В полдень, в день летнего солнцестояния, лучи Солнца освещают Сиену вертикально, достигая дна самых глубоких колодцев. В этот же день и час лучи Солнца освещают Александрию под углом 7,2° относительно вертикали.
По-видимому, Эратосфен провел несколько измерений и в итоге получил окончательный результат в 252 тысячи стадиев. Его метод, который можно использовать и в наши дни, очень прост и эффективен. К сожалению, мы не можем точно перевести стадии в привычные нам метры: во времена Эратосфена не существовало единой системы мер, поэтому в точности неизвестно, какой была длина стадия, использованного ученым. Если мы рассмотрим египетский стадий, равный 157,5 м, то результат Эратосфена составит 39690 км. Эта цифра очень близка к 40030,2 км — именно столько составляет длина окружности Земли в сферической модели (полученной на основе эллипсоида WGS 84).
Хотя почти все оценки, которые привел Эратосфен, были слегка неточными, ошибки наблюдений и измерений компенсировали друг друга, и полученный результат был очень близок к реальному. Александрия и Сиена не располагаются в точности на одном меридиане, определить точное расстояние между ними в то время было невозможно, а гномон позволял лишь приближенно измерить угол между лучами Солнца и вертикалью.
Еще один важный результат, связанный с измерением земной окружности в древнем мире, принадлежит греческому философу-стоику Посидонию (ок. 130 года до н. э. — 30 год до н. э.), одному из великих географов своего времени. Его результаты также дошли до нас благодаря трудам различных классических авторов. Как и Эратосфен, Посидоний измерил дугу меридиана, на этот раз — между Родосом и Александрией. В своей обсерватории на Родосе философ обнаружил, что звезда Канопус, вторая по яркости на звездном небе, находится в точности над горизонтом, а при наблюдении из Александрии угловая высота этой звезды равна 1/48 земной окружности (см. следующую иллюстрацию). Согласно Клеомеду, Посидоний посчитал, что длина дуги меридиана между Родосом и Александрией равна 5 тысячам стадиев, таким образом, длина окружности Земли составляет 48·5000 = 240000 стадиев. Однако греческий географ и историк Страбон (63 год до н. э. — 24 год н. э.) приводит более позднюю оценку Посидония: 180 тысяч стадиев, то есть 28350 км (если использовать египетские стадии). Этот результат ученый получил, уточнив расстояние между Родосом и Александрией: оно составило 3750 стадиев. Таким образом, Земля стала меньше.
Схема измерений размеров Земли, проведенных Посидонием. Если при наблюдении из Родоса звезда Канопус находится точно над горизонтом, то для наблюдателя в Александрии она располагается на небосводе под углом θ к горизонту, равным углу между Родосом и Александрией.
Метод Посидония для оценки размеров Земли также был остроумным, простым и геометрически безупречным, однако философ не учел преломление света в земной атмосфере, из-за которого при наблюдении небесных тел вблизи горизонта мы видим их выше, чем они располагаются на самом деле. Если бы лучи света не преломлялись, Канопус находился бы ближе к горизонту и, как следствие, реальная величина угла была бы меньше вычисленной Посидонием.
Клавдий Птолемей, как и Страбон, и другие, считал результат Посидония корректным и привел его в своей «Географии». Таким образом, представление о малых размерах Земли было популярным среди географов и картографов до XV века. Именно поэтому итальянский математик и картограф Паоло Тосканелли (1397–1482), составивший мореходную карту Атлантического океана, считал, что можно проплыть из Европы в Азию, а Христофор Колумб верил, что существует неизвестный путь доставки специй в Европу через Атлантический океан.
Реконструкция карты Тосканелли, на которой изображены более или менее реалистичные очертания Американского континента.
Позднее для измерения меридианов Земли, а следовательно, для вычисления ее размеров использовалась триангуляция. Этот метод заключается в разделении местности на треугольники, максимально точном измерении углов триангуляции и длины одной из сторон исходного треугольника, называемого базовым, и последующем вычислении длин остальных сторон с помощью тригонометрии. Измерить длины сторон треугольников напрямую из-за неровностей рельефа довольно сложно, особенно если речь идет о больших расстояниях. Однако измерить с большой точностью углы вполне возможно.
Вверху — общая триангуляция Франции, проведенная в период с 1818 по 1845 год.
В истории об измерении размеров Земли с помощью метода триангуляции нам встретятся труды французского астронома Жана Пикара (1620–1682) (вычисленную им длину земного меридиана использовал Ньютон для подтверждения своего закона всемирного тяготения) и Жана-Доминика Кассини — первого директора Парижской обсерватории, который сделал ее ведущим мировым центром астрономии и картографии и попытался составить точную карту Франции. Вы также узнаете об экспедициях в Лапландию и Перу, организованных Парижской академией наук с целью определить, какова форма нашей планеты у полюсов — приплюснутая или вытянутая; об измерении меридиана между Дюнкерком и Барселоной, которое провели французские ученые Жан-Батист-Жозеф Деламбр (1749–1822) и Пьер Мешен (1744–1804), что привело к определению метра как единицы длины.
Карта побережий Франции (1682), составленная по результатам научных измерений (с помощью триангуляции), проведенных Пикаром, де Ла Гиром и Кассини. На этой карте вы можете видеть береговую линию Франции до измерений (более широкую) и после (более точную). Увидев эту разницу, Людовик XIV сказал Кассини: «Ваше путешествие стоило мне части моего королевства!»
* * *
МЕТР
Единицей длины в Международной системе единиц является метр, который сегодня определяется как расстояние, которое проходит свет в вакууме за 1/299 792458 секунды (примерно 3,34 наносекунды, то есть 3,34 миллиардных (10-9) частей секунды).
В разное время метр определялся по-разному, однако началом его использования в качестве универсальной единицы длины мы обязаны Великой французской революции. В 1790 году для унификации единиц мер была создана Комиссия по мерам и весам. Было поставлено два условия: единицы измерения должны быть универсальными, то есть применяться повсеместно, и они не должны быть выбраны произвольно. В соответствии с этими условиями новая единица длины, метр, была определена как одна десятимиллионная часть расстояния от Северного полюса до экватора, измеренного вдоль меридиана. В самый разгар революционных потрясений было организовано две экспедиции для измерения длины парижского меридиана между Дюнкерком и Барселоной. Экспедицию, которая направилась в Дюнкерк, возглавил Деламбр, барселонскую экспедицию — Мешен. В ходе измерений с помощью триангуляции, которые длились 7 лет, ученые пережили всевозможные тяготы и многочисленные приключения. Этим событиям посвящен очень интересный роман Дэниса Гейджа «Измерение мира» («The Measure of the World»).
Глава 3Меридианы, параллели и большие круги
По высоте Солнца и положению Полярной звезды можно было определить широту; с помощью карты и компаса, определив скорость на глаз и измерив время (обратите внимание: с помощью песочных часов, точность которых зависела от юнги, переворачивавшего их, а он неизменно хотел лечь спать пораньше, поэтому часы всегда спешили), можно было определить примерную скорость корабля — настолько неточную, что она больше напоминала выдумку.
Хулио Гильен Тато, «Искусство мореплавания» (1935)
В нашем рассказе о картографии не обойтись без географических координат — широты и долготы, которые позволяют однозначно определить положение любой точки земной поверхности. Познакомьтесь с координатной сеткой, образованной двумя почтенными семействами сферических кривых — параллелями и меридианами, которые являются кривыми постоянной широты и долготы. Мы настолько привыкли к тому, что кратчайшим путем между двумя точками является прямая, что сложно представить, что на поверхности сферы это не так. Однако это действительно не так, хотя бы потому, что на поверхности сферы нельзя провести прямую. Следующий вопрос кажется очевидным: какие кривые играют на сфере ту же роль, что и прямые на плоскости? Точнее, каков кратчайший путь между двумя точками сферической поверхности? Ответом на этот вопрос будет еще одно интересное семейство сферических кривых — большие круги.
Чтобы определить географические координаты, нужно учесть вращение Земли вокруг воображаемой оси, проходящей через ее центр. Северный и Южный полюс — это точки пересечения оси с земной поверхностью, а также единственные точки, которые при вращении Земли остаются неподвижными. Если мы рассмотрим сферическую модель нашей планеты, то параллели будут окружностями, полученными сечением сферы плоскостями, перпендикулярными ее оси вращения (см. следующий рисунок). Существует особая параллель, экватор, которая находится на полпути между Северным и Южным полюсом. Экватор определяется сечением земного шара плоскостью, перпендикулярной его оси вращения и проходящей через центр нашей планеты. Экватор — это самая длинная параллель.
Схема, на которой изображены пять главных параллелей и широта точки Р.
Широта произвольной точки земной поверхности определяется как угол наклона относительно плоскости экватора, то есть угол между отрезком, соединяющим центр земли с рассматриваемой точкой, и плоскостью экватора (на предыдущей схеме этот угол обозначен буквой