Повторить: гл. 10 (вып. 5)«Диэлектрики»; гл. 17 (вып. 6) «Законы индукции»
§ 1. Токи намагничивания
В этой главе мы поговорим о некоторых материалах, в которых полный эффект магнитных моментов проявляется во много раз сильнее, чем в случае парамагнетизма или диамагнетизма. Это явление называется ферромагнетизмом. В парамагнитных и диамагнитных материалах при помещении их во внешнее магнитное поле возникает обычно настолько слабый наведенный индуцированный магнитный момент, что нам не приходится думать о добавочных магнитных полях, создаваемых этими магнитными моментами. Другое дело магнитные моменты ферромагнитных материалов, которые создаются приложенным магнитным полем. Они очень велики и оказывают существенное воздействие на сами поля. Эти индуцированные магнитные моменты так огромны, что они вносят главный вклад в наблюдаемые поля. Поэтому нам следует позаботиться о математической теории больших индуцированных магнитных моментов. Это, разумеется, чисто формальный вопрос. Физическая проблема состоит в том, почему магнитные моменты столь велики и как они «устроены». Но к этому вопросу мы подойдем немного позже.
Нахождение магнитных полей в ферромагнитных материалах несколько напоминает задачу о нахождении электрических полей в диэлектриках. Помните, сначала мы описывали внутренние свойства диэлектрика через векторное поле Р — дипольный момент единицы объема. Затем мы сообразили, что эффект этой поляризации эквивалентен плотности заряда ρпол, определяемой дивергенцией Р:
(36.1)
Полный же заряд в любой ситуации можно записать в виде суммы этого поляризационного заряда и всех других зарядов[47], плотность которых мы обозначим через ρдр. Тогда уравнения Максвелла, которые связывают дивергенцию Е с плотностью зарядов, примут вид:
или
Затем мы можем перебросить поляризационную часть заряда в левую сторону уравнения и получить
(36.2)
Этот новый закон говорит, что дивергенция величины (ε0Е+Р) равна плотности других зарядов.
Совместная запись Е и Р, как это сделано в уравнении (36.2), полезна, разумеется, только когда мы знаем какие-то соотношения между ними. Мы видели, что теория, связывающая наведенный электрический дипольный момент с полем, — вещь довольно сложная и ее на самом деле можно применять только в относительно простых случаях, но и то только как приближение. Я хочу напомнить вам об одном приближении.
Фиг. 36.1. Электрическое поле в полости в диэлектрике зависит от формы полости.
Чтобы найти наведенный дипольный момент атома внутри диэлектрика, необходимо знать электрическое поле, которое действует на отдельный атом. В свое время мы использовали приближение, пригодное во многих случаях; было предположено, что на атом действует поле, которое было бы в центре небольшой полости, оставшейся после удаления этого атома (считая, что дипольные моменты всех других соседних атомов при этом не изменяются). Вспомните также, что электрическое поле в полости внутри поляризованного диэлектрика зависит от формы этой полости. Эти результаты мы подытожили на фиг. 36.1. В тонкой дискообразной полости, перпендикулярной направлению поляризации, электрическое поле, как было показано с помощью закона Гаусса, имеет вид
С другой стороны, используя равенство нулю ротора, мы нашли, что электрическое поле внутри и вне иглообразной полости одно и то же:
(иглообразная полость).
Наконец, мы обнаружили, что величина электрического поля внутри сферической полости лежит между этими двумя значениями:
(36.3)
Это и было то поле, которым мы пользовались, рассуждая о том, что происходит с атомами внутри поляризованного диэлектрика.
Попробуем обсудить аналогичную задачу в случае магнетизма. Легче всего и короче просто сказать, что М — магнитный момент единицы объема (намагниченность) — в точности аналогичен Р — электрическому дипольному моменту единицы объема (поляризация) и что, следовательно, отрицательная дивергенция М эквивалентна «плотности магнитных зарядов» ρm, что бы это ни означало. Но беда в том, что в физическом мире не существует такой штуки, как «магнитный заряд». Как мы знаем, дивергенция В всегда равна нулю. Это, однако, не помешает нам провести искусственную аналогию и написать
(38.4)
но нужно понимать, что ρm — величина чисто математическая. Затем мы можем все делать полностью аналогично электростатике и использовать все старые электростатические уравнения. К этому часто прибегают. Когда-то такая аналогия считалась даже правильной. Ученые верили, что ρm представляет плотность «магнитных полюсов». Однако сейчас нам известно, что намагничивание материала происходит за счет токов, циркулирующих внутри атомов, т. е. либо вращения электронов, либо движения их в атоме. Следовательно, с физической точки зрения лучше описывать намагничивание только при помощи реальных атомных токов, а не вводить плотность каких-то мистических «магнитных зарядов». Эти токи иногда называются еще «амперовскими», ибо Ампер первый предположил, что магнетизм вещества происходит за счет циркуляции атомных токов.
Микроскопические плотности токов в намагниченном веществе, разумеется, очень сложны. Их величина зависит от местоположения в атоме: в некоторых местах они велики, в других — малы, в одной части они текут в одну сторону, а в другой — в противоположную (точно так же, как микроскопическое электрическое поле, которое внутри диэлектрика в высшей степени неоднородно). Однако во многих практических задачах нас интересуют только поля вне вещества или средние магнитные поля внутри него, причем под средним мы имеем в виду усреднение по очень многим атомам. В таких макроскопических задачах магнитное состояние вещества удобно описывать через намагниченность М — средний магнитный момент единицы объема. Я расскажу сейчас, как атомные токи в намагниченном веществе вырастают до макроскопических токов, которые связаны с М.
Разобьем плотность тока j, которая является реальным источником магнитных полей, на разные части; одна из них описывает циркулирующие токи атомных магнитиков, а остальные — другие возможные токи. Обычно удобнее делить токи на три части. В гл. 32 мы делали различие между токами, свободно текущими по проводникам, и токами, обусловленными движением связанных зарядов в диэлектрике то туда, то сюда. В гл. 32, §2, мы писали
причем величина jпол представляла токи от движения связанных зарядов в диэлектриках, а jдp — все другие токи. Пойдем дальше. Я хочу из jдр выделить часть jмar, которая описывает усредненные токи внутри намагниченных материалов, и дополнительный член, который мы будем называть jпров и который будет описывать все остальное. Он, вообще говоря, относится к токам в проводниках, но может описывать и другие токи, например токи зарядов, движущихся свободно через пустое пространство. Таким образом, полную плотность тока мы будем писать в виде
(36.5)
Разумеется, именно этот ток входит в уравнение Максвелла с ротором В:
(36.6)
Теперь мы должны связать ток jмаг с величиной вектора намагниченности М. Чтобы вы представляли, к чему мы стремимся, скажу, что должен получиться такой результат:
(36.7)
Если в магнитном материале нам всюду задан вектор намагниченности М, то плотность циркуляционного тока определяется ротором М. Посмотрим, можно ли понять, почему так происходит.
Сначала возьмем цилиндрический стержень, равномерно намагниченный параллельно его оси. Мы знаем, что физически такая равномерная намагниченность означает на самом деле однородную повсюду внутри материала плотность атомных циркулирующих токов. Попытаемся представить себе, как выглядят эти реальные токи в поперечном сечении стержня. Мы ожидаем увидеть токи, напоминающие изображенные на фиг. 36.2.
Фиг. 36.2. Схематическая диаграмма циркулирующих атомных токов в поперечном сечении железного стержня, намагниченного в направлении оси z.
Каждый атомный ток течет по кругу, образуя крохотную цепь, причем все циркулирующие токи текут в одном и том же направлении. Каким же тогда будет эффективный ток? В большей части стержня он, конечно, не дает вообще никакого эффекта, ибо рядом с каждым током есть другой ток, текущий в противоположном направлении. Если представить себе небольшую поверхность, показанную на фиг. 36.2 линией АВ, которая, однако, чуть-чуть толще отдельного атома, то полный ток через такую поверхность должен быть равен нулю. Внутри материала никакого тока нет. Однако обратите внимание, что на поверхности материала атомные токи не компенсируются соседними токами, текущими в другом направлении. Поэтому по поверхности все время в одном направлении вокруг стержня течет ток. Теперь вам понятно, почему я утверждал, что равномерно намагниченный стержень эквивалентен соленоиду с текущим по нему электрическим током.
Как же эта точка зрения согласуется с выражением (36.7)? Прежде всего намагниченность М внутри материала постоянна, так что все ее производные равны нулю. Это согласуется с нашей геометрической картиной. Однако М на поверхности на самом деле не постоянна, она постоянна вплоть до поверхности, а затем неожиданно падает до нуля. Таким образом, непосредственно на поверхности возникает громадный градиент, который в соответствии с выражением (36.7) даст огромную плотность тока. Предположим, что мы наблюдаем за тем, что происходит вблизи точки С на фиг. 36.2. Если выбрать направления осей х и у так, как это показано на фигуре, то намагниченность М будет направлена по оси z. Выписывая компоненты уравнения (36.7), мы получаем
(36.8)
Хотя производная dMz/dy в точке С равна нулю, производная dMz/dx будет большой и положительной. Выражение (36.7) говорит, что в отрицательном направлении оси у течет ток огромной плотности. Это согласуется с нашим представлением о поверхностном токе, текущем вокруг цилиндра.
Теперь мы можем найти плотность тока в более сложном случае, когда намагниченность в материале меняется от точки к точке. Качественно нетрудно понять, что если в двух соседних областях намагниченность различная, то полной компенсации циркулирующих токов не происходит, поэтому полный ток внутри материала не равен нулю. Именно этот эффект мы и хотим получить количественно.
Прежде всего вспомните, что в гл. 14, § 5 (вып. 5), мы выяснили, что циркулирующий ток I создает магнитный момент
(36.9)
где А— площадь, ограниченная контуром тока (фиг. 36.3).
Фиг. 36.3. Дипольный момент μ контура тока равен IA.
Рассмотрим маленький прямоугольный кубик внутри намагниченного материала (фиг. 36.4).
Фиг. 36.4. Небольшой намагниченный кубик эквивалентен циркулирующему поверхностному току.
Пусть кубик будет так мал, что намагниченность внутри него можно считать однородной. Если компонента намагниченности этого кубика в направлении оси z равна Мz, то полный эффект будет таким, как будто по вертикальным граням течет поверхностный ток. Величину этого тока мы можем найти из равенства (36.9). Полный магнитный момент кубика равен произведению намагниченности на объем:
откуда, вспоминая, что площадь равна ас, получаем
Другими словами, на каждой из вертикальных поверхностей величина тока на единицу длины по вертикали равна Мz.
Представьте теперь два таких маленьких кубика, расположенных рядом друг с другом (фиг. 36.5).
Фиг. 36.5. Если намагниченность двух соседних кубиков различна, то на их границе течет поверхностный ток.
Кубик 2 несколько смещен по отношению к кубику 1, поэтому его вертикальная компонента намагниченности будет немного другой, скажем Mz+ΔМz. Теперь полный ток на поверхности между этими двумя кубиками будет слагаться из двух частей. По кубику 1 в положительном направлении по оси у течет ток I1, а по кубику 2 в отрицательном направлении течет ток I2. Полный поверхностный ток в положительном направлении оси у будет равен сумме
Величину ΔМz можно записать в виде произведения производной от Mz по х на смещение кубика 2 относительно кубика 1, которое как раз равно а:
Тогда ток, текущий между двумя кубиками, будет равен
Чтобы связать ток I со средней объемной плотностью тока j, необходимо понять, что этот ток на самом деле размазан по некоторой области поперечного сечения. Если мы вообразим, что такими маленькими кубиками заполнен весь объем материала, то за такое сечение (перпендикулярное оси х) может быть выбрана боковая грань одного из кубиков[48]. Теперь вы видите, что площадь, связанная с током, как раз равна площади ab одной из фронтальных граней. В результате получаем
Наконец-то у нас начинает получаться ротор М.
Но в выражении для jy должно быть еще одно слагаемое, связанное с изменением x-компоненты намагниченности с изменением z. Этот вклад в j происходит от поверхности между двумя маленькими кубиками, поставленными друг на друга (фиг. 36.6).
Фиг. 36.6. Два кубика, расположенных один над другим, тоже могут давать вклад в jy.
Воспользовавшись только что проведенными рассуждениями, мы можем показать, что эта поверхность будет давать в величину jy вклад, равный dMx/dz. Только эти поверхности и будут давать вклад в y-компоненту тока, так что полная плотность тока в направлении оси у получается равной
Определяя токи на остальных гранях куба или используя тот факт, что направление оси z было выбрано совершенно произвольно, мы можем прийти к заключению, что вектор плотности тока действительно определяется выражением
Итак, если вы решили описывать магнитное состояние вещества через средний магнитный момент единицы объема М, то оказывается, что циркулирующие атомные токи эквивалентны средней плотности тока в веществе, определяемой выражением (36.7). Если же материал обладает вдобавок еще диэлектрическими свойствами, то в нем может возникнуть и поляризационный ток jпол=∂P/∂t. А если материал к тому же и проводник, то в нем может течь и ток проводимости jпров. Таким образом, полный ток можно записать как
(36.10)
§ 2. Поле Н
Теперь можно подставить выражение для тока (36.10) в уравнение Максвелла. Мы получаем
Слагаемое с М можно перенести в левую часть:
(36.11)
Как мы уже отмечали в гл. 32, иногда удобно записывать (Е+Р/ε0) как новое векторное поле D/ε0. Точно так же удобно (В-М/ε0с2) записывать в виде единого векторного поля. Такое поле мы обозначим через Н, т. е.
(36.12)
После этого уравнение (36.11) принимает вид
(36.13)
Выглядит оно просто, но вся его сложность теперь скрыта в буквах D и Н.
Хочу предостеречь вас. Большинство людей, которые применяют систему СИ, пользуются другим определением Н. Называя свое поле через Н' (они, конечно, не пишут штриха), они определяют его как
(36.14)
(Кроме того, величину ε0с2 они обычно записывают в виде 1/μ0, так что появляется еще одна постоянная, за которой все время нужно следить!) При таком определении уравнение (36.13) будет выглядеть еще проще:
(36.15)
Но трудность здесь заключается в том, что такое определение, во-первых, не согласуется с определением, принятым теми, кто не пользуется системой СИ, и, во-вторых, поля Н' и В измеряются в различных единицах. Я думаю, что Н удобнее измерять в тех же единицах, что и В, а не в единицах М, как Н'. Но если вы собираетесь стать инженером и проектировать трансформаторы, магниты и т. п., то будьте внимательны. Вы столкнетесь со множеством книг, где в качестве определения Н используется уравнение (36.14), а не (36.12), а в других книгах, особенно в справочниках о магнитных материалах, связь между В и Н такая же, как и у нас. Нужно быть внимательным и понимать, какое где использовано соглашение[49].
Одна из примет, указывающих нам на соглашение, — это единицы измерения. Напомним, что в системе СИ величина В, а следовательно, и нашеН измеряются в единицах вб/м2 (1 вб/м2=10 000 гс). Магнитный же момент (т. е. произведение тока на площадь) в той же системе СИ измеряется в единицах а·м2. Тогда намагниченность М имеет размерность а/м. Размерность Н' та же, что и размерность М. Нетрудно видеть, что это согласуется с уравнением (36.15), поскольку ∇ имеет размерность обратной длины.
Те, кто работает с электромагнитами, привыкли измерять поле Н (определенное как Н') в ампер-витках/метр, имея при этом в виду витки провода в обмотке. Но «виток» ведь фактически величина безразмерная, и она не должна вас смущать. Поскольку наше Н равно H'/ε0c2, то, если вы пользуетесь системой СИ, Н (в вб/м) равно произведению 4π·10-7 на Н'(в а/м). Может быть, более удобно помнить, что Н (в гс) равно 0,0126 H' (в а/м).
Здесь есть еще одна ужасная вещь. Многие люди, использующие наше определение Н, решили назвать единицы измерения Н и Впо-разному! И даже несмотря на одинаковую размерность, они называют единицу Вгауссом, а единицу Н — эрстедом (конечно, в честь Гаусса и Эрстеда). Таким образом, во многих книгах вы найдете графики зависимости В в гауссах от Н в эрстедах. На самом деле это одна и та же единица, равная 10-4 единиц СИ. Эту неразбериху в магнитных единицах мы увековечили в табл. 36.1.
Таблица 36.1. ЕДИНИЦЫ МАГНИТНЫХ ВЕЛИЧИН
§ 3. Кривая намагничивания
Рассмотрим теперь некоторые простые случаи, когда магнитное поле остается постоянным или изменения поля настолько медленны, что можно пренебречь dD/dt по сравнению с jпров. В этом случае поля подчиняются уравнениям
(36.16)
(36.17)
(36.18)
Предположим, что у нас есть железный тор с намотанной на него медной проволокой, как это показано на фиг. 36.7, а.
Фиг. 36.7. Железный тор, обмотанный витками изолированного провода (а), и его поперечное сечение (б). Показаны силовые линии.
Пусть по проводу течет ток I. Каково при этом магнитное поле? Оно будет сосредоточено главным образом внутри железа, причем там (см. фиг. 36.7, б) силовые линии должны быть круговыми. Вследствие постоянства потока В его дивергенция равна нулю, и уравнение (36.16) удовлетворяется автоматически. Запишем затем уравнение (36.17) в другой форме, проинтегрировав его по замкнутому контуру Г, показанному на фиг. 36.7, б. Из теоремы Стокса мы получаем
(36.19)
где интеграл от j берется по поверхности S, ограниченной контуром Г. Каждый виток обмотки пересекает эту поверхность один раз, поэтому каждый виток дает в интеграл вклад, равный I, а поскольку всего витков N штук, то интеграл будет равен NI. Из симметрии нашей задачи видно, что В одинаково на всем контуре Г, если, конечно, намагниченность, а следовательно, и поле Н тоже постоянны на контуре Г. Уравнение (36.19) при таких условиях принимает вид
где l—длина кривой Г. Таким образом,
(36.20)
Именно из-за того что в задачах подобного типа поле Н прямо пропорционально намагничивающему току, оно иногда называется намагничивающим.
Единственное, что нам теперь требуется, — это уравнение, связывающее Н с В. Однако такого уравнения просто не существует! У нас есть, конечно, уравнение (36.18), но от него мало проку, ибо в ферромагнитных материалах типа железа оно не дает прямой связи между М и В. Намагниченность М зависит от всей предыдущей истории данного образца железа, а не только от того, каково поле В в данный момент и как оно изменялось раньше.
Впрочем, еще не все потеряно. В некоторых простых случаях мы все же можем найти решение. Если взять ненамагниченное железо, скажем, отожженное при высокой температуре, то для такого простого тела, как тор, магнитная предыстория всего железа будет одной и той же. Затем из экспериментальных измерений мы можем кое-что сказать относительно М, а следовательно, и о связи между В и Н. Из уравнения (36.20) видно, что поле H внутри тора равно произведению некоторой постоянной на величину тока в обмотке I. А поле В можно измерить интегрированием по времени э.д.с. в намагничивающей обмотке, изображенной на рисунке (или в дополнительной обмотке, намотанной поверх нее). Эта э.д.с. равна скорости изменения потока В, так что интеграл от э.д.с. по времени равен произведению В на площадь поперечного сечения тора.
На фиг. 36.8 показано соотношение между В и Н, наблюдаемое в сердечнике из мягкого железа.
Фиг. 36.8. Типичная кривая намагничивания и петля гистерезиса мягкого железа.
Когда ток включается в первый раз, увеличение В с Н происходит по кривой а. Обратите внимание на различие масштабов по осям В и Н; вначале, чтобы получить большое В, необходимо относительно малое Н. Почему же в случае железа поле В намного больше, чем было бы без него? Да потому, что возникает большая намагниченность М, эквивалентная большому поверхностному току в железе, а поле определяется суммой этого тока и тока проводимости в обмотке. А почему намагниченность М оказывается такой большой, мы обсудим позднее.
При больших значениях Н кривая намагничивания «выравнивается». Мы говорим, что железо насыщается. В масштабах нашей фигуры кривая становится горизонтальной, на самом же деле намагниченность продолжает слабо расти: для больших полей В становится равным Н и намагниченность М уже не увеличивается. Кстати, если бы сердечник был сделан из немагнитного материала, то намагниченность М была бы равна нулю, а В было бы равно для всех полей Н.
Прежде всего заметим, что кривая а на фиг. 36.8, так называемая кривая намагничивания, — в высшей степени нелинейна. Впрочем, положение здесь гораздо сложнее. Если после достижения насыщения мы уменьшим ток в катушке и вернем Н снова к нулю, магнитное поле В будет падать по кривой b. Когда Н достигнет нуля, В еще не будет нулем. Даже после выключения намагничивающего тока магнитное поле в железе остается: железо становится постоянно намагниченным. Если теперь включить в катушке ток в обратном направлении, то кривая В—Н пойдет дальше по ветви b до тех пор, пока железо не намагнитится до насыщения в противоположном направлении. При дальнейшем уменьшении тока до нуля В пойдет по кривой с. Когда мы меняем ток от большой положительной до большой отрицательной величины, кривая В—Н будет идти вверх и вниз очень близко к ветвям b и c. Если же, однако, Н менять каким-то произвольным образом, то возникнут более сложные кривые, которые, вообще говоря, будут лежать между кривыми b и c. Кривая, полученная повторными изменениями полей, называется петлей гистерезиса.
Вы видите, что невозможно написать функциональное соотношение типа В=f(Н), так как В в любой момент зависит не только от Н в тот же момент, но и от всей предыстории материала. Естественно, что намагниченность и петли гистерезиса для разных веществ различны. Форма кривых критически зависит от химического состава материала, а также от деталей технологии его приготовления и последующей физической обработки. В следующей главе мы обсудим физическое объяснение некоторых из этих сложностей.
§ 4. Индуктивность с железным сердечником
Одно из наиболее важных применений магнитные материалы находят в электрических устройствах, например трансформаторах, электрических моторах и т. п. Объясняется это прежде всего тем, что с помощью железа можно контролировать поведение магнитного поля, а также при данном электрическом токе получать значительно большие поля. Например, типичное «тороидальное» индуктивное устройство во многом напоминает то, что изображено на фиг. 36.7. При большой индуктивности мы можем сделать устройство гораздо меньшего объема и затратить намного меньше меди, чем в эквивалентном устройстве с «воздушным сердечником». Поэтому при большой индуктивности мы добиваемся гораздо меньшего сопротивления обмотки, так что устройство более близко к «идеальному», особенно при низких частотах. Нетрудно качественно проследить, как работает такое устройство. Если в обмотке течет ток I, то создаваемое внутри поле Н, как это видно из уравнения (36.20), пропорционально току I. Напряжение V на выводах связано с магнитным полем В. Если пренебречь сопротивлением обмотки, то напряжение V будет пропорционально dB/dt. Индуктивность ℒ, которая равна отношению V к dI/dt (см. гл. 17, § 7, вып. 6), зависит, таким образом, от связи между В и Н в железе. Поскольку В гораздо больше Н, то это во много раз увеличивает индуктивность, как будто малый ток в катушке, который обычно дает слабое магнитное поле, заставляет выстраиваться маленькие магнитики, сидящие в железе, и создает «магнитный» ток, который в огромное число раз больше внешнего тока в обмотке. Все происходит так, как будто в катушке возникает ток, намного больший, чем на самом деле. Когда мы меняем направление тока, все маленькие магнитики переворачиваются, внутренние токи потекут в другом направлении и наведенная э.д.с. получается гораздо больше, чем без железа. Если мы хотим вычислить индуктивность, то это можно сделать, вычисляя энергию наподобие того, как описано в гл. 17, § 8. Скорость, с которой энергия отдается источником тока, равна IV. Напряжение V равно площади поперечного сечения сердечника А, умноженной на N и на dB/dt. А согласно выражению (36.20), I=(ε0c2l/N)H. Таким образом,
Интегрируя по времени, получаем
(36.21)
Заметьте, что lА равно объему тора, поэтому плотность энергии и=U/(Объем магнитного материала), как мы показали, равна
(36.22)
Здесь выявляется одно интересное обстоятельство. Когда в обмотке течет переменный ток, то В в железе «ходит» по петле гистерезиса. А поскольку В — неоднозначная функция H, то интеграл ∫HdB по замкнутому циклу равен не нулю, а площади, заключенной внутри петли гистерезиса. Таким образом, за каждый цикл источник тока отдает некоторую энергию, равную площади петли гистерезиса. Это есть потери из электромагнитного цикла; энергия уходит на нагревание железа. Такие потери называются гистерезисными. Чтобы они были поменьше, петлю гистерезиса желательно сделать как можно уже. Один из способов уменьшить площадь петли — это максимально уменьшить поле в каждом цикле. Для меньших максимальных полей мы получаем гистерезисную кривую, подобную изображенной на фиг. 36.9.
Фиг. 36.9. Петля гистерезиса, не достигающая насыщения.
Кроме того, применяются особые материалы с очень узкой петлей. Чтобы получить это свойство, специально создано так называемое трансформаторное железо, которое представляет сплав железа с небольшой примесью кремния.
Когда петля гистерезиса очень мала, соотношение В и Н приближенно можно представлять в виде линейного уравнения. Обычно пишут
(36.23)
Здесь постоянная μ вовсе не магнитный момент, с которым мы встречались раньше. Она называется магнитной проницаемостью. (Иногда ее называют также относительной проницаемостью.) Типичная проницаемость обычных сортов железа равна нескольким тысячам. Однако существуют специальные сплавы, типа так называемого «супермаллоя», проницаемость которых может быть порядка миллиона.
Если в уравнении (36.21) мы воспользуемся приближением В=μН, то энергию индуктивности, имеющей форму тора, можно записать как
(36.24)
так что плотность энергии приближенно равна
Теперь мы можем выражение для энергии (36.24) положить равным энергии индуктивности ℒI2/2 и найти ℒ. Получается
А воспользовавшись выражением (36.20) для отношения H/I, находим
(36.25)
Таким образом, индуктивность пропорциональна μ. Если вам нужна индуктивность для таких устройств, как звуковые усилители, то желательно иметь материал, у которого связь между В и Н достаточно линейна. [Вы, должно быть, помните, что в гл. 50 (вып. 4) мы говорили о генерации гармоник в нелинейных системах.] Для таких задач уравнение (36.23) будет очень хорошим приближением. С другой стороны, если нужно генерировать гармоники, то используют индуктивности, ведущие себя в высшей степени нелинейно. При этом вы должны пользоваться сложной кривой Н—В и применять при вычислениях графические или численные методы.
В обычных «трансформаторах» на одном и том же торе, или сердечнике, из магнитного материала намотаны две катушки. (В больших трансформаторах сердечник для удобства делается прямоугольным.) При этом изменение тока в «первичной» обмотке вызывает изменение поля в сердечнике, которое индуцируется э.д.с. во «вторичной» обмотке. Поскольку поток через каждый виток обеих обмоток один и тот же, то величина отношения э.д.с. в этих двух обмотках такая же, как отношение числа витков в каждой из них. Напряжение, приложенное к первичной обмотке, преобразуется во вторичной в напряжение другой величины. А поскольку для создания требуемых изменений магнитного поля необходим определенный полный ток, то алгебраическая сумма токов в двух обмотках должна оставаться постоянной и равной требуемому «намагничивающему» току. При изменении напряжения изменяется и сила тока в обмотках, т. е. вместе с преобразованием напряжения происходит и преобразование тока.
§ 5. Электромагниты
Поговорим теперь о практической стороне дела, которая немного более сложна. Предположим, что мы имеем электромагнит стандартной формы, изображенный на фиг. 36.10.
Фиг. 36.10. Электромагнит.
Он состоит из С-образного железного ярма, на которое намотано много витков провода. Чему равно магнитное поле В в зазоре?
Если ширина зазора мала по сравнению со всеми другими размерами, то в качестве первого приближения мы можем считать, что линии В образуют замкнутые кривые так же, как это происходит и в обычном торе. Они выглядят примерно так, как показано на фиг. 36.11,а.
Фиг. 36.11. Поперечное сечение электромагнита.
Они стремятся вылезть из зазора, но если он узок, то эффект этот очень мал. Предположение о постоянстве потока В через любое поперечное сечение ярма будет довольно хорошим приближением. Если поперечное сечение ярма меняется равномерно и если мы пренебрежем любыми краевыми эффектами на зазоре или на углах, то можно говорить, что по всей окружности ярма В однородно.
Поле В в зазоре будет по величине тем же самым. Это следует из уравнений (36.16). Представьте себе замкнутую поверхность S (см. фиг. 36.11,б), одна грань которой находится в зазоре, а другая — в железе. Полный поток поля В через эту поверхность должен быть равен нулю. Обозначая через В1 величину поля в зазоре, а через B2 — величину поля в железе, мы видим, что
а поскольку А1=А2, то отсюда следует, что В1=В2.
Посмотрим теперь на Н. Мы снова можем воспользоваться уравнением (36.19), взяв криволинейный интеграл по контуру Г (см. фиг. 36.11,б). Как и прежде, правая часть равна NI— произведению числа витков на ток. Однако теперь Н в железе и в воздухе будет различным. Обозначая через Н2 поле в железе, а через l2 — длину пути по окружности ярма, мы видим, что эта часть кривой дает вклад в интеграл H2l2. Если же поле в зазоре равно Н1, а ширина его l1, то вклад зазора оказывается равным H1l1. Таким образом, получаем
(36.26)
Но это еще не все. Нам известно еще, что намагниченность в воздушной щели пренебрежимо мала, так что B1=H1. А так как B1=B2, то уравнение (36.26) принимает вид
(36.27)
Остаются еще два неизвестных. Чтобы найти В2 и H2, необходимо еще одно соотношение, которое связывает В с H в железе.
Если можно приближенно считать, что B2=μH2, то уравнение разрешается алгебраически. Рассмотрим более общий случай, для которого кривая намагничивания железа имеет вид, изображенный на фиг. 36.8. Единственное, что нам нужно, — это найти совместное решение этого функционального соотношения с уравнением (36.27). Его можно найти, строя зависимость (36.27) на одном графике с кривой намагничивания, как это сделано на фиг. 36.12. Точки, где эти кривые пересекутся, и будут нашими решениями.
Для данного тока I уравнение (36.27) описывается прямой линией, обозначенной I>0 на фиг. 36.12. Эта линия пересекает ось Н (B2=0) в точке H2=NI/ε0c2l2 и имеет наклон -l2/l1 Различные величины токов приводят просто к горизонтальному сдвигу этой линии. Из фиг. 36.12 мы видим, что при данном токе существует несколько различных решений, зависящих от того, каким образом вы получили их.
Фиг. 36.12. Определение поля в электромагните.
Если вы только что построили магнит и включили ток I, то поле B2 (которое равно B1) будет иметь величину, определяемую точкой а. Если вы сначала увеличили ток до очень большой величины, а затем понизили до I, то значение поля будет определяться точкой b. А если, увеличивая ток от большого отрицательного значения, вы дошли до I, то поле определяется точкой с. Поле в зазоре зависит от того, как вы поступали в прошлом.
Если ток в магните равен нулю, то соотношение между В2 и H2 в уравнении (36.27) изображается кривой, обозначенной I=0 на фиг. 36.12. Здесь опять возможны различные решения. Если вы первоначально «насытили» железо, то в магните может сохраниться значительное остаточное поле, определяемое точкой d. Вы можете снять обмотку и получить постоянный магнит. Нетрудно понять, что для хорошего постоянного магнита необходим материал с широкой петлей гистерезиса. Такую очень широкую петлю имеют специальные сплавы, подобные Алнико V.
§ 6. Спонтанная намагниченность
Обратимся теперь к вопросу, почему в ферромагнитных материалах даже малые магнитные поля приводят к такой большой намагниченности. Намагниченность ферромагнитных материалов типа железа или никеля образуется благодаря магнитным моментам электронов одной из внутренних оболочек атома. Магнитный момент μ каждого электрона равен произведению q/2m на g-фактор и момент количества движения J. Для отдельного электрона при отсутствии чисто орбитального движения g=2, а компонента J в любом направлении, скажем, в направлении оси z, равна ±ℏ/2, так что компонента μ в направлении оси z будет
(36.28)
В атоме железа вклад в ферромагнетизм фактически дают только два электрона, так что для упрощения рассуждений мы будем говорить об атоме никеля, который является ферромагнетиком, подобно железу, но имеет на той же внутренней оболочке только один «ферромагнитный» электрон. (Все рассуждения нетрудно затем распространить и на железо.)
Все дело в том, что точно так же, как и в описанных нами парамагнитных материалах, атомные магнитики в присутствии внешнего магнитного поля В стремятся выстроиться по полю, но их сбивает тепловое движение. В предыдущей главе мы выяснили, что равновесие между силами магнитного поля, старающимися выстроить атомные магнитики, и действием теплового движения, стремящегося их сбить, приводит к тому, что средний магнитный момент единицы объема в направлении В оказывается равным
(36.29)
где под Ва мы подразумеваем поле, действующее на атом, а под kT — тепловую (больцмановскую) энергию. В теории парамагнетизма мы в качестве Ва использовали само поле В, пренебрегая при этом частью поля, действующего на каждый атом со стороны соседнего. Но в случае ферромагнетиков возникает усложнение. Мы уже не можем в качестве поля Ва, действующего на индивидуальный атом, брать среднее поле в железе. Вместо этого нам следует поступить так же, как это делалось в случае диэлектрика: нам нужно найти локальное поле, действующее на отдельный атом. При точном решении нам следовало бы сложить вклады всех полей от других атомов кристаллической решетки, действующих на рассматриваемый нами атом. Но подобно тому как мы поступали в случае диэлектрика, сделаем приближение, состоящее в том, что поле, действующее на атом, будет таким же, как и в маленькой сферической полости внутри материала (предполагая при этом, как и раньше, что моменты соседних атомов не изменяются из-за наличия полости).
Следуя рассуждениям гл. 11 (вып. 5), мы можем надеяться, что должна получиться формула
похожая на формулу (11.25). Но это будет неправильно. Однако мы все же можем использовать полученные там результаты, если тщательно сравним уравнения из гл. 11 с уравнениями ферромагнетизма, которые мы напишем сейчас. Сопоставим сначала соответствующие исходные уравнения. Для областей, в которых токи проводимости и заряды отсутствуют, мы имеем:
(36.30)
Эти два набора уравнений можно считать аналогичными, если мы чисто математически сопоставим
Это то же самое, что и
(36.31)
Другими словами, если уравнения ферромагнетизма записать как
(36.32)
то они будут похожи на уравнения электростатики.
В прошлом это чисто алгебраическое соответствие доставило нам некоторые неприятности. Многие начинали думать, что именноН и есть магнитное поле. Но, как мы уже убедились, физически фундаментальными полями являются Е и В, а поле Н — понятие производное. Таким образом, хотя уравнения и аналогичны, физика их совершенно различна. Однако это не может заставить нас отказаться от принципа, что одинаковые уравнения имеют одинаковые решения.
Теперь можно воспользоваться нашими предыдущими результатами о полях внутри полости различной формы в диэлектриках, которые приведены на фиг. 36.1, для нахождения поля Н. Зная Н, можно определить и В. Например, поле Н внутри иглообразной полости, параллельной М (согласно результату, приведенному в § 1), будет тем же самым, что и поле Н внутри материала:
Но поскольку в нашей полости М равна нулю, то мы получаем
(36.33)
С другой стороны, для дискообразной полости, перпендикулярной М,
что в нашем случае превращается в
или в величинах В:
(36.34)
Наконец, для сферической полости аналогия с уравнением (36.3) дала бы
(36.35)
Результаты для магнитного поля, как видите, отличаются от тех, которые мы имели для электрического поля.
Конечно, их можно получить и более физически, непосредственно используя уравнения Максвелла. Например, уравнение (36.34) непосредственно следует из уравнения ∇·B=0. (Возьмите гауссову поверхность, которая наполовину находится в материале, а наполовину — вне его.) Подобным же образом вы можете получить уравнение (36.33), воспользовавшись контурным интегралом по пути, который туда идет по полости, а назад возвращается через материал. Физически поле в полости уменьшается благодаря поверхностным токам, определяемым как ∇×М. На вашу долю остается показать, что уравнение (36.35) можно получить, рассматривая эффекты поверхностных токов на границе сферической полости.
При нахождении равновесной намагниченности из уравнения (36.29) удобнее, оказывается, иметь дело с Н, поэтому мы пишем
(36.36)
В приближении сферической полости коэффициент λ следует взять равным 1/3, но, как вы увидите позже, нам придется пользоваться несколько другим его значением, а пока оставим его как подгоночный параметр. Кроме того, все поля мы возьмем в одном и том же направлении, чтобы нам не нужно было заботиться о направлении векторов. Если бы теперь мы подставили уравнение (36.36) в (36.29), то получили бы уравнение, которое связывает намагниченность М с намагничивающим полем Н:
Однако это уравнение невозможно решить точно, так что мы будем делать это графически.
Сформулируем задачу в более общей форме, записывая уравнение (36.29) в виде
(36.37)
где Мнас — намагниченность насыщения, т. е. Nμ, а x — величина μBa/kT. Зависимость М/Мнас от х показана на фиг. 36.13 (кривая а).
Фиг. 36.13. Графическое решение уравнений (36.37) и (36.38),
Воспользовавшись еще уравнением (36.36) для Ва, можно записать х как функцию от М:
(36.38)
Эта формула определяет линейную зависимость между М/Мнас и х при любой величине Н. Прямая пересекается с осью х в точке x=μH/kT, и наклон ее равен ε0с2kT/μλМнас. Для любого частного значения Н это будет прямая, подобная прямой b на фиг. 36.13. Пересечение кривых а и о дает нам решение для М/Мнас. Итак, задача решена.
Посмотрим теперь, годны ли эти решения при различных обстоятельствах. Начнем с H=0. Здесь представляются две возможности, показанные кривыми b1 и b2 на фиг. 36.14.
Фиг. 36.14. Определение намагниченности при Н=0.
Обратите внимание, что наклон прямой (36.38) пропорционален абсолютной температуре Т. Таким образом, при высоких температурах получится прямая, подобная b1 Решением будет только М/Мнас=0. Иначе говоря, когда намагничивающее поле Я равно нулю, намагниченность тоже равна нулю. При низких температурах мы получили бы линию типа b2 и стали возможны два решения для М/Мнас: одно М/Мнас=0, а другое М/Мнас порядка единицы. Оказывается, что только второе решение устойчиво, в чем можно убедиться, рассматривая малые вариации в окрестности указанных решений.
В соответствии с этим при достаточно низких температурах магнитные материалы должны намагничиваться спонтанно. Короче говоря, когда тепловое движение достаточно мало, то взаимодействие между атомными магнитиками заставляет их выстраиваться параллельно друг другу, получается постоянно намагниченный материал, аналогичный постоянно поляризованным сегнетоэлектрикам, о которых мы говорили в гл. 11 (вып. 5).
Если мы отправимся от высоких температур и начнем двигаться вниз, то при некой критической температуре, называемой температурой Кюри Тc, неожиданно проявляется ферромагнитное поведение. Эта температура соответствует на фиг. 36.14 линии b3, касательной к кривой а, наклон которой равен единице. Так что температура Кюри определяется из равенства
(36.39)
При желании уравнение (36.38) можно записать в более простом виде через Тc:
(36.40)
Что же получается для малых намагничивающих полей Н? Из фиг. 36.14 нетрудно понять, что получится, если нашу прямую линию сдвинуть немного направо. В случае низкой температуры точка пересечения немного сдвинется направо по слабо наклоненной части кривой а и изменения М будут сравнительно невелики. Однако в случае высокой температуры точка пересечения побежит по крутой части кривой а и изменения М станут относительно быстрыми. Эту часть кривой мы фактически можем приближенно заменить прямой линией а с единичным наклоном и написать
Теперь можно разрешить уравнение относительно М/Мнас:
(36.41)
Мы получаем закон, несколько напоминающий закон для парамагнетизма:
(36.42)
Отличие состоит, в частности, в том, что мы получили намагниченность как функцию Н, с учетом взаимодействия атомных магнитиков, однако главное то, что намагниченность обратно пропорциональна разности температур Т и Тс, а не просто абсолютной температуре Т. Пренебрежение взаимодействием между соседними атомами соответствует λ=0, что, согласно уравнению (36.39), означает Тс=0. Результат при этом получится в точности таким же, как и в гл. 35.
Нашу теоретическую картину можно сверить с экспериментальными данными для никеля. На опыте обнаружено, что ферромагнитные свойства никеля исчезают, когда температура поднимается выше 631° К. Это значение можно сравнить со значением Тс, вычисленным из равенства (36.39). Вспоминая, что Mнас=μN, мы получаем
Из плотности и атомного веса никеля находим
А вычисление μ из уравнения (36.28) и подстановка λ=1/3 дает
Различие с экспериментом примерно в 2600 раз! Наша теория ферромагнетизма полностью провалилась!
Можно попытаться «подправить» нашу теорию, как это сделал Вейсс, предположив, что по каким-то неизвестным причинам λ равно не 1/3, а (2600)·1/3, т. е. около 900. Оказывается, что подобная величина получается и для других ферромагнитных материалов типа железа. Вернемся к уравнению (36.36) и попробуем понять, что это может означать? Мы видим, что большая величина λ означает, что Ва (локальное поле, действующее на атом) должно быть больше, много больше, чем мы думали. Фактически, записывая Н=В-M/ε0c2, мы получили
В соответствии с нашей первоначальной идеей, когда мы принимали λ=1/3, локальная намагниченность М уменьшает эффективное поле Ва на величину — 2М/Зε0. Даже если бы наша модель сферической полости была не очень хороша, мы все равно ожидали бы некоторого уменьшения. Вместо того чтобы объяснить явление ферромагнетизма, мы вынуждены считать, что намагниченность увеличивает локальное поле в огромное число раз: в тысячу и даже больше. По-видимому, не существует какого-то разумного способа для создания действующего на атом поля такой ужасной величины, ни даже поля нужного знака! Ясно, что наша «магнитная» теория ферромагнетизма потерпела досадный провал. Мы вынуждены заключить, что в ферромагнетизме мы имеем дело с какими-то немагнитными взаимодействиями между вращающимися электронами соседних атомов. Это взаимодействие должно порождать у соседних спинов сильную тенденцию к выстраиванию в одном направлении. Мы увидим позднее, что это взаимодействие связано с квантовой механикой и принципом запрета Паули.
И, наконец, посмотрим, что происходит при низких температурах, когда Т<Tс. Мы видели, что даже при Н=0 в этом случае должна существовать спонтанная намагниченность, определяемая пересечением кривых а и b2 на фиг. 36.14. Если мы, изменяя наклон линии b2, будем находить М для различных температур, то получим теоретическую кривую, показанную на фиг. 36.15.
Фиг. 36.15. Зависимость спонтанной намагниченности никеля от температуры.
Для всех ферромагнитных материалов, атомные моменты которых обусловлены одним электроном, эта кривая должна быть одной и той же. Для других материалов подобные кривые могут отличаться лишь немного.
В пределе, когда Т стремится к абсолютному нулю, М стремится к Mнac. При увеличении температуры намагниченность уменьшается, падая до нуля при температуре Кюри. Точками на фиг. 36.15 показаны экспериментальные данные для никеля. Они довольно хорошо ложатся на теоретическую кривую. Хотя мы и не понимаем лежащего в основе механизма, но общие свойства теории, по-видимому, все же правильны.
Но в нашей попытке понять ферромагнетизм есть еще одна неприятная несогласованность, которая должна нас заботить. Мы нашли, что выше некоторой температуры материал должен вести себя как парамагнитное вещество, намагниченность которого пропорциональна Н (или В), а ниже этой температуры должна возникать спонтанная намагниченность. Но при построении кривой намагничивания для железа мы этого как раз и не обнаружили. Железо становится постоянно намагниченным только после того, как мы его «намагнитим». А в соответствии с только что высказанными идеями оно должно намагничиваться само! Что же неверно? Оказывается, что если вы рассмотрите достаточно маленький кристалл железа или никеля, то увидите, что он и впрямь полностью намагничен! А большой кусок железа состоит из массы таких маленьких областей, или «доменов», которые намагничены в различных направлениях, так что средняя намагниченность в большом масштабе оказывается равной нулю. Однако в каждом маленьком домене железо все же намагничивает само себя, причем М приблизительно равно Mнac. Как следствие этой доменной структуры свойства большого куска материала должны быть совершенно отличны от микроскопических, как это и оказывается на самом деле.