”{143}.
Хотя такая трактовка онтологического статуса чистой элементарной логики не совпадает с общепринятой, согласно которой “из общих логических аксиом ничего не вытекает относительно того, какие предметы и сколько их существует в том поле..., к которому относятся наши высказывания и предикаты”{144}, я считаю, что понятие о собственном универсуме чистой элементарной логики полезно и сродни тем, что всегда появляются, когда необходимо завершить обобщение уже существующих понятий. Так мы говорим, что бесконечно большая величина xn имеет пределом + , хотя на самом деле она не имеет никакого предела. Но + не пустое понятие. У него, как равным образом и у понятия отрицательной бесконечности, есть ясный конечный геометрический образ на окружности фон Неймана. В результате введения этих двух “несобственных” символов реализуется “догма об окружности” — “крайности сходятся” и создается наглядный образ замкнутости (совершенства) множества вещественных чисел. Известно, что по понятиям древних окружность — самая совершенная фигура. И не случайно, ведь она имеет известную связь с теоремой Пифагора — основной теоремой евклидовской геометрии.
Конечно, тавтологии не пригодны в качестве “приборов анализаторов” предметных областей. Но они вполне могут служить в качестве “приборов преобразователей” предметных областей любой природы{145}. И они это делают, ipso facto избавляя нас от противоречий в результате их применения. Вот почему непротиворечивость чистого исчисления предикатов, установленную на одноэлементной области, я считаю достаточной и установленной абсолютно. В качестве следствия я полагаю, что чистая логика не несет и не может нести ответственность за противоречия (парадоксы), возникающие при расширении ее лексики. При любом таком расширении мы видим гораздо больше, чем собственный универсум логики, поскольку используем для отождествлений и различений уже индивидуальные предикаты. Следовательно, мы находимся в условиях другого интервала абстракции отождествления, чем тот, который дают тавтологии.
Потому-то, кстати, и нельзя построить контрпример для тавтологии. Приступая к построению (поиску) контрпримера, мы становимся на позицию наблюдателя у полотна железной дороги, мы предполагаем заведомое существование источника, из которого в ходе оценки формул мы черпаем необходимые нам определенные и вполне различимые элементы. Мы испытываем формулу, чтобы выяснить, способна ли она различать предметы. И если обнаруживаем, что нет, то объявляем ее тавтологией.
Действительно, пусть формула А выполнима, но не является тавтологией. Тогда Атоже выполнима и выполнима как раз в универсуме контрпримера для А. Следовательно, выполнимость A эквивалентна высказыванию о минимальном числе “различимых” индивидов, необходимых для построения контрпримера для А. Отсюда получаем чисто гносеологическое следствие: суждение, которое дает информацию о различимости объектов, не может быть ни тождественной истиной, ни тождественной ложью.
Вместе с тем ясно, почему теоремы чистой логики обычно выводят из-под юрисдикции общего правила, согласно которому постулирование общезначимости (выполнимости) какой-либо логической формулы равносильно утверждению о числе элементов в универсуме речи. Если бы доказуемые формулы чистой логики были общезначимы лишь в собственном универсуме, чистая логика потеряла бы всякий теоретический интерес. То, что тавтологии могут добавляться в любую теорию в качестве общезначимых формул, не порождая противоречий, объясняется именно их неспособностью различать индивидуальные объекты теорий. В одноэлементном мире, как это я уже заметил однажды, отношения тождества и различия сами неразличимы{146}.
Конечно, если некоторую формулу А добавить просто как выполнимую, не постулируя ее общезначимость, то возможно, что “внутри” теории найдутся условия (при различных основаниях для отождествлений) для выполнимости как А, так и А. Однако этот факт следует рассматривать не как противоречие, а только как дополнительность ситуаций, соответствующих этим формулам внутри данной теории. Это наглядно иллюстрируется примером формулы xy (x = y), общезначимой только в одноэлементной области. Ее отрицание, напротив, k-общезначимо для k 2. Но обе формулы могут иметь смысл, когда индивиды используются как абстрактные представители классов абстракции.
Вообще, если формула только k-общезначима, ее добавление в качестве (n + k)-общезначимой к теоремам теории с областью (n + k) индивидов при n 1 чревато противоречием. Но добавление этой же формулы в тех же условиях в качестве только выполнимой (что логически вполне оправдано) отвечает ситуации дополнительности, то есть соответствует одновременной фактической истинности как A, так A в разных интервалах абстракции. Фиксирование таких интервалов здесь обязательно, поскольку использование формул, не являющихся тавтологиями, связано с иным применением абстракции отождествления индивидов, чем то, которое определяется языковыми средствами чистой логики.
Итак, просуммирую некоторые следствия из сказанного.
1. Собственный универсум элементарной логики существует как гносеологическое понятие — как результат абстракции неразличимости элементов любой наперед заданной онтологической области индивидов. Поэтому я и называю его гносеологическим универсумом, а чистую логику — неонтологическойтеорией.
2. Все теоремы элементарной логики общезначимы в ее “собственном универсуме” (тривиальное следствие метатеоремы о полноте).
3. Не каждая формула, общезначимая в собственном универсуме чистой элементарной логики, выводима из аксиом этой логики (неполнота в узком смысле).
4. Каждое расширение чистой первопорядковой логики присоединением формул, общезначимых в собственной области, непротиворечиво (следствие доказательства непротиворечивости).
5. Противоречивость теорий (появление парадоксов), основанных на элементарной логике, возможна, в частности, при игнорировании интервалов абстракции отождествления (или неразличимости) за счет формул, необщезначимых в собственной области.
Обычно, говоря о тождестве или различии, для суждения о различии индивидов мы руководствуемся скрытой посылкой о наличии различающих предикатов. Контрапозиция этой посылки говорит о том, что мы “слепнем” без таких предикатов, и подобной слепотой отличаются все тавтологии чистой логики. Выразительные возможности логической теории тождества заметно богаче тех, что предлагает нам семантика общезначимых истин, а ценность этой теории — в ее приложимости к миру фактических истин, где суждения о тождестве и различии индивидов не являются тавтологичными.
Все сказанное может показаться тривиальным. И все же замечу, что интервальная аргументация, использующая представления “внутри” и “снаружи”, позволяет яснее понять отношение чистой формальной логики к онтологии, отделить лингвистические аспекты этого отношения от собственно модельных и гносеологических и нередко избежать явных недоразумений там, где возникают противоречивые ситуации при совершении тех или иных актов отождествлений. А этим, в частности, решается и философская задача — показать, что “онтология гносеологична”, и сделать “онтологические предпосылки... как можно более осмысленными”{147}.
В.Л.Васюков О не-фрегевской аргументации
1. Логика и аргументация
Включение раздела “теория аргументации” в стандартные учебники логики наводит на мысль, что многие (если не все) часто встречающиеся недостатки аргументации можно преодолеть с помощью логических методов. При этом молчаливо предполагается, что выявление нарушений законов логики вполне достаточно для исправления и уточнения аргументации. Более того, подразумевается, что речь идет о традиционной логике и ее дедуктивных методах. Постулируется достаточность этих методов для выявления логических тупиков и ловушек даже достаточно нетрадиционной аргументации.
Новые современные теории аргументации предпочитают говорить не о связи логики и аргументации, а о проблеме функции логики в аргументации и рассуждении (выводе), замечая, что традиционный взгляд просто отождествлял логику с теорией вывода. Яакко Хинтикка утверждает, что эта точка зрения, помимо того, что она все еще эхом отдается в учебниках по формальной логике, в замаскированном виде проявляет себя в процессе обыденного употребления таких слов, как “логика”, “дедукция”, “вывод” и т.д.{148}. Он даже вводит термин “Концепция логики и дедукции Шерлока Холмса”, отражающий сотни “синонимичных” употреблений этих слов в описании подвигов мнимых и реальных детективов. Парадокс заключается в том, как показывает Я.Хинтикка, что знаменитый Шерлок Холмс, каким он предстает в произведениях А.Конан Дойля, использовал отнюдь не дедуктивный метод в своих рассуждениях, но скорее интеррогативный метод или абдукцию.
По сути дела, говорит Хинтикка, одним из способов решения проблемы роли логики в аргументации было бы обсуждение и переоценка традиционного взгляда на природу логики. Если мы принимаем, как это обычно делается, что истины формальной логики представляют собой аналитические истины или просто тавтологии, не обладающие никаким информативным содержанием, то трудно понять, каким образом удалось прийти к каким-либо новым результатам в процессе рассуждения, описывающего совершение открытия в науке. Однако даже И.Ньютон описывает свой экспериментальный метод как анализ или вывод, заявляя, что он “дедуцировал” из опытных данных или феноменов по меньшей мере некоторые из своих знаменитых законов. Впрочем, современные историки и философы науки единодушно ниспровергают эти заявления, считая их просто приукрашиванием, никак не связанным с ньютоновской научной практикой и действительным положением вещей.