Том 12. Числа-основа гармонии. Музыка и математика — страница 12 из 22

Regis lussu Cantio Et Reliqua Canonica Arte Resoluta, что означает «Данная повелением короля тема и прочее, исполненное в каноническом роде». Эта фраза содержит игру слов — акростих: если записать слова фразы одно под другим, первые буквы образуют слово RICERCAR — «РИЧЕРКАР».



Портрет Карла Филиппа Эммануила Баха. Внизу — партитура темы короля Фридриха II Великого.


* * *

Преобразования, изменяющие размеры

Три вида преобразований, которые мы рассмотрели (перенос, отражение и поворот), являются изометрическими, то есть сохраняют исходные размеры музыкальных фигур и расстояния между ними.

Также существует неизометрическое преобразование, которое применяется в музыке. Оно называется масштабирование. Масштабирование увеличивает или уменьшает один из линейных размеров фигуры. При этом преобразовании соотношение сторон фигуры может как сохраняться неизменным, так и изменяться. Если мы хотим применить это преобразование в музыкальной нотации, необходимо четко различать два «измерения» музыкальной плоскости.



Горизонтальное масштабирование

Наиболее наглядными примерами этого преобразования являются сжатие и растяжение вдоль временной оси. Чтобы произвести такое преобразование и, следовательно, изменить скорость, с которой исполняется произведение, необходимо изменить темп метронома:



Изменение скорости путем изменения темпа метронома.


Однако порой интереснее изменить скорость исполнения мелодии, сохраняя темп метронома неизменным. Для этого ноты заменяются эквивалентными нотами меньшей длительности:



«Немецкий реквием» Иоганнеса Брамса

Немецкий композитор Иоганнес Брамс (1833–1897), представитель романтизма, использовал масштабирование в своем знаменитом «Немецком реквиеме». В первых тактах соло (линия партитуры с подписью soprano solo) мелодия сопрано образована восьмыми нотами. Теноры повторяют эту же мелодию, но длительность нот удваивается: восьмые ноты заменяются четвертными, четвертные — половинными и так далее. В результате сопрано исполняет мелодию в два раза быстрее, чем теноры (tenors на партитуре):



Puttin' on the Ritz

Автором этой известной мелодии является американский композитор Ирвинг Берлин (1888–1989) — «величайший песенный композитор всех времен», по словам его соотечественника Джорджа Гершвина. Эту песню, которая впервые прозвучала в 1929 году, впоследствии исполняли Бенни Гудмен, Фред Астер и другие известные певцы. Текст песни довольно прост, но, несмотря на это, она отличается запутанной ритмикой. В мелодии четыре раза повторяется очень простая фигура из четырех нот, но эти четыре повторения занимают не четыре такта, а чуть больше трех, за счет чего образуется неравномерный ритм:



Берлину удалось достичь этого удивительного эффекта за счет «сжатия» нот. На следующей иллюстрации можно видеть, как четыре ноты, сгруппированные в фигуры и обозначенные кругами под номерами от 1 до 4, следуют друг за другом. Стрелкой обозначена граница такта.



Вертикальное масштабирование

Что происходит при вертикальном масштабировании? Это преобразование — самое необычное из рассмотренных нами. Его сложнее всего выполнить и весьма непросто услышать в музыкальной композиции. При вертикальном масштабировании все интервалы пропорционально расширяются. В первом примере интервалами мелодии являются две терции. Во втором примере терции преобразуются в квинты.



Подобное повторение расширенной мелодической кривой исходной мелодии иногда может давать пародийный эффект. Известный пример вертикального мас штабирования связывает между собой Баха и Джона Кейджа и упоминается в классической научно-популярной книге «Гедель, Эшер, Бах» американского автора Дугласа Хофштадтера (р. 1945).

Если использовать латинскую систему, в которой ноты обозначаются буквами от А до G, то с помощью масштабирования можно превратить тему ВАСН («Бах») в CAGE («Кейдж»).



Интервалы темы BACH: —1|+3 |—1.

Умножив эти интервалы на 3, получим —3 |+9 |—3, что почти совпадает с темой CAGE, интервалы которой равны —3 |+10 |—3.


Гармоническая симметрия

Симметричные аккорды

Одна октава состоит из 12 полутонов. Эти 12 полутонов можно разделить на симметричные аккорды всего двумя способами: в первом случае аккорды из 3 нот будут разделены 4 полутонами, во втором случае аккорды из 4 нот будут разделены 3 полутонами.



В первом случае образуется аккорд увеличенной квинты, состоящей из двух больших терций, во втором — аккорд уменьшенной септимы. Благодаря своей симметричности этот аккорд занял очень важное место в истории музыки, так как его можно «прочитать» многими способами одновременно.


Симметричные звукоряды

В своей книге «Техника моего музыкального языка» французский композитор Оливье Мессиан (1908–1992) приводит классификацию звукорядов, которые он называет ладами ограниченной транспозиции. В этих звукорядах, ступени которых образуют полную октаву, интервалы, разделяющие ноты, распределяются симметрично. Такие звукоряды основаны на хроматической системе из 12 звуков и состоят из различных симметричных групп. После определения звукоряда он последовательно транспонируется до тех пор, пока при транспозиции не образуется звукоряд, в котором будут полностью повторяться ноты исходной группы.

Первый лад в классификации Мессиана называется ладом с целыми тонами:



В этом ладу допускается всего два варианта: первый начинается с до, второй — с до-диез. В ладу, который начинается с ре, повторяются ноты исходного лада.

Второй лад — уменьшенный октатонический звукоряд, в котором чередуются полутона и целые тона. Этот лад делится на четыре группы по три ноты и допускает три транспозиции.



Третий лад образован последовательностями тон — полутон — полутон, состоит из трех групп по четыре звука и допускает четыре транспозиции.



Порядок интервалов в четвертом ладу таков: полутон — полутон — полтора тона (3 полутона) — полутон, шесть транспозиций.



Пятый лад образует две симметричные группы из четырех звуков: полутон — два тона — полутон и допускает шесть транспозиций.



Шестой лад состоит из двух групп по шесть звуков (тон — тон — полутон — полутон) и допускает шесть транспозиций.



Седьмой лад состоит из двух групп по шесть звуков (полутон — полутон — полутон — тон — полутон) и допускает шесть транспозиций.



Математика музыкальной формы

Симметрия наблюдается не только в музыкальных фразах и мотивах. Более сложные музыкальные структуры также могут обладать интересными математическими свойствами.

В формальном анализе музыкальных произведений изучается «музыкальная плоскость» — иными словами, составные части произведения и взаимосвязи между ними. Так как «музыкальную плоскость» можно изображать с разной степенью точности, в зависимости от «масштаба» можно получить общее представление, не содержащее нюансов, либо, напротив, в подробностях увидеть все детали, но не все произведение в целом.


ABCDE…

Рассмотрим музыкальные произведения издалека. Мы увидим крупные структуры, которые будем обозначать заглавными латинскими буквами. Здесь в качестве структурных элементов композиции мы будем рассматривать повторяющиеся или изменяющиеся фрагменты произведения. Композицию, в которой полностью повторяется единственная группа, будем обозначать так:



Такие композиции обладают простой симметрией. Произведение, состоящее из двух полностью различных групп, напротив, не обладает какой-либо симметрией:



Существуют ли произведения, симметричные с формальной точки зрения? Да, такие произведения существуют, более того, они встречаются очень часто. Примером может служить скерцо («игра») — произведение, которое обычно является частью другого, более крупного произведения, например симфонии. В качестве примера можно привести скерцо из Девятой симфонии Бетховена или скерцо из Симфонии № 4 Чайковского. По своей сути скерцо имеет вид АВ. Иногда после исполнения второй части первая повторяется заново, и композиция принимает вид:



Это простейшая симметричная фигура. Части этой композиции могут повторяться и далее, образуя различные симметричные структуры:



Также существуют сложные формы, состоящие из трех частей, каждая из которых также делится на три части. В результате образуются более крупные симметричные структуры:



Некоторые короткие произведения, например вальс ор. 34 № 1 Фредерика Шопена (1810–1849), обладают еще более широкой симметрией:



Чем длиннее произведение, тем меньше вероятность наличия подобной симметрии. «Музыкальное приношение» Баха обладает формальной симметрией следующего вида:



Месса си минор Баха

Иоганн Себастьян Бах, самый изобретательный композитор всех времен, использовал в своих произведениях структуры, обладающие символическими и математическими свойствами. Его Месса си минор (Высокая месса) BWV 232, состоит из 27 частей, объединенных в четыре группы: Kyrie, Gloria, Credo и финальную, включающую в числе прочих части Sanctus, Hosanna, Benedictus и Agnus Dei. Композитор хотел изобразить Святую Троицу как в музыке, так и в числах.

Число 3 обозначает Святую Троицу. Общее число частей произведения (27), а также число частей в каждой группе (3 + 9 + 9 + 6) делится на три. Две центральных группы (Gloria и Credo) имеют симметричную структуру. Центр симметрии Gloria расположен в хоре Domine Deus («Господи Боже»). Центр симметрии Credo — в Crucifixus («Распятье»):