Фракталы — это не только математические объекты; они присутствуют и в окружающем мире. Слева — аэрофотосъемка норвежских фьордов, справа — фрагмент фрактала Мандельброта.
* * *
ФРАКТАЛЫ В ПОЭЗИИ
Присутствие фракталов в природе уловили не только математики, но и поэты. Среди бесчисленного множества примеров, которыми можно проиллюстрировать совпадение поэтического и математического взгляда на реальность, мы выбрали первые строки поэмы № 18 из серии «Двадцать поэм любви и одна песня отчаянья» Пабло Неруды. Чтобы описать нереальность любви на расстоянии, Неруда в своей поэме «Здесь я тебя люблю, напрасно даль тебя прячет» описывает предметы, легкая и эфемерная сущность которых контрастирует с твердостью их физического воплощения:
Здесь я тебя люблю.
Над темными соснами ветер расправляет свой стяг.
На блуждающих водах лунные пересветы.
Похожие дни теснятся, гонят друг друга во мрак.
Распадается сумрак на пляшущие виденья.
Серебристую чайку закат роняет во тьму.
Порой объявится парус. Высокое небо в звездах[8].
В этих семи строчках поэт соединил три трехмерных объекта. Представьте себе хитросплетение сосновых иголок, над которыми ветер расправляет свой стяг; пенистые воды, освещаемые луной, или неуловимое дыхание пляшущих видений в тумане. К этой картине следует добавить вездесущие звезды, эти светящиеся точки, сложный узор которых в небе кажется почти двухмерным. В действительности эта неоднозначность — следствие фрактальной природы объектов. Наши скудные органы чувств неспособны оценить реальность в ее дробной размерности; реальность, которая, напротив, проявляется во всей полноте только тогда, когда ее рассекает отточенный скальпель размерности Хаусдорфа или пронзает острый взор Пабло Неруды.
* * *
Среди многочисленных примеров использования фракталов мы расскажем об одном, занимающем поистине особое место, в котором фракталы связаны с абстрактным экспрессионизмом Джексона Поллока.
Поллок был художником непростой судьбы, он злоупотреблял алкоголем и так далее — все в соответствии со стереотипом. Погиб в автомобильной катастрофе в 1956 году, когда ему было всего 44 года. Меценатом Поллока стала Пегги Гуггенхайм. «Современный художник, — как-то сказал Поллок, — не может изобразить эпоху самолетов, атомных бомб и радио в старом стиле Возрождения. Каждая эпоха имеет свою технику». Верный этой максиме, он в середине 1940-х основал новое направление в живописи — абстрактный экспрессионизм. Свои картины он рисовал на больших полотнах, используя созданную им технику разбрызгивания красок.
Джексон Поллок за работой в своей студии. Конец 1940-х.
В 1946 году он превратил в студию огромный амбар на Лонг-Айленде, а холсты разложил на полу. «Так я нахожусь ближе к тому, что рисую, — говорил художник, — я чувствую себя частью картины, поскольку могу ходить вокруг нее, работать со всех четырех сторон и в буквальном смысле находиться на картине. Поэтому я пытаюсь держаться в стороне от традиционных инструментов, то есть мольберта, палитры и кистей. Я предпочитаю палки, шпатели и краску, которая капает и разбрызгивается, и даже цемент, измельченное стекло и другие материалы». Один из критиков сказал: «Его картины — не искусство; они существуют сами по себе. Это не изображение чего-либо, а вещь в себе; это не изображение природы, но сама природа». И это в самом деле так, поскольку картины Поллока источают движение, графический ритм, жизненную силу и одновременно глубокую нежность.
Связь полотен Поллока и фракталов обнаружили австралийские ученые Ричард Тейлор, Адам Миколич и Дэвид Джонас. В 1999 году была опубликована их статья в журнале Nature, в которой указывалось, что картины Поллока имеют фрактальную структуру, которой подчиняются как ширина капель и подтеков, так и геометрия линий краски, пролитой на полотно. Ученым удалось измерить фрактальную размерность этих структур с помощью метода, описанного выше.
Расчеты показали, что размерность картин Поллока превысила 1, то есть его полотна начали становиться по-настоящему фрактальными, в середине 1940-х. Впоследствии их фрактальная размерность неизменно возрастала и в 1952 году достигла значений, близких к 1,7 для структур, образованных разбрызгиванием краски, и 1,9 — для хаотических структур, обусловленных перемещениями самого художника во время работы над картиной. Рост фрактальных размерностей был постоянным и проявлялся в работах Поллока с такой точностью, что их анализ позволил определить подлинность полотен и даже дату создания.
Разумеется, Поллок не контролировал фрактальную размерность своих полотен. Он наверняка даже не подозревал, что его картины имеют фрактальную природу. Они были воплощением чистой интуиции, чистого стиля. Методы работы Поллока хорошо известны, о них сняты документальные фильмы. Художник добавлял новые и новые линии, капли и подтеки краски. Работа над картиной могла длиться до нескольких месяцев. Поллок отверг множество картин, которыми не был доволен, и обрезал края других полотен, потому что чувствовал, что по краям изображение менее интенсивно, чем в центре. Фрактальные размерности, вычисленные австралийскими учеными и характерные для его полотен, есть не что иное, как мера стиля художника.
Вернемся к вопросам, заданным в начале главы. Сколь бы велика ни была гармония фрактала, наш воображаемый прохожий сочтет, что фракталы едва ли отражают человеческую природу.
Возможно, он скажет, что ковры Аполлония или кривая Коха, несомненно, красивы, а размерность Хаусдорфа — прекрасная мера их удивительной красоты. И наш воображаемый собеседник, конечно же, добавит: этот подсчет квадратиков и вычисление логарифмов очень похожи на рассуждения, типичные для некоторых увлеченных математиков, далеких от реальности. Но наш прохожий будет неправ: никто не может быть далек от окружающей реальности. Не может быть далеким от реальности и само понятие размерности Хаусдорфа: как мы уже объясняли, это понятие было введено человеком и также имеет эмоциональную составляющую. Хаусдорф — это ведь реальный человек из крови и плоти, со своими чувствами, иллюзиями, страстями, огорчениями и всем прочим, который в свое время плыл по реке жизни точно так же, как автор этой книги и ее читатели.
Наш собеседник спросит нас: что может рассказать о человеческой природе наука, в которой рассматриваются столь абстрактные понятия, как размерность Хаусдорфа? Продолжив чтение, читатель сможет сам решить, проливает ли сопоставление математического понятия и его эмоционального контекста свет на темные уголки человеческой природы.
Возможно, лучше всего математическое творчество Хаусдорфа можно описать теми же словами, которыми обычно характеризуется творчество Хорхе Луиса Борхеса: «иллюзорное», «парадоксальное», «ироничное», «запутанное».
Разумеется, самым запутанным элементом творчества Хаусдорфа является определенное им понятие размерности. Оно расширило классическое понятие размерности и позволило создать более точную классификацию геометрических объектов. Так, фракталы, в высшей степени запутанные объекты, которые обрели невероятную популярность в последней четверти XX века благодаря Бенуа Мандельброту, определяются как множества, размерность Хаусдорфа для которых не является натуральным числом.
Хаусдорф также рассмотрел прообраз чисел, которые сегодня называются «недостижимыми кардинальными числами». Эти бесконечные числа — продукты нашего разума, которые, вне всяких сомнений, не лишены доли иронии. Их определяющая характеристика — невероятно огромные размеры, причем эти числа столь велики, что неизвестно, существуют ли они на самом деле. В этом и заключается невообразимая ирония: они столь велики, что их довольно сложно увидеть!
Математика Хаусдорфа не только иронична и запутанна — она еще и противоречива. Высшее проявление противоречивости в математике Хаусдорфа изложено в его книге «Основы теории множеств». Это парадоксальное описание сферической поверхности, на основе которой десять лет спустя польские математики Стефан Банах и Альфред Тарский определили шар, который можно разделить на несколько частей, к примеру на пять, из которых затем можно составить два шара, идентичные исходному. Аналогично можно разделить горошину на части так, что при определенном расположении из них можно составить шар размером с Солнце. Это математическая версия евангельской притчи о хлебе и рыбе.
Хаусдорф родился в Бреслау в 1868 году, но три года спустя его семья переехала в Лейпциг. В Лейпциге, а также во Фрайбурге и Берлине он изучал математику и астрономию. Хотя юношеские работы Хаусдорфа относятся к прикладным дисциплинам, в частности к астрономии и оптике, в конечном итоге он занялся теоретической математикой. Возможно, наиболее важной его работой стали «Основы теории множеств». Считается, что в этом монументальном труде, опубликованном в 1914 году, были заложены основы топологии.
Новая фотография Феликса Хаусдорфа. Взгляд математика излучает меланхоличный свет: видел ли он перед собой бури, которые, как писал Ницше, с корнем вырывают деревья жизни?
Хаусдорфу не были чужды и другие интеллектуальные занятия. В юности он хотел изучать музыку и стать композитором, и даже написал несколько пьес, и часто играл на пианино.
Под псевдонимом Поль Монгре Хаусдорф публиковал стихи, философские эссе, а также сатирические театральные пьесы. Расцвет его литературного творчества пришелся на 1896–1906 годы. В 1897 году вышла из печати его первая книга — «Сан-Иларио: мысли из страны Заратустры», название которой отсылает к интересному совпадению в жизни Хаусдорфа: он начал работать над книгой в день Сан-Иларио в небольшом городе Сан-Иларио близ Генуи. Книга содержит сонеты, стихотворения и афоризмы более или менее философского содержания. Одно из них гласит: «Когда у нас нет женщины, которую можно любить, мы любим человечество, науку или вечность […] Идеализм, который всегда отмечает отсутствие чего-то лучшего, есть заменитель эротизма».