§ 1. Симметричные операции
В этой главе мы будем говорить о том, что мы называем симметрией физических законов. Подобные симметрии уже обсуждались нами в ряде мест нашего курса, когда говорилось о векторном анализе (вып. 1, гл. 11), теории относительности (вып. 2, гл. 16) и вращениях (вып. 2, гл. 20).
Почему же симметрии так интересуют нас? Прежде всего потому, что симметрия импонирует нашему складу ума, каждому доставляет удовольствие любоваться предметом, который в каком-то смысле симметричен. Любопытно, что окружающий нас мир буквально заполнен симметричными объектами, созданными самой природой. Пожалуй, самый симметричный объект, который только можно себе представить,— это сфера, а природа дает нам массу примеров сферических тел: звезды, планеты, капельки воды в облаках и т. д. А сколько различных, порой причудливых примеров симметрии находим мы в кристаллах горных пород! Изучение их позволяет нам заглянуть внутрь вещества и получить важные сведения о структуре твердого тела. Столь же полон симметриями окружающий нас животный и растительный мир, хотя симметрия цветка или бабочки уже не столь совершенна и не столь фундаментальна, как симметрия кристалла.
Но тема этой главы все же не симметрия предметов, а куда более удивительная симметрия Вселенной — симметрия тех фундаментальных законов, которые управляют всеми процессами физического мира.
Однако что же такое симметрия? Каким образом физический закон может быть «симметричным»? Проблема определения симметрии — одна из основных. Мы уже говорили об очень хорошем определении, которое было дано Вейлем. Суть его состоит в том, что объект считается симметричным, если с ним можно сделать нечто такое, после чего он будет выглядеть точно так же, как и прежде. Например, симметрична ваза, которая, отразившись в зеркале или будучи повернута вокруг своей оси, выглядит точно так же, как и до поворота или отражения. Вопрос, который мы хотим разобрать здесь,— это, что можно сделать с физическим явлением или ситуацией, возникшей при эксперименте, чтобы получился тот же самый результат. Список операций симметрии, в результате которых различные физические явления остаются неизменными, приведен в табл. 52.1.
Таблица 52.1 операции симметрии
§ 2. Симметрия в пространстве и времени
Самое простое, что можно попытаться сделать — это переносить (транслировать) различные явления в пространстве. Если мы в некотором месте сделаем какой-то опыт, а потом построим такую же установку (или просто перенесем старую) в другом месте и повторим наш опыт, то все должно повториться, причем в той же самой последовательности. При этом, конечно, все детали окружения и условия работы, существенные для нашего опыта, на новом месте должны быть теми же, что и прежде, т. е. должны быть тоже перенесены вместе с нашей аппаратурой. О том, что существенно и что не существенно, мы уже говорили и больше не будем останавливаться на этом.
Насколько нам сегодня известно, перемещение во времени тоже не должно изменять физических законов. (Впрочем, обо всем, содержащемся в этой главе, можно сказать: насколько нам известно сегодня!) Это означает, что если мы построим какую-то установку и запустим ее в некоторый момент времени, скажем в 10 часов утра во вторник, а затем построим вторую, точно такую же установку и запустим ее при тех же самых условиях, но ровно на три дня позднее, то эта вторая установка будет работать точно так же, как и первая, т. е. она будет повторять те же действия, в той же последовательности и с теми же интервалами длительности. При этом, конечно, снова подразумевается, что существенные свойства окружения изменяются со временем точно таким же образом, как и прежде.
Необходимо обращать внимание и на разницу, вносимую географией, ибо с изменением положения на Земле некоторые характеристики могут тоже меняться. Если мы в каком-то месте измеряем магнитное поле, а затем вместе со всей аппаратурой переедем куда-то в другое место, то приборы могут и не работать точно таким же образом, как раньше, поскольку магнитное поле в этих различных районах может быть разным. Однако всю ответственность за разницу в этом случае мы можем свалить на магнитное поле Земли. Но если вообразить, что мы передвигаем аппаратуру вместе со всем земным шаром, то, разумеется, никакой разницы быть не должно.
Другое свойство, которое мы тоже подробно обсуждали,— это вращение в пространстве. Если мы повернем нашу аппаратуру на некоторый угол, то она будет работать точно так же, как и прежде, но, разумеется, при непременном условии, что вместе с ней мы повернем все существенное для работы аппаратуры окружение. Проблеме симметрии при вращении в пространстве была посвящена глава 11. Там вы познакомились и с векторным анализом — математическим аппаратом, который наиболее полно и изящно учитывает вращательную симметрию.
Поднявшись в изучении природы на ступеньку выше, мы познакомились с более сложной симметрией — симметрией при равномерном и прямолинейном движении. Это поистине замечательная вещь. Если мы погрузим нашу работающую установку на автомашину (со всем, конечно, существенным окружением) и поедем с постоянной скоростью по прямой дороге, то явления, происходящие в движущейся машине, будут протекать точно так же, как если бы она стояла на месте, т. е. все законы физики остаются теми же самыми.
Нам даже известно, как математически выражается эта симметрия: все математические уравнения должны оставаться неизменными при преобразованиях Лоренца. Кстати, именно изучение проблем теории относительности заострило внимание физиков на симметриях физических законов.
Однако все упомянутые виды симметрии имеют геометрическую природу, причем в некотором смысле утверждается эквивалентность пространства и времени. Но существуют симметрии совершенно другого рода. Например, можно заменить один атом другим атомом того же сорта, или (в несколько другой постановке) существуют атомы одного и того же сорта, т. е. существуют такие группы атомов, что если мы переставим любые два из них, то ничто не изменится. То, что может сделать один атом кислорода определенного сорта, способен сделать и второй.
«Ерунда какая-то,— может возразить какой-нибудь скептик,— ведь это же просто определение того, что означают атомы одного и того же сорта!» Согласен, это может быть просто определением, но все дело в том, что до опыта нам не известно, существуют ли в природе атомы «одного и того же сорта», а экспериментальный факт состоит в том, что таких атомов много, очень много, так что наше утверждение все-таки что-то означает. В указанном смысле одинаковы и так называемые элементарные частицы, из которых сделаны атомы; одинаковы все протоны, одинаковы все положительные π-мезоны и т. д.
После столь длинного списка того, что можно делать, не изменяя при этом явлений, может создаться впечатление, что практически позволено делать все что угодно. Совсем нет. Вот вам пример — просто для того, чтобы продемонстрировать разницу. Допустим, что нас интересует вопрос: «А не остаются ли законы физики теми же самыми при изменении масштаба?» Пусть вы построили какую-то машину, а затем построили точную ее копию, но увеличенную, скажем, в пять раз. Будет ли копия работать точно так же? Нет, не будет! Длина волны света, испускаемого, например, атомами кальция, находящимися внутри ящика, и длина волны, излученная газом атомов кальция, которых в пять раз больше, будет не в пять раз больше, а в точности той же самой. Так что изменится отношение длины волны к размеру излучателя.
Возьмем другой пример. Время от времени в газетах вы видите фотографии моделей знаменитых соборов, сделанные из спичек, — удивительное произведение искусства, более удивительное и потрясающее, чем настоящий собор. А представьте себе, что такой деревянный собор в самом деле построен в натуральную величину. Вы уже чувствуете, что из этого получится! Он не будет стоять, он рухнет, ибо такие увеличенные модели из «спичек» недостаточно прочны. «Правильно,— может сказать кто-нибудь из вас, —но ведь существует внешнее влияние, которое тоже необходимо изменить в соответствующей пропорции!» Вы имеете в виду способность предметов противостоять силе тяжести? Хорошо. Сначала, когда мы взяли модель собора, сделанного из настоящих спичек, и настоящую Землю, то все было отлично и устойчиво. Но потом, когда мы увеличили собор, то должны увеличить и Землю, а это для собора будет еще хуже: ведь сила тяжести станет еще больше!
Сейчас вы, конечно, понимаете, что в основе зависимости явлений от размеров лежит атомная природа строения вещества. Если бы нам удалось построить аппаратуру, которая была бы так мала, что содержала бы всего пять атомов, то такую штуку нельзя было бы произвольно уменьшить или увеличить. Ведь размер отдельного атома не произвольный, он совершенно определенный.
Тот факт, что законы физики не остаются теми же при изменении масштаба, открыл еще Галилей. Он понял, что прочность материалов изменяется не в прямой пропорции с их размерами, и иллюстрировал это свойство на примере, очень похожем на наш собор из спичек. Он рисовал два скелета собаки, один из них обычный, в той пропорции, которая необходима для поддержания ее веса, а второй — необходимый для некой воображаемой «суперсобаки», которая в десять или, может быть, в тысячу раз больше обычной. Получилось нечто громадное и внушительное с совершенно другими пропорциями. Не известно, привели ли Галилея эти соображения к заключению о том, что законы природы должны иметь определенный масштаб; ясно лишь одно, что он был настолько потрясен своим открытием, что счел его столь же важным, как и открытие законов движения. Именно поэтому Галилей опубликовал оба эти закона в одном и том же томе под заглавием «О двух Новых Науках».
Другой хорошо известный пример несимметрии законов — это вращение. В системе, вращающейся с постоянной угловой скоростью, законы физики будут выглядеть совсем иначе, чем в покоящейся. Если мы произведем какой-то опыт, а затем погрузим всю аппаратуру в космический корабль и заставим его вращаться в межпланетном пространстве с постоянной угловой скоростью, то аппаратура из-за наличия центробежных и кориолисовых сил уже не будет работать так, как раньше. В сущности, ведь о вращении Земли мы узнаем, наблюдая лишь за поведением маятника (так называемого «маятника Фуко»). Нам вовсе не нужно для этого «выглядывать наружу», т. е. смотреть на звезды, например.
Следующей в нашем списке стоит очень интересная симметрия. Это обращение времени. На первый взгляд кажется, что оно неверно, что физические законы не могут быть обращены. Ведь всем ясно, что в нашем обычном масштабе явления необратимы.
«Скользит по бумаге перо,
За строчкой написанной — новая строчка...»
Насколько нам сейчас известно, причиной этой необратимости является огромное число частиц, принимающих участие в обычных процессах. Но если бы мы видели отдельные молекулы, то не могли бы сказать, работает ли вся машина вперед или назад. Поясним, что мы имеем в виду: построим такой прибор, в котором нам известно, что делает каждый из атомов (мы можем наблюдать за всеми их проделками). Построим теперь второй, точно такой же прибор, но запустим его в обратную сторону, т. е. установим его в конечном положении, а все скорости изменим на противоположные. После этого мы увидим в точности то же самое движение, но только все будет происходить в обратной последовательности. Возьмем другой пример. Предположим, что мы засняли на киноленту какой-то процесс, происходящий с веществом, и запустили пленку задом наперед. Тогда ни один из физиков не мог бы сказать: «Это противоречит физическим законам, происходит что-то не то». Если деталей не видно, то все становится совершенно ясно. Например, когда на тротуар падает яйцо и разбивается вдребезги, то вы сразу скажете: «Этот процесс необратим; если мы заснимем его на кинопленку и прокрутим ее наоборот, то яйцо само соберется в скорлупу, которая тут же склеится обратно, а это бессмыслица!» Но если мы видим отдельные атомы, то все кажется нам полностью обратимым. Открыть эту симметрию было, конечно, гораздо труднее, чем другие, но все-таки то, что фундаментальные законы физики, управляющие атомами и молекулами, обратимы во времени, по-видимому, верно.
§ 3.Симметрия и законы сохранения
Даже на этом уровне симметрии физических законов очень увлекательны, но оказывается, что они куда более интересны и удивительны при переходе к квантовой механике. Факт, причину которого я не могу вам объяснить с вашим запасом знаний, но который до сих пор потрясает большинство физиков своей глубиной и красотой, состоит в следующем: в квантовой механике каждой из симметрии соответствует закон сохранения — существует вполне определенная связь между законами сохранения и симметриями физических законов. Сейчас мы можем только это констатировать, не пытаясь вдаваться в объяснения.
Оказывается, например, что симметрия законов физики по отношению к переносу в пространстве вместе с принципами квантовой механики означает сохранение импульса.
То, что законы симметричны при перемещении во времени, означает в квантовой механике сохранение энергии.
Неизменность (инвариантность) при повороте на фиксированный угол в пространстве соответствует сохранению момента количества движения. Среди наиболее мудрейших и удивительнейших вещей в физике эти связи — одни из самых интересных и красивых.
В квантовой механике, кроме того, возникают некоторые симметрии, которые, к несчастью, не имеют классического аналога; их нельзя описать методами классической физики. Вот одна из них. Если ψ — это амплитуда некоторого процесса или чего-то другого, то, как мы знаем, квадрат ее абсолютной величины будет вероятностью этого процесса. Пусть теперь некто сделал свои вычисления, используя не ψ, а ψ', которая отличается от ψ только по фазе [т. е. прежняя ψ умножается на ехр(iΔ), где Δ — какая-то постоянная], тогда квадрат абсолютной величины ψ', который тоже будет вероятностью события, равен квадрату абсолютной величины ψ:
(52.1)
Следовательно, физические законы не изменяются от того, что мы сдвигаем фазу волновой функции на некоторую произвольную постоянную. Это еще одна симметрия. Природа физических законов такова, что сдвиг квантовомеханической фазы не изменяет их. В начале этого параграфа мы говорили, что в квантовой механике каждой симметрии соответствует закон сохранения. И вот оказывается, что закон сохранения, связанный с квантовомеханической фазой, не что иное, как закон сохранения электрического заряда. Словом, это удивительнейшая вещь!
§ 4.Зеркальное отражение
Перейдем к следующему вопросу, который будет занимать нас до конца главы,— это симметрия приотражении в пространстве. Проблема заключается в следующем: симметричны ли физические законы при отражении? Можно ее сформулировать и по-другому. Предположим, что мы построили некое устройство, например часы с множеством колесиков, стрелок и пр. Они идут, внутри у них есть устройство для заводки. Посмотрим теперь на часы в зеркало. Дело не в том, как они выглядят в зеркале. Нет, давайте построим другие часы, в точности такие же, как те первые, отраженные в зеркале. Там, где у первых часов находится винт с правой резьбой, мы поставим винт с левой резьбой, там, где на циферблате стоит цифра «XII», мы на циферблате вторых часов нарисуем «IIX», каждая спиральная пружина закручена в одну сторону у первых часов и в противоположную у зеркально отраженных. Когда все будет закончено, получатся двое часов, каждые из которых будут точным зеркальным отражением других, хотя заметьте, что и те и другие настоящие физические материальные объекты. Возникает вопрос: а что, если и те и другие часы запущены при одинаковых условиях, если пружины их закручены одинаково туго, будут ли они идти и тикать, как точное зеркальное отражение? (Это чисто физический, а вовсе не философский вопрос.) Наша интуиция и наше знание физических законов подсказывают, что будут.
Мы подозреваем, что по крайней мере в этом случае отражение будет одной из симметрии физических законов, т. е. если заменить «право» на «лево», а все остальное оставить тем же самым, то никакой разницы при этом мы обнаружить не сможем. Предположим на минуту, что все это верно. Тогда никакими физическими явлениями невозможно различить, где «право», а где «лево», точно так же, как, скажем, никаким физическим опытом невозможно найти абсолютной скорости движения. Таким образом, с помощью каких-то опытов невозможно абсолютно определить, что мы понимаем под «правым», как противоположностью «левого», поскольку все физические законы должны быть симметричны.
Разумеется, мир наш не должен быть симметричным. Если, например, взять то, что мы называем «географией», то здесь вполне можно определить, где правая сторона. Пусть мы находимся в Нью-Орлеане и смотрим в сторону Чикаго. Тогда Флорида будет от нас справа (конечно, если мы стоим ногами на Земле!). Так что в географии можно определить, где «право» и где «лево». В любой системе реальное положение не должно иметь ту симметрию, о которой идет речь, вопрос в том — симметричны ли законы? Другими словами, противоречит ли физическим законам наличие подобного Земле шара с «левосторонней поверхностью» и человеком, подобным нам, смотрящим в сторону города, подобного Чикаго, с места, подобного Нью-Орлеану, но со всем остальным, перевернутым наоборот, так что Флорида у него будет уже с другой стороны? Ясно, что такая ситуация не кажется невозможной, физическим законам не противоречит такая замена всего левого на правое.
Еще одно обстоятельство: наше определение «правой» стороны не должно зависеть от истории. Иначе было бы очень просто отличить «левое» от «правого» — пойти в магазин запчастей и наугад взять какой-нибудь болт. Вообще говоря, у нас в руках не обязательно окажется «правый болт», но все же более вероятно, что он будет именно правым, а не левым. Но это вопрос истории, или условностей, или общего положения вещей, а не фундаментальных законов. Ведь кто-то может начать выпускать болты с левой резьбой.
Таким образом, нам нужно поискать какие-то другие явления, где бы «правое» входило более фундаментальным образом. Рассмотрим следующую возможность. Известно, что поляризованный свет, пропущенный через сахарный раствор, поворачивает свою плоскость поляризации. Как мы видели в гл. 33 (вып. 3), плоскость поляризации при определенной концентрации сахара поворачивается направо. Казалось бы, мы нашли способ определения «правой стороны», потому что, растворив в воде некоторое количество сахара, мы можем повернуть плоскость поляризации вправо. Но сахар получается из живых организмов, а если мы сделаем его искусственно, то обнаружим, что он не поворачивает плоскости поляризации. Если в этот искусственный сахар, который не поворачивает плоскости поляризации, напустить бактерий (они съедают некоторое количество сахара) и затем отфильтровать их, то обнаружится, что, хотя сахар остался (почти половина первоначального количества), и он поворачивает плоскость поляризации, но теперь уже в другую сторону! Этот факт кажется очень обескураживающим, однако его можно легко объяснить.
Приведем другой пример. Одно из веществ, общее для всех живых существ, основа жизни — это белки (протеин). Белок состоит из цепочек аминокислот. На фиг. 52.1 показана модель аминокислоты, выделенной из белка.
Фиг. 52.1. Модели молекул аланина. Слева — L-аланин; справа — D-аланин.
Эта кислота названа аланином, и на фиг. 52.1 (слева) показано расположение атомов в молекуле аланина, выделенного из белка живых существ. Если же мы попытаемся создать аланин из двуокиси углерода, этана и аммиака (что в самом деле можно сделать — это не столь уже сложная молекула), то обнаружим, что получились не только такие молекулы, но и другие, подобные показанной на фиг. 52.1 (справа), причем в равных количествах! Первые молекулы, те, которые произошли от живых существ, называются L-аланином. Другие же, одинаковые с ним химически в том смысле, что состоят из тех же атомов с теми же связями между ними, образуют «правосторонние» молекулы, которые в отличие от «левосторонних» молекул L-аланина называются D-аланином. Интересно, что если мы будем приготовлять аланин в лаборатории из простых газов, то получится смесь обоих сортов в равных количествах. Жизнь, однако, использует только L-аланин. (Но не без исключения, конечно: то там, то здесь в живых существах встречается и D-аланин, однако эти случаи очень редки. Во все белки входит исключительно L-аланин.) Если мы приготовим оба сорта и будем этой смесью кормить животных, которые любят «есть» его (т. е. усваивают аланин), то окажется, что они не смогут использовать D-аланин, а «съедят» только L-аланин. В результате получится то же, что и с нашим сахаром; после того как бактерии «съедят» тот сахар, который им нравится, остается только «ненастоящий» сорт! (Левосторонний сахар тоже сладкий, а все же не такой, как настоящий, правосторонний!)
Итак, похоже, что явления жизни позволяют отличить «правую» сторону от «левой», поскольку две молекулы химически отличны одна от другой. И все-таки — нет, не могут! Пока мы занимались физическими измерениями, подобными определению энергий или скоростей химических реакций и т. д., эти два сорта вели себя совершенно одинаковым образом, если, разумеется, все остальное тоже было зеркально отражено. Одни молекулы поворачивают свет направо, а другие, проходя то же количество раствора,— налево на точно ту же величину. Таким образом, с точки зрения физики можно использовать любую из этих двух аминокислот. Насколько мы понимаем основу вещей сегодня, уже в уравнение Шредингера заложено, что две молекулы должны вести себя в точности одинаковым образом, хотя там, где у одной правая сторона, у другой — левая. Но в природе тем не менее все устроено только одним способом!
Как полагают, причина этого состоит в следующем. Представьте себе, например, что в один прекрасный момент возникли такие условия, что все белки у каких-то существ содержали только левосторонние аминокислоты. Это привело к тому, что все на свете «перекосилось», «перекосились» все вещества в живых клетках, «перекосились» все ферменты— все стало несимметричным. Когда пищеварительные ферменты пытались сменять химию своей пищи с одного сорта на другой, то один сорт пищи «подходил» им, а другой — нет (совсем как золушкин башмачок, с тем исключением, что мы меряем его на «левую ногу»). Насколько нам известно сейчас, в принципе возможно создать такую лягушку, у которой, например, каждая молекула окажется «перевернутой», т. е. создать точное зеркальное отражение настоящей лягушки, так сказать, «левостороннюю» лягушку. Некоторое время эта «левосторонняя лягушка» чувствовала бы себя вполне нормально, но не смогла бы найти себе пищи: если бы она проглотила муху, то ее ферменты не способны были бы переварить ее. Ведь муха-то настоящая, с правосторонней аминокислотой (разумеется, если мы не разведем специально для нашей лягушки «левосторонних мух»). Итак, насколько нам сегодня известно, химические и жизненные процессы, если бы мы все «перевернули», протекали бы точно так же, как и сейчас.
Если жизнь — полностью физико-химическое явление, то факт «закрученности» всех белков только в одном направлении можно понять лишь с той точки зрения, что с самого начала совершенно случайно победил какой-то один сорт молекул. Где-то однажды органическая молекула как-то «перекосилась», и правая сторона оказалась выделенной; какой-то случай в истории создал одностороннюю ситуацию, и с тех пор «перекос» разрастался все шире и шире. Но, возникнув однажды, ситуация, которую мы наблюдаем сейчас, будет продолжаться вечно: все ферменты переваривают и приготовляют только «правосторонние» вещества. Когда в листья растений входит углекислый газ, водяной пар и другие вещества, то ферменты, приготовляющие из них сахар, делают его правосторонним, ибо они сами правосторонние. Если бы в более позднее время возник какой-то новый сорт вирусов или каких-то других живых существ, то они смогли бы выжить только, если оказались бы способны питаться уже существующими органическими веществами. А, стало быть, и сами они должны быть того же сорта.
Для правосторонних молекул не существует закона сохранения их числа. Жизнь может только увеличивать его. Предположение, таким образом, состоит в том, что жизненные явления говорят нам не об отсутствии симметрии физических законов, а, наоборот, об универсальности природы и общности начала всех живых созданий на Земле в описанном выше смысле.
§ 5. Полярный и аксиальный векторы
Пойдем дальше. Вы видели, что в физике имеется масса примеров применимости правила правой и левой руки. В самом деле, когда мы изучали векторный анализ, то узнали о правиле правой руки, которым необходимо пользоваться, чтобы получить правильный момент количества движения и момент силы, магнитное поле и т. п. Например, сила, действующая на заряд в магнитном поле, равна F=qv×B. Но представьте себе такое положение: пусть мы знаем F, v и В. Как ив этого узнать, где у нас правая сторона? Если вернуться назад и посмотреть, откуда произошли векторы, то увидим, что правило правой руки — просто соглашение, своего рода трюк. В самом начале такие величины, как угловая скорость и момент количества движения и другие, подобные им, в действительности вообще не были настоящими векторами! Все они каким-то образом связаны с определенными плоскостями, и только благодаря тому, что наше пространство трехмерно, эти величины можно связать с направлением, перпендикулярным данной плоскости. Мы же из двух возможных направлений выбрали правое.
Представьте себе, что какой-то озорной чертик, решив подшутить над физиками, пробрался во все лаборатории и всюду заменил слово «правое» на «левое». И в результате, где было написано правило правой руки, мы вынуждены были бы пользоваться правилом левой руки. Ну что ж, физики бы просто не заметили этого, ибо ни к какому изменению в физических законах это бы не привело, разумеется, если физические законы симметричны.
Покажем это на примере. Вы знаете, что существуют два сорта векторов. Имеются обыкновенные, «настоящие» векторы, подобные, например, отрезку расстояния Δr в пространстве. Пусть в нашей аппаратуре что-то находится «здесь», а нечто другое — «там», тогда те же самые «что-то» будут присутствовать и в зеркально отраженной аппаратуре. Если мы в обоих случаях проведем векторы от «сюда» до «туда», то один вектор будет отражением другого (фиг. 52.2), причем направление стрелки вектора точно, как и все пространство, «выворачивается наизнанку».
Фиг. 52.2. Отрезок в пространстве и его зеркальное отражение.
Такие векторы мы называем полярными.
Но второй сорт векторов, связанных с вращением, имеет совсем другую природу. Представьте себе нечто вращающееся в трехмерном пространстве (фиг. 52.3).
Фиг. 52.3. Вращающееся колесо и его зеркальное отражение. Заметьте, что направление «вектора» угловой скорости не изменяется.
Если посмотреть на это в зеркало, то вращение будет происходить так, как показано на рисунке, т. е. как зеркальное изображение первоначального вращения. Условимся теперь представлять зеркальное вращение с помощью того же самого правила. В результате мы получим «вектор», который в отличие от полярного вектора не изменяется при отражении и оказывается перевернутым по отношению к полярному вектору и геометрии всего пространства. Такой вектор мы называем аксиальным.
Если физический закон симметрии относительно отражения правилен, то уравнения должны быть устроены так, чтобы при изменении знака каждого аксиального вектора и каждого векторного произведения (что соответствует отражению) ничего не произошло. Например, когда мы пишем формулу для момента количества движения L=r×p, то здесь все в порядке, потому что при переходе в левую систему координат мы изменяем знак L, а знак р и r не изменяется. Кроме того, изменится и векторное произведение, поскольку мы должны правило правой руки заменить правилом левой руки. Возьмем другой пример.
Известно, что сила, действующая на заряд в магнитном поле, равна F=qv×В, но если мы от правой системы перейдем к левой, то, поскольку, как известно, F и v — полярные векторы, изменение знака из-за наличия векторного произведения должно компенсироваться изменением знака В, а это означает, что В должен быть аксиальным вектором. Другими словами, при таком отражении В должен переходить в —В. Таким образом, если мы изменяем левые координаты на правые, то одновременно нужно северный полюс магнита изменить на южный.
Давайте посмотрим на примере, как это все получается. Пусть у нас имеются два магнита, похожих на изображенные на фиг. 52.4.
Фиг. 52.4. Электромагнит и его зеркальное отражение.
Один из магнитов выглядит в точности так, как зеркальное отражение другого, т. е. витки его накручены в другую сторону, и все, что происходит внутри катушки, должно быть в точности обращено в другую сторону; ток течет, как это показано на рисунке. Теперь из законов магнетизма (которые вы хотя еще и не знаете официально, но, по-видимому, помните из школьного курса) получается, что магнитное поле направлено так, как это показано на рисунке. Там, где у первого магнита южный полюс, у другого магнита будет северный, ибо у него ток течет в другую сторону, а магнитное поле перевернуто. Таким образом, выходит, что при переходе от правой системы к левой мы действительно должны заменить северный полюс на южный!
Но северный и южный полюсы — это просто договоренность, и замена их еще ничего не означает. Давайте посмотрим на само явление. Предположим, что электрон движется от нас через магнитное поле перпендикулярно к плоскости страницы. Тогда, если воспользоваться формулой для силы v×В (не забудьте, что электрон отрицательный!), мы получим, что в соответствии с этим физическим законом электрон должен отклоняться в указанном направлении. Таким образом, явление заключается вот в чем. Если в катушке в определенном направлении течет ток, то электрон как-то отклоняется. Это и есть физика, и неважно, как мы будем называть все по дороге.
А теперь проделаем тот же опыт с зеркально отраженным магнитом: пошлем электрон в соответствующем направлении. Теперь на него будет действовать обратная сила. Вычислив ее по тем же правилам, мы получим правильный результат: соответствующее движение будет зеркальным отражением предыдущего!
§ 6. Какая же рука правая?
Дело в том, что существует один интересный факт: в любом явлении правило правой руки всегда встречается два или вообще четное число раз, и в результате любое явление всегда выглядит симметричным. Короче говоря, раз мы не можем отличить северный полюс от южного, то не можем отличить и правую сторону от левой. Может показаться, что определить, где находится северный полюс магнита, очень просто. Северным концом магнитной стрелки компаса будет тот, который указывает на север. Но это опять локальное свойство, связанное с географией Земли, все равно, что указание, в какой стороне находится Чикаго, и поэтому не идет в счет. Если вы видели стрелку компаса, то, вероятно, заметили, что ее северный конец окрашен в какое-то подобие синего цвета. Но это уже дело рук человека, который окрасил стрелку. Так что все это — условные критерии.
Вот если бы магнит обладал тем свойством, что, посмотрев на него внимательно, мы бы обнаружили на его северном полюсе растущую бороду, которой нет на южном, и это было бы общим правилом, т. е. если бы существовал какой-то единый способ, позволяющий отличить северный полюс магнита от южного, то это было бы концом симметрии при отражении.
Чтобы яснее представить себе всю проблему в целом, вообразите, что вы разговариваете по радио с каким-то существом, находящимся очень далеко от вас. Мы не можем послать ему какого-нибудь образца, чтобы он его увидел; вот если бы мы, к примеру, могли послать пучок света, то мы послали бы свет, поляризованный по кругу в правую сторону, и сказали бы: «Обрати внимание на направление вращения поляризации этого света, мы называем его правым». Но мы не можем послать ему ничего подобного, а можем только говорить с ним. Наш собеседник находится очень, очень далеко, в каком-нибудь неизвестном мире, и не может видеть того, что видим мы. Мы не можем сказать: «Взгляни на Большую Медведицу. Смотри, как расположены ее звезды. Под правой стороной мы понимаем...» Мы можем только говорить с ним по радио.
Предположим, нам захотелось рассказать ему о себе. Ну, лучше всего начать с чисел: «Тик, тик — два, тик, тик, тик — три...», так что постепенно он выучит эти два слова, а потом больше. Спустя некоторое время вы настолько познакомитесь с ним, что он вас спросит: «Послушай, приятель, а как ты выглядишь?» Вы начнете описывать себя и первым делом скажете: «Мой рост один метр 75». «Подожди,— скажет он,— что такое метр?» Можно ли объяснить ему, что такое метр? Конечно, можно! Вы скажете: «Тебе известен диаметр атома водорода, так вот, мой рост составляет 17 000 000 000 диаметров атома водорода!» Это возможно, ибо физические законы не инвариантны относительно изменения масштаба, а поэтому мы можем определить абсолютную длину. Итак, мы определили размер нашего тела; можно описать и общую форму тела: рассказать, что у нас есть конечности с пятью отростками на концах и т. д., и так без особых трудностей он из нашего описания поймет, как мы выглядим. Он даже может вылепить нашу модель и, поглядев на нее, сказать: «Э-э, да ты, приятель, совсем, недурен. Но вот что у тебя внутри?» И мы начнем описывать ему наши внутренние органы, дойдем до сердца, тщательно опишем его форму и скажем: «Помести его в левую сторону груди». «Куда, куда? В левую сторону? А что это такое?» — удивится он. И вот как же описать ему, в какой стороне находится сердце, если он не может видеть то, что видим мы, и никогда не получал от нас ничего, что позволило бы ему понять, где же собственно левая сторона. Можно ли это сделать?
§ 7.Четность не сохраняется!
Оказывается, что законы тяготения, законы электричества и магнетизма, законы ядерных сил — все подчиняется принципу симметрии при отражении, так что ни эти законы, ни все, что получено из них, не может помочь нам. Однако в природе было обнаружено явление, которое может происходить со многими частицами, и называется оно бета-распадом, или слабым распадом. Один из видов слабого распада, связанный с частицей, открытой в 1954 г., задал физикам трудную головоломку. Есть такая заряженная частица, которая распадается на три π-мезона, как это схематически показано на фиг. 52.5.
Фиг. 52.5. Схематические диаграммы распадов τ- и θ-мезонов.
Частицу эту временно назвали τ-мезоном. На том же рисунке показана и другая частица, которая распадается на два π-мезона. По закону сохранения заряда один должен быть нейтральным. Эта частица была названа θ-мезоном. Итак, у нас есть τ-мезон, распадающийся на три π-мезона, и есть θ-мезон, распадающийся на два π-мезона. Вскоре, однако, обнаружилось, что массы τ и θ почти равны друг другу, точнее, в пределах экспериментальных ошибок они просто равны. Кроме того, где бы они ни появлялись, они всегда рождаются в одной и той же пропорции, скажем 14% τ-частиц и 86% θ-частиц.
Кто подогадливей, тот сразу поймет, что здесь мы имеем дело с одной и той же частицей, т. е. что рождаются не две частицы, а всего лишь одна, которая может распадаться двумя различными способами. Поэтому мы получали один и тот же процент рождения (ведь это же просто процент, отражающий способы, которыми она распадается).
Однако квантовая механика из принципа симметрии при отражении позволяет доказать (сейчас я, к сожалению, не могу объяснить вам, как это делается), что совершенно невозможно, чтобы оба эти способа распада принадлежали одной частице: одна частица никак не может распадаться двумя различными способами. Закон сохранения, соответствующий принципу симметрии при отражении, не имеет аналога в классической физике, и этот специфический закон сохранения в квантовой механике был назван законом сохранения четности. Таким образом, вследствие закона сохранения четности, или, точнее, из симметрии квантовомеханических уравнений слабого распада относительно отражения, получалось, что одна и та же частица не может распасться обоими способами, так что здесь мы встречаемся с каким-то удивительным совпадением в массах, временах жизни и т. д. Но чем больше изучалось это явление, тем более удивительным становились совпадения и постепенно росло подозрение в несправедливости фундаментального закона симметрии природы относительно отражения.
Это кажущееся нарушение побудило физиков Ли и Янга предложить поставить другие эксперименты и проверить, будет ли закон сохранения четности выполняться в других родственных распадах. Первый такой эксперимент выполнила By в Колумбийском университете. Заключался он в следующем. Оказывается, что у кобальта, который является хорошим магнетиком, существует изотоп, распадающийся с испусканием электронов. Поместим его в очень сильное магнитное поле при очень низкой температуре, так чтобы тепловые колебания не слишком сильно сбивали атомные «магнитики», тогда все они «выстроятся» вдоль магнитного поля. Таким образом, все атомы кобальта «выстраиваются» в этом сильном поле одинаковым образом. Потом они распадаются, испускают электроны, и вот оказалось, что когда атомы «выстраиваются» в магнитном поле с направленным вверх вектором В, то большинство электронов летит вниз.
Тому, кто не очень «на ты» с миром физики, это замечание мало что говорит, однако тот, кого волнуют тайны природы, увидит, что это наиболее удивительное открытие нашего времени. Если поместить атомы кобальта в очень сильное магнитное поле, то вылетевшие электроны более охотно летят вниз, чем вверх. Поэтому если бы мы отразили этот опыт в зеркале так, чтобы атомы кобальта были «выстроены» наоборот, т. е. вверх, то они бы испускали свои электроны вверх, а не вниз, и симметрия исчезла бы.
Теперь мы знаем, что южный полюс магнита это тот, от которого летят β-распадные электроны; таким образом, физически возможно отличить северный полюс от южного.
После этого было сделано множество других экспериментов: распад π-мезона на μ и v, распад μ-мезона на электрон и два нейтрино, распад Λ-частицы на протон и π-мезон, распад Σ-частицы и много других распадов. И почти во всех тех случаях, где этого можно было ожидать, обнаружено отсутствие принципа зеркальной симметрии! Фундаментальный закон физики — закон симметрии при отражении — оказался на этом уровне несправедливым.
Короче говоря, теперь мы уже могли бы объяснить нашему приятелю из космоса, где у нас расположено сердце.«Послушай,— сказали бы мы ему,— сделай себе магнит, намотай на него проволоку и пусти по ней ток. Затем возьми кусок кобальта, охлади его до низкой температуры. Расположи все устройство так, чтобы испущенные электроны летели от ног к голове, тогда направление тока в катушке скажет тебе, какую сторону мы называем правой, а какую — левой: ток входит с правой стороны и выходит с левой». Итак, с помощью эксперимента такого рода можно определить, где правая, а где левая сторона.
Было предсказано множество других свойств. Оказалось, например, что спин, т. е. угловой момент, или момент количества движения ядра кобальта, до распада равен пяти единицам ℏ, а после распада — четырем. Половину этого момента количества движения уносит электрон, а половину — нейтрино. Нетрудно теперь сообразить, что момент количества движения, уносимый электроном, должен быть направлен по линии его движения, как и момент количества движения нейтрино. Казалось, что электрон вертится справа налево; это тоже было проверено. Сделано это было прямо здесь в КАЛТЕХ'е. Бем и Вапстра, поставившие эксперимент, обнаружили, что электрон действительно крутится налево. (Были и другие эксперименты, дававшие противоположный ответ, но они оказались неверными!)
Следующей задачей было нахождение правила нарушения закона сохранения четности. Есть ли какое-нибудь правило, говорящее нам, насколько велико должно быть это нарушение? Оно оказалось следующим: нарушение происходит только в очень медленных реакциях, названных слабыми распадами, и если уж оно произошло, то частицы, уносящие спин, такие, как электрон или нейтрино, вылетают, преимущественно вращаясь налево. Это как бы «правило перекоса», оно связывает полярный вектор скорости и аксиальный вектор момента количества движения и говорит, что моменту количества движения более присуще направление против вектора скорости, нежели по нему. Таково правило, но мы еще не очень понимаем всех его «почему» и «поэтому». Почему справедливо именно это правило, в чем его фундаментальная причина и как оно связано с другими явлениями? Сейчас мы настолько потрясены самим фактом несимметрии мира, что до сих пор еще не можем оправиться и понять, как же оно отразится на всех остальных правилах. Тем не менее проблема эта интересная, животрепещущая и, увы, до сих пор не решенная. Поэтому сейчас самое время обсудить некоторые вопросы, связанные с этим правилом.
§ 8.Антивещество
Когда исчезает одна из симметрии, то первым делом нужно немедленно обратиться к списку известных или предположенных симметрии и посмотреть, не может ли еще нарушиться какая-то из них. Мы не упомянули одну операцию из нашего списка, а к ней наш вопрос относится в первую очередь — это отношение между веществом и антивеществом. Дирак предсказал, что в дополнение к электронам в мире должны существовать другие частицы, называемые позитронами (открытые Андерсоном в КАЛТЕХ'е), и они тесно связаны с электронами. Все свойства этих двух частиц подчиняются определенным правилам соответствия: энергии их равны, массы равны, заряды противоположны, но самое важное, столкнувшись, они могут уничтожить друг друга (аннигилировать), превратив всю свою массу в энергию, например γ- излучение. Позитрон называется античастицей электрона, и эти свойства являются основными свойствами частицы и ее античастицы. Из рассуждений Дирака было ясно, что у всех остальных частиц тоже должны быть соответствующие античастицы. Например, наряду с протоном должен существовать и антипротон, который сейчас обозначается символом р. У него должен быть отрицательный электрический заряд, та же, что и у протона, масса и т. д. Однако наиболее важным свойством является то, что протон и антипротон, столкнувшись, могут уничтожить друг друга. Я особенно подчеркиваю это потому, что люди обычно удивляются, когда говоришь, что наряду с нейтроном существует и антинейтрон; они говорят: «Как антинейтрон может иметь противоположный заряд, ведь он нейтральный?» Приставка «анти» означает не просто противоположный заряд, частица характеризуется целым набором свойств, многие из которых становятся противоположными. Антинейтрон можно отличить от нейтрона следующим способом: если поместить рядом два нейтрона, они так и останутся двумя нейтронами, но если мы поместим рядом нейтрон и антинейтрон, то они уничтожат друг друга, причем выделят большое количество энергии в виде разных π-мезонов, γ-квантов и т. п.
Далее, если у нас есть антипротоны, антинейтроны и позитроны[40], то из них в принципе можно составить антиатомы. Это еще не сделано, но в принципе вполне возможно. В атоме водорода, например, в центре расположен протон, вокруг которого крутится электрон. Вообразите теперь, что мы сделали антипротон и запустили вокруг него позитрон. Будет ли он крутиться? Ну прежде всего антипротон заряжен отрицательно, а позитрон — положительно, так что они будут притягиваться друг к другу с соответствующей силой, а поскольку массы у них одинаковы с протоном и электроном, то одинаково будет и все остальное. В этом состоит один из принципов симметрии в физике: уравнения, по-видимому, говорят нам, что если сделать одни часы из вещества, а другие, точно такие же, из антивещества, то они будут идти совершенно одинаково. (Разумеется, если мы поместим эти часы рядом, то они уничтожат друг друга, но это уже совсем другое дело.)
Тогда немедленно возникает вопрос. Можно сделать двое часов из вещества, причем одни «правосторонние», а другие «левосторонние». Можно, скажем, сделать не простые часы, а часы с кобальтом, магнитами и детекторами, регистрирующими β-распадные электроны и считающими их. Всякий раз, когда регистрируется электрон, секундная стрелка слегка подвигается. Но тогда зеркально отраженные часы, в которые приходит меньше электронов, не будут идти с той же скоростью. Итак, теперь нам ясно, что возможно построить такую пару часов, что правосторонние не будут согласовываться с левосторонними. Давайте сделаем часы из вещества и назовем их стандартными, или правосторонними, и сделаем еще часы тоже из вещества и назовем их левосторонними. Мы только что установили, что эти двое часов, вообще говоря, не будут идти одинаковым образом, а до этого выдающегося открытия в физике считалось, что будут. Далее мы, кроме того, полагали, что вещество и антивещество эквивалентны, т. е. если бы мы сделали часы из антивещества, такие же правосторонние, той же самой формы, то они шли бы точно так же, как и правосторонние часы из вещества, а если бы мы сделали такие же левосторонние часы, то и они тоже ходили бы точно таким же образом. Другими словами, первоначально мы полагали, что все четверо таких часов должны работать совершенно одинаково. Но теперь мы знаем, что правосторонние и левосторонние часы из вещества не одинаковы. А следовательно, право- или левосторонние часы из антивещества тоже, по-видимому, не одинаковы.
Теперь возникает очевидный вопрос: есть ли пара часов, которые идут одинаково? Иначе говоря, ведет ли себя правостороннее вещество так же, как правостороннее антивещество? Или же правостороннее вещество ведет себя так же, как левостороннее антивещество? Эксперименты с β-распадом, но не с электронным, а с позитронным β-распадом, указывают, что эта связь такова: «правое» вещество ведет себя точно так же, как «левое» антивещество.
Итак, в конечном счете право-левая симметрия все же реабилитирована! Если мы изготовим левосторонние часы, но изготовим их из материала совершенно другого рода — из антивещества, а не из вещества, то они будут идти точно таким же образом. В итоге произошло вот что: вместо двух независимых правил в нашем списке симметрии мы получили одно новое комбинированное правило, гласящее, что правостороннее вещество симметрично с левосторонним антивеществом.
Таким образом, если наш приятель из космоса сделан из антивещества и мы даем ему указания, как сделать нашу «правостороннюю» модель, то он, разумеется, сделает все наоборот. Что произошло бы, если бы после долгих переговоров мы научились другу друга строить космические корабли и договорились бы о встрече где-то в космическом пространстве, на полпути между ним и нами? Разумеется, мы бы предварительно рассказали друг другу о своих обычаях и прочем, и вот наконец вы спешите навстречу, чтобы пожать ему руку. Но будьте внимательны. Если он протянет вам левую руку — берегитесь[41]!
§ 9.Нарушенная симметрия
А что нам делать с законами, которые только приблизительно симметричны? Самое удивительное здесь то, что в широкой области важнейших явлений—ядерные силы, электромагнитные явления и даже некоторые слабые взаимодействия типа гравитации, словом, все законы в широчайшей области физики оказываются симметричными. Но, с другой стороны, вдруг всплывает какое-то слабенькое явление и говорит: «Нет, не все на свете симметрично!» Но как могло случиться, что природа почти симметрична, а не абсолютно симметрична? Что нам с ней делать? Прежде всего давайте все-таки посмотрим, нет ли каких-то других примеров подобного рода? Да, такие примеры есть и даже не один. Например, ядерные части сил между протоном и протоном, между протоном и нейтроном или нейтроном и нейтроном в точности равны друг другу. Это некая новая симметрия — симметрия ядерных сил: в ядерных взаимодействиях протон и нейтрон вполне могут заменять друг друга. Но она, очевидно, не всеобщая симметрия, ибо между двумя нейтронами не существует электрического отталкивания, как между двумя протонами. Поэтому мы не можем всегда заменять протона нейтроном, это, вообще говоря, неверно, хотя и является хорошим приближением. Почему хорошим? Да потому, что ядерные силы гораздо больше электрических. Так что это тоже «почти симметрия». Итак, подобные примеры все же есть и в других областях.
Нас всегда тянет рассматривать симметрию как некоего рода совершенство. Это напоминает старую идею греков о совершенстве кругов. Им было даже страшно представить, что планетные орбиты не круги, а только почти круги. Но между кругом и почти кругом разница немалая, а если говорить об образе мыслей, то это изменение просто огромно. Совершенство и симметрия круга исчезают как только чуть-чуть исказить его. Деформируйте немного круг, и это будет концом его симметрии и совершенства. Спрашивается, почему же орбиты только почти круги? Это куда более трудный вопрос. Истинное движение планет, вообще говоря, должно происходить по эллипсам, но в течение веков благодаря приливным силам они превратились в почти окружности. Но везде ли есть подобная проблема? Если бы пути планет были действительно кругами, то проблема не требовала бы пространных объяснений — они просты. Но поскольку эти пути только почти круговые, то объяснить нужно очень многое. Результат же превращается в большую динамическую проблему, и теперь нам нужно объяснить, привлекая приливные силы или что-то еще, почему они приблизительно симметричны.
Итак, наша цель понять, откуда взялась симметрия. Почему природа столь близка к симметрии? По этому вопросу ни у кого нет никакой разумной мысли. Единственное, что я могу предложить вам,— это старое японское предание. В японском городе Никко есть ворота, которые японцы называют самыми красивыми воротами страны. Они были построены в период большого влияния китайского искусства[42]. Это необычайно сложные ворота, со множеством фронтонов, изумительной резьбой и большим количеством колонн, на основании которых вырезаны драконьи головы, божества и т. п. Но, приглядевшись, можно заметить, что в сложном и искусном рисунке на одной из колонн некоторые из его мелких деталей вырезаны вверх ногами. В остальном рисунок полностью симметричен. Спрашивается, для чего это было нужно? Как говорит предание, это было сделано для того, чтобы боги не заподозрили человека в совершенстве. Ошибка была сделана намеренно, дабы не вызвать зависти и гнева богов.
Мы можем, вообще говоря, подхватить эту мысль и сказать, что истинное объяснение приблизительной симметрии мира состоит в следующем: боги сотворили свои законы только приближенно симметричными, чтобы мы не завидовали их совершенству!