Чтобы предсказать, как должна была зародиться Вселенная, необходимо знать законы, которые действовали в начале времени. Если классическая общая теория относительности была верна, то из теоремы о сингулярности следует, что начало времени должно было представлять собой точку, в которой плотность и кривизна были бесконечны. В этой точке все известные законы физики нарушаются. Можно предположить, что существовали особые законы, действующие в сингулярностях, но даже сформулировать законы для таких необычных точек было бы очень непросто, причем наблюдения никак не помогли бы нам узнать, каковы эти законы. Однако теоремы о сингулярностях указывают на то, что гравитационное поле становится настолько сильным, что квантовые гравитационные эффекты приобретают особую важность — классическая теория больше не может служить адекватным описанием Вселенной. Чтобы рассуждать о ранних этапах эволюции Вселенной, необходимо использовать квантовую теорию гравитации. Как мы увидим, в квантовой теории гравитации обычные законы природы могут выполняться везде, включая начало времени. Нет нужды устанавливать новые законы для сингулярностей, поскольку в квантовой теории никакие сингулярности не нужны.
Полной и последовательной теории, объединяющей квантовую механику и гравитацию, пока не существует. Тем не менее мы абсолютно уверены в некоторых особенностях, которыми должна обладать такая единая теория. Во-первых, в ней должно учитываться предложение Фейнмана о формулировании квантовой теории в терминах суммы по историям (траекториям). При таком подходе частица, перемещающаяся из точки А в точку Б, имеет не одну историю, как в классической теории. Предполагается, что она проходит все возможные пути в пространстве-времени. С каждой из этих историй связана пара чисел: одно характеризует размер волны, а другое — ее положение в цикле (ее фазу).
Полной и последовательной теории, объединяющей квантовую механику и гравитацию, пока не существует. Тем не менее мы абсолютно уверены в некоторых особенностях, которыми должна обладать такая единая теория.
Вероятность того, что частица проходит через определенную точку, вычисляется путем сложения волн, связанных с каждой возможной историей, проходящей через эту точку. Однако те, кто пытается выполнить такое суммирование, сталкиваются с серьезными трудностями технического характера. Единственный способ обойти их — воспользоваться следующим своеобразным рецептом: необходимо складывать волны для историй, относящихся не к действительному времени, в котором мы живем, а к мнимому.
Слова «мнимое время» звучат так, будто взяты из научной фантастики, но на самом деле это строго определенное математическое понятие. Чтобы избежать технических трудностей, связанных с фейнмановским суммированием по историям, необходимо использовать мнимое время. Это любопытным образом влияет на пространство-время: различие между пространством и временем полностью стирается. Пространство-время, в котором события имеют мнимые значения координаты времени, называется евклидовым, поскольку его метрика является положительно определенной.
В евклидовом пространстве-времени нет разницы между направлением времени и направлениями в пространстве.
В евклидовом пространстве-времени нет разницы между направлением времени и направлениями в пространстве. С другой стороны, в реальном пространстве-времени, в котором события имеют действительные значения координаты времени, различия очевидны. Направление времени лежит внутри светового конуса, а пространственные направления — вне его. Можно считать использование мнимого времени всего лишь математическим приемом (или хитростью) для вычисления результатов, относящихся к действительному пространству-времени. Однако все намного сложнее. Возможно, евклидово пространство-время является фундаментальным понятием, а то, что мы считаем действительным пространством-временем, — это всего лишь плод нашего воображения.
Когда мы применяем для Вселенной фейнмановское суммирование по историям, аналогом истории частицы теперь является все искривленное пространство-время, представляющее историю всей Вселенной. Из технических соображений, о которых говорилось выше, это искривленное пространство-время должно считаться евклидовым. То есть время является мнимым и неотличимо от направлений в пространстве. Чтобы вычислить вероятность обнаружения действительного пространства-времени с определенными свойствами, необходимо сложить волны, связанные со всеми историями в мнимом времени, которые обладают этими свойствами. Тогда можно узнать, какой будет вероятная история Вселенной в действительном времени.
В классической теории гравитации, которая опирается на действительное пространство-время, имеется только два возможных варианта поведения Вселенной. Она либо существовала вечно, либо родилась из сингулярности в определенный конечный момент времени в прошлом. В действительности теоремы о сингулярности показывают, что должен был иметь место второй вариант. Однако в квантовой теории гравитации возникает третья возможность. Поскольку используется евклидово пространство-время, в котором направление времени не отличается от направлений в пространстве, пространство-время может быть конечным по протяженности и при этом не иметь сингулярностей, образующих границу или край. Оно будет похоже на поверхность Земли, но с добавлением еще двух измерений. Поверхность Земли конечна по протяженности, но не имеет границы или края. Если вы отправитесь в плавание в сторону заходящего солнца, то не упадете за край и не угодите в сингулярность. Уж я-то знаю, поскольку совершил кругосветное путешествие.
Эта фотография поверхности Земли в районе Синайского полуострова и Мертвого моря была сделана астронавтами с борта многоразового космического корабля «Колумбия» на 70-миллиметровую пленку. В квантовой теории гравитации пространство-время похоже на поверхность Земли — оно конечно по протяженности, но не имеет границы или края.
Если евклидово пространство-время возвращает нас к бесконечному мнимому времени или началу в сингулярности, перед нами встает та же проблема определения начального состояния Вселенной, что и в классической теории. Бог, возможно, знает, как началась Вселенная, но мы не можем придумать конкретную причину, чтобы предпочесть один вариант другому. С другой стороны, квантовая теория гравитации открыла перед нами новую возможность. В ней пространство-время не имеет границы. Поэтому задавать поведение Вселенной на границе не нужно. Нет сингулярностей, где нарушаются законы физики, нет границы пространства-времени, где приходится обращаться к Богу или выводить новый закон, чтобы задать граничные условия для пространства-времени. Можно было бы сказать так: «Граничное условие для Вселенной заключается в отсутствии границы». Вселенная, вероятно, является абсолютно автономной и независимой от внешних факторов. Она не может быть создана или уничтожена. Она просто существует.
Пространство-время может быть конечным по протяженности и при этом не иметь сингулярностей, образующих границу или край.
Именно на конференции в Ватикане я впервые выдвинул предположение о том, что, возможно, пространство и время в совокупности образуют поверхность, имеющую конечные размеры, но не имеющую границы или края. Моя работа была скорее математической, поэтому ее потенциальные последствия для определения роли Бога в создании Вселенной в тот момент остались незамеченными, в том числе и для меня. Во время ватиканской конференции я не понимал, как использовать идею об отсутствии границы для предсказания свойств Вселенной. Впрочем, следующее лето я провел в Калифорнийском университете в Санта-Барбаре. Там мы с моим другом и коллегой Джимом Хартлом сформулировали условия, которым должна удовлетворять Вселенная, если пространство-время не имеет границы.
Любая модель, подробно описывающая всю Вселенную, будет слишком сложна математически для того, чтобы мы могли точно рассчитать теоретические значения интересующих величин.
Следует подчеркнуть, что идея о том, что пространство и время должны быть конечны, но не имеют границы, — всего лишь предположение. Она не следует из какого-либо другого принципа. Как и любая другая научная теория, изначально она может быть выдвинута по эстетическим или метафизическим соображениям, но проверяется она по соответствию теоретических предсказаний наблюдениям. Однако в случае квантовой гравитации сделать это непросто по двум причинам. Во-первых, мы пока не знаем наверняка, какая теория успешно объединяет в себе общую теорию относительности и квантовую механику, хотя нам достаточно много известно о том, какую форму должна иметь такая теория. Во-вторых, любая модель, подробно описывающая всю Вселенную, будет слишком сложна математически для того, чтобы мы могли точно рассчитать теоретические значения интересующих величин. Поэтому придется использовать приблизительные оценки — и даже тогда проблема расчета теоретических значений остается сложной.
Вселенная, расширяющаяся и сжимающаяся в мнимом времени.
Выясняется, что если принять предположение об отсутствии границы, то шансы обнаружить, что Вселенная следует большинству возможных историй, ничтожны. Но существует особое семейство историй, вероятность которых существенно выше по сравнению с остальными. Эти истории можно представить себе как поверхность Земли, где расстояние от Северного полюса отражает мнимое время, а размер широтного круга — пространственный размер Вселенной. Вселенная начинается на Северном полюсе в виде точки. По мере продвижения на юг широтный круг увеличивается, что соответствует расширению Вселенной с течением мнимого времени. Вселенная достигнет максимального размера на экваторе и снова сойдется в одну точку на Южном полюсе. Даже если бы Вселенная на Северном и Южном полюсах имела нулевой размер, эти точки не были бы сингулярностями,