вании евклидовской теории и опыта; вопрос, который так мучил не только философскую, но и математическую мысль. И Лобачевский, и Риман полагали, что со временем ответ на этот вопрос будет найден и при этом повлечет существенные изменения в экспериментальных и теоретических основах ньютоновской механики.
Согласно Герману Вейлю, если в качестве оснований берутся аргументы внелогические, например чувственные восприятия или эмпирические наглядные представления, то обоснование будет абсолютным в том смысле, что “независимо от того, насколько туманным оно может быть, в этой туманности есть нечто, данное именно так, а не иначе”{122}. Но в то же время в другом смысле такое обоснование будет и относительным, поскольку оценка, основанная на чувственном опыте, равносильна некоторому суждению восприятия, некоторой субъективной точке зрения на то, что нечто дано нам именно так, а не иначе. “Лишь только нам изменяет наше восприятие, как нам изменяет также наше представление или интуиция. Только постепенно, после долгого размышления, мы можем расширить способность представления”{123}. А в таком случае “каждый может найти подтверждение для своей субъективной точки зрения, как бы она ни отличалась от других”{124}.
Из сравнения этих двух ситуаций естественно возникает мысль о глубине обоснования и аргументации. В сфере дедукции последними по глубине основаниями являются постулаты и логика теории. В сфере опыта — эксперимент и логика опыта. Хотя логика теории и логика опыта служат одной цели познания, тем не менее это различные логики, лишь в некотором смысле согласованные между собой. Есть определенные основания считать, что именно в силу особой логики опыта теория, описывающая этот опыт, независима от него. Никакой эксперимент не может фальсифицировать утверждения, основанные на чистой логике теории. Он может лишь обозначить интервал применяемых при этом абстракций. Ведь не зря же, применяя абстракции, мы нередко отказываемся от критерия практической (интуитивной) очевидности и доверяемся только логике теории. Если же мы отказываемся от интуиции вовсе, то логика теории становится абсолютным критерием обоснования, даже если полученные с ее помощью результаты противоречат возможностям опытной проверки (пример: теорема Банаха — Тарского). И все же мы теперь понимаем, что выбор теоретических законов сам нуждается в обосновании, которое может и не принадлежать чистой логике.
Ниже (в полном согласии с подзаголовком этой статьи) я предлагаю краткие заметки к обсуждению тех вопросов, которые безусловно входят в поле аргументирующей мысли, образуют область ее монопольного права, но в составе учебного материала по теории аргументации обычно отсутствуют.
2. Аргумент от непротиворечивости
Это один из самых древних видов аргументации. Давид Гильберт не был первым, кто указал на особую роль аргумента от непротиворечивости в вопросах обоснования. В европейскую науку его ввели, по-видимому, элеаты. Во всяком случае, по свидетельству Филопона, отстаивая модель умопостигаемой реальности, именно Парменид и его сторонники ставили во главу угла непротиворечивость теории. Им же принадлежит и первый “штриховой портрет” аргументирующего рассуждения, использующего дедуктивные свойства противоречия. Я имею в виду “уличающие аргументы” Зенона Элейского, его апории, основанные на этом способе логической аргументации. Правда, логическая форма зеноновских аргументов {а именно: ((A А) А)} была эксплицирована много позднее в школе Платона. Еще позднее Аристотель не только явно сформулировал закон противоречия, но (по свидетельству Александра Афродизийского) дал симметричную зеноновской формулировку косвенного аргумента, которым воспользовался Евклид {“Начала”, кн. IX, теорема 12: (( А А) А)} и который получил впоследствии (в позднем средневековье) название “тонкое следование” (consequentia mirabilis).
Современное развитие темы противоречия привело к разделению косвенной аргументации на различные степени косвенности и к размежеванию логики на классическую, допускающую свободное использование всех форм аргументации от противоречащего случая, и интуиционистскую (конструктивную), допускающую, вообще говоря, только одну ее форму — доказательство отрицательных суждений через построение, приводящее к противоречию гипотезы об истинности положительной посылки рассуждения.
Выше я упомянул об абсолютном характере логического обоснования. Но, вообще говоря, обоснование посредством логической дедукции относительно по меньшей мере вот в каком смысле: это обоснование одного суждения с помощью другого (или других) в границах замкнутой дедуктивной системы. Абсолютность выражается здесь только в приведении импликативного отношения основания и следствия (посылки и заключения) к форме логического закона. Исключая посылки (гипотезы), мы релятивизируем факт аргументации. Введение закона противоречия в такую теорию, расширяя возможности обоснования “внутри нее” посредством опровержений, все же сохраняет status quo. Поэтому возникает проблема обоснования и оправдания самой теории. На смену проблемы “непротиворечия в выводах” приходит проблема непротиворечивости теории в целом в качестве критерия ее практической значимости, поскольку непротиворечивость абстрактной теории влечет возможность ее модельной выполнимости (теорема Левенгейма — Скулема), то есть создает условия для изучения модели (если такая будет указана) средствами логики этой теории. Одновременно в силу наличия модели непротиворечивость означает также логическую возможность считать такую теорию осмысленной.
Однако непротиворечивость теории, указывая на возможность модели для этой теории, одновременно указывает и на границы применимости ее основных абстракций, поскольку для большинства дедуктивных теорий с достаточно простым понятием выводимости их непротиворечивость влечет их неполноту, то есть указывает на факт существования суждений, формализуемых в языке данной теории, но недоказуемых в ней. Об этом говорит первая теорема Геделя. Почти все теоретически значимые дедуктивные теории (с известной оговоркой за исключением чистой логики) отличаются их неполнотой. В этом заключен интервальный смысл всякой достаточно богатой содержательной теории. Ведь совместная реализация непротиворечивости и полноты была бы свидетельством абсолютной самообоснованности их основных абстракций. На деле же непротиворечивость таких теорий может быть обоснована только средствами, которые не являются собственными средствами этих теорий — не формализуемы (не выразимы) в них. Об этом говорит вторая теорема Геделя.
3. Непротиворечивость и интервальность
Как бы ни было велико его значение, факт непротиворечивости не следует рассматривать как априорное условие научной ценности теории. Научную ценность могут представлять и противоречивые, но нетривиальные теории. Если в числе теорем (аксиом) теории отсутствует ex faiso sequitur quodlibet, то противоречивость не обесценивает ни понятие теоремы теории, ни понятие доказательства в ней. В этом случае наличие противоречия становится всего лишь посторонней посылкой{125}, которая не влияет на законные выводы этой теории. Поэтому тот, для кого программа изучения доказательств противоречивых теорий может представлять научный или философский интерес, не исключает из общей теории дедуктивных систем и изучение противоречивых систем, мотивируя это тем, что такое изучение может содействовать изучению общих дедуктивных свойств непротиворечивости теорий или нахождению новых методов доказательства непротиворечивости.
Наиболее глубокая трактовка связывает вопрос о непротиворечивости с вопросом о допустимых способах рассуждений, а не только с принципиальной недопустимостью противоречий. Способов рассуждений, допустимых, так сказать, абсолютно, не существует. Обычно их допустимость определяется характером “логики вещей”, о которых рассуждают (или хотят рассуждать). Чтобы судить о наличии противоречия, необходимо располагать средствами получения противоречий и более того — знанием о достижимости противоречия этими средствами. К примеру, непредикативные определения сам Рассел рассматривал как средства получения антиномий, а парадокс Рассела — как свидетельство достижимости антиномий этими средствами. Вопрос о допустимости непредикативных определений долгое время был предметом острых дискуссий между Расселом, Цермело и Пеано, с одной стороны, и Пуанкаре — с другой.
Как известно, “критерий основания” Протагора связывал допустимость с мнением человека, однако не уточнял основания для этого мнения. Уже Платон на это заметил, что основание не должно быть произвольным или заключаться в субъективной воле человека, иначе придется признать законность противоречий. Эта мысль Платона была развита в аристотелевском логическом принципе противоречия и, — уже в современной логике (школой Гильберта), — в методологическом требовании доказательства “абсолютной непротиворечивости” математических теорий. Но вполне уместная в области “истин разума” идея непротиворечивости не всегда оправдана в области “фактических истин”. Перенесенная из области логики, где непротиворечивость обосновывалась запасом теоретико-множественных средств, в другие области знания, основанные на других абстракциях, она породила особый “стиль мышления”, игнорирующий диалектику интервальных ситуаций, в которых критерий Протагора, понятый, однако, более широко, как относительность истины к условиям и средствам ее познания, оказывается весьма существенным. Именно поэтому многие рассуждения, приводящие к парадоксам, но в остальном безупречные, по существу только демонстрируют интервальный характер связанных с ними гносеологических ситуаций. Таковы, в частности, известные апории Зенона Элейского или так называемый софизм “куча”: “Одно зерно — не куча. Если