(7 + 5 + 7 + 4 + 7)/5 = 6
Следовательно, оценка общего числа элементов совокупности равна 41. Пусть х1, x2…, хn — значения, расположенные на 1, 2, n-м местах. В этом случае среднее расстояние, которое нужно прибавить, будет вычисляться по формуле:
Нетрудно видеть, что эта формула равносильна следующей:
(xn/n) — 1
Следовательно, более точную оценку общего числа элементов генеральной совокупности можно вычислить по формуле:
Насколько точна эта оценка? С помощью методов математической статистики можно доказать, что она является максимально точной из возможных. На языке специалистов такая оценка называется равномерно несмещенной оценкой с минимальной дисперсией.
Таким образом, нам достаточно записать номера лицензий 20 такси, прибавить к наибольшему из них его же значение, поделенное на 20, и вычесть 1. В нашем примере, если число лицензий равно 10481 и они пронумерованы последовательными числами, то в 95 % случаев оценка, выполненная по этой формуле, будет лежать в интервале от 9175 до 10990.
Очевидно, что этот метод подходит не только для подсчета числа такси в городах. Его также можно использовать, например, чтобы определить число участников массового забега, если всем им выданы последовательные номера. Службы разведки в прошлом посредством похожих методов оценивали вооружение врага. Мы знаем, что оружие имеет табельный номер, поэтому достаточно каким-то образом заполучить лишь несколько единиц, чтобы оценить общее количество оружия.
Сначала нужно уточнить определения: что мы будем считать домохозяйством и подключением к Интернету. Нет смысла производить подробные расчеты, если нам неизвестно точное значение используемых понятий.
В одном газетном заголовке утверждалось, что половину сигарет выкуривают люди с психическими расстройствами. Это звучало так, будто половина курильщиков — ненормальные, что выглядит явным преувеличением. Однако в тексте заметки под психическим расстройством понималась зависимость от какого-либо вещества, поэтому не половину, а почти все сигареты выкуривают люди, страдающие от никотиновой зависимости, следовательно, имеющие «психическое расстройство». Многие слова, которые мы произносим в повседневной жизни, неоднозначны. Одно из таких слов — «семья». Что такое семья? Муж, жена и их дети? А если вместе с ними живут бабушка и дедушка, их следует считать членами семьи? Достаточно странно определять принадлежность человека к семье по тому, в каком доме он живет. Семью можно понимать и в более широком смысле, как, например, на свадьбах, где «семья невесты» и «семья жениха» насчитывают по несколько десятков гостей.
* * *
ОЦЕНКА ВЫИГРЫШНОЙ КОМБИНАЦИИ НАЦИОНАЛЬНОЙ ЛОТЕРЕИ
Нам прекрасно известно, что все числа национальной лотереи выпадают с одинаковой вероятностью. Но что можно сказать о среднем значении чисел выигрышной комбинации? 7 января 2010 года выигрышная комбинация испанской национальной лотереи состояла из следующих чисел: 19, 24, 25, 38, 43 и 49, их среднее значение равно 33. В субботу, 9 января, выпали числа 13, 26, 29, 30, 31 и 43; их округленное среднее значение равно 29. Все ли средние значения выпадают с одинаковой вероятностью или некоторые из них встречаются чаще, чем другие?
Определенные средние значения действительно встречаются чаще, поскольку, как мы объяснили в предыдущей главе, средние значения подчиняются закону нормального распределения. На следующей гистограмме представлено среднее значение чисел выигрышных комбинаций всех лотерей, начиная с 17 октября 1985 года и заканчивая 31 декабря 2009 года:
Средние значения чисел в выигрышных комбинациях.
Среднее значение будет с намного большей вероятностью лежать между 20 и 30, чем между 5 и 15. Почему бы нам не выбирать только те комбинации, в которых среднее значение чисел лежит в промежутке от 20 до 30? Ведь таких комбинаций намного больше, и вероятность того, что одна конкретная комбинация окажется выигрышной, всегда одинакова. Иными словами, если в розыгрыше участвует 1000 номеров, то какое число выпадет с большей вероятностью: лежащее в интервале от 500 до 550 или же число, лежащее вне этого интервала? Очевидно, что с большей вероятностью выпадет число вне этого интервала, но это не означает, что конкретное число внутри этого интервала выпадет с меньшей вероятностью, чем конкретное число вне этого интервала.
* * *
Равносильны ли понятия «дом» и «домохозяйство»? Очевидно, нет, так как если в доме никто не живет, он не является домохозяйством. Домохозяйством также нельзя считать дом, где кто-то живет только по выходным или в сезон отпусков. Является ли домохозяйством квартира, где живут студенты в течение учебного года? Связаны ли понятия «домохозяйство» и «семья»? Следовательно, необходимо четко сформулировать, что такое домохозяйство.
Определение подключения к Интернету представляет меньше трудностей, так как способ подключения, будь то ADSL-модем или оптический кабель, не имеет значения. Однако некоторые домохозяйства используют незащищенное беспроводное соединение соседей или бесплатное подключение из соседней библиотеки или кафе. Следует ли считать, что эти домохозяйства подключены к Интернету, или же нужно учитывать только тех, кто платит за подключение?
ДОМОХОЗЯЙСТВО, социально-экон. ячейка, объединяющая людей отношениями, возникающими при организации их совместного быта: ведении общего домашнего хозяйства, совместном проживании и т. д. В отличие от семьи, отношения родства или свойства между членами одного Д. необязательны: оно может включать жильцов, пансионеров, прислугу и других, а также состоять из одного человека, живущего самостоятельно.
Будем считать домохозяйством дом или квартиру, где большую часть года проживает один или несколько человек, связанных родственными отношениями. Будем предполагать, что домохозяйство подключено к Интернету, если подключение находится под его контролем и может быть отключено или подключено в любой момент.
Если мы возьмем выборку в 1000 из 100000 домохозяйств и в нашей выборке 51,9 % домохозяйств будут подключены к Интернету, значит ли это, что точно таким же будет процент для всей генеральной совокупности? Очевидно, что это необязательно так. Если мы сформируем другую выборку, также случайным образом, то результат, вероятно, будет отличаться, например он может быть равен 50,7 или 52,3 %.
По этой причине в представление результатов подобных исследований входит не только примерное значение, но и предельная ошибка. Например, результат оценки может быть равен (51,9 ± 2,3) %. Эти 2,3 %, которые мы прибавляем и вычитаем, и называются предельной ошибкой средней величины. Это означает, что мы получили конкретное значение, но не можем быть до конца уверены, что доля генеральной совокупности точно равна этому числу. Теория вероятностей позволяет определить точность, с которой произведена оценка, и вычислить предельную ошибку средней величины (исходные значения подчиняются закону биномиального распределения: мы анализируем конкретное домохозяйство и можем получить один из двух результатов — домохозяйство подключено к Интернету либо нет).
Интервал, покрывающий данную величину с заданной надежностью, называется доверительным интервалом. Можно ли гарантировать, что истинное значение будет находиться в границах этого интервала? Опять-таки этого гарантировать нельзя. Предельная ошибка средней величины рассчитывается для определенного уровня надежности. Как правило, надежность принимается равной 95 %. Это означает, что используемый нами метод позволяет найти истинное значение (в данном случае истинную долю домохозяйств, подключенных к Интернету) в 95 % случаев. Однако мы не можем знать, действительно ли истинное значение находится в границах найденного интервала в нашем конкретном случае. Это аналогично тому, что найденный нами интервал нам бы сообщил человек, который говорит правду в 95 % случаев: ему вполне можно доверять, но абсолютную точность этого результата гарантировать нельзя.
Иллюстрация понятия доверительного интервала.
Можно рассчитать доверительные интервалы с надежностью 99 % или 99,9 %. Обычно это не делается, поскольку, учитывая размер выборки, с ростом надежности доверительный интервал расширяется, и нет никакого смысла говорить, что искомая доля лежит в интервале (51,9±40)%: это можно сказать, не проводя вообще никаких вычислений. Если мы хотим повысить надежность оценки, сохранив при этом предельную ошибку на прежнем уровне, то единственным выходом будет увеличение размера выборки (деньги решают множество проблем, и эту в том числе).
За подобными заголовками в прессе обычно следует примерно такой текст: «Согласно исследованию, проведенному центром X, если бы выборы состоялись сегодня, партия А опередила бы партию В на 3,6 пункта. Три месяца назад ее преимущество было на полпункта меньше. Данные подтверждают, что популярность партии А растет».
В примечаниях к этой статье, помимо прочего, упоминается, что предельная ошибка равна ±4,3 %. Поверхностный анализ этих данных показывает, что преимущество партии А вовсе не столь очевидно. Если в пользу партии А проголосовали 41,6 % опрошенных, то при данной предельной ошибке оценка лежит в интервале от 37,1 % до 46,1 %. Если в пользу партии В проголосовало 38 %, то границами доверительного интервала будут 33,3 % и 42,5 %. Следовательно, в соответствии с результатами опроса можно утверждать, что рейтинг партии А равен 39 %, партии В — 40 %. Нет никаких сомнений в том, что если три месяца назад преимущество партии