Как мы уже говорили в предисловии, цель этой книги — не развернуть сухое и скучное обсуждение эстетической ценности математики, а продемонстрировать на примерах некоторые основные принципы математической красоты. К этому мы сейчас и приступим.
Вы уже знаете, как сложно увидеть красоту, сокрытую в математических рассуждениях. Похожие сложности возникают в попытках оценить эстетику литературы. Однако литература описывает природу человека, что несколько упрощает ее восприятие: эмоции намного ближе, понятнее и поэтому интереснее нам, чем холодность прямоугольного треугольника или экзотичность простого числа. Однако математика также имеет эмоциональную составляющую, причем более интенсивную и важную, чем можно предположить. Об этом мы поговорим в следующей главе.
Мы, математики, должны уметь использовать эмоции в той же степени, что и писатели, и переводить на математический язык, пусть и с необходимыми оговорками, некоторые приемы из арсенала романистов. Расскажем об одном из таких приемов.
Одна из главных целей любого романа и, возможно, его основное достоинство заключается в том, чтобы показать богатство, разнообразие и сложность человеческой природы. В XX веке возник стилистический прием, позволяющий достичь этой цели, — это изображение человеческого муравейника, в который неизбежно превращается любой большой город, и плотной сети взаимоотношений между его жителями. Так родились романы с великим множеством персонажей, изображавшие сложность кишащего людьми мегаполиса; эти персонажи в романе, кажется, никак не пересекаются друг с другом, но постепенно скальпель автора рассекает реальность и обнаруживает плотную сеть удивительных взаимосвязей между героями. К жемчужинам этого стиля принадлежат «Манхэттен» (1925) американского писателя Джона Дос Пассоса и «Улей» (1951) испанского писателя Камило Хосе Села, лауреата Нобелевской премии по литературе, в котором описывается 296 воображаемых и 50 реальных персонажей, хотя большинство из них появляются на сцене лишь ненадолго.
В математике достаточно часто случается так, что различные законы и теоремы кажутся далекими друг от друга, однако в итоге между ними обнаруживается неразрывная связь. Математика представляет собой единое целое, и часто всего один взгляд под правильным углом или одна блестящая идея позволяют связать и объединить результаты, которые, на первый взгляд, никак не связаны между собой. Как и в романах «Манхэттен» и «Улей», демонстрация этого богатства скрытых взаимосвязей позволяет ярче выразить красоту математики. Хорхе Вагенсберг в своей книге «Интеллектуальное наслаждение» отмечает, что поиск общего принципа в различном — важнейший источник эстетического удовольствия: «Понять, что две вещи, по сути, различные, есть в конечном итоге одно и то же, — основа понимания и редкого интеллектуального наслаждения». Оставшуюся часть этой главы мы посвятим примеру, доказывающему истинность этого суждения.
Среди великого изобилия законов, теорем и гипотез, населяющих необозримый мир элементарной математики, выберем случайным образом трех главных героев нашей истории. Как и на страницах «Улья», эти персонажи кажутся настолько далекими друг от друга, насколько это позволяет невероятная широта и многообразие математики.
Однако в конечном счете отсутствие связей оказывается мнимым.
Первый персонаж нашей истории живет в старом квартале геометрии: это построение, в котором участвуют касательные окружности. Для удобства я дам имена всем трем нашим персонажам. Не думаю, что читатель очень удивится, когда узнает, что я дал им имена героев романа «Улей». Так, я назову нашего первого героя доньей Росой. В романе Селы донья Роса — хозяйка кафе «Утеха», где происходит действие многих эпизодов романа. «Мир для доньи Росы, — пишет Села, — это ее кафе и все прочее, что находится вокруг ее кафе. Говорят, что, когда приходит весна и девушки надевают платья без рукавов, у доньи Росы начинают поблескивать глазки. Я думаю, все это болтовня: донья Роса не выпустит из рук серебряной монеты ни ради каких радостей жизни. Что весной, что осенью. Самое большое удовольствие для нее — таскать взад-вперед свои килограммы вот так, прохаживаясь между столиками»[6].
Второе действующее лицо нашей истории живет в рабочем районе приближений: это метод, позволяющий верно определить приближенное значение произвольного числа, например √2 или π, с помощью дробей. Этого персонажа я назову Мартин Марко. В романе «Улей» Мартин Марко — поэт-идеалист левых взглядов, который остался вне игры, когда закончилась гражданская война: «Мартин Марко, бледный, изможденный, в обтрепанных брюках и потертой куртке, прощается с официантом, поднеся руку к полям своей убогой, грязной серой шляпы». Мартин Марко выживает только благодаря заботам друзей и старых знакомых, питается жареными яйцами, которые тайком от мужа готовит ему сестра Фило, и ночует в свободных кроватях отдыхающих проституток борделя, который держит старая подруга его матери.
Третий и последний герой нашей истории — житель самого дорогого и эксклюзивного района математики — теории чисел. Это диофантово уравнение
p2 + q2 + r2 = 3·p·q·r,
точнее, тройки натуральных чисел, удовлетворяющие этому уравнению. Этого героя я назову Хулитой в честь героини романа, которую Села изображает несколько ветреной и легкомысленной: «Она красит волосы в рыжий цвет. Со своей пышной волнистой шевелюрой она похожа на Джин Харлоу». Хулита — племянница доньи Росы и встречается со своим ухажером в апартаментах доньи Селии. Возможно, многим пуристам из мира математики покажутся неуважительными подобные параллели между математическими понятиями и героями романа Селы.
Не отрицаю, что стремление сравнить геометрию или даже ее раздел с коварной доньей Росой, полной, нечистоплотной и эгоистичной женщиной, или сравнить рациональное приближение иррациональных чисел с мечтателем Мартином Марко, олицетворением всех неудачников, или знаменитое диофантово уравнение — с модницей Хулитой Леклерк де Моисее не лишено концептуального риска. Однако и подобные сравнения, и сопутствующий им риск — важнейший элемент игры, которую я предлагаю читателю.
Биография всех наших героев берет начало во времена древних греков, однако, как вы увидите далее, это совпадение будет не единственным и даже не самым важным. Как и в любом романе, совпадения в математике не случайны.
Донья Роса, или построения с касательными окружностями
Начнем рассказ с доньи Росы, то есть с построений с касательными окружностями.
О великом греческом геометре Аполлонии нам практически ничего не известно. Мы знаем лишь, что он родился в Перге примерно в 262 году до н. э., написал несколько важных книг, большинство из которых не сохранились, и был известен под прозвищем «великий геометр». Из всех его трудов нас интересуют «Касания» — эта книга считается утраченной и о ней известно лишь по рассказам Паппа Александрийского, датируемым III–IV веками. В «Касаниях» Аполлоний приводит решение задачи, которая позднее получила название задачи Аполлония: построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех данных точек, прямых или окружностей. И построение искомых окружностей, и число решений зависит от исходных элементов задачи (точек, прямых или окружностей) и их относительного расположения. Аполлоний, по всей видимости, привел решения для всех возможных случаев.
Первые построения с касательными окружностями возникают в случае, когда исходными элементами задачи являются три окружности. В частности, если три данные окружности касаются, задача имеет два решения: в одном из них построенная окружность будет располагаться внутри, в другом — снаружи.
Задача Аполлония в случае, когда исходными тремя фигурами являются окружности (слева), имеет два решения (справа).
В самом общем случае, когда три данные окружности не касаются друг друга, задача имеет восемь разных решений.
Для трех данных окружностей, не касающихся друг друга (слева), задача Аполлония имеет восемь решений (на рисунке в центре представлены два из них, на рисунке справа — третье).
Из множества вариантов расположения касательных окружностей рассмотрим один, особенно простой и элегантный. Окружности, расположенные таким образом, называются окружностями Форда и строятся по следующим правилам. Отметим на прямой линии значения дробей (или рациональные числа — так мы, математики, любим называть дроби), как показано на иллюстрации.
Все дроби вида р/q, которые мы рассмотрим, являются несократимыми, то есть р и q не имеют общих делителей, при этом q — положительное число. К примеру, мы будем рассматривать не дробь 5/15, а эквивалентную ей несократимую дробь 1/3. В точках, соответствующих каждой дроби p/q, мы поместим окружность радиуса 1/(2q2), которая будет касаться прямой.
Если мы будем использовать привычную систему декартовых координат для обозначения точек плоскости (читатель должен был познакомиться с декартовыми координатами в средней школе), то множество окружностей Форда будет образовано всеми окружностями с центром в точках (р/q, 1/(2q2)) и радиусом 1/(2q2).
Окружности Форда имеют немало удивительных свойств. Путем несложных расчетов можно показать, что две произвольные окружности Форда либо не пересекаются, либо касаются, как показано на двух следующих иллюстрациях.
Окружности Форда, соответствующие дробям на интервале от 0 до 1, знаменатель которых меньше или равен 7. Так, изображенные на иллюстрации окружности соответствуют следующим дробям: 0, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 1.