉 (в случае ответа ДА), или в состояние, являющееся ортогональным дополнением |α〉 (в случае ответа НЕТ).

Алгебраически этот скачок выражается следующим образом. Вектор состояния |ψ〉 всегда можно записать (в данном случае — однозначно, поскольку вектор \а) задан) в виде

|ψ〉 = z|α〉 + |χ〉,

где |χ〉 ортогонален |α〉. Вектор z|α〉 есть ортогональная проекция вектора |ψ〉 на луч, содержащий вектор |α〉, а |χ〉 — это ортогональная проекция |ψ〉 на пространство ортогональных дополнений |α〉 (т.е. на пространство всех векторов, ортогональных |α〉). Если измерение дает результат ДА, то это нужно понимать так, что вектор состояния перескочил в z|α〉 (или просто в |α〉), что является отправной точкой его последующей эволюции. Если же результат НЕТ, то вектор перескакивает в |χ〉.

Какие вероятности следует приписать каждому из двух альтернативных результатов? Для того, чтобы воспользоваться предложенным выше «правилом квадратов модулей», будем полагать вектор |α〉единичным и выберем некоторый единичный вектор |φ〉 в направлении вектора |χ〉, т.е. |χ〉 = w|φ〉. Тогда выражение принимает вид

|ψ〉 = z|α〉 + w|φ〉

(где, собственно, z = 〈α|ψ〉 и w = 〈φ|ψ〉), а относительные вероятности результатов ДА и НЕТ вычисляются через отношение квадратов |z|² и |w|². Если и сам вектор |ψ〉 является единичным, то величины |z|² и |w|² представляют собой фактические вероятности, соответственно, результатов ДА и НЕТ.

Можно сформулировать все это и по-другому, причем в настоящем контексте получится даже несколько проще (в качестве упражнения предлагаю заинтересованному читателю самостоятельно убедиться в том, что эти формулировки эквивалентны). Для того чтобы определить фактическую вероятность каждого из возможных результатов (в данном случае, ДА и НЕТ), мы просто возводим в квадрат длину вектора |ψ〉 (ненормированного к единичному вектору), после чего сравниваем полученное значение с квадратами длины соответствующих проекций. Коэффициент уменьшения в каждом случае и будет представлять собой искомую вероятность.

В заключение следует упомянуть, что в случае общего измерения типа «да/нет» (т.е. не только примитивного), когда ДА-состояния не обязательно принадлежат одному-единственному лучу, рассуждение будет по большей части аналогично вышеприведенному. Только здесь речь пойдет о ДА-подпространстве Д и НЕТ-подпространстве Н. Эти подпространства являются ортогональными дополнениями друг друга — в том смысле, что любой вектор одного ортогонален любому вектору другого, вместе же они заполняют все исходное гильбертово пространство. Согласно проекционному постулату, при измерении первоначальный вектор состояния |ψ〉 ортогонально проецируется на подпространство Д, если получен ответ ДА, и на подпространство Н, если получен ответ НЕТ. Относительные вероятности этих результатов здесь также определяются коэффициентами уменьшения квадрата длины вектора состояния при соответствующем проецировании (см. НРК, с. 263, рис. 6.23). Впрочем, статус проекционного постулата в данном случае представляется несколько менее ясным, чем при нулевом измерении, поскольку при утвердительном результате измерения результирующее состояние сцепляется с состоянием измерительного устройства. Поэтому в последующих рассуждениях я ограничусь более простыми примитивными измерениями, ДА-пространство которых состоит из одного-единственного луча (содержащего векторы, кратные |ψ〉). Для наших нужд этого будет вполне достаточно.

5.14. Коммутирующие измерения

При проведении нескольких последовательных измерений квантовой системы порядок, в котором эти измерения выполняются, может быть, в общем случае, важным. Измерения, от порядка выполнения которых зависит, какой вектор состояния мы получим в конечном итоге, называются некоммутирующими. Если же порядок выполнения измерений не играет абсолютно никакой роли (не изменяется даже фаза результирующего состояния), то мы говорим, что такие измерения коммутируют. В терминах гильбертова пространства это можно понимать так: при нескольких последовательных ортогональных проекциях заданного вектора состояния |ψ〉 окончательный результат, как правило, зависит от порядка выполнения этих проекций. В случае коммутирующих измерений порядок их выполнения никакой роли не играет.

Что же происходит в случае примитивных измерений? Нетрудно убедиться, что для коммутируемости двух различных примитивных измерений необходимо, чтобы ДА-луч одного был ортогоналенДА-лучу другого.

Например, примитивные измерения спина атома со спином 1/2 n (см. §5.10) можно выполнять в любом порядке, так как все возможные состояния здесь (|↑↑…↑〉, |↓↑…↑〉, …, |↓↓…↓〉) ортогональны друг другу. Таким образом, окончательный результат измерения никак не зависит от выбранного мной конкретного порядка выполнения примитивных измерений — все эти измерения коммутируют. Впрочем, в общем случае это не всегда так — например, нам может вздуматься выполнять отдельные измерения спина относительно различных направлений. Такие измерения, как правило, не коммутируют.

5.15. Квантовомеханическое «И»

В квантовой механике имеется стандартная процедура для исследования систем из двух и более независимых компонентов. Эта процедура понадобится нам, в частности, при рассмотрении с квантовой точки зрения (которое мы планируем дать в §5.18) системы, состоящей из двух далеко разнесенных в пространстве частиц со спином 3/2 — тех самых частиц, которые «Квинтэссенциальные Товары» поместили в магические додекаэдры (см. §5.3). Необходима такая процедура и для квантовомеханического описания детектора в момент сцепления его состояния с квантовым состоянием регистрируемой частицы.

Рассмотрим для начала систему, состоящую всего из двух независимых (невзаимодействующих) компонентов. Допустим, что каждый из этих компонентов (в отсутствие другого) описывается своим вектором состояния — скажем, |α〉 и |β〉. Как описать всю систему, в которой присутствуют оба компонента? Обычная процедура заключается в составлении так называемого тензорного (или внешнего) произведения этих векторов, которое записывается следующим образом:

|α〉|β〉.

Мы можем рассматривать это произведение как стандартный квантовомеханический способ представления обыкновенного логического «И» — в том смысле, что такая система объединяет в себе в некоторый момент времени обе независимые квантовые системы, представленные, соответственно, векторами состояния |α〉 и |β〉. (Например, |α〉 может представлять электрон, находящийся в точке A, а |β〉 — атом водорода в некоторой отдаленной точке B. Тогда состояние, в котором электрон находится в точке A, а атом водорода — в точке B, будет представлено произведением |α〉|β〉.) Величина |α〉|β〉 представляет одно квантовое состояние — мы вполне можем обозначить его одним вектором состояния, скажем, |х), и, не нарушив ни одного закона, записать

|χ〉 = |α〉|β〉.

Следует особо подчеркнуть, что это понятие «И» не имеет ничего общего с квантовой линейной суперпозицией, которая записывается как сумма векторов состояний |α〉 + |β〉 или, в общем случае, z|α〉 + w|β〉, где z и w — комплексные весовые коэффициенты. Например, если |α〉 и |β〉 — возможные состояния одного фотона (соответствующие, скажем, его расположению в различных точках A и B), то запись |α〉 + |β〉 также представляет возможное состояние того же самого фотона, при котором он замирает в нерешительности где-то между A и B в соответствии с маловразумительными предписаниями квантовой теории, — одного фотона, заметим, никак не двух. Состояние пары фотонов, при котором один находится в точке A, а другой — в точке B, будет представлено уже вектором |α〉|β〉.

Тензорное произведение подчиняется тем же алгебраическим правилам, каким, по нашим представлениям, и должно подчиняться любое уважающее себя произведение:

(z|α〉)|β〉 = z(|α〉|β〉) = |α〉(z|β〉),

(|α〉 + |γ〉)|β〉 = |α〉|β〉 + |γ〉|β〉,

|α〉(|β〉 + |γ〉) = |α〉|β〉 + |α〉|γ〉,

(|α〉|β〉)|γ〉 = |α〉(|β〉|γ〉).

разве что равенство |α〉|β〉 = |β〉|α〉, строго говоря, некорректно. Это, впрочем, отнюдь не означает, что интерпретация понятия «И» в квантовомеханическом контексте предполагает, что совокупная система «|α〉 и |β〉» физически чем-то отличается от совокупной системы «|β〉 и |α〉». Мы попробуем обойти эту проблему посредством несколько более глубокого погружения в таинства действительного поведения Вселенной на квантовом уровне. В дальнейшем под записью |α〉|β〉 мы будем подразумевать не то, что математики называют «тензорным произведением», а скорее то, что в математической физике (с недавних пор) называется грассмановым произведением. Тогда к записанным выше можно добавить еще одно правило:

|α〉|β〉 = ±|β〉|α〉.

Знак «минус» появляется здесь лишь в том случае, когда оба состояния (|α〉 и |β〉) «охватывают» нечетное количество частиц с нецелочисленным спином. (Такие частицы называются фермионами, а их спин принимает значения 1/2, 3/2, 5/2, 7/2, …. Частицы со спином 0, 1, 2, 3, … называются бозонами и на знак в приведенном выше выражении никак не влияют.) Впрочем, на данном этапе читателю нет необходимости вникать во все эти формальности. До тех пор, пока нас занимает лишь скрывающееся за описанием физическое состояние, «|α〉 и |β〉» ничем не отличается от «|β〉 и |α〉».

Для описания состояний с тремя или большим количеством независимых компонентов мы просто повторяем процедуру. Так, если обозначить индивидуальные состояния этих трех компонентов через |α〉, |β〉 и I7), то состояние, в котором все три компонента наличествуют одновременно, описывается произведением

|α〉|β〉|γ〉,

причем грассманово произведение (|α〉|β〉)|γ〉 (или, что эквивалентно, |α〉(|β〉|γ〉)) описывает то же самое состояние. Аналогичным образом рассматриваются и системы с четырьмя или более независимыми компонентами.

Следует упомянуть и об одном важном свойстве шрёдингеровой эволюции U: эволюция совокупной системы |α〉|β〉 (где |α〉 и |β〉 никак друг с другом не взаимодействуют) есть не что иное, как совокупность эволюции индивидуальных систем. Так, если по истечении некоторого времени t система |α〉 эволюционирует (индивидуально) в систему |α'〉, а система |β〉 эволюционирует (индивидуально) в систему |β'〉, то совокупная система |α〉|β〉 за то же время t эволюционирует в систему |α'〉|β'〉. Аналогично, если у нас имеется три невзаимодействующих компонента |α〉, |β〉 и |γ〉, эволюционирующих, соответственно, в |α'〉, |β'〉 и |γ'〉 то совокупная система |α〉|β〉|γ〉 посредством той же эволюции переходит в состояние |α'〉|β'〉|γ'〉. То же верно для четырех и более компонент.

Отметим, что свойство это очень похоже на свойство линейности эволюции U (см. §5.7), согласно которому результат эволюции суперпозиции состояний в точности совпадает с суперпозицией результатов эволюции отдельных состояний. Состояние |α〉 + |β〉, например, эволюционируете |α'〉 + |β'〉. Тем не менее, речь в обоих случаях идет о совершенно разных вещах, и очень важно об этой разнице не забывать. Нет ничего удивительного в том, что система, составленная из невзаимодействующих независимых компонентов, эволюционирует — как целое — так, словно ни один из ее отдельных компонентов понятия не имеет о присутствии в системе остальных. Независимость компонентов (т.е. полное отсутствие каких бы то ни было взаимодействий между ними) в данном случае — существенное условие, иначе свойство не «работает». Свойство линейности же оказывается поистине неожиданным. Получается, что под действием U системы-суперпозиции состояний эволюционируют как набор отдельных, полностью изолированных друг от друга состояний независимо от того, изолированы эти состояния в действительности или между ними существуют какие-то взаимодействия. Одного этого достаточно, чтобы усомниться в абсолютной справедливости свойства линейности. И все же эволюция U линейна (и тому есть многочисленные подтверждения), но лишь в отношении феноменов, целиком и полностью ограниченных квантовым уровнем. Нарушение же линейности происходит, по всей видимости, исключительно под действием процедуры R. К этому вопросу мы еще вернемся.

5.16. Ортогональность произведений состояний

С ортогональностью произведений состояний (в том виде, в каком я определил эти произведения выше) дела обстоят не так просто, как хотелось бы. Допустим, у нас имеется два ортогональных состояния |α〉 и |β〉; тогда мы вправе ожидать, что состояния |ψ〉|α〉 и |ψ〉|β〉 также будут ортогональными, причем при любом |ψ〉. Пусть, например, |α〉 и |β〉 — возможные альтернативные состояния фотона, где |α〉 — состояние фотона, зарегистрированного неким фотоэлементом, а ортогональное |α〉 состояние |β〉 — предполагаемое состояние фотона в случае, когда фотоэлемент не регистрирует ничего (нулевое измерение). Можно представить себе, что наш фотон является компонентом некоей совокупной системы — просто добавим к нему еще какой-нибудь объект (например, другой фотон, скажем, где-нибудь на Луне) и обозначим состояние этого другого объекта через |ψ〉. Таким образом, для нашей совокупной системы возможны два альтернативных состояния — |ψ〉|α〉 и |ψ〉|β〉. Простое добавление состояния |ψ〉 в имеющееся описание не должно, разумеется, оказать никакого влияния на ортогональность двух первоначальных состояний. В самом деле, если говорить об определении произведения состояний в терминах обычного «тензорного произведения» (или необычного — в данном случае, грассманова произведения, а точнее, некоторой его модификации, используемой в наших рассуждениях), то так оно и есть, и из ортогональности состояний |α〉 и |β〉 действительно следует ортогональность |ψ〉|α〉 и |ψ〉|β〉.

Как бы то ни было, пути, которыми, похоже (согласно 

последним данным квантовой теории), предпочитает следовать Вселенная, далеко не столь прямолинейны. Если бы состояние |ψ〉 можно было счесть полностью независимым и от |α〉, и от |β〉, то тогда его присутствие и в самом деле ничего бы не меняло. Однако формально полной независимости здесь быть не может, и состояние даже пребывающего на Луне фотона оказывает самое непосредственное воздействие на состояние фотона, регистрируемого нашим фотоэлементом[40]. (С этими формальностями связано, в частности, то, что под обозначением «|ψ〉|α〉» мы подразумеваем произведение грассманова типа — если использовать более привычные термины, то речь тут идет о так называемой «статистике Бозе» (описание состояний фотонов и прочих бозонов) или о «статистике Ферми» (описание состояний фермионов — электронов, протонов и т.д.), см. НРК, с. 277, 278 и, скажем, [94].) Если бы перед нами стояла задача получить абсолютно точный с точки зрения теории результат, то рассмотрение состояния одного-единственного фотона потребовало бы учета состояний всех фотонов во Вселенной. Впрочем, необходимости в этом (к счастью) нет — и без такого учета точность получаемых результатов хоть и не абсолютна, но все же чрезвычайно высока. Если состояния |α〉 и |β〉 ортогональны, то можно с очень высокой степенью точности предположить, что ортогональными будут и состояния |ψ〉|α〉 и |ψ〉|β〉 (даже если это произведения грассманова типа), где |ψ〉 — любое состояние, не имеющее очевидного отношения к рассматриваемой задаче (каковая задача непосредственно касается лишь ортогональных состояний |α〉 и |β〉). Так и предположим.

5.17. Квантовая сцепленность

Для того чтобы двигаться дальше, нам не обойтись без понимания квантовой физики ЭПР-эффектов — квантовомеханических Z-загадок, ярким представителем которых является представленная мною выше задача о магических додекаэдрах (см. §§5.3, 5.4). Кроме того, мы должны как-то разобраться с главной X-загадкой квантовой теории — парадоксальной взаимозависимостью между процессами эволюции U и редукции R, загадкой, порождающей проблему измерения, о которой мы поговорим в следующей главе. Следовательно, настала пора ввести очередную фундаментальную квантовую идею — понятие о сцепленных состояниях.

Начнем с того, что попытаемся выяснить, что включает в себя простой процесс измерения. Рассмотрим следующую ситуацию: фотон находится в суперпозиции, скажем, |α〉 + |β〉, где в состоянии |α〉 фотон активирует детектор, в состоянии же |β〉, ортогональном |α〉, фотон никакого воздействия на детектор не оказывает. (Похожий пример рассматривался в §5.8, когда на детектор, расположенный в точке G, падал фотон, пребывающий в состоянии —|F〉 - i|G〉. В состоянии |G〉 фотон активировал детектор, в состоянии |F〉 никакого воздействия на детектор не происходило.) Предположим далее, что детектору тоже можно сопоставить некое квантовое состояние, скажем, |Ψ〉. Вообще говоря, в квантовой теории это обычная практика. Лично мне не совсем ясно, какой может быть смысл в придании квантовомеханического описания объекту классического уровня, однако в дискуссиях на эту тему подобные вопросы, как правило, никого не занимают. Как бы то ни было, мы, думаю, можем согласиться с тем, что те элементы детектора, с которыми фотон сталкивается прежде всего, и в самом деле допускают рассмотрение согласно стандартным правилам квантовой теории. Поэтому, если у вас возникают какие-либо сомнения относительно правомерности применения этих правил ко всему детектору (как к целому), вы можете считать, что вектор состояния |Ψ〉 описывает поведение именно совокупности элементов квантового уровня (частиц, атомов, молекул), что принимают на себя, так сказать, первый удар.

В момент, непосредственно предшествующий столкновению фотона (или, точнее, |α〉-части волновой функции фотона) с детектором, физическое состояние системы объединяет в себе состояние детектора и состояние фотона, т.е. имеет вид |Ф)(|α〉 + |β〉), а нам известно, что

|Ψ〉(|α〉 + |β〉) = |Ψ〉|α〉 + |Ψ〉|β〉.

Таким образом, мы имеем дело с суперпозицией состояния |Ψ〉|α〉, описывающего детектор (элементы детектора) и приближающийся к нему фотон, и состояния |Ψ〉|β〉, описывающего детектор (элементы детектора) и фотон, находящийся где-то в другом месте. Предположим далее, что состояние |Ψ〉|α〉 (детектор с приближающимся к нему фотоном) переходит, согласно шрёдингеровой эволюции U, в некоторое новое состояние |Ψ_Д〉 (детектор регистрирует результат ДА) — в силу возникающих при столкновении взаимодействий между фотоном и элементами детектора. Предположим также, что если фотон с детектором не сталкивается, то под действием U состояние детектора |Ψ〉 эволюционирует (индивидуально) в состояние |Ψ_Н〉 (детектор регистрирует НЕТ), а состояние |β〉 — в состояние |β'〉. Тогда, согласно свойствам шрёдингеровой эволюции, рассмотренным в предыдущем параграфе, общее состояние системы принимает вид

|Ψ_Д〉 + |Ψ_Н〉|β'〉.

Перед нами типичный пример сцепленного состояния: термин «сцепленность» в данном случае отражает тот факт, что общее состояние системы невозможно записать просто в виде произведения состояния одной из ее подсистем (фотона) на состояние другой подсистемы (детектора). Более того, состояние |Ψ_Д〉 и само, по всей вероятности, является сцепленным (по меньшей мере, с состояниями элементов собственного окружения), однако подтверждение этой сцепленности требует детального исследования соответствующих взаимодействий, не имеющих к теме нашего разговора никакого отношения.

Отметим, что состояния |Ψ〉|α〉 и |Ψ〉|β〉, суперпозицией которых представлено состояние совокупной системы непосредственно перед столкновением, (существенно) ортогональны — поскольку ортогональны состояния |α〉 и |β〉, а |Ψ〉 никак не зависит ни от того, ни от другого. Таким образом, ортогональными должны быть и состояния, в которые они эволюционируют под действием U, — |Ψ_Д〉 и |Ψ_Н〉|β'〉. (Эволюция U всегда сохраняет ортогональность.) Состояние |Ψ_Д〉 может в дальнейшем эволюционировать в нечто, наблюдаемое на макроскопическом уровне, — например, в слышимый человеческим ухом щелчок, указывающий на то, что фотон действительно был зарегистрирован. Если же никакого щелчка мы не услышали, то это надо понимать так, что система находится в ортогональном альтернативном состоянии |Ψ_Н〉|β'〉 (или только что в него «перескочила»). Одна лишь контрфактуальная возможность — щелчок мог прозвучать, но не прозвучал — вызывает «скачок» состояния из суперпозиции в состояние |Ψ_Н〉|β'〉, причем новое состояние уже не является сцепленным. Его расцепило нулевое измерение.

Характерной особенностью сцепленных состояний является то, что «скачок», сопровождающий процедуру R, может в данном случае иметь, на первый взгляд, нелокальное (или даже явно ретроактивное) действие, еще более удивительное, чем результат простого нулевого измерения. Такая нелокальность, в частности, имеет место в так называемых ЭПР-эффектах (или феноменах Эйнштейна—Подольского—Розена). Эти эффекты — подлинные квантовые чудеса — можно отнести к наиболее непостижимым Z-загадкам квантовой теории. Идею подобного парадокса первоначально выдвинул Эйнштейн, желая показать, что формализм квантовой теории не в состоянии дать исчерпывающее описание Вселенной. Впоследствии было предложено множество различных вариантов ЭПР-феноменов (например, магические додекаэдры из §5.3), причем некоторые из них получили прямое экспериментальное подтверждение, т.е. оказались неотъемлемой частью действительного устройства мира, в котором мы живем (см. §5.4).

ЭПР-эффекты возникают в следующего рода ситуациях. Рассмотрим известное начальное состояние |Ω〉 физической системы, которое эволюционирует (согласно U) в суперпозицию двух ортогональных состояний, каждое из которых представляет собой произведение двух независимых состояний, описывающих два пространственно разделенных физических компонента системы — т.е. |Ω〉 эволюционирует, скажем, в сцепленное состояние

|ψ〉|α〉 + |φ〉|β〉.

Допустим, состояния |ψ〉 и |φ〉 — это ортогональные альтернативы для одного компонента системы, а |α〉 и |β〉 — ортогональные альтернативы для другого компонента. Измерение, устанавливающее в каком из состояний, |ψ〉 или |φ〉, находится первый компонент, тем самым немедленно определяет и соответствующее состояние (|α〉 или |β〉) второго компонента.

Пока, кажется, ничего сверхъестественного. Кто-то может даже предположить, что нечто очень похожее мы могли наблюдать в случае с добрым доктором Бертлманом и его носками (§5.4). Коль скоро нам известно, что носки доктора должны быть разного цвета, — и кроме того, мы выяснили, что сегодня он остановил свой выбор, скажем, на зеленом и розовом, — то наблюдение, устанавливающее, что левый носок доктора зеленый (состояние |ψ〉) или же розовый (состояние |φ〉), немедленно определяет цвет его правого носка — соответственно, розового (состояние |α〉) или зеленого (состояние |β〉). Как бы то ни было, эффекты квантовой сцепленности могут фундаментально отличаться от вышеописанного, и никакая «бертлмано-носочная» трактовка не в состоянии объяснить все наблюдаемые результаты. Серьезные проблемы начинаются тогда, когда компоненты системы могут быть измерены несколькими альтернативными способами.

Проиллюстрируем сказанное примером. Предположим, что начальное состояние |Ω₀〉 описывает спиновое состояние некоторой частицы как спин 0. Частица затем распадается на две новые частицы (каждая со спином 1/2), которые разлетаются в разные стороны (скажем, влево и вправо), удаляясь на значительное расстояние друг от друга. Из свойств кинетического момента и из закона его сохранения следует, что спины образовавшихся при распаде частиц должны быть ориентированы в противоположном направлении; таким образом, состояние нулевого спина, в которое эволюционирует |Ω₀〉, имеет вид

|Ω〉 = |L↑〉|R↓〉 - |L↓〉|R↑〉,

где «L» обозначает частицу, движущуюся влево, a «R» — частицу, движущуюся вправо (знак «минус» появляется согласно стандартному правилу). Допустим, мы решаем провести измерение спина левой частицы на предмет направленности его оси «вверх». Тогда ответ ДА (т.е. обнаружение состояния |L↑〉) автоматически поместит правую частицу в состояние |R↓〉 («спин вниз»). Ответ НЕТ (|L↓〉) автоматически помещает правую частицу в состояние «спин вверх» (|R↑〉). Похоже, что измерение частицы «здесь» способно мгновенно повлиять на состояние частицы «там» (причем это «там» может быть очень далеко отсюда) — что, впрочем, ничуть не более удивительно, чем все те же «бертлмановские носки»!

Однако это сцепленное состояние можно представить и иначе, для этого нужно всего лишь выполнить другое измерение. Например, мы могли бы выбрать при измерении спина левой частицы другое направление — не вертикальное, а горизонтальное, т.е. ответ ДА соответствовал бы состоянию, скажем, |L←〉, а ответ НЕТ — состоянию |L→〉. Путем простого вычисления (см. НРК, с. 283) находим, что то же совокупное состояние |Ω〉 можно записать иначе:

|Ω〉 = |L←〉|R→〉 - |L→〉|R←〉.

Таким образом, ответ ДА при измерении левой частицы автоматически помещает правую частицу в состояние |R→〉, а ответ НЕТ — в состояние |R←〉. Какое бы направление для измерения спина левой частицы мы ни выбрали, мы получим соответствующий, отличный от прочих, результат.

Что в подобного рода ситуациях замечательно, так это то, что простой выбор направления оси спина левой частицы определяет, судя по всему, направление оси спина правой частицы. Более того, пока не получен результат левого измерения, никакой реальной информации правой частице не передается. Одно лишь «установление направления оси спина» не производит, само по себе, никакого реально наблюдаемого эффекта. Несмотря на то, что сегодня все это хорошо понимают, до сих пор встречаются люди, которые тешат себя надеждой отыскать способ использовать ЭПР-эффект для мгновенной передачи сигналов из одного места в другое, ведь редукция вектора состояния R «редуцирует» квантовое состояние ЭПР-пары частиц мгновенно, вне зависимости от того, какое расстояние их разделяет. Как это ни печально, однако способа передать посредством описанной процедуры сигнал от левой частицы к правой не существует (см. [145]).

Согласно стандартному квантовомеханическому формализму все, действительно, так и выглядит: немедленно по выполнении измерения, скажем, левой частицы происходит редукция полного состояния системы — из начального сцепленного состояния (где ни одна частица в отдельности определенного спинового состояния не имеет) в состояние, при котором левое состояние «расцепляется» с правым, а оба спина приобретают вполне определенное значение. В математическом описании в терминах вектора состояния измерение слева и в самом производит на правую частицу мгновенное воздействие. Но, как я уже говорил, передать посредством такого «мгновенного воздействия» физический сигнал, увы, невозможно.

Согласно принципам теории относительности, физические сигналы (т.е. все, что способно передавать реальную информацию) неизбежно ограничены в своем распространении скоростью света: они могут распространяться медленнее, но быстрее — никогда. Однако для ЭПР-эффектов такое рассмотрение не годится. Представление об ЭПР-эффектах как о конечных сигналах, распространение которых ограничено скоростью света, противоречит всем предсказаниям квантовой теории. (Это обстоятельство хорошо иллюстрируется примером с магическими додекаэдрами — сцепленность между моим додекаэдром и додекаэдром моего коллеги гарантирует их мгновенное взаимодействие, и нет необходимости ждать четыре года, которые затратит на преодоления расстояние между нами световой сигнал; см. §§5.3, 5.4, а также примечание ^{65}.) Следовательно, ЭПР-эффекты не могут быть сигналами в обычном смысле этого слова.

Как же в таком случае объяснить тот факт, что ЭПР-эффекты способны-таки повлечь за собой вполне наблюдаемые последствия? То, что они способны, следует, например, из знаменитой теоремы Джона Белла (см. §5.4). Совместные вероятности, предсказываемые квантовой теорией для различных возможных измерений состояния двух частиц со спином 1/2 (с независимым выбором направления оси спина левой и правой частицы), невозможно получить ни в какой классической модели несообщающихся левого и правого объектов. (Такого рода примеры описаны и в НРК, с. 284—285 и 301.) Магические додекаэдры из §5.3 дают еще более сильный эффект — здесь речь идет уже не просто о вероятностях, но о вполне точных «да/нет»-ограничениях. Таким образом, хотя левая и правая частицы не сообщаются друг с другом в смысле реальной возможности мгновенной передачи сообщений от одного к другому, они, тем не менее, остаются сцепленными в том смысле, что их нельзя рассматривать как отдельные независимые объекты, — до того момента, пока их окончательно не расцепит измерение. Квантовая сцепленность — это загадочный феномен, находящийся где-то между прямым сообщением и полным разделением и не имеющий классического аналога. Более того, эффект сцепленности не ослабевает с увеличением расстояния между объектами (в отличие, скажем, от гравитационного или электрического притяжения, величина которого обратно пропорциональна этому самому расстоянию). Эйнштейна это свойство сцепленности крайне нервировало, он называл его «жутковатым действием на расстоянии» (см. [259]).

Квантовая сцепленность не обращает никакого внимания не только на разделенность в пространстве, но и на разделенность во времени. Если измерение одного из компонентов ЭПР-пары выполнено прежде такого же измерения другого компонента, то в обычном квантовомеханическом описании считается, как правило, что расцепленность пары явилась результатом именно первого измерения, второе же измерение «захватывает» уже только один, расцепленный, компонент — собственно тот, над которым оно производится. Однако в точности такие же наблюдаемые результаты мы получим, если допустим, что второе измерение каким-то образом ретроактивно вызвало расцепление, оставив первое в стороне. Окончательный результат не зависит от порядка выполнения измерений — иначе говоря, измерения коммутируют (см. §5.14).

Такая симметрия является необходимым свойством ЭПР-измерений — в противном случае, они противоречили бы наблюдаемым результатам специальной теории относительности. Измерения, производимые над пространственноподобно разделенными событиями (например, событиями, находящимися вне световых конусов друг друга; см. рис. 5.25 и объяснение, приведенное в §4.4), неминуемо должны коммутировать — при этом и в самом деле абсолютно неважно, какое именно измерение мы будем полагать «первым», — согласно незыблемым принципам специальной теории относительности. Для того, чтобы в этом убедиться, предположим, что вся эта физическая ситуация описывается с точек зрения двух разных наблюдателей, движущихся каждый в своей системе отсчета (см. рис. 5.26, а также НРК, с. 287). (Эти «наблюдатели» вовсе не обязаны иметь какое бы то ни было отношение к тем, кто выполняет измерения.) В представленной ситуации наблюдатели получат совершенно противоположные представления о том, какое измерение было в действительности выполнено «первым». В отношении измерений ЭПР-типа, феномен квантовой сцепленности — или, если угодно, расцепленности[41] — не знает ни разделенности в пространстве, ни последовательности во времени!

Рис. 5.25. Два события в пространстве-времени называются пространственноподобно разделенными, если каждое из них находится вне светового конуса другого (см. также рис. 4.1). В этом случае события не могут оказывать друг на друга никакого причинно-следственного воздействия, следовательно, измерения, производимые над этими событиями, должны коммутировать.

Рис. 5.26. Согласно специальной теории относительности, наблюдатели A и B, движущиеся относительно друг друга, получают различные представления о том, какое из двух пространственноподобно разделенных событий P и Q произошло первым (наблюдатель A полагает, что первым было событие Q, а наблюдатель B уверен, что событие P).

5.18. Объяснение загадки магических додекаэдров

Для ЭПР-пары частиц со спином 1/2 эта пространственная или временная нелокальность проявляется исключительно в виде вероятностей. Однако на деле феномен квантовой сцепленности вероятностями не ограничивается — он гораздо более конкретен и точен. Магические додекаэдры (и кое-какие более ранние конфигурации^{71}) убедительно показывают, что странная нелокальность квантовой сцепленности не только порождает вероятности, но и является причиной вполне определенных «да/нет»-эффектов, которые никакими классическими построениями объяснить невозможно.

Попытаемся разобраться в квантовой механике феномена магических додекаэдров из §5.3. Вспомним, что «Квинтэссенциальные Товары», там, у себя, на Бетельгейзе, взяли систему с общим спином 0 (начальное состояние |Ω〉), разделили ее на два атома (каждый со спином 3/2) и подвесили аккуратно каждый атом в центр додекаэдра. Додекаэдры затем тщательно упаковали и отправили почтой (один — мне, а другой — моему коллеге в систему альфы Центавра), обеспечив при этом полную неизменность спиновых состояний этих самых атомов до тех пор, пока кто-то из нас не выполнит, наконец, измерение спина, нажав на одну из кнопок, размещенных в вершинах додекаэдров. Дело в том, что нажатие на кнопку активирует (скажем, с помощью неоднородного магнитного поля, упомянутого в §5.10) измерение (типа измерения Штерна—Герлаха) атома, расположенного в центре соответствующего додекаэдра, — а возможных результатов измерения частицы со спином 3/2, как нам известно, всего четыре, и они соответствуют (в случае, если измерительное устройство сориентировано вертикально) четырем взаимно ортогональным состояниям: |↑↑↑〉, |↓↑↑〉, |↓↓↑〉 и |↓↓↓〉. Различаются эти состояния по местоположению атома после прохождения через устройство в одном из четырех возможных лучей. Однако «Квинтэссенциальные Товары» устроили все таким образом, что при нажатии на любую кнопку измерительное устройство непременно оказывается сориентировано в направлении (от центра додекаэдра) на эту самую кнопку. Звонок звенит (результат ДА), если атом при измерении обнаруживается во втором из четырех возможных местоположений (см. рис. 5.27). Иначе говоря, ответ ДА (для случая, когда устройство ориентировано вертикально) вызывается состоянием |↓↑↑〉 — звенит звонок, за которым следует впечатляющий фейерверк, — остальные три состояния никакой реакции не вызывают (ответ НЕТ). В случае ответа НЕТ три оставшиеся луча сводятся вместе (скажем, посредством изменения направленности неоднородного магнитного поля на обратную), что не сопровождается никакими разрушительными эффектами, — и мы снова можем нажимать на какую-нибудь другую кнопку, выбирая тем самым новое направление изменения поля. Отметим тот факт, что каждое нажатие кнопки является, по сути своей, примитивным измерением, согласно определению этого термина, данному в §5.13.

Рис. 5.27. «Квинтэссенциальные Товары» устроили все таким образом, что при нажатии на кнопку в одной из вершин додекаэдра выполняется измерение спина атома со спином 3/2 в направлении на кнопку (каковое направление принимается за направление «вверх»). Если при этом измерении обнаруживается состояние |↓↑↑〉. то звенит звонок (результат ДА). Если получен результат НЕТ, лучи сводятся вместе, и измерение повторяется в каком-либо другом направлении.

Общее состояние \Q) нашей системы из двух атомов со спином 3/2 можно записать следующим образом:

|Ω〉 = |L↑↑↑〉|R↓↓↓〉 - |L↑↑↓〉|R↓↓↑〉 + |L↑↓↓〉|R↓↑↑〉 - |L↓↓↓〉|R↑↑↑〉.

Будем считать мой атом правым; в этом случае, если я обнаруживаю, что он действительно находится в состоянии |R↓↑↑〉, поскольку звонок звенит при моем первом нажатии на верхнюю кнопку, то звонок додекаэдра моего коллеги должен зазвенеть, если тому случится нажать первой кнопку, противоположную моей, — т.е. состояние его атома |L↑↓↓〉. Более того, если при нажатии первой кнопки мой звонок не зазвенит, то не зазвенит и его звонок при нажатии противоположной кнопки.

Теперь необходимо убедиться, что при таких примитивных «кнопочных» измерениях действительно выполняются гарантируемые «Квинтэссенциальными Товарами» свойства (а) и (б). В Приложении C приведены некоторые математические подробности предложенного Майораной описания спиновых состоянии (в частности, для спина 3/2), вполне достаточные для какого угодно доказательства. Для упрощения рассуждений представим себе, что сфера Римана проходит через все вершины рассматриваемого додекаэдра, т.е. описывает додекаэдр. Отметим далее, что в описании Майораны ДА-состояние для нажатия кнопки в некоторой вершине P додекаэдра включает в себя дважды саму точку P, а также точку P*, антиподальную P, — что и в самом деле соответствует состоянию |R↓↑↑〉, если точка P находится на северном полюсе додекаэдра. Иначе говоря, это ДА-состояние мы можем обозначить через |P*PP〉.

Ключевым свойством спина 3/2 является то, что ДА-состояния для примитивных измерений, соответствующих нажатиям на кнопки при двух «следующих соседних» вершинах, ортогональны. В чем тут причина? Покажем, что майорановы состояния |A*AA〉 и |C*CC〉 действительно ортогональны для любых следующих соседних вершин A и C додекаэдра. Как видно из рис. 5.28, следующими соседними являются вершины додекаэдра, совпадающие с соседними вершинами куба, вписанного в додекаэдр и имеющего с ним общие центр и восемь вершин. Согласно Приложению C, состояния |A*AA〉 и |C*CC〉 ортогональны, если вершины A и C являются соседними вершинами куба, так что свойство можно считать доказанным.

Рис. 5.28. Внутрь правильного додекаэдра можно поместить куб, который будет иметь общие с додекаэдром центр и восемь (из двадцати) вершин. Отметим, что соседние вершины куба являются следующими соседними вершинами додекаэдра.

О чем это нам говорит? В частности, о том, что нажатия кнопок при трех вершинах додекаэдра, соседних с ВЫБРАННОЙ вершиной представляют собой коммутирующие измерения (§5.14), поскольку по отношению друг к другу эти вершины являются следующими соседними. Таким образом, порядок, в котором я буду на них нажимать, никак не повлияет на исход дела. Не имеет никакого значения и то, в каком порядке будет нажимать на кнопки своего додекаэдра мой коллега на альфе Центавра. Если его ВЫБРАННОЙ вершиной является вершина, противоположная моей, то противоположны моим и три коммутирующие кнопки его додекаэдра. Согласно всему вышесказанному, мой и его звонки должны зазвенеть при нажатии нами на противоположные кнопки независимо оттого, в каком порядке каждый из нас нажимает на кнопки своего додекаэдра, — либо ни мой, ни его звонок не зазвенит вообще. Свойство (а) доказано.

Перейдем к свойству (б). Отметим, что гильбертово пространство для спина 3/2 четырехмерно, так что три взаимно ортогональных возможных нажатия, при которых звонок мог бы зазвенеть — скажем, те, которым соответствуют состояния |A*AA〉, |C*CC〉 и |G*GG〉 (в качестве ВЫБРАННОЙ возьмем вершину B), — не вполне исчерпывают всех возможных альтернативных исходов. Остается еще вариант, когда не «звенит» ни одна их этих кнопок, в результате чего мы имеем нулевое измерение (все три кнопки были нажаты, а звонок не прозвенел), т.е. перед нами еще одно состояние (уникальное), ортогональное остальным трем (|A*AA〉, |C*CC〉, |G*GG〉). Обозначим это состояние через |RST〉, где R, S и T — точки на сфере Римана, необходимые для описания состояния по Майоране. Установить действительное расположение этих трех точек — задача далеко не тривиальная (но вполне решаемая, см. [395]). Впрочем, в настоящий момент нам абсолютно неважно, где именно они располагаются. Достаточно знать, что они где-то на сфере Римана и что их расположение определяется геометрией додекаэдра относительно ВЫБРАННОЙ вершины В. Так, в частности (благодаря симметричности додекаэдра), возьми я в качестве ВЫБРАННОЙ вместо B антиподальную ей вершину B*, тогда результатом отсутствия звонка при нажатии всех кнопок при соседних с B* вершинах A*, C* и G* стало бы состояние |R*S*T*〉, где R*, S* и T* — точки, антиподальные точкам R, S и T.

Рис. 5.29. Обозначение вершин додекаэдра, используемое в §5.18 и Приложении B

Предположим теперь, что мой коллега ВЫБИРАЕТ на своем додекаэдре вершину B, в точности соответствующую той вершине B, что ВЫБРАЛ на своем додекаэдре я. Если при этом его звонок не звенит при нажатии любой из трех его кнопок при вершинах A, C и G, соседних с B, то его измерения (коммутирующие) неизбежно вынуждают мой атом перейти в состояние, ортогональное трем состояниям, соответствующим нажатиям на кнопки при противоположных вершинах A*, C* и G* моего додекаэдра, т.е. в состояние |R*S*T*〉. Если же мой звонок также не звенит, когда я нажимаю на кнопки при вершинах A, C и G моего додекаэдра, то мой атом должен находиться в состоянии |RST〉. Однако, согласно свойству C.1 из Приложения C, состояние |RST〉 ортогонально состоянию |R*S*T*〉; следовательно, невозможно нажать все шесть кнопок без того, чтобы не зазвенел звонок, т.е. свойство (б) также можно считать доказанным.

Вышесказанное объясняет, каким образом «Квинтэссенциальным Товарам» удается, используя феномен квантовой сцепленности, гарантировать наличие у додекаэдров свойств (а) и (б). Как было показано в §5.3, если бы наши додекаэдры вели себя как независимые объекты, из этого немедленно воспоследовали бы «раскрасочные» свойства (в), (г) и (д), что, в свою очередь, привело бы к неразрешимой проблеме раскрашиваемости вершин (каковая неразрешимость явно продемонстрирована в Приложении B). Таким образом, то, чего ухитрились добиться с помощью квантовой сцепленности «Квинтэссенциальные Товары», было бы просто-напросто невозможно, окажись магические додекаэдры по выходе за ворота фабрики «Квинтэссенциальных Товаров» действительно независимыми объектами, никак не связанными между собой. Квантовая сцепленность — это не просто досадная морока, не позволяющая нам с легким сердцем игнорировать вероятностные эффекты внешнего окружения на физическую ситуацию. Когда ее влияние удается должным образом обособить, перед нами возникает феномен, точно описываемый математически и зачастую обладающий четкой геометрической организацией.

Предсказания квантовомеханического формализма нельзя описать в терминах объектов, рассматриваемых отдельно один от другого. Феномены квантовой сцепленности невозможно, в общем случае, объяснить рассуждениями «бертлмано-носочного» типа. Следуя правилам стандартной квантовомеханической эволюции — нашей процедуры U, — мы приходим к заключению, что «сцепленные» этим диковинным образом объекты остаются сцепленными вне зависимости от того, на какое расстояние им случится удалиться друг от друга. Сцепленность эту может разрушить только процедура R. Однако «реальна» ли процедура R? Если нет, то сцепленность никуда не исчезает, она остается навечно, пусть и скрытая от наших глаз чрезвычайной сложностью реального мира.

Означает ли это, что всё во Вселенной сцеплено со всем? Как уже было отмечено ранее (см. §5.17), феномен квантовой сцепленности не похож на феномены, рассматриваемые классической физикой, где интенсивность действия неминуемо убывает на расстоянии, благодаря чему объяснение поведения объектов в лаборатории на Земле не требует от нас знания того, что происходит в данный момент в галактике Туманность Андромеды. Квантовая же сцепленность представляется на первый взгляд как раз тем самым «жутковатым действием на расстоянии», столь раздражавшим Эйнштейна. Однако «действие» это чрезвычайно тонкого рода, и его невозможно использовать для реальной передачи сообщений.

Несмотря на то, что прямого сообщения с ее помощью осуществить не удастся, потенциальные дистанционные («жутковатые») эффекты квантовой сцепленности игнорировать нельзя. Коль скоро сцепленность не разрушается, мы, строго говоря, не можем полагать отдельным и независимым ни один объект во Вселенной. Складывающееся в результате в физической теории положение дел представляется мне весьма далеким от удовлетворительного. Никто не может по-настоящему объяснить, не выходя за рамки стандартной теории, почему на практике сцепленность можно-таки не принимать в расчет. Почему нам вовсе не обязательно представлять Вселенную в виде единого целого, этакого невероятно сложного квантовосцепленного спутанного клубка, не имеющего ничего общего с тем классическим по виду миром, который мы в реальности наблюдаем? На практике квантовые сцепленности разрушаются то и дело применяемой процедурой редукции R, что небезуспешно проделали и мы с коллегой, выполнив измерения над сцепленными атомами, помещенными внутрь наших додекаэдров. Является ли, в таком случае, эта самая редукция Rреальным физическим процессом? Иными словами, действительно ли R, в том или ином смысле, разрушает квантовые сцепления? Или это надо понимать просто как фигуру речи, призванную обозначить некое иллюзорное действие?

В следующей главе мы попытаемся ответить на эти каверзные вопросы. Я убежден, что именно они являются центральными в нашем поиске места невычислимости в физических процессах.

Приложение B: Нераскрашиваемость додекаэдра