субъективированные акты отождествлений, чем и оправдывается необходимость введения специального термина “абстракция неразличимости”{132}.
С интервальной позиции претензии на (конструктивную) математику как дисциплину в конечном счете опытную (или теорию ad hominem в позитивном значении этого аргумента), стоящую на экспериментальном фундаменте, выглядят в этом смысле неубедительно. К примеру, эмпирический фактор наблюдаемости (соответственно эмпирический смысл процессов сравнения (измерения) и их результатов) в конструктивной математике принимается лишь формально, поскольку вовсе не учитываются особенности “пороговых свойств” этого фактора. Поэтому если конструктивную позицию еще можно как-то согласовать с абстракциями, принятыми в классической физике, то ее согласование с абстракциями, необходимыми, скажем, в квантовой физике, весьма проблематично{133}.
5. Непротиворечивость и “собственный универсум” логики
Теперь, в связи с проблемой непротиворечивости и практикой отождествлений, я хочу сделать несколько замечаний к понятию “предметная область” (или “универсум рассуждения”){134}, поскольку эта тема является одной из важнейших в логике и логической семантике. Существуют различные концепции предметной области, различные точки зрения на это понятие, а их общая идеология тесно связана с техникой логического анализа. Но я затрону здесь лишь один вопрос, которого я однажды касался, но касался мимоходом, в связи с обсуждением проблемы тождества{135}.
Прошло время, когда логика считалась наукой “обо всем”, по крайней мере в том смысле, что это наука о законах мышления, а законы мышления непременно должны соблюдаться (быть значимы), о чем бы ни шла речь. Тяжба формальной логики и диалектики в данном случае несущественна, поскольку идеологией обеих был панлогизм. Естественно, что универсум речи чистой логики при этом представлялся любым, оставаясь “полностью неопределенным, совершенно неограниченным или открытым”{136}.
С появлением математической логики такому подходу способствовал расселовский логицизм. Исключением единичных объектов (в пользу индивидных дескрипций) онтология по существу была элиминирована из логической теории. В ее логицистском варианте логика поглощала и математику, сводя ее к системе формальных импликаций, “верных вообще во всех “возможных мирах”, и потому ничего не говорящих нам о мире, в котором мы живем и действуем”{137}.
Точнее было бы сказать, что логицизм был не против онтологии самой по себе. Он ратовал лишь за невмешательство логики в онтологический статус в связи с его неопределенностью и туманностью. Логицизм жертвовал онтологией в пользу лингвистического анализа как вещи более надежной и более соответствующей точному характеру логической науки.
Понятно однако, что с потерей онтологии терялась проблема истинности в ее содержательном понимании, характерном, к примеру, для естествознания. Что это значило для логики легко понять, если согласиться с мнением Фреге, считавшего познание законов истинности основной проблемой логики. Вернуть эту проблему для логики на ранних этапах ее развития помог интуиционизм, для которого постановка этой проблемы необходимо связана с существованием внешнего мира. Правда, определение истинности варьирует согласно философской точке зрения, но оно неизменно предполагает некоторую концепцию реальности; и здесь, замечает А.Гейтинг, мы приходим к тому, что логика для ее истолкования нуждается в онтологии{138}.
Похоже, что сегодня мы избавлены от прошлых “неопределенностей роста”. Общие вопросы онтологии перешли в ведомство философской логики и, следовательно, остались предметом для философских дискуссий. А что касается универсума речи (или предметной области), то он, сделавшись неотъемлемой частью теории моделей, приобрел вполне определенные черты. Теперь он занимает почетное место в (предикатной) сигнатуре той или иной модели (реальности), о которой идет речь, и в этом смысле (характером заданных предикатов и аксиом) вполне избавлен от неопределенности, на которую указывал Шрёдер, даже если на природу универсума не накладывается никаких конструктивных ограничений.
Тем не менее существенно, что универсумы моделей, о которых идет речь в теории моделей и которые служат для определения истинности формул логического языка, сами-то, вообще говоря, лежат вне чистой логики. Это именно та внешняя реальность, которая подразумевалась в приведенном выше замечании Гейтинга. При этом естественно возникает вопрос: а есть ли у чистой логики “собственный универсум”? Является ли эта логика сама по себе онтологической теорией или же это чисто гносеологический (неонтологический) феномен?
Говоря о “чистой логике”, я имею в виду элементарную логику (то есть чистую первопорядковую логику предикатов с равенством) не только потому, что она лежит в основе изучения всех основных математических теорий, которые формализуются в языках первой ступени, но прежде всего потому, что с непротиворечивостью именно узкого исчисления предикатов естественно связывается понятие о собственном универсуме.
Если иметь в виду понятие об универсуме (о предметной области) вообще, то необходимость в его точной характеризации возникает в связи с необходимостью введения понятия модели при семантической интерпретации первопорядкового языка. А до этого момента считается вполне достаточным (чтобы оправдать dictum de omni) постулат о непустоте универсума речи, который в этом случае мыслится совершенно неопределенным. Как замечает Дж.Шенфилд, это, в сущности, только соглашение, оно является чисто “техническим соглашением”, которое “не исключает ни одного интересного случая”{139}.
Вопрос об “интересных случаях” — это вопрос особый. Возможно, что логика с пустым универсумом тоже случай интересный{140}. И случай с одноэлементным универсумом для меня тоже случай интересный. Его-то я и собираюсь обсудить ниже.
Для начала замечу, что, ограничиваясь чистой логикой, мы должны признать очевидный факт — реальная онтология вносится в процедуру интерпретации извне, а не является частью самого первопорядкового языка, у которого по существу нет “внутренней семантики”. Если же мы хотим иметь нетривиальную онтологию самой логики как проекцию логического языка, мы должны расширить язык таким образом, чтобы он содержал индивидные символы и индивидуальные предикаты, определяющие и различающие элементы универсума, то есть характеризующие самый этот универсум. Когда это делается, вместо чистой логики мы получаем прикладную.
Все проблемы философской онтологии и логической семантики, включая логические парадоксы и так называемые проблемы “существования” и “онтологической относительности”, ставятся и решаются в прикладной логике. Это очень важное обстоятельство, о чем я еще скажу ниже.
Казалось бы, что и проблему непротиворечивости чистой первопорядковой логики тоже стоит отнести сюда, то есть поставить непротиворечивость в зависимость от числа и характера индивидов универсума. Мы знаем, однако, что проблема непротиворечивости чистой логики первого порядка решается, так сказать, на пропозициональном уровне.
Впрочем, как отмечают знаменитые авторы, значение этого доказательства непротиворечивости не следует переоценивать, поскольку оно “содержательно сводится к допущению, что положенная в основу область индивидов состоит только из одного-единственного элемента”{141}. А это означает, что редукция к семантическому варианту все же имеет место и здесь, и вопрос только в том, насколько общим можно считать такое доказательство.
Чтобы ответить на этот вопрос, как и на те, что были поставлены выше, полезно вспомнить способ рассуждения, который применил А.Эйнштейн, привлекая на помощь двух наблюдателей: одного в вагоне поезда, другого — рядом с полотном железной дороги{142}. Тогда мы поймем, что как не существует траектории самой по себе, так равным образом не существует и универсума самого по себе, если мы хотим говорить об универсуме, создаваемом языком теории.
Все известные мне до сих пор разговоры о логической онтологии — это разговоры с позиции наблюдателя у полотна железной дороги, с позиции “извне”. Я же предлагаю встать на позицию того, кто находится в вагоне поезда, на позицию “внутри”. Применительно к нашему случаю такой наблюдатель располагает только тавтологиями логического языка. Эти формулы чистой логики сами по себе ничего не говорят о числе (а следовательно, и о различии) объектов универсума, они безразличны к какому-либо разнообразию. Но если их использовать как дискриминирующие признаки в актах отождествления (например, согласно обычному определению тождества), то при условии непустоты “на входе” они в любом случае дадут одноэлементный универсум “на выходе”. Именно этот универсум, возникающий как результат абстракции отождествления по тавтологичным признакам, я и называю собственным универсумом чистой логики.
О том, что я не сегодня пришел к понятию о собственном универсуме чистой логики, говорит следующий текст: “...если условие А — тавтология, то в подразумеваемой предметной области все предметы тождественны в интервале А. Иначе говоря, тавтологии не могут служить критерием различимости объектов, они как бы проектируют универсум в точку, производя абстракцию отождествления элементов множества любой мощности, “превращая” разные элементы в “один и тот же” абстрактный объект