* * *
ЗАДАЧА О КАРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ МНОЖЕСТВА
В предыдущей главе вы увидели, что одним из величайших открытий Георга Кантора было доказательство того, что не все бесконечные множества имеют одинаковый размер. И действительно, его диагональный метод позволил показать, что натуральных чисел меньше, чем бесконечных последовательностей, состоящих из нулей и единиц. В первой задаче из списка Гильберта требовалось дать положительный или отрицательный ответ на вопрос о том, существует ли такое множество, кардинальное число которого будет больше, чем кардинальное число множества натуральных чисел, но меньше, чем кардинальное число множества последовательностей из нулей и единиц. Благодаря трудам Курта Гёделя (1940) и математика Пола Коэна из Стэнфордского университета (1963) сегодня нам известно, что если исходить из привычной системы аксиом теории множеств, на этот вопрос нельзя дать ни положительного, ни отрицательного ответа.
* * *
Доклад Гильберта прозвучал 8 августа 1900 года. К этому времени в теории множеств уже появились первые парадоксы, однако Рассел открыл противоречие, которое заставило всех забить тревогу, лишь годом позже. Очень быстро парадокс о множестве всех множеств, которые не принадлежат сами себе, встревожил европейские математические круги: в Англии Уайтхед предсказал конец «счастливым и спокойным будням», в Германии Фреге добавил к своим «Основам арифметики» пессимистичное предисловие, во Франции Анри Пуанкаре, враг математической логики, победно воскликнул: «Формальная логика не бесплодна: она порождает противоречия». Если от кого и ожидали ответа, то это был Давид Гильберт — его многие считали новым Евклидом благодаря опубликованной им в 1899 году системе аксиом геометрии, которая ознаменовала начало современного подхода к этой дисциплине. Тем не менее Гильберт не потрудился дать меткий ответ, который вошел бы в историю, подобно изречениям Уайтхеда, Фреге и Пуанкаре: он просто точно знал, как можно избавить математику от парадоксов.
Давид Гильберт больше всего подходил на роль того, кто покончил бы с математическими парадоксами.
Решение, предложенное Гильбертом, состояло из двух этапов. Сначала нужно было полностью формализовать арифметику, то есть представить все ее содержимое как формальную систему. Это следовало сделать с максимально возможной строгостью, и за этим первым этапом должен был последовать второй, на котором доказывалась бы корректность выполненной формализации. Математика, в отличие от жены Цезаря, не была выше подозрений: ее непротиворечивость следовало доказать. Для этого Гильберт предложил ряд приемов, объединенных названием «метаматематика».
Читатель справедливо заметит: какова разница между системами аксиом, которые мы рассматривали выше, и формальными системами, которые Гильберт хотел определить для арифметики? Действительно, эти понятия очень похожи, однако формальные системы обладают важным отличием: в них любое утверждение представляется в виде символов искусственного языка, лишенных конкретных значений.
Цель Гильберта понятна из его переписки, в которой он, например, объясняет, что геометрия не изменится, если вместо терминов «точка», «прямая» и «плоскость» мы напишем «любовь», «закон» и «трубочист». Как следствие, для формалиста выражения «глава третья» и «глава 3» — это два разных высказывания, единственная связь между которыми заключается в особенностях синтаксиса: оба выражения начинаются с одного и того же слова.
Основу гильбертовой формальной системы составляло множество базовых символов L, основанных на алфавите нашего языка. На их основе можно создать формулы, которые будут представлять собой не что иное, как конечные последовательности символов, составленные согласно ряду грамматических правил. Если, например, язык содержит открывающую и закрывающую скобки, то одно из его правил может звучать так: справа от каждой открывающей скобки обязательно должна быть записана закрывающая скобка.
Чтобы определить формальную систему, помимо алфавита, необходимы аксиомы и правила вывода. Аксиомы отличаются от всех остальных формул только тем, что занимают привилегированное положение. Как мы указывали в главе 1, выбор аксиом — одна из сложнейших задач при определении формальной системы: если мы выберем слишком много аксиом, то они могут смешаться с остальными формулами, а если мы выберем слишком мало аксиом, то некоторые формулы нельзя будет ни доказать, ни опровергнуть. Правила вывода, в свою очередь, это процедуры, позволяющие получить новые формулы на основе уже известных. Аксиомы и правила вывода объединяются в формальные доказательства — последовательности формул, каждая из которых является либо аксиомой, либо получена из предыдущих формул с помощью правил вывода. Традиционно последняя формула доказательства называется теоремой.
Следовательно, первое требование программы Гильберта заключалось в том, чтобы описать алфавит, определить аксиомы и формальные правила вывода для арифметики. Этой задаче Бертран Рассел и Альфред Норт Уайтхед посвятили три объемных тома «Начал математики», опубликованных в 1910–1913 годах. В действительности теория, предложенная Расселом и Уайтхедом и названная вскоре логицизмом, выходила далеко за рамки формалистской программы: оба ее автора не ограничивались формализацией арифметики и хотели свести ее к логике, то есть определить все понятия теории натуральных чисел исходя из чисто логических обозначений, а также вывести из этих понятий все теоремы арифметики. Одним из величайших успехов математики XIX века было построение любого класса чисел на основе натуральных, таким образом, если бы Рассел и Уайтхед достигли своей цели, математика и логика пошли бы рука об руку по дороге, свободной от противоречий (по крайней мере, основоположники логицизма на это надеялись).
* * *
НЕПРИБЫЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
Ключевой труд Рассела и Уайтхеда был опубликован издательством Cambridge University Press. Издательство смогло выделить на публикацию всего 300 фунтов, что составляло половину необходимой суммы. Недостающие 300 фунтов обязалось внести Лондонское королевское общество, членом которого был Рассел, однако в итоге было внесено лишь 200, а остаток Расселу и Уайтхеду пришлось заплатить из своего кармана. «Неплохой баланс, — шутил Рассел впоследствии, — за десять лет работы мы заработали минус пятьдесят фунтов на каждого».
* * *
В упрощенной версии формальная система арифметики, предложенная Расселом и Уайтхедом в «Началах математики», состояла из следующих основных символов: 0 (число ноль), s (функция следования), ¬ (отрицание), V (дизъюнкция «или»), (существование), = (равенство) и открывающая и закрывающая скобки. Позднее к этим символам были добавлены переменные х, у, z типа 0, которые обозначали натуральные числа, а также переменные А, В, С типа 1, то есть множества натуральных чисел, и т. д. по мере того, как требовались элементы все новых и новых типов. Возможно, внимательный читатель заметил отсутствие других символов, которые должны быть частью языка: например, наряду с квантором существования, благодаря которому можно формализовать высказывания вида «существует натуральное число, обладающее свойством Р», можно было бы добавить еще один символ, который означал бы «для всех», как в высказывании «для всех натуральных чисел выполняется утверждение Р». По сути, этот универсальный квантор очень широко используется в математике: «для всех» обозначается символом . Мы действительно можем добавить к языку символ , однако этого на самом деле не требуется, так как выражение «для всех натуральных чисел выполняется высказывание Р» равносильно выражению «не существует такого натурального числа, для которого не выполнялось бы высказывание Р». Следовательно, символ можно выразить с помощью символов отрицания и существования.
Это же справедливо и для конъюнкции «и»: для ее обозначения существует символ , однако он является избыточным, так как его можно заменить символами V и ¬. Чтобы доказать это, рассмотрим три операции теории множеств: дополнение, объединение и пересечение.
Для данного множества А, которое содержится в другом множестве В, дополнением множества А до В называют множество, состоящее из элементов, принадлежащих В, но не А. Например, дополнением множества гласных {а, е, i, о, и} английского алфавита является множество согласных. Рассмотрим операции объединения и пересечения. Для данных множеств X и Y их пересечение XY определяется как множество элементов, одновременно принадлежащих X и Y. Например, если X — множество четных чисел 0, 2, 4, 6, 8, 10…, а Y — множество чисел, кратных трем, 0, 3, 6, 9, 12, 15 …, то чтобы найти их пересечение, нужно определить их общие элементы: ими будут 0, 6, 12, 18…, то есть числа, кратные шести. Объединением множеств XUY называется множество, которому принадлежат все элементы X и все элементы Y. В предыдущем примере первыми элементами объединения X и Y будут 0, 2, 3, 4, 6, 8, 9…
Похожесть символов, обозначающих пересечение двух множеств () и конъюнкцию двух высказываний (), а также символов, обозначающих объединение двух множеств (U) и дизъюнкцию двух высказываний (V), вовсе не случайна. Если сопоставить свойствам Р и Q множества чисел, обладающих этими свойствами, например X и Y, то числа, обладающие свойствами Р и Q одновременно, будут элементами пересечения множеств XY, а числа, обладающие свойством Р или Q, то есть как минимум одним из этих двух свойств, будут принадлежать объединению множеств XUY. Дополнение множества, в свою очередь, соответствует отрицанию высказывания. Для представления дополнений, объединений и пересечений множеств очень удобно использовать диаграммы, созданные британским математиком и философом Джоном Венном в 1880 году. С их помощью можно доказать, что конъюнкция свойств