Том 3. Квантовая механика — страница 10 из 20

§ 1. Базисные состояния для системы двух частиц со спином¹/₂

В этой главе мы займемся «сверхтонким расщеплением» водорода — интересным примером того, что мы уже в состоянии делать с помощью квантовой механики. Здесь у нас уже будут не два состояния, а больше. Поучительность этого примера в том, что он познакомит нас с методами квантовой механики, применяемыми в более сложных задачах. Сам по себе этот пример достаточно сложен, и как только вы поймете, как с ним справляться, вам сразу же станет ясно, как обобщить его на другие возможные задачи.

Как известно, атом водорода состоит из электрона и протона; электрон сидит неподалеку от протона и может существовать в одном из многих дискретных энергетических состояний, в каждом из которых его картина движения другая. Так, первое возбужденное состояние лежит на ³/₄ ридберга, или на 10 эв, выше основного состояния. Но даже так называемое основное состояние водорода на самом деле не является отдельным состоянием с определенной энергией, ибо у электрона и у протона есть спины. Эти спины и ответственны за «сверхтонкую структуру» в уровнях энергии, которая расщепляет все уровни энергии на несколько почти одинаковых уровней.

Спин электрона может быть направлен либо вверх, либо вниз; у протона тоже его собственный спин может смотреть вверх или вниз. Поэтому на всякое динамическое состояние атома приходятся четыре возможных спиновых состояния. Иначе говоря, когда физик говорит об «основном состоянии» водорода, он на самом деле имеет в виду «четыре основных состояния», а не просто самое низкое из них. У четырех спиновых состояний энергия не совсем одинакова; имеются небольшие сдвиги по отношению к тому, что наблюдалось бы в отсутствие спинов. Эти сдвиги, однако, во много-много раз меньше, чем те 10 эв, которые лежат между основным состоянием и следующим более высоким состоянием.

В итоге энергия каждого динамического состояния расщеплена на ряд очень тесных уровней — это так называемое сверхтонкое расщепление.

Разности энергий четырех спиновых состояний — это и есть то, что мы хотим рассчитать в этой главе. Сверхтонкое расщепление вызывается взаимодействием магнитных моментов электрона и протона; оно приводит для каждого спинового состояния к слегка отличающимся магнитным энергиям. Эти сдвиги энергии составляют только около десятимиллионной части электрон-вольта, что действительно много меньше 10 эв!

Именно из-за столь большого промежутка основное состояние водорода мы вправе считать «четырехуровневой системой», не заботясь о том, что на самом-то деле при более высоких энергиях состояний куда больше. Мы намерены ограничиться здесь изучением сверхтонкой структуры только основного состояния атома водорода.

Для наших целей нам неважны различные детали расположения электрона и протона, потому что все они, так сказать, уже выработаны атомом, все они получились сами собой, когда атом попал в основное состояние. Достаточно знать только, что электрон и протон находятся невдалеке друг от друга, в каком-то определенном пространственном соотношении. Кроме того, у них могут быть всевозможные взаимные ориентации спинов. И мы хотим рассмотреть только спиновые эффекты.

Первый вопрос, на который нужно ответить: каковы базисные состояния для этой системы? Но вопрос этот поставлен неправильно. Такой вещи, как единственный базис, не существует, а всякая система базисных состояний, которую вы выберете, не будет единственной. Всегда можно составить новые системы из линейных комбинаций старой. Для базисных состояний всегда есть множество выборов и все они одинаково законны.

Значит, надо спрашивать: не «каков базис?», а «каким его можно выбрать?». И выбрать вы вправе какой угодно, лишь бы вам было удобно.

Обычно лучше всего начинать с базиса, который физически наиболее очевиден. Он не обязательно должен решать какую-то задачу или быть непосредственно важным в каком-то отношении, нет, он в общем должен только облегчать понимание того, что происходит.

Мы выбираем следующие базисные состояния:

Состояние 1. И у электрона, и у протона спины смотрят вверх.

Состояние 2. У электрона спин смотрит вверх, а у протона— вниз.

Состояние 3. У электрона спин смотрит вниз, а у протона — вверх.

Состояние 4. И у электрона, и у протона спины смотрят вниз.

Для краткой записи этих четырех состояний введем следующие обозначения:

(10.1)

Помните, что первый знак плюс или минус относится к электрону, второй — к протону. Чтобы эти обозначения были у вас под рукой, они сведены на фиг. 10.1.

Фиг. 10.1. Совокупность базисных состояний для основного состояния атома водорода. Эти состояния мы обозначаем |++>, |+->, |-+>, |-->.

Временами будет удобнее обозначать эти состояния |1>, |2>, |3> и |4>.

Вы можете сказать: «Но частицы взаимодействуют, и, может быть, эти состояния вовсе не являются правильными базисными состояниями. Получается, будто вы рассматриваете обе частицы независимо». Да, действительно! Взаимодействие ставит перед нами вопрос: каков гамильтониан системы? Но вопрос о том, как описать систему, не касается взаимодействия. Что бы мы ни выбрали в качестве базиса, это никак не связано с тем, что случится после. Может оказаться, что атом не способен оставаться в одном из этих базисных состояний, даже если с него все и началось. Но это другой вопрос. Это вопрос о том, как со временем меняются амплитуды в выбранном (фиксированном) базисе. Выбирая базисные состояния, мы просто выбираем «единичные векторы» для нашего описания.

Раз уже мы коснулись этого, бросим взгляд на общую проблему отыскания совокупности базисных состояний, когда имеется не одна частица, а больше. Вы знаете базисные состояния для одной частицы. Электрон, например, полностью описывается в реальной жизни (не в наших упрощенных случаях, а в реальной жизни) заданием амплитуд пребывания в одном из следующих состояний:

или

В действительности существуют две бесконечные совокупности состояний, по одному на каждое значение р. Значит, сказать, что электронное состояние |ψ> описано полностью, можно лишь тогда, когда вы знаете все амплитуды

где + и - представляют компоненты момента количества движения вдоль какой-то оси, обычно оси z, а p — вектор импульса. Стало быть, для каждого мыслимого импульса должны быть две амплитуды (дважды бесконечная совокупность базисных состояний). Вот и все, что нужно для описания отдельной частицы.

Таким же образом могут быть написаны базисные состояния, когда частиц не одна, а больше. Например, если надо было бы рассмотреть электрон и протон в более сложном, чем у нас, случае, то базисные состояния могли бы быть следующими:

И так далее для других спиновых комбинаций. Если частиц больше двух, идея остается та же. Так что вы видите, что расписать возможные базисные состояния на самом деле очень легко. Вопрос только в том, каков гамильтониан.

Нам для изучения основного состояния водорода нет нужды применять полные совокупности базисных состояний для различных импульсов. Мы оговариваем и фиксируем определенные импульсные состояния протона и электрона, когда произносим слова «основное состояние». Детали конфигурации — амплитуды для всех импульсных базисных состояний — можно рассчитать, но это уже другая задача. А мы сейчас касаемся только влияния спина, так что ограничимся только четырьмя базисными состояниями (10.1). Очередной вопрос таков: каков гамильтониан для этой совокупности состояний?

§ 2. Гамильтониан основного состояния водорода

Через минуту вы это узнаете. Но прежде хочу вам напомнить одну вещь: всякое состояние всегда можно представить в виде линейной комбинации базисных состояний. Для любого состояния |ψ|> можно написать

(10.2)

Напомним, что полные скобки — это просто комплексные числа, так что их можно обозначить обычным образом через С_i, где i=1, 2, 3 или 4, и записать (10.2) в виде

(10.3)

Задание четверки амплитуд С_i полностью описывает спиновое состояние |ψ>. Если эта четверка меняется во времени (как это и будет на самом деле), то скорость изменения во времени дается оператором ^Н. Задача в том, чтобы найти этот оператор ^H.

Не существует общего правила, как писать гамильтониан атомной системы, и отыскание правильной формулы требует большего искусства, чем отыскание системы базисных состояний. Мы вам смогли дать общее правило, как записывать систему базисных состояний для любой задачи, в которой есть протон и электрон, но описать общий гамильтониан такой комбинации на этом уровне слишком трудно. Вместо этого мы подведем вас к гамильтониану некоторыми эвристическими рассуждениями, и вам придется признать его правильным, потому что результаты будут согласовываться с экспериментальными наблюдениями.

Вспомните, что в предыдущей главе мы смогли описать гамильтониан отдельной частицы со спином ¹/₂, применив сигма-матрицы или в точности эквивалентные им сигма-операторы. Свойства операторов сведены в табл. 10.1.

Таблица 10.1. СВОЙСТВА СИГМА-ОПЕРАТОРОВ

Эти операторы, являющиеся просто удобным, кратким способом запоминания матричных элементов типа <+|σ_z|+>, были полезны для описания поведения отдельной частицы со спином ¹/₂. Возникает вопрос, можно ли отыскать аналогичное средство для описания системы с двумя спинами. Да, и очень просто. Вот смотрите. Мы изобретем вещь, которую назовем «электрон-сигма» и которую будем представлять векторным оператором σ^e с тремя компонентами σ^e_x, σ^e_y и σ^e_z. Дальше условимся, что когда одна из них действует на какое-то из наших четырех базисных состояний атома водорода, то она действует на один только спин электрона, причем так, как если бы электрон был один, сам по себе. Пример: чему равно σ_y^е|-+>? Поскольку σ_y, действующее на электрон со спином вниз, дает -i, умноженное на состояние с электроном, у которого спин вверх, то

(Когда σ_y^е действует на комбинированное состояние, оно переворачивает электрон, не затрагивая протон, и умножает результат на -i.) Действуя на другие состояния, σ^е_у даст

Напомним еще раз, что оператор σ^е действует только на первый спиновый символ, т. е. на спин электрона.

Теперь определим соответствующий оператор «протон-сигма» для спина протона. Три его компоненты σ^p_x, σ^p_y, σ^p_z, действуют так же, как и σ^е, но только на протонный спин. Например, если σ^p_x будет действовать на каждое из четырех базисных состояний, то получится (опять с помощью табл. 10.1)

Как видите, ничего трудного.

В общем случае могут встретиться вещи и посложнее. Например, произведение операторов σ^e_yσ^p_z. Когда имеется такое произведение, то сначала делается то, что хочет правый оператор, а потом — чего требует левый[39]. Например,

Заметьте, что эти операторы с числами ничего не делают; мы использовали это, когда писали σ^e_x(-1)=(-1) σ^e_x. Мы говорим, что операторы «коммутируют» с числами или что числа «можно протащить» через оператор. Попрактикуйтесь и покажите, что произведение σ^е_хσ^p_z дает для четырех состояний следующий результат:

Если перебрать все допустимые операторы, каждый по разу, то всего может быть 16 возможностей. Да, шестнадцать, если включить еще «единичный оператор» 1. Во-первых, есть тройка σ^е_х, σ^е_y, σ^е_z, затем тройка σ^p_x, σ^p_y, σ^p_z, итого шесть. Кроме того, имеется девять произведений вида σ^е_хσ^p_y, итого 15. И еще единичный оператор, оставляющий все состояния нетронутыми. Вот и все шестнадцать!

Заметьте теперь, что для системы с четырьмя состояниями матрица Гамильтона должна представлять собой матрицу коэффициентов 4×4, в ней будет 16 чисел. Легко показать, что всякая матрица 4×4, и в частности матрица Гамильтона, может быть записана в виде линейной комбинации шестнадцати двойных спиновых матриц, соответствующих системе операторов, которые мы только что составили. Поэтому для взаимодействия между протоном и электроном, в которое входят только их спины, мы можем ожидать, что оператор Гамильтона может быть записан в виде линейной комбинации тех же 16 операторов. Вопрос только в том, как.

Но, во-первых, мы знаем, что взаимодействие не зависит от нашего выбора осей для системы координат. Если нет внешнего возмущения — чего-то вроде магнитного поля, выделяющего какое-то направление в пространстве, — то гамильтониан не может зависеть от нашего выбора направлений осей х, у и z. Это означает, что в гамильтониане не может быть таких членов, как σ^e_x сам по себе. Это выглядело бы нелепо, потому что кто-нибудь в другой системе координат пришел бы к другим результатам.

Единственно возможны только член с единичной матрицей, скажем постоянная а (умноженная на ^1), и некоторая комбинация сигм, которая не зависит от координат, некоторая «инвариантная» комбинация. Единственная скалярная инвариантная комбинация из двух векторов — это их скалярное произведение, имеющее для наших сигм вид

(10.4)

Этот оператор инвариантен по отношению к любому повороту системы координат. Итак, единственная возможность для гамильтониана с подходящей симметрией в пространстве — это постоянная, умноженная на единичную матрицу, плюс постоянная, умноженная на это скалярное произведение, т. е.

(10.5)

Это и есть наш гамильтониан. Это единственное, чему, исходя из симметрии в пространстве, он может равняться, пока нет внешнего поля. Постоянный член нам многого не сообщит; он просто зависит от уровня, который мы выбрали для отсчета энергий. С равным успехом можно было принять Е₀=0. А второй член поведает нам обо всем, что нужно для того, чтобы найти расщепление уровней в водороде.

Если угодно, можно размышлять о гамильтониане иначе. Если поблизости друг от друга находятся два магнита с магнитными моментами μ_е и μ_р, то их взаимная энергия зависит, кроме всего прочего, и от μ_е·μ_р. А мы, как вы помните, выяснили, что та вещь, которую мы в классической физике называли μ_е, в квантовой механике выступает под именем μ_eσ_e. Подобным же образом, то, что в классической физике выглядит как μ_p, в квантовой механике обычно оказывается равным μ_рσ_р (где μ_р— магнитный момент протона, который почти в 1000 раз меньше μ_е и имеет обратный знак). Значит, (10.5) утверждает, что энергия взаимодействия подобна взаимодействию двух магнитов, но не до конца, потому что взаимодействие двух магнитов зависит от расстояния между ними. Но (10.5) может считаться (и на самом деле является) своего рода средним взаимодействием. Электрон как-то движется внутри атома, и наш гамильтониан дает лишь среднюю энергию взаимодействия. В общем все это говорит о том, что для предписанного расположения электрона и протона в пространстве существует энергия, пропорциональная косинусу угла между двумя магнитными моментами (выражаясь классически). Такая классическая качественная картина может помочь вам понять, откуда все получается, но единственное что важно при этом то, что (10.5) — это правильная квантовомеханическая формула.

Порядок величины классического взаимодействия между двумя магнитами должен был бы даваться произведением двух магнитных моментов, деленным на куб расстояния между ними. Расстояние между электроном и протоном в атоме водорода, грубо говоря, равно половине атомного радиуса, т. е. 0,5Å. Поэтому можно примерно прикинуть, что постоянная А должна быть равна произведению магнитных моментов μ_е и μ_p, деленному на куб половины ангстрема. Такая пристрелка приводит к числам, попадающим как раз в нужный район. Но оказывается, что А можно подсчитать и аккуратней, стоит только разобраться в полной теории атома водорода, что нам пока не по силам. На самом деле А было подсчитано с точностью до 30 миллионных. Как видите, в отличие от постоянной переброса А молекулы аммиака, которую по теории невозможно хорошо подсчитать, наша постоянная А для водорода может быть рассчитана из более детальной теории. Но ничего не поделаешь, нам для наших теперешних целей придется считать А числом, которое может быть определено из опыта, и анализировать физику дела.

Взяв гамильтониан (10.5), можно подставить его в уравнение

(10.6)

и посмотреть, что делает спиновое взаимодействие с уровнями энергии. Для этого надо подсчитать шестнадцать матричных элементов H_ij=<i|H|j>, отвечающих любой двойке из четырех базисных состояний (10.1).

Начнем с того, что подсчитаем, чему равно ^Н|j> для каждого из четырех базисных состояний. К примеру,

(10.7)

Пользуясь способом, описанным немного раньше (вспомните табл. 10.1, она очень облегчит дело), мы найдем, что каждая пара σ делает с |++>. Ответ таков:

(10.8)

Значит, (10.7) превращается в

(10.9)

Таблица 10.2. СПИНОВЫЕ ОПЕРАТОРЫ ДЛЯ АТОМА ВОДОРОДА

А раз все наши четыре базисных состояния ортогональны, то это немедленно приводит к

Вспоминая, что Н|i>=<i|H|j>^*, мы сразу сможем написать дифференциальное уравнение для амплитуды С₁:

(10.11)

или

Вот и все! Только один член.

Чтобы теперь получить оставшиеся уравнения Гамильтона, мы должны терпеливо пройти через те же процедуры с ^H, действующим на другие состояния. Во-первых, попрактикуйтесь в проверке того, что все произведения сигм в табл. 10.2 написаны правильно. Затем с их помощью получите

(10.12)

И тогда, умножая их все по порядку слева на все прочие векторы состояний, мы получаем следующую гамильтонову матрицу H_ij:

(10.13)

Это, конечно, означает, что дифференциальные уравнения для четырех амплитуд С_i имеют вид

(10.14)

Но прежде чем перейти к их решению, трудно удержаться от того, чтобы не рассказать вам об одном умном правиле, которое вывел Дирак. Оно поможет вам ощутить, как много вы уже знаете, хотя нам в нашей работе оно и не понадобится. Из уравнений (10.9) и (10.12) мы имеем

(10.15)

«Взгляните, — сказал Дирак, — первое и последнее уравнения я могу записать также в виде

и тогда все они станут похожими. Теперь я придумаю новый оператор, который обозначу Р_{спин. обмен} и который, по определению, будет обладать следующими свойствами[40]:

Оператор этот, как видите, только обменивает направления спина у двух частиц. Тогда всю систему уравнений (10.15) я могу написать как одно простое операторное уравнение:

(10.16)

Это и есть формула Дирака. Оператор обмена спинами дает удобное правило для запоминания σ^е·σ^p. (Как видите, вы теперь уже все умеете делать. Для вас все двери открыты.)

§ 3. Уровни энергии

Теперь мы готовы к тому, чтобы вычислить уровни энергии основного состояния водорода, решая гамильтоновы уравнения (10.14). Мы хотим найти энергии стационарных состояний. Это значит, что мы должны отыскать те особые состояния |ψ>, для которых каждая из принадлежащих |ψ> амплитуд C_i=<i|ψ> обладает одной и той же зависимостью от времени, а именно е^-ωt. Тогда состояние будет обладать энергией E=ℏω. Значит, мы ищем совокупность амплитуд, для которых

(10.17)

где четверка коэффициентов а_i не зависит от времени. Чтобы увидеть, можем ли мы получить эти амплитуды, подставим (10.17) в (10.14) и посмотрим, что из этого выйдет. Каждое iℏdC_i/dt в (10.14) перейдет в EC_i. И после сокращения на общий экспоненциальный множитель каждое С_i превратится в а_i; получим

(10.18)

Это и нужно решить для отыскания a₁, а₂, а₃и а₄. Право, очень мило со стороны первого уравнения, что оно не зависит от остальных, — а это значит, что одно решение сразу видно. Если выбрать Е=А, то

даст решение. (Конечно, если принять все а равными нулю, то это тоже будет решение, но состояния оно не даст!) Будем считать наше первое решение состоянием[41] |I>:

(10.19)

Его энергия

Все это немедленно дает ключ ко второму решению, получаемому из последнего уравнения в (10.18):

Это решение мы назовем состоянием |II>:

(10.20)

Дальше пойдет чуть труднее; оставшиеся два уравнения (10.18) переплетены одно с другим. Но мы все это уже делали. Сложив их, получим

(10.21)

Вычитая, будем иметь

(10.22)

Окидывая это взглядом и припоминая знакомый нам уже аммиак, мы видим, что здесь есть два решения:

(10.23)

Это смеси состояний |2> и |3>. Обозначая их |III> и |IV> и вставляя для правильной нормировки множитель 1/√2, имеем

(10.24)

и

(10.25)

Мы нашли четверку стационарных состояний и их энергии. Заметьте, кстати, что наши четыре состояния ортогональны друг другу, так что их тоже можно при желании считать базисными состояниями. Задача наша полностью решена.

У трех состояний энергия равна А, а у последнего -3А. Среднее равно нулю, а это означает, что когда в (10.5) мы выбрали Е₀=0, то тем самым мы решили отсчитывать все энергии от их среднего значения. Диаграмма уровней энергии основного состояния водорода будет выглядеть так, как на фиг. 10.2.

Фиг. 10.2. Диаграмма уровней энергии основного состояния атомарного водорода.

Различие в энергиях между состоянием |IV> и любым из остальных равно 4A. Атом, который случайно окажется в состояний |I>, может оттуда упасть в состояние |IV> и испустить свет: не оптический свет, потому что энергия очень мала, а микроволновой квант. Или, если осветить водородный газ микроволнами, мы заметим поглощение энергии, оттого что атомы в состоянии |IV> будут ее перехватывать и переходить в одно из высших состояний, но все это только на частоте ω=4A/ℏ. Эта частота была измерена экспериментально; наилучший результат, полученный сравнительно недавно[42], таков:

(10.26)

Ошибка составляет только три стомиллиардных! Вероятно, ни одна из фундаментальных физических величин не измерена лучше, чем эта; таково одно из наиболее выдающихся по точности измерений в физике. Теоретики были очень счастливы, когда им удалось вычислить энергию с точностью до 3·10^-5; но к этому времени она была измерена с точностью до 2·10^-11,т.е. в миллион раз точнее, чем в теории. Так что экспериментаторы идут далеко впереди теоретиков. В теории основного состояния атома водорода и вы, и мы находимся в одинаковом положении. Вы ведь тоже можете взять значение А из опыта — и всякому, в конце концов, приходится делать то же самое.

Вы, вероятно, уже слышали раньше о «21-см линии» водорода. Это и есть длина волны спектральной линии в 1420 Мгц между сверхтонкими состояниями. Излучение с такой длиной волны испускается или поглощается атомарным водородным газом в галактиках. Значит, с помощью радиотелескопов, настроенных на волны 21 см (или примерно на 1420 Мгц), можно наблюдать скорости и расположение сгущений атомарного водорода. Измеряя интенсивность, можно оценить его количество. Измеряя сдвиг в частоте, вызываемый эффектом Допплера, можно выяснить движение газа в галактике. Это одна из великих программ радиоастрономии. Так что мы с вами сейчас ведем речь о чем-то очень реальном, это вовсе не какая-то искусственная задача.

§ 4. Зеемановское расщепление

Хотя с задачей отыскания уровней энергии основного состояния водорода мы и справились, мы все же продолжим изучение этой интересной системы. Чтобы сказать о ней еще что-то, например чтобы подсчитать скорость, с какой атом водорода поглощает или испускает радиоволны длиной 21 см, надо знать, что с ним происходит, когда он возмущен. Нужно проделать то, что мы сделали с молекулой аммиака, — после того как мы нашли уровни энергии, мы отправились дальше и выяснили, что происходит, когда молекула находится в электрическом поле. И после этого нетрудно оказалось представить себе влияние электрического поля радиоволны. В случае атома водорода электрическое поле ничего с уровнями не делает, разве что сдвигает их все на некоторую постоянную величину, пропорциональную квадрату поля, а нам это неинтересно, потому что это не меняет разностей энергий. На сей раз важно уже магнитное поле. Значит, следующим шагом будет написать гамильтониан для более сложного случая, когда атом сидит во внешнем магнитном поле.

Каков же этот гамильтониан? Мы просто сообщим вам ответ, потому что никакого «доказательства» дать не можем, разве что сказать, что именно так устроен атом.

Гамильтониан имеет вид

(10.27)

Теперь он состоит из трех частей. Первый член А(σ^е·σ^р) представляет магнитное взаимодействие между электроном и протоном; оно такое же, как если бы магнитного поля не было. Влияние внешнего магнитного поля проявляется в остальных двух членах. Второй член (-μ_еσ^е·В) — это та энергия, которой электрон обладал бы в магнитном поле, если бы он там был один[43]. Точно так же последний член (-μ_рσ^р·В) был бы энергией протона-одиночки. Согласно классической физике, энергия их обоих вместе была бы суммой их энергий; по квантовой механике это тоже правильно. Возникающая из-за наличия магнитного поля энергия взаимодействия равна просто сумме энергий взаимодействия электрона с магнитным полем и протона с тем же полем, выраженных через операторы сигма. В квантовой механике эти члены в действительности не являются энергиями, но обращение к классическим формулам для энергии помогает запоминать правила написания гамильтониана. Как бы то ни было, (10.27) — это правильный гамильтониан.

Теперь нужно вернуться к началу и решать всю задачу сызнова. Но большая часть работы уже сделана, надо только добавить эффекты, вызываемые новыми членами. Примем, что магнитное поле В постоянно и направлено по z. Тогда к нашему старому гамильтонову оператору ^Н надо добавить два новых куска; обозначим их ^Н':

Пользуясь табл. 10.1, мы сразу получаем

(10.28)

Смотрите, как удобно! Оператор Н', действуя на каждое состояние, дает просто число, умноженное на это же состояние. В матрице <i|H'|j> есть поэтому только диагональные элементы, и можно просто добавить коэффициенты из (10.28) к соответствующим диагональным членам в (10.13), так что гамильтоновы уравнения (10.14) обращаются в

(10.29)

Форма уравнений не изменилась, изменились только коэффициенты. И пока В не меняется со временем, можно все делать так же, как и раньше.

Подставляя C_i=a_ie^-(i/ℏ)Et, мы получаем

(10.30)

К счастью, первое и четвертое уравнения по-прежнему не зависят от остальных, так что снова пойдет в ход та же техника. Одно решение — это состояние |I>, для которого

или

(10.31)

Другое решение

(10.32)

Для остальных двух уравнений потребуется больше работы, потому что коэффициенты при а₂ и a₃ уже не равны друг другу. Но зато они очень похожи на ту пару уравнений, которую мы писали для молекулы аммиака. Оглядываясь на уравнения (7.20) и (7.21), можно провести следующую аналогию (помните, что тамошние индексы 1 и 2 соответствуют здесь индексам 2 и 3):

(10.33)

Раньше энергии давались формулой (7.25), которая имела вид

(10.34)

Подставляя сюда (10.33), получаем для энергии

В гл. 7 мы привыкли называть эти энергии Е_I и Е_II, теперь мы их обозначим Е_III и E_IV:

(10.35)

Итак, мы нашли энергии четырех стационарных состояний атома водорода в постоянном магнитном поле. Проверим наши выкладки, для чего устремим В к нулю и посмотрим, получатся ли те же энергии, что и в предыдущем параграфе. Вы видите, что всё в порядке. При В=0 энергии Е_I, Е_II и Е_III обращаются в +А, а E_IV — в -3А. Даже наша нумерация состояний согласуется с прежней. Но когда мы включим магнитное поле, то каждая энергия начнет меняться по-своему. Посмотрим, как это происходит.

Во-первых, напомним, что у электрона μ_е отрицательно и почти в 1000 раз больше μ_р, которое положительно. Значит, и μ_e+μ_p, и μ_e-μ_p оба отрицательны и почти равны друг другу. Обозначим их -μ и -μ':

(10.36)

(И μ, и μ' положительны и по величине почти совпадают с μ_е, которое примерно равно одному магнетону Бора.) Наша четверка энергий тогда обратится в

(10.37)

Энергия Е_I вначале равна А и линейно растет с ростом В со скоростью μ. Энергия Е_II тоже вначале равна A, но с ростом В линейно убывает, наклон ее кривой равен -μ. Изменение этих уровней с В показано на фиг. 10.3. На рисунке показаны также графики энергий Е_III и E_IV. Их зависимость от В иная. При малых В они зависят от В квадратично; вначале наклон их равен нулю, а затем они начинают искривляться и при больших В приближаются к прямым с наклоном ±μ', близким к наклону E_I и Е_II

Сдвиг уровней энергии атома, вызываемый действием магнитного поля, называется эффектом Зеемана. Мы говорим, что кривые на фиг. 10.3 показывают зеемановское расщепление основного состояния водорода.

Фиг. 10.3. Уровни энергии основного состояния водорода в магнитном поле В. Кривые E_IIIи Е_IVприближаются к пунктирным прямым А±μ'В.

Когда магнитного поля нет, то просто получается одна спектральная линия от сверхтонкой структуры водорода. Переходы между состоянием |IV> и любым из остальных трех происходят с поглощением или испусканием фотона, частота которого равна 1420 Мгц: 1/ℏ, умноженной на разность энергий 4A. Но когда атом находится в магнитном поле В, то линий получается гораздо больше. Могут происходить переходы между любыми двумя из четырех состояний. Значит, если мы имеем атомы во всех четырех состояниях, то энергия может поглощаться (или излучаться) в любом из шести переходов, показанных на фиг. 10.4 вертикальными стрелками.

Фиг. 10.4. Переходы между уровнями энергии основного состояния водорода в некотором магнитном поле В.

Многие из этих переходов можно наблюдать с помощью техники молекулярных пучков Раби, которую мы описывали в гл. 35, § 3 (вып.7).

Что же является причиной переходов? Они возникают, если наряду с сильным постоянным полем B приложить малое возмущающее магнитное поле, которое меняется во времени. То же самое мы наблюдали и при действии переменного электрического поля на молекулу аммиака. Только здесь виновник переходов — это магнитное поле, действующее на магнитные моменты. Но теоретические выкладки те же самые, что и в случае аммиака. Проще всего они получаются, если взять возмущающее магнитное поле, вращающееся в плоскости ху, хотя то же будет от любого осциллирующего горизонтального поля. Если вы вставите это возмущающее поле в качестве добавочного члена в гамильтониан, то получите решения, в которых амплитуды меняются во времени, как это было и с молекулой аммиака. Значит, вы сможете легко и аккуратно рассчитать вероятность перехода из одного состояния в другое. И обнаружите, что все это согласуется с опытом.

§ 5. Состояния в магнитном поле

Теперь займемся формой кривых на фиг. 10.3. Во-первых, если говорить о больших полях, то зависимость энергии от поля довольно интересна и легко объяснима. При достаточно больших В (а именно при μB/A≫1) в формулах (10.37) можно пренебречь единицей. Четверка энергий принимает вид

(10.38)

Это уравнения четырех прямых на фиг. 10.3. Эти формулы можно физически понять следующим образом. Природа стационарных состояний в нулевом поле полностью определяется взаимодействием двух магнитных моментов. Перемешивание базисных состояний |+-> и |-+> в стационарных состояниях |III> и |IV> вызвано этим взаимодействием. Однако вряд ли можно ожидать, что каждая из наших частиц (и протон, и электрон) в сильных внешних полях будет испытывать влияние поля другой частицы; каждая будет действовать так, как если бы во внешнем поле находилась она одна. Тогда (как мы уже много раз видели) спин электрона окажется направленным вдоль внешнего магнитного поля (по нему или против него).

Пусть спин электрона направлен вверх, т. е. вдоль поля; энергия его будет -μ_eB. Протон при этом может стоять по-разному. Если у него спин тоже направлен вверх, то его энергия -μ_pB. Их сумма равна -(μ_е+μ_р)B=μB. А это как раз и есть E_I, и это очень приятно, потому что мы описываем состояние |++>=|I>. Есть еще небольшой дополнительный член А (теперь (μB≫A), представляющий энергию взаимодействия протона и электрона, когда их спины параллельны. (Мы с самого начала считали А положительным, потому что так должно было быть по теории, о которой шла речь; то же получается и на опыте.) Но спин протона может быть направлен и вниз. Тогда его энергия во внешнем поле обратится в +μ_РB, а вместе с электроном их энергия будет -(μ_e-μ_р) В=μВ. А энергия взаимодействия обращается в -А. Их сумма даст энергию Е_III, в (10.38). Так что состояние |III> в сильных полях становится состоянием |+->.

Пусть теперь спин электрона направлен вниз. Его энергия во внешнем поле равна μ_eВ. Если и протон смотрит вниз, то их общая энергия равна (μ_e+μ_p)В=-μВ плюс энергия взаимодействия А (спины-то теперь параллельны). Это приводит как раз к энергии Е_II в (10.38) и соответствует состоянию |-->=|II>, что очень мило. И наконец, если у электрона спин направлен вниз, а у протона — вверх, то мы получим энергию (μ_e-μ_p)В-А (минус А потому, что спины противоположны), т. е. E_IV. А состояние отвечает |-+>.

«Погодите минутку, — вероятно, скажете вы.— «Состояния |III> и |IV> — это не состояния |+-> и |-+>; они являются их смесями». Верно, но перемешивание здесь едва заметно. Действительно, при B=0 они являются смесями, но мы пока не выясняли, что бывает при больших В. Когда мы для получения энергии стационарных состояний пользовались аналогией между (10.33) и формулами гл. 7, то заодно можно было оттуда взять и амплитуды. Они получатся из (7.23):

Отношение a₂/a₃ — это, конечно, на сей раз C₂/C₃ Вставляя аналогичные величины из (10.33), получаем

или

(10.39)

где вместо Е надо взять подходящую энергию (либо Е_III, либо E_IV). Например, для состояния |III> имеем

(10.40)

Значит, при больших В у состояния |III>С₂≫С₃; состояние почти полностью становится состоянием |2>=|+->. Точно так же если в (10.39) подставить E_IV, то получится, что (С₂/С₃)_IV≪1; в сильных полях состояние |IV> обращается попросту в состояние |3>=|-+>. Вы видите, что коэффициенты в линейных комбинациях наших базисных состояний, составляющих стационарные состояния, сами зависят от В. Состояние, которое мы именуем |III>, в очень слабых полях представляет собой смесь |+-> и |-+> в пропорции 1:1, но в сильных полях целиком смещается к |+->. Точно так же и состояние |IV>, которое в слабых полях также является смесью |+-> и |-+> в пропорции 1:1 (с обратным знаком), переходит в состояние |-+>, когда спины из-за сильного внешнего поля больше друг с другом не связаны.

Хотелось бы обратить ваше внимание, в частности, на то, что происходит в очень слабых магнитных полях. Имеется одна энергия (-3А), которая не изменяется при включении слабого магнитного поля. И имеется другая энергия (+А), которая при включении слабого магнитного поля расщепляется на три различных уровня энергии. В слабых полях энергии с ростом В меняются так, как показано на фиг. 10.5.

Фиг. 10.5. Состояния атома водорода в слабых магнитных полях.

Допустим, что у нас есть каким-то образом отобранное множество атомов водорода, у которых у всех энергия равна -3А. Если пропустить их через прибор Штерна—Герлаха (с не очень сильными полями), то мы найдем, что они просто проходят целиком насквозь. (Поскольку их энергия не зависит от В, то, согласно принципу виртуальной работы, градиент магнитного поля не создает никакой силы, которая бы ощущалась ими.) Пусть, с другой стороны, мы бы отобрали группку атомов с энергией +А и пропустили их через прибор Штерна—Герлаха, скажем через прибор S. (Опять поля в приборе не должны быть столь сильными, чтобы разрушить внутренность атома; подразумевается, что поля малы настолько, что энергии можно считать линейно зависящими от В.) Мы бы получили три пучка. На состояния |I> и |II> действуют противоположные силы, их энергии меняются по В линейно с наклоном ±μ, так что силы сходны с силами, действующими на диполь, у которого μ_z=±μ, а состояние |III> проходит насквозь. Мы опять возвращаемся к гл. 3. Атом водорода с энергией +А — это частица со спином 1. Это энергетическое состояние является «частицей», для которой j=1, и может быть описано (по отношению к некоторой системе осей в пространстве) в терминах базисных состояний |+S>, |0S> и |-S>, которыми мы пользовались в гл. 3. С другой стороны, когда атом водорода имеет энергию -3А, он является частицей со спином нуль. (Напоминаем, что все сказанное, строго говоря, справедливо лишь для бесконечно малых магнитных полей.) Итак, состояния водорода в нулевом магнитном поле можно сгруппировать следующим образом:

(10.41)

(10.42)

В гл. 35 (вып. 7) мы говорили, что у всякой частицы компоненты момента количества движения вдоль любой оси могут принимать только определенные значения, всегда отличающиеся на ℏ. Так, z-компонента момента количества движения J_z может быть равна jℏ, (j-1)ℏ, (j-2)ℏ,..., (-j)ℏ, где j — спин частицы (который может быть целым или полуцелым). Обыкновенно пишут

(10.43)

где m стоит вместо любого из чисел j, j-1, j-2, ...,-j (в свое время мы не сказали об этом). Вы поэтому часто встретите в книжках нумерацию четырех основных состояний при помощи так называемых квантовых чисел j и m [часто именуемых «квантовым числом полного момента количества движения» (j) и «магнитным квантовым числом» (m)]. Вместо наших символов состояний |I>, |II> и т. д. многие часто пишут состояния в виде |j, m>. Нашу табличку состояний для нулевого поля в (10.41) и (10.42) они бы изобразили в виде табл. 10.3. Здесь нет какой-либо новой физики, это просто вопрос обозначении.

Таблица 10.3. СОСТОЯНИЯ АТОМА ВОДОРОДА В НУЛЕВОМ ПОЛЕ

§ 6. Проекционная матрица для спина 1[44]

Теперь мы хотели бы применить наши знания об атоме водорода к одной специальной задаче. В гл. 3 мы говорили о том, что частица со спином 1, находящаяся в одном из базисных состояний (+, 0, -) по отношению к прибору Штерна—Герлаха с какой-то частной ориентацией (скажем, по отношению к прибору S), будет иметь определенную амплитуду пребывания в одном из трех состояний по отношению к прибору Т, ориентированному в пространстве по-другому. Имеются девять таких амплитуд <jT|iS>, которые вместе образуют проекционную матрицу. В гл. 3, § 7, мы без доказательства выписали элементы этой матрицы для различных ориентации Т по отношению к S. Теперь мы хотим показать вам один из способов их вывода.

В атоме водорода мы с вами отыскали систему со спином 1, составленную из двух частиц со спином ¹/₂. В гл. 4 мы уже научились преобразовывать амплитуды для спина ¹/₂. Эти знания можно применить к тому, чтобы получить преобразование для спина 1. Вот как это делается: имеется система (атом водорода с энергией +А) со спином 1. Пусть мы пропустили ее сквозь фильтр S Штерна—Герлаха так, что знаем теперь, что она находится в одном из базисных состояний по отношению к S, скажем в |+S>. Какова амплитуда того, что она окажется в одном из базисных состояний, скажем |+T>, по отношению к прибору Т? Если вы назовете систему координат прибора S системой х, у, z, то состояние |+S> — это то, что недавно называлось состоянием |++>. Но представьте, что какой-то ваш приятель провел свою ось z вдоль оси Т. Он свои состояния будет относить к некоторой системе х', у', z'. Его состояния «вверх» и «вниз» для электрона и протона отличались бы от ваших. Его состояние «плюс — плюс», которое можно записать |+'+'>, отмечая «штрихованность» системы, есть состояние |+Т> частицы со спином 1. А вас интересует <+T|+S>, что есть просто иной способ записи амплитуды <+'+'|++>.

Амплитуду <+'+'|++> можно найти следующим образом. В вашей системе спин электрона из состояния |++> направлен вверх. Это означает, что у него есть некоторая амплитуда <+'|+>_e оказаться в системе вашего приятеля спином вверх и некоторая амплитуда <-'|+>_е оказаться в этой системе спином вниз. Равным образом, протон в состоянии |++> имеет спин вверх в вашей системе и амплитуды <+'|+>_р и <-'|+>_p оказаться спином вверх или вниз в «штрихованной» системе. Поскольку мы говорим о двух разных частицах, то амплитуда того, что обе частицы вместе в его системе окажутся спинами вверх, равна произведению амплитуд

(10.44)

Мы поставили значки е и р под амплитудами <+'|+>, чтоб было ясно, что мы делаем. Но обе они — это просто амплитуды преобразований для частицы со спином ¹/₂, так что на самом деле — это одни и те же числа. Фактически — это те же амплитуды, которые мы в гл. 4 называли <+Т|+S> и которые мы привели в табл. 4.1 и 4.2.

Но теперь, однако, нам угрожает путаница в обозначениях. Надо уметь различать амплитуду <+T|+S> для частицы со спином¹/₂ от того, что мы также назвали <+T|+S>, но для спина 1—между ними нет ничего общего! Надеюсь, вас не очень собьет с толку, если мы на время введем иные обозначения амплитуд для спина ¹/₂. Они приведены в табл. 10.4. Для состояний частиц спина 1 мы по-прежнему будем прибегать к обозначениям |+S>, |0S> и |-S>.

Таблица 10.4. АМПЛИТУДЫ для СПИНА ¹/₂

В наших новых обозначениях (10.44) просто превращается в

Это как раз амплитуда <+T|+S> для спина 1. Теперь давайте, например, предположим, что у вашего приятеля система координат, т. е. «штрихованный» прибор Т, повернута вокруг вашей оси z на угол φ; тогда из табл. 4.2 получается

Значит, из (10.44) амплитуда для спина 1 окажется равной

(10.45)

Теперь вам понятно, как мы будем действовать дальше.

Но хорошо бы провести выкладки в общем случае для всех состояний. Если протон и электрон в нашей системе (системе S) оба смотрят вверх, то амплитуды того, что в другой системе (системе Т) они будут в одном из четырех возможных состояний, равны

(10.46)

Затем мы можем записать состояние |++> в виде следующей линейной комбинации:

(10.47)

Но теперь мы замечаем, что |+'+'> — это состояние |+Т>, что {|+ '-'> + |-'+'>} — это как раз √2, умноженный на состояние |0T> [см. (10.41)], и что |-'-'>=|-Т>. Иными словами, (10.47) переписывается в виде

(10.48)

Точно так же легко показать, что

(10.49)

С |0S> дело обстоит чуть посложнее, потому что

Но каждое из состояний |+-> и |-+> можно выразить через «штрихованные» состояния и подставить в сумму:

(10.50)

и

(10.51)

Умножая сумму (10.50) и (10.51) на 1/√2, получаем

Отсюда следует

(10.52)

Теперь у нас есть все необходимые амплитуды. Коэффициенты в (10.48), (10.49) и (10.52) —это матричные элементы <jТ|iS>. Сведем их в одну матрицу:

(10.53)

Мы выразили преобразование спина 1 через амплитуды а, b, с и d преобразования спина ¹/₂.

Если, например, система Т повернута по отношению к S на угол α вокруг оси у (см. фиг. 3.6, стр. 64), то амплитуды в табл. 10.4—это просто матричные элементы R_y(α) в табл. 4.2:

(10.54)

Подставив их в (10.53), получим формулы (3.38), которые приведены на стр. 80 без доказательства.

Но что же случилось с состоянием |IV>?! Это система со спином нуль; значит, у нее есть только одно состояние — оно во всех системах координат одно и то же. Можно проверить, что все так и выходит, если взять разность (10.50) и (10.51); получим

Но (ad-bc) — это определитель матрицы для спина ¹/₂, он просто равен единице. Получается

при любой относительной ориентации двух систем координат.

Выпуск 9. Квантовая механика. Часть 2