The National Snow and Ice Data Center) и Национальное управление океанических и атмосферных исследований США (National Oceanic and Atmospheric Administration). Применяется она и в случае, когда необходимо использовать конформную проекцию, например при составлении метеорологических карт, карт ветров Антарктиды и других.
Эта проекция лежит в основе системы координат UPS (универсальной полярной системы координат), которая вместе с системой UTM (от англ. Universal Transverse Mercator — универсальная поперечная проекция Меркатора) представляет собой систему координат, или проекций, для изображения всей земной поверхности. Система определяет ряд зон среднего размера, которые можно изобразить в выбранной проекции с очень малыми искажениями. Благодаря этому систему UPS использует большинство картографических служб мира при составлении карт определенных размеров. Мы вернемся к этой системе координат в главе 9, посвященной проекции Меркатора.
Полярная стереографическая проекция также применяется при составлении карт областей среднего размера, близких к полюсам: в картах России, Европы или некоторых европейских стран, в частности Швеции, а также в картах Австралии и Северной Америки.
Погодная карта Европы, выполненная в полярной стереографической проекции.
Еще одна разновидность стереографической проекции — экваториальная, в которой точка касания сферы и плоскости проекции, то есть центр карты, находится на экваторе. Эту проекцию использовал арабский математик Аз-Заркали при конструировании астролябии, а для создания карт Земли она начала применяться с XVI века. Старейшая карта в этой проекции, дошедшая до наших дней, — это простая карта двух полушарий, составленная французским картографом Жаном Ротцем.
* * *
АЗ-ЗАРКАЛИ (ОК. 1029–1100)
Абу Исхак Ибрахим ибн Яхья ан-Наккаш аз-Заркали родился в Толедо. Прозвище Арзахель (латинизированный вариант имени «аз-Заркали») означает «голубоглазый». По некоторым источникам, он был подмастерьем в мастерской своего отца и не получил образования (некоторые историки отмечают, что он был неграмотным). Арзахель начал изготавливать измерительные инструменты, в частности астролябии, для астрономов тайфы Толедо и постепенно самостоятельно изучил астрономию. После завоевания Толедо Альфонсо VI в 1085 году аз-Заркали переехал в Кордову, где и умер в 1100 году. Он известен благодаря созданию измерительных инструментов, составлению астрономических таблиц и различным теоретическим исследованиям. Самый известный из созданных им инструментов — заркала, универсальная астролябия, которую можно было использовать на любой широте. Заркала применялась в Европе вплоть до XVI века. Он также сконструировал водяные часы, установленные на берегу реки Тахо, которые позволяли определять время днем и ночью. Аз-Заркали был автором нескольких трактатов по конструированию и применению инструментов, в частности уже упомянутой заркалы, экваториума, армиллярной сферы и других. Исследователь откорректировал астрономические таблицы Аль-Хорезми и Ал-Баттани для меридиана Толедо, создав так называемые Толедские таблицы; он также провел собственные наблюдения и включил в свой «Альманах» исправленные астрономические данные, которые впервые были получены древними греками. Эти данные позволяли определять положение планет, Солнца, Луны и других небесных тел напрямую, не прибегая к объемным вычислениям, а также предсказывать солнечные и лунные затмения. Аз-Заркали написал несколько трактатов, в которых изложил результаты своих наблюдений Солнца, Луны и Меркурия, проведенных им в течение жизни.
* * *
Экваториальная стереографическая проекция в течение нескольких столетий была стандартной для изготовления карт мира благодаря Румольду Меркатору, сыну и наследнику Герарда Меркатора, который использовал ее в карте «Краткое описание мира» (Orbis terrae compendiosa descriptio, 1587), включенной в издание Атласа Меркатора 1595 года.
В зависимости от того, на какой части экватора располагается центр одного из полушарий (центром второго полушария будет диаметрально противоположная точка небесной сферы), карта мира будет выглядеть по-разному. На картах Румольда Меркатора, в «Новом и точнейшем представлении о мире» (Nova et accuratissima terrarum orbis tabula, 1664) голландского картографа Яна Блау (1596–1673), сына картографа Виллема Блау, или в «Новом точнейшем представлении мира» (Orbis terrarum nova et accuratissima tabula, 1666) Петера Гооса (на этих картах Калифорния изображена как остров, и эта картографическая ошибка повторяется на многих картах XVII и XVIII веков), центр расположен на меридиане Каспийского моря, поэтому на одном из полушарий изображены Европа, Африка, Азия и часть Океании, на другом — Тихий океан и Америка.
Карта двух полушарий «Краткое описание мира» (Orbis terrae compendiosa descriptio, 1587) Румольда Меркатора, выполненная в экваториальной стереографической проекции. На карте можно увидеть, как картографы того времени представляли себе Америку и Антарктиду.
Другие картографы, подобно Иодокусу Хондиусу (он в своем «Изображении всех морских экспедиций» (Vera totius expeditionis nauticae, стр. 106) отметил маршруты кругосветных путешествий Фрэнсиса Дрейка и Томаса Кавендиша), строили эту проекцию с поворотом на 90° и располагали центры полушарий в Атлантическом и Тихом океане соответственно. Некоторые изображали Европу и Африку в центре одного из полушарий — такую карту составил немецкий картограф Филипп Эккебрехт (1594–1667) в 1630 году для трактата по астрономии, написанного немецким математиком и астрономом Иоганном Кеплером (1571–1630).
Начиная с этого времени экваториальная стереографическая проекция стала использоваться для составления карт различных участков земного шара. Так, немецкий картограф Иоганн Баптист Гоманн (1664–1724) использовал эту проекцию не только в типичной для того времени карте мира, разделенной на два полушария, но и в картах Европы, Азии, Африки и Америки. По его стопам пошли и другие картографы, например Йодокус Хондиус, применивший эту проекцию для «Вновь начерченной карты Америки» (America noviter delineata, 1640).
Косую стереографическую проекцию первым использовал при составлении карт звездного неба в IV веке н. э. греческий математик и астроном Теон Александрийский, возможно, последний управитель Александрийской библиотеки и отец известной женщины-математика Гипатии. Сегодня стереографическая проекция указывается в числе рекомендуемых для составления карт звездного неба наряду с другими азимутальными проекциями, гномонической и равнопромежуточной.
Использовать косую стереографическую проекцию для составления карт Земли предложил австрийский картограф Иоганнес Стабиус (1450–1522). Эта проекция стала популярной благодаря немецкому математику Иоганнесу Вернеру (1468–1522), который включил ее в перевод «Географии» Птолемея на латынь. Следует учесть, что одной из основных задач, связанных с использованием новых проекций, было не их геометрическое определение, а создание методов их построения, что в те годы происходило вручную. Так, в книге Джона Снайдера «Как Земля стала плоской» (Flattening the Earth) приведены некоторые методы построения стереографической и других картографических проекций.
В XVI и XVII веках эта проекция использовалась очень редко. Одним из исключений стал атлас мореплавателя и космографа Жака де Воля (ок. 1555–1597), который в 1583 году построил карту двух полушарий в этой проекции. Центр первого полушария располагался в Париже, центр второго, с изображением Антарктиды, был диаметрально противоположен ему. Эта проекция также использовалась в картах Европы и Азии английского историка Джона Спида (1552–1629). Хотя косая стереографическая проекция не снискала большой популярности, она применяется до сих пор: в публикации «Картографические проекции Европы» (Map Projections for Europe, 2003) Института экологии и окружающей среды ЕС (Institute for Environment and Sustainability) отмечается, что эта проекция используется, например, при составлении карт Нидерландов, Польши и Румынии. Применяла ее и Геологическая служба США при составлении карт Луны, Марса и Меркурия. Кроме того, на основе этой проекции Анри Руссель в 1922 году создал новую проекцию, которая использовалась в СССР и Геологической службой США.
Благодаря богатству геометрических свойств стереографическая проекция нашла применение во многих областях науки, в частности в таких разделах математики, как комплексный анализ, неевклидова геометрия, дифференциальная геометрия, аналитическая геометрия и топология. Эта проекция используется в физике, структурной геологии и инженерном деле, а также применяется в кристаллографии для изучения свойств симметрии кристаллов, так как благодаря конформности она сохраняет углы между гранями и ребрами кристаллов. В фотографии эта проекция используется при конструировании широкоугольных объективов типа «рыбий глаз» с максимально широким углом обзора.
Фотографии, выполненные в стереографической проекции широкоугольным объективом типа «рыбий глаз», стали популярными в фотоискусстве
(источник: Александр Дюре-Лутц).
Конформные проекции особенно удобны, когда важны углы или направления (румбы), например в морской и воздушной навигации. Помимо уже упомянутых ортодром, в навигации важную роль играют локсодромы (кривые, пересекающие меридианы под постоянным углом), так как при прокладке курса вдоль локсодромы нужно всего лишь держаться одного и того же румба, указываемого, например, стрелкой компаса. По этой причине сохраняется актуальность проекции Меркатора, в которой локсодромы изображаются прямыми, следовательно, их можно легко начертить на карте. Так как эти проекции сохраняют величины углов, они также применяются в геодезии, метеорологии (для изображения, например, направлений