q, расположены на числовой прямой на одинаковом расстоянии друг от друга, равном 1/q, можно сделать вывод: для любого иррационального числа а всегда найдется дробь p/q такая, что |а — p/q| < 1/(2 — q). Мы всегда можем представить иррациональное число в виде дроби, при этом погрешность будет меньше величины, обратной удвоенному знаменателю дроби.
К примеру, если мы рассмотрим число π и q = 10 и воспользуемся калькулятором, то получим, что наиболее точное рациональное приближение числа π со знаменателем, равным 10, будет дробью 31/10. В этом случае π — 31/10 = 0,04159…, что в действительности несколько меньше, чем 1/(2·10) = 0,05. Это наиболее точное рациональное приближение со знаменателем, равным 10, из всех возможных. При других значениях знаменателя точность приближения можно значительно улучшить.
Рассмотрим q = 7. Самым точным рациональным приближением числа π дробью со знаменателем, равным 7, будет дробь Архимеда — 22/7. В этом случае |π — 22/7 | = 0,00126… Как вы можете видеть, дробь Архимеда 22/7 ближе к истинному значению π, чем приведенная выше дробь 31/10. Нечто похожее произойдет, если мы рассмотрим дроби со знаменателем, равным 113. В этом случае самым точным приближением будет дробь 355/113, полученная Цзу Чунчжи: |π — 355/113 | = 0,000000266. Если мы рассмотрим дроби со знаменателем 125, большим 113, то самым точным приближением будет 393/125, которое будет заметно хуже: |π — 393/125 | = 0,0024. Это приближение даже менее точно, чем дробь Архимеда.
Становится очевидным, что одни знаменатели подходят для приближенных значений иррациональных чисел лучше других. Вопрос заключается уже не в том, как найти точное приближение иррационального числа дробью, а как найти точное приближение дробью с правильно выбранным знаменателем.
С учетом этого немецкий математик Иоганн Петер Густав Лежён Дирихле (женатый на сестре композитора Феликса Мендельсона) в 1842 году показал, что иррациональное число всегда можно представить в виде дроби так, что ошибка будет меньше величины, обратной квадрату знаменателя дроби.
Немецкий математик Иоганн Петер Густав Лежён Дирихле (1805–1859), после смерти Гаусса сменивший его на посту главы кафедры в Гёттингене в 1855 году.
Доказательство этого утверждения элементарно и основано на «принципе ящиков», позднее названном в честь Дирихле. Принцип Дирихле представляет собой простое отражение здравого смысла: если мы хотим поместить определенное число голубей в ящики, при этом голубей больше, чем ящиков, то в конечном итоге в одном из ящиков окажется больше одного голубя. Принцип Дирихле полезен при доказательстве определенных математических результатов, среди которых — теорема Дирихле о рациональном приближении. Эта теорема звучит так: для данного иррационального числа а существует бесконечно много дробей вида p/q таких, что |a — p/q| < 1/q2. Доказательство этой теоремы приведено на следующей странице. Этот результат существенно точнее, чем тот, о котором мы говорили выше, так как с увеличением q число 1/q2 уменьшается намного быстрее, чем 1/(2·q). Результат Дирихле нельзя улучшить относительно второй степени 1/q. Это тесно связано с разделением иррациональных чисел на алгебраические и трансцендентные.
Рассмотрим √2: это иррациональное число, однако его можно достаточно просто описать последовательностью целых чисел (…, —6, —5, —4, —3, —2, —1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6…)» так как является решением уравнения с целыми коэффициентами х2 —2 = 0. Числа, которые представляют собой решения уравнения с целыми коэффициентами (вне зависимости от степени уравнения), называются алгебраическими.
* * *
ДИРИХЛЕ И «ПРИНЦИП ЯЩИКОВ»
Доказательство принципа Дирихле выглядит следующим образом. Рассмотрим произвольное иррациональное число а и выберем некоторое натуральное число N. Теперь рассмотрим числа а, 2·а, 3·а…, N·а и (N + 1)·а. Этот список содержит N + 1 число. Для каждого из них (обозначим их в общем виде k·а) найдется натуральное число рk такое, что разность k·а — рk будет лежать на интервале от 0 до 1. К примеру, если а = √5 = 2,236…, то 2·а = 4,472… и р2 будет равно 4.3·а = 6,708…, р3будет равно 6 и так далее. Теперь расположим числа от 0 до 1 в N ящиков: в первом ящике окажутся числа от 0 до 1/N, во втором — от 1/N и 2/N и так далее. В последнем ящике окажутся числа от (N — 1)/N до 1. Так как наш список чисел k·а — рk, k = 1, …, N + 1 содержит N + 1 число, лежащее на интервале от 0 до 1, и мы расположили числа от 0 до 1 в N разных ящиках, то, согласно принципу Дирихле, в одном из этих ящиков будет больше одного числа. Допустим, что числа k·а — рk и n·а — рn находятся в одном ящике. Очевидно, что разница между двумя числами в одном ящике меньше 1/N. Отсюда следует, что |k·а — рk — (n·а — рn)| < 1/N. Если теперь мы введем обозначения q = k — n и р = рk — рn, то получим: |q·а — р| < 1/N, или |а — p/q| < 1/(q·N). Так как и k, и n меньше N + 1, получим, что q меньше N. Учитывая, что это число можно считать положительным, имеем |а — p/q| < 1/q2. Так как число а иррационально, а N — произвольное натуральное число, неравенство |а — p/q| < 1/(q·N) гарантирует, что мы можем найти бесконечно много различных дробей вида p/q, удовлетворяющих неравенству |а — p/q| < 1/q2.
* * *
Каким бы монструозным нам ни казалось число
оно является алгебраическим, так как его можно представить как решение уравнения четвертой степени с целыми коэффициентами х4 + 8х — 5 = 0. Все числа, которые не являются алгебраическими, в математике называются трансцендентными. В некотором смысле они максимально далеки от натуральных чисел, которые мы используем при счете.
Самые знаменитые математические константы — обычно трансцендентные числа. Так, трансцендентными являются число π и число е, однако это было доказано лишь в конце XIX века. Трансцендентность числа π имеет удивительное следствие: задача о квадратуре круга не имеет решения. Иными словами, с помощью циркуля и линейки нельзя построить квадрат, равный по площади данному кругу. Задача о квадратуре круга не давала покоя древнегреческим математикам, однако ее решение было найдено лишь в конце XIX столетия. Если мы сравним решение математической задачи с установлением мирового рекорда, то задача о квадратуре круга стала рекордом, который не удавалось превзойти две с половиной тысячи лет!
При поиске приближения алгебраических чисел в виде дробей нельзя найти более точное приближение, чем описанное теоремой Дирихле. Если мы рассмотрим произвольное алгебраическое число а и число k, строго большее 2 (k> 2), то, за некоторыми исключениями (число этих исключений всегда будет конечным), будет выполняться неравенство |а — р/q| > 1/qk.
Это означает, что результат Дирихле нельзя улучшить относительно степени знаменателя. Однако с единицей, «сопровождающей» знаменатель, дело обстоит иначе. В 1891 году другой немецкий математик, Адольф Гурвиц, доказал, что эту константу можно заменить меньшей: 1/√5. Так, для произвольного иррационального числа а существует бесконечно много дробей вида p/q таких, что |а — p/q| < 1/(√5·q2). Гурвиц также доказал, что значение 1/√5 является минимально возможным, поскольку существует еще одна математическая константа, так называемое золотое число, описывающее золотое сечение, Ф = (1 + √5)/2.
Адольф Гурвиц (1859–1919), один из величайших математиков XX столетия, внесший особый вклад в изучение алгебраических кривых и теорию чисел.
Золотое сечение — это соотношение сторон прямоугольника совершенных пропорций. Согласно древнегреческим геометрам, прямоугольник обладает совершенными пропорциями, если при отсечении от него квадрата со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, оставшийся прямоугольник будет иметь прежнее соотношение сторон. Допустим, длина короткой стороны прямоугольника равна а, длинной стороны — b. Следовательно, длины сторон нового прямоугольника будут равны b — а и а. Соотношение сторон прямоугольника будет наиболее гармоничным при b/а = а/(Ь — а). Приняв х = b/а, имеем х = 1/(х — 1), то есть х2 — х — 1 = 0. Положительный корень этого уравнения равен золотому числу Ф = (1 + √5)/2.
Если мы отсечем от прямоугольника золотого сечения бесконечное число квадратов и будем соединять противоположные вершины этих квадратов дугами длиной в четверть окружности, получим спираль золотого сечения, изображенную ниже.
Именно такую форму имеет раковина наутилуса, в виде этой спирали располагаются семена подсолнуха, облака в ураганах и антициклонах и звезды во многих галактиках.
Форму золотой спирали имеют раковины наутилуса, ураганы и галактики.
Золотое сечение присутствует в природе повсеместно. Оно привлекало математиков, художников, архитекторов и музыкантов. Обратимся к творчеству Дюрера. Из всех художников Возрождения он, возможно, лучше всех разбирался в математике. Все, что Дюрер знал о возведении городских стен и крепостей, об использовании циркуля и угольника для измерения размеров твердых тел, о пропорциях человеческого тела и о форме букв алфавита, он изложил во множестве книг, напечатанных после его смерти. Большую часть математических знаний Дюрер получил в Италии. По рекомендации венецианского художника Якопо де Барбари он в 1506 году отправился в Болонью, где постигал тайную науку у неизвестного наставника. Многие считают, что этим учителем был монах-францисканец Лука Пачоли, который в 1494 году составил большую математическую энциклопедию XV столетия. До какой степени Дюрер проник в тайны изученной им науки, в которой золотое сечение было заветной формулой идеальных пропорций человеческого тела, можно судить по его прекрасным картинам, где изображены обнаженные Адам и Ева. Оцените разницу между головастым Адамом и пышнотелой Евой на гравюрах Дюрера 1504 года (сегодня они хранятся в венской галерее Альбертина) и ими же, прекрасными и стройными, на картинах 1507 года (они выставлены в мадридском музее Прадо).