Том 3. Квантовая механика — страница 15 из 20

[58]

Повторить: гл. 52 (вып. 4) «Симметрия законов физики»

§ 1. Симметрия

В классической физике немало величин (таких, как импульс, энергия и момент количества движения) сохраняется. Теоремы о сохранении соответствующих величин существуют и в квантовой механике. Самое прекрасное в квантовой механике это то, что теоремы сохранения в определенном смысле удается в ней вывести из чего-то другого; в классической же механике они сами практически являются исходными для других законов. (Можно, правда, и в классической механике поступать так же, как в квантовой, но это удается только на очень высоком уровне.) В квантовой механике, однако, законы сохранения очень тесно связаны с принципом суперпозиции амплитуд и с симметрией физических систем относительно различных изменений. Это и есть тема настоящей лекции. Хотя идеи эти мы будем применять главным образом к сохранению момента количества движения, но существенно здесь то, что все теоремы о сохранении каких угодно величин всегда связаны — в квантовой механике — с симметриями системы.

Начнем поэтому с изучения вопроса о симметриях систем. Очень простым примером служат молекулярные ионы водорода (впрочем, в равной степени подошли бы и молекулы аммиака), у которых имеется по два состояния. У молекулярного иона водорода за одно базисное состояние мы принимали такое состояние, когда электрон расположен возле протона № 1, а за другое базисное состояние то, в котором электрон располагался возле протона № 2. Эти два состояния (мы их называли |1> и |2>) мы снова показываем на фиг. 15.1, а.

Фиг. 15.1. Если состояния |1> и |2> отразить в плоскости Р—Р, они перейдут соответственно в состояния |2> и |1>.

И вот, поскольку оба ядра в точности одинаковы, в этой физической системе имеется определенная симметрия. Иначе сказать, если бы нам пришлось отразить систему в плоскости, поставленной посредине между двумя протонами (имеется в виду, если бы все находящееся с одной стороны плоскости симметрично перешло на другую сторону), то возникла бы картина, представленная на фиг. 15.1, б. А коль скоро протоны тождественны, операция отражения переводит |1> в |2>, а |2> в |1>. Обозначим эту операцию отражения ^P и напишем

(15.1)

Значит, наше ^P — это оператор, в том смысле, что он «что-то делает» с состоянием, чтобы вышло новое состояние. Интересно здесь то, что ^P, действуя на любое состояние, создает какое-то другое состояние системы.

Далее, у ^P, как у всякого другого оператора, с которыми мы встречались, есть матричные элементы, которые можно определить с помощью обычных очевидных обозначений. Именно

суть матричные элементы, которые получаются, если ^P |1> и

^P|2> умножить слева на <1|. Согласно уравнению (15.1), они равны

(15.2)

Таким же путем можно получить и Р₂₁, и Р₂₂. Матрица ^P относительно базисной системы|1> и |2> есть

(15.3)

Мы снова убеждаемся, что слова оператор и матрица в квантовой механике практически взаимозаменяемы. Есть, конечно, легкие технические различия, как между словами «числительное» и «число», но мы не такие педанты, чтобы забивать себе этим голову. Так что будем именовать ^P то оператором, то матрицей, независимо от того, определяет ли оно операцию или реально использовано для получения численной матрицы.

Теперь мы хотели бы кое на что обратить ваше внимание. Предположим, что физика всей системы молекулярного иона водорода сама по себе симметрична. Этого могло бы и не быть — это зависит, например, от того, что находится с нею рядом. Но если система симметрична, то с необходимостью должна быть справедлива следующая идея. Предположим, что вначале, при t=0, система находится в состоянии |1>, а через промежуток времени t мы обнаруживаем, что система оказалась в более сложном положении — в какой-то линейной комбинации обоих базисных состояний. Вспомните, что в гл. 6 (вып. 8) мы привыкли представлять «эволюцию во времени» умножением на оператор ^U. Это означает, что система через мгновение (скажем для определенности, через 15 сек) окажется в каком-то ином состоянии.

Например, это состояние на √²/₃ может состоять из состояния |1> и на i√¹/₃ из состояния |2>, и мы бы написали

(15.4)

Теперь спросим: что же произойдет, если вначале мы запустим систему в симметричном состоянии |2> и при тех же условиях подождем 15 сек? Ясно, что если мир симметричен (что мы и предполагаем), то обязательно получится состояние, симметричное с (15.4):

(15.5)

Те же идеи схематично изображены на фиг. 15.2.

Фиг. 15.2. Если в симметричной системе чистое состояние |1> развивается во времени так, как показано в части (а), то чистое состояние |2> будет во времени развиваться так, как показано в части (б).

Итак, если физика системы симметрична относительно некоторой плоскости и мы рассчитали поведение того или иного состояния, то нам также известно поведение состояния, которое получилось бы после отражения исходного состояния в плоскости симметрии.

То же самое можно высказать чуть более общо, т. е. чуть более отвлеченно. Пусть ^Q — любая из множества операций, которые вы можете произвести над системой, не меняя физики. К примеру, за ^Q мы можем принять операцию отражения в плоскости, расположенной посредине между двумя атомами молекулы водорода. Или в системе с двумя электронами можно было бы под ^Q подразумевать операцию обмена двумя электронами. Третьей возможностью явилась бы в сферически симметричной системе операция поворота всей системы на конечный угол вокруг некоторой оси; от этого физика не изменится. Конечно, в каждом отдельном случае мы бы обозначали ^Q по-своему. В частности, через ^R_y(θ) мы обычно будем обозначать операцию «поверни систему вокруг оси у на угол θ». Под ^Q мы просто понимаем один из названных операторов или любой другой, который оставляет всю физическую ситуацию неизменной. Оператор ^Q мы будем называть оператором симметрии для системы.

Вот вам еще примеры операторов симметрии. Если у нас имеется атом, а внешнее магнитное или внешнее электрическое поле отсутствует, то после поворота системы координат вокруг любой оси физическая система остается той же самой. Опять-таки молекула аммиака симметрична относительно отражения в плоскости, параллельной той, в которой лежат три атома водорода (пока нет электрического поля). Если есть электрическое поле, то при отражении надо было бы обратить и поле, а это меняет всю физическую задачу. Но пока внешнего поля нет, молекула симметрична.

Теперь рассмотрим общий случай. Положим, мы начали с состояния |ψ₁>, а через некоторое время или под влиянием других физических условий оно превратилось в состояние |ψ₂>. Напишем

(15.6)

[Посмотрите на формулу (15.4).] Теперь вообразите, что над всей системой мы проводим операцию ^Q. Состояние |ψ₁> преобразится в состояние |ψ'₁>, которое также записывается в виде ^Q|ψ₁>. А состояние |ψ₂> превращается в |ψ'₂>=^Q|ψ₂>. И вот, если физика симметрична относительно ^Q (не забывайте про это, если это отнюдь не общее свойство системы), тогда, подождав в тех же условиях то же время, мы должны получить

е m — некоторое веществе(15.7)

[Как в (15.5).] Но вместо |ψ'₁> можно написать ^Q|ψ₁>, а вместо |ψ₂> написать ^Q |ψ₂>, так что (15.7) переписывается в виде

(15.8)

Теперь, если |ψ₂> заменить на ^U |ψ₁> [см. (15.6)], то получим

(15.9)

Нетрудно понять, что это значит. В отношении атома водорода это означает, что «отразить и после немного подождать» [правая часть (15.9)] — это то же самое, что «немного подождать, а после отразить» [левая часть (15.9)]. Они должны совпасть, если только ^U при отражении не меняется.

А поскольку (15.9) справедливо при любом исходном состоянии |ψ₁>, то на самом деле это уравнение для операторов

(15.10)

Это-то мы и хотели получить — математическую формулировку симметрии. Когда соблюдается (15.10), мы говорим, что операторы ^U и ^Q коммутируют. Тогда «симметрию» можно определить следующим образом: физическая система симметрична относительно операции ^Q, когда ^Q коммутирует с ^U (с операцией прошествия времени). [На языке матриц произведение двух операторов равнозначно матричному произведению, так что (15.10) в системе, симметричной относительно преобразования ^Q, выполняется и для матриц ^Q и ^U.]

Кстати, поскольку для бесконечно малого времени 8 мы имеем [7=1 — i^Hε/ℏ, где ^H — обычный гамильтониан [см. гл. 6 (вып. 8)], то легко видеть, что когда (15.10) выполнено, то выполнено и

(15.11)

Так что (15.11) есть математическая формулировка условий на симметричность физической ситуации относительно оператора ^Q. Она определяет симметрию.

§ 2. Симметрия и ее сохранение

Прежде чем применять только что найденный результат, хотелось бы еще немного вникнуть в идею симметрии. Положим, что стечение обстоятельств таково, что после действия оператора ^Q на состояние получается опять то же состояние. Это очень частный случай, но все же допустим, что так сложилось, что состояние |ψ'>=^Q|ψ₀>. физически совпадает с состоянием |ψ₀>. Это значит, что |ψ'> равняется |ψ₀>, если не считать некоторого фазового множителя[59]. Как это себе представлять? Пусть, например, имеется ион H₂⁺ в состоянии, которое мы когда-то обозначали |I>. У этого состояния имеется одинаковая амплитуда побывать в базисных состояниях |1> и |2>. Вероятности показаны столбиками на фиг. 15.3, а.

Фиг. 15.3. Состояние |I> и состояние ^P|I>, получаемые отражением |I> в плоскости, проходящей посредине между атомами в ионе Н₂⁺.

Если мы на состояние |I> подействуем оператором отражения ^P, он перевернет его, поменяв местами |1> с|2>, а |2> с|1>; получатся вероятности, показанные на фиг. 15.3,б. Перед нами опять состояние |I>. Если начать с состояния |II>, то вероятности до и после отражения будут выглядеть тоже одинаково. Правда, если посмотреть на амплитуды, то разница все же есть. У состояния |I> после отражения амплитуды останутся теми же, у состояния |II> они приобретут противоположный знак. Иными словами,

(15.12)

Если написать ^P|ψ₀>=e^iδ|ψ₀>, то у состояния |I> мы имеем е^iδ=1, а у состояния |II> имеем е^iδ=-1.

Возьмем другой пример. Пусть у нас есть правополяризованный по кругу фотон, распространяющийся в направлении z. Если мы совершим операцию поворота вокруг оси z, то, как мы знаем, это просто приведет к умножению амплитуды на e^iφ, где φ — угол поворота. Значит, в этом случае для операции поворота δ просто равно углу поворота.

Далее, ясно, что если оказывается верным, что оператор ^Q в какой-то момент времени просто меняет фазу состояния (скажем, в момент t=0), то это будет верно всегда. Иначе говоря, если состояние |ψ₁> переходит за время t в состояние |ψ₂>:

(15.13)

и если симметрия физической картины такова, что

(15.14)

то верно и то, что

(15.15)

Это ясно, ведь

и если ^Q|ψ₁>=е^iδ|ψ₁>, то

[Верхние равенства следуют из (15.13) и (15.10) для симметричной системы, нижние — из (15.14) и из того, что всякое число, скажем е^iδ, коммутирует с оператором.]

Итак, при некоторых симметриях то, что верно сначала, верно всегда. Но разве это не закон сохранения? Да! Он утверждает, что если вы взглянете на исходное состояние и, проделав где-то в стороне небольшой подсчет, откроете, что операция, которая является операцией симметрии для системы, приводит только к умножению на некоторый фазовый множитель, то вы будете уверены, что это же свойство будет выполнено для конечного состояния — та же операция умножит и конечное состояние на тот же фазовый множитель. Это будет верно всегда, даже если вы ничего не знаете о том внутреннем механизме мира, который изменяет систему от начального состояния к конечному. Даже если вы не позаботились вглядеться в детали того, каким именно способом система переходит от одного состояния к другому, вы все равно имеете право говорить, что если вещь вначале находилась в состоянии с определенным характером симметрии и если гамильтониан этой вещи симметричен относительно этой операции симметрии, тогда тот же характер симметрии останется у состояния на вечные времена. Это основа всех законов сохранения квантовой механики.

Рассмотрим частный пример. Возьмем опять оператор ^P. Сперва, правда, немножко изменим определение операции Р. Пусть ^P будет не просто зеркальным отражением, потому что оно требует определения плоскости, в которой поставлено зеркало. Существует особый вид отражения, который указания плоскости не требует. Переопределим операцию ^P таким образом: сперва вы отражаете в зеркале, находящемся в плоскости z, так что z переходит в -z, x остается х, а у остается у; затем вы поворачиваете систему на угол 180° вокруг оси z, так что х переходит в -х, а у в -у. Все вместе называется инверсией, обращением координат. Каждая точка проецируется через начало координат в диаметрально противоположное положение. Все координаты всего на свете меняют знак. Эту операцию мы, как и прежде, будем обозначать символом Р. Она изображена на фиг. 15.4 и немного удобнее, чем простая операция отражения, потому что не нужно указывать, в какой координатной плоскости происходит отражение, достаточно лишь указать точку, являющуюся центром симметрии.

Фиг. 15.4. Операция инверсии ^P. То, что находится в точке A(х, у, z), переходит в точку А'(-х, -у, -z).

Теперь предположим, что у нас есть состояние |ψ₀>, которое при операции инверсии переходит в е^iδ|ψ₀>, т. е.

(15.16)

Сделаем теперь новую инверсию. После двух инверсий мы вернемся к тому, с чего начали: ничего не изменится. Должно получиться

Но

Отсюда следует, что (е^iδ)²=1. Значит, если оператор инверсии является операцией симметрии для какого-то состояния, то у δ могут быть только две возможности:

а это означает, что или

(15.17)

В классической физике, если состояние симметрично относительно инверсии, то эта операция дает опять то же состояние. А в квантовой механике имеются две возможности: получается либо то же состояние, либо минус то же состояние. Когда получается то же состояние, ^P|ψ₀>=|ψ₀>, мы говорим, что у состояния |ψ₀>четность положительна. Если знак меняется, так что ^P|ψ₀>=-|ψ₀>, мы говорим, что четность состояния отрицательна. (Оператор инверсии ^P известен также как оператор четности.) Состояние |I> иона Н₂⁺ обладает положительной четностью; состояние же |II> — отрицательной [см. (15.12)]. Бывают, конечно, состояния, не симметричные относительно операции ^P; это состояния без определенной четности. Например, в системе Н₂⁺ состояние |I> имеет положительную четность, состояние |II> — отрицательную, а состояние |1> определенной четности не имеет.

Когда мы говорим о том, что операция (например, инверсия) была совершена «над физической системой», то это можно представлять себе двояким образом. Можно считать, что все, что было в точке r, физически сдвинулось в обратную точку -r; или можно считать, что мы смотрим на ту же систему из новой системы отсчета х', y', z', связанной со старой формулами х'=-х, у'=-у и z'=-z. Точно так же, когда мы говорим о поворотах, то можно либо считать, что мы поворачиваем целиком всю физическую систему, либо что поворачиваем систему координат, в которой мы измеряем нашу систему, оставляя последнюю закрепленной в пространстве. Эти две точки зрения по существу равноценны. Они равноценны и при повороте, только поворот системы на угол θ подобен повороту системы отсчета на отрицательный угол —θ. В нашем курсе мы обычно смотрели, что получается, когда берется проекция на новую систему осей. То, что при этом получается, совпадает с тем, что получится, если мы оставим оси прежними и повернем тело на столько же назад. Когда вы это делаете, не забудьте поменять знаки углов[60].

Многие законы физики (но не все) не меняются при отражении или инверсии координат. Они симметричны по отношению к инверсии. Законы электродинамики, например, не изменяются, если мы меняем x на -х, у на -у и z на -z во всех уравнениях. То же относится и к законам тяжести, и к сильным взаимодействиям ядерной физики. Только у слабых взаимодействий, ответственных за β-распад, нет такой симметрии. [Мы обсуждали это несколько подробнее в гл. 52 (вып. 4).] Но мы сейчас пренебрежем β-распадом. Тогда в любой физической системе, на которую, как можно думать, β-распад не оказывает заметного влияния (в качестве примера возьмем испускание света атомом), гамильтониан ^H и оператор ^P будут коммутировать. В этих обстоятельствах верно следующее утверждение. Если четность состояния вначале положительна и вы поинтересуетесь физической ситуацией через некоторое время, то увидите, что четность останется положительной. Пусть, например, нам известно, что атом перед тем, как испустить фотон, находился в состоянии с положительной четностью. Вы рассматриваете всю эту систему (включая фотон) после испускания; четность опять будет положительна (и точно так же было бы, если бы вы начали с отрицательной четности). Этот принцип именуется сохранением четности. Вы теперь понимаете, почему слова «сохранение четности» и «симметрия относительно отражений» в квантовой механике тесно переплетены. Хотя до последних лет считалось, что природа всегда сохраняет четность, теперь известно, что это не так. Выяснилось, что это неверно, потому что реакция β-распада не обладает симметрией относительно инверсии, обнаруженной в других законах физики.

Теперь мы можем доказать интересную теорему (справедливую до тех пор, пока слабыми взаимодействиями можно пренебрегать): любое состояние определенной энергии, не являющееся вырожденным, обязано обладать определенной четностью. Его четность должна быть либо положительна, либо отрицательна. (Припомните, что нам иногда встречались системы, в которых несколько состояний имели одну и ту же энергию,— такие состояния мы называем вырожденными. Так вот наша теорема к ним не относится.)

Мы знаем, что если |ψ₀> — состояние определенной энергии, то

(15.18)

где Е — просто число, энергия состояния. Если у нас имеется произвольный оператор ^Q, который является оператором симметрии для системы, то мы можем доказать, что

(15.19)

если только |ψ₀> — единственное состояние с данной энергией. Рассмотрим новое состояние |ψ'₀> которое вы получаете после действия ^Q. Если вся физика симметрична, то |ψ'₀>должно иметь ту же энергию, что и |ψ₀>. Но мы ведь выбрали случай, когда состояние с такой энергией только одно, а именно |ψ₀>; значит, |ψ'₀> должно быть тем же состоянием, отличаясь разве что фазой. Таково физическое доказательство.

Но то же последует и из нашей математики. Наше определение симметрии —это (15.10) или (15.11), справедливое для любого состояния |ψ>:

(15.20)

Но сейчас речь идет о состоянии |ψ₀>, которое является состоянием с определенной энергией, так что ^H|ψ₀>=Е|ψ₀>. А раз Е — просто число, то оно попросту проходит сквозь ^Q, и мы имеем

так что

(15.21)

Значит, |ψ'₀>=^Q|ψ₀> — тоже состояние ^H с определенной энергией и при этом с тем же самым Е. Но по нашей гипотезе имеется только одно такое состояние; значит, |ψ'₀> должно быть равно e^iδ|ψ₀>.

Все, что мы только что доказали, относится к любому оператору ^Q, лишь бы он был оператором симметрии для физической системы. Поэтому когда в рассмотрение входят только электрические силы и сильные взаимодействия (и нет никакого β-распада), так что симметрия относительно инверсии является вполне допустимым приближением, в этих обстоятельствах ^P|ψ>=е^iδ|ψ>. Но мы видели также, что е^iδ обязано равняться либо +1, либо -1. Итак, любое состояние с определенной энергией (если оно не вырождено) навсегда снабжено либо положительной, либо отрицательной четностью.

§ 3. Законы сохранения

Обратимся теперь к другому интересному примеру операции симметрии — к повороту. Рассмотрим частный случай оператора, который поворачивает атомную систему на угол φ вокруг оси z. Обозначим этот оператор ^R_z(φ)[61]. Предположим еще, что никаких влияний, выстроенных вдоль осей х и у, в нашем физическом случае нет. Все электрические или магнитные поля взяты параллельными оси z[62], так что никаких изменений во внешних условиях от поворота всей физической системы вокруг оси z не наступит. Например, если имеется атом в пустом пространстве и мы повернем этот атом вокруг оси z на угол φ, то получим ту же физическую систему.

Тогда существуют особые состояния, обладающие тем свойством, что такая операция создает новое состояние, равное первоначальному, умноженному на некоторый фазовый множитель. Заметим, что когда это так, то изменение фазы обязано быть всегда пропорционально углу φ. Представьте, что вы дважды захотели бы сделать поворот на угол φ. Это равносильно тому, что повернуть на угол 2φ. Если поворот на угол φ имеет своим следствием умножение состояния |ψ₀> на фазовый множитель e^iδ, так что

то два таких поворота, один вслед за другим, привели бы к умножению состояния на множитель (е^iδ)²=е^i2δ, так как

Изменение фазы δ оказывается пропорциональным φ[63]. Мы, стало быть, рассматриваем лишь те особые состояния |ψ₀>, для которых

(15.22)

где m — некоторое вещественное число.

Нам известен также тот примечательный факт, что если система симметрична относительно поворота вокруг z и если исходное состояние обладает тем свойством, что (15.22) окажется выполненным, то и позже у этого состояния сохранится то же свойство. Значит, это число m имеет большую важность. Если его значение мы знаем в начале, то мы знаем его и в конце. Это число m, которое сохраняется, есть константа движения. Причина, почему мы говорим об m, выталкиваем его на первый план, состоит в том, что оно не связано с каким-либо определенным углом φ, и еще потому, что у него есть соответствие в классической механике. В квантовой механике мы выбираем для mℏ (в состояниях, подобных |ψ₀>) название момент количества движения вокруг оси z. И тогда мы обнаруживаем, что в пределе больших систем та же величина равняется z-компоненте момента количества движения из классической механики. Значит, если мы имеем состояние, для которого поворот вокруг оси z приводит просто к фазовому множителю e^imφ, то перед нами состояние с определенным моментом количества движения вокруг этой оси, и момент количества движения сохраняется. Он навсегда остается равным mℏ. Конечно, повороты можно делать вокруг любых осей, и сохранение момента количества движения тоже будет получаться для любых осей. Вы видите, что сохранение момента количества движения связано с тем фактом, что, когда вы поворачиваете систему, вы получаете опять то же состояние, только с новым фазовым множителем.

Сейчас мы покажем вам, насколько обща эта идея. Применим ее к двум другим законам сохранения, по физической идее точно соответствующим сохранению момента количества движения. В классической физике существует также сохранение импульса и сохранение энергии, и интересно, что оба они тоже связаны с некоторыми физическими симметриями. Положим, у нас имеется физическая система — атом, или сложное ядро, или же молекула, или что угодно — и если мы возьмем ее и как целое передвинем на новое место, то ничего не изменится. Значит, мы имеем гамильтониан с тем свойством, что он в некотором смысле зависит от внутренних координат, но не зависит от абсолютного положения в пространстве. В этих обстоятельствах существует специальная операция симметрии, которая называется пространственным переносом. Определим ^D_x(а) как операцию смещения на расстояние а вдоль оси х. Тогда для каждого состояния мы сможем проделать эту операцию и получить новое состояние. И опять здесь возможны весьма специальные состояния, обладающие тем свойством, что когда вы их смещаете по оси х на а, вы получаете то же самое состояние (если не считать фазового множителя). И так же, как делалось выше, можно доказать, что когда так бывает, то фаза пропорциональна а. Так что для этих специальных состояний |ψ₀> можно писать

(15.23)

Коэффициент k, умноженный на ℏ, называется х-компонентой импульса. Его называют так потому, что это число, когда система велика, численно совпадает с классическим импульсом р_х. Общее утверждение таково: если гамильтониан не меняется при сдвиге системы и если вначале состояние характеризуется определенным импульсом в направлении х, то импульс в направлении х останется с течением времени неизменным. Полный импульс системы до и после столкновений (или после взрывов или еще чего-нибудь?) будет один и тот же.

Есть и другая операция, которая совершенно аналогична смещению в пространстве: сдвиг во времени. Положим, перед нами физические обстоятельства, когда ничто внешнее от времени не зависит, и вот в этих обстоятельствах мы помещаем нечто в некоторый момент времени в данное состояние и пускаем его на произвол судьбы. А в другой раз (в новом опыте) мы то же самое устройство запускаем двумя секундами позже или вообще τ секундами позже. И вот если ничего во внешних условиях не зависит от абсолютного времени, то все будет развиваться точно так же, как прежде, и конечное состояние совпадет с прежним конечным состоянием, за исключением того, что запоздает на время τ. В этих обстоятельствах также найдутся особые состояния, у которых развитие во времени обладает той особенностью, что запоздавшее состояние — это попросту старое состояние, умноженное на фазовый множитель. И на этот раз тоже ясно, что для этих особых состояний изменение фазы должно быть пропорционально τ. Можно написать

(15.24)

Общепринято при определении ω пользоваться знаком минус; при таком соглашении ωℏ — это энергия системы; она сохраняется. Итак, система с определенной энергией — это такая система, которая при сдвиге во времени на τ воспроизводит самое себя, умноженную на e^-iωτ. (Это как раз то, что мы говорили, когда определяли квантовое состояние с определенной энергией, так что все согласуется.) Это означает, что если система находится в состоянии с определенной энергией и если гамильтониан не зависит от t, то независимо от того, что произойдет дальше, система во все позднейшие времена будет обладать той же энергией.

Теперь вы понимаете, стало быть, какая связь между законами сохранения и симметрией мира. Симметрия по отношению к сдвигам во времени влечет за собой сохранение энергии; симметрия относительно положения на осях х, у или z влечет за собой сохранение соответствующей компоненты импульса. Симметрия относительно поворотов вокруг осей х, у и z влечет за собой сохранение х-, у- и z-компонент момента количества движения. Симметрия относительно отражений влечет за собой сохранение четности. Симметрия по отношению к перестановке двух электронов влечет за собой сохранение чего-то, чему не придумано еще названия, и т. д. Часть этих принципов имеет классические аналоги, а часть — нет. В квантовой механике есть больше законов сохранения, чем это нужно для классической механики или по крайней мере чем обыкновенно в ней в ходу.

Чтобы вы смогли разобраться в других книгах по квантовой механике, мы сделаем небольшую техническую ремарку и познакомим вас с одним общепринятым обозначением. Операция сдвига по времени — это как раз та самая операция ^U, о которой мы как-то говорили:

(15.25)

Многие предпочитают язык бесконечно малых сдвигов по времени или бесконечно малых перемещений в пространстве или поворотов на бесконечно малые углы. Поскольку всякое конечное смещение или угол можно постепенно накопить последовательными бесконечно малыми смещениями или поворотами, то часто легче проанализировать сначала этот бесконечно малый случай. Оператор бесконечно малого сдвига Δt во времени есть (по определению гл. 6, вып. 8)

(15.26)

Тогда Н аналогично классической величине, которую мы именуем энергией, потому что если ^H|ψ> оказывается равным постоянной, умноженной на |ψ>, а именно если ^H|ψ>=E|ψ>, то эта постоянная есть энергия системы.

То же самое проделывается и с другими операциями. Если мы делаем легкое смещение по х, скажем на Δx, то состояние |ψ>, вообще говоря, перейдет в некоторое новое состояние |ψ'>. Мы можем написать

(15.27)

потому что, когда Δx стремится к нулю, |ψ'> обязано обратиться опять в |ψ>, или, что то же самое, ^D_x(0)=1, а для малых Δx отклонение ^D_x(Δx) от единицы должно быть пропорционально Δx. Оператор р_х, определенный таким путем, называется оператором импульса (естественно, для x-компоненты).

По тем же причинам для малых поворотов обычно пишут

(15.28)

и называют ^J_z оператором z-компоненты момента количества движения. Для тех особых состояний, для которых ^R_z(φ)|ψ₀>=е^imφ |ψ₀>, можно для каждого малого угла, скажем Δφ, разложить правую часть до членов первого порядка по Δφ и получить

Сравнивая это с определением ^J_z по формуле (15.28), приходим к

(15.29)

Иначе говоря, если вы действуете оператором ^J_z на состояние с определенным моментом количества движения вокруг оси z, то получаете mℏ, умноженное на это состояние, где mℏ—количество z-компоненты момента количества движения. Все совершенно аналогично тому, как действие ^H на состояние с определенной энергией дает Е|ψ>.

Теперь хотелось бы перейти к некоторым приложениям идеи о сохранении момента количества движения, чтобы показать вам ее в действии. Дело в том, что в действительности все это очень просто. О том, что момент количества движения сохраняется, вы знали и раньше. Единственное, что вам нужно запомнить из этой главы, это что если у состояния |ψ₀> есть такое свойство, что при повороте на угол φ вокруг оси z оно превращается в е^imφ|ψ₀>, то z-компонента момента количества движения равна mℏ. Этих знаний достаточно, чтобы получить уйму интересных вещей.

§ 4. Поляризованный свет

Прежде всего необходимо проверить одну идею. В гл. 9, § 4 (вып. 8), мы показали, что когда состояние правополяризованного по кругу света наблюдается из системы, повернутой на угол φ вокруг оси z[64], то оно оказывается умноженным на е^iφ. Не означает ли это, что фотоны правополяризованного по кругу света несут момент количества движения вдоль оси z, равный единице[65]?

Да, так оно и есть. Это означает еще, что когда у нас имеется пучок света, содержащий множество фотонов, поголовно одинаково поляризованных по кругу (как бывает в классических пучках), то он будет нести с собой какой-то момент количества движения. Если полная энергия, уносимая пучком за какое-то время, есть W, то в нем имеется N=W/ℏω ω фотонов. Каждый несет по моменту ℏ, так что полный момент количества движения равен

(15.30)

Можно ли и в классике доказать, что свет, правополяризованный по кругу, несет с собой энергию и момент количества движения в пропорции W к ω? Ведь если все правильно, это было бы классическое утверждение — случай, когда можно перейти от квантов к классике. Надо проверить, подтверждается ли это классической физикой. Тогда станет ясно, имеем ли мы право назвать m моментом количества движения. Припомним, чем в классическом смысле является правополяризованный свет. Он описывается электрическим полем с колеблющейся x-компонентой и колеблющейся y-компонентой, сдвинутыми по фазе на 90°, так что суммарный вектор ℰ электрического поля бежит по кругу (фиг. 15.5, а).

Фиг. 15.5. Электрическое поле ℰ в поляризованной по кругу световой волне (а) и вращение электрона, приводимого в движение поляризованным по кругу светом (б).

Теперь положим, что мы осветили таким светом стенку, способную поглотить его (или по крайней мере часть его), и рассмотрим один из атомов стенки, опираясь на классические представления. Мы часто представляли движение электрона в атоме в виде гармонического осциллятора, который приводится в действие внешним электрическим полем. Предположим, что атом изотропен, так что с равным успехом колеблется как в направлении х, так и в направлении у. Далее, у света, поляризованного по кругу, смещения по х и по у одинаковы, хотя и отстают друг от друга на 90°. В итоге электрон будет двигаться по кругу (фиг. 15.5, б). Он сместится из положения равновесия в начале координат на величину r и начнет ходить по кругу, как-то отставая по фазе от вектора ℰ. Связь между ℰ и r может быть такая, как показано на фиг. 15.5, б. Электрическое поле с течением времени поворачивается, но с такой же частотой поворачивается и смещение, так что относительная ориентация остается той же. Посмотрим теперь, какая работа производится над электроном. Скорость, с какой электрону подается энергия, равна его скорости v, умноженной на компоненту ℰ_t, параллельную этой скорости:

(15.31)

Но вы не можете не заметить, что у электрона в это время непрерывно увеличивается и момент количества движения, потому что он все время испытывает действие момента, вращающего его вокруг начала координат. Вращательный момент равен ℰ_tr, и он обязан равняться скорости изменения момента количества движения dJ_z/dt:

(15.32)

Вспоминая, что v=ωr, имеем

Следовательно, если проинтегрировать поглощаемый полный момент количества движения, то он окажется пропорциональным полной энергии, с коэффициентом пропорциональности 1/ω, что согласуется с (15.30). Свет действительно несет с собой момент количества движения — одну единицу (×ℏ), когда он правополяризован по кругу вдоль оси z, и минус одну единицу, когда левополяризован.

Теперь зададим следующий вопрос: если свет линейно поляризован в направлении х, то чему равен момент количества движения? Свет, поляризованный в направлении х, может быть представлен суперпозицией право- и левополяризованного света. Поэтому имеется некоторая амплитуда того, что момент количества движения равен +ℏ, и некоторая амплитуда того, что момент равен -ℏ, так что определенного момента количества движения у него нет, а есть амплитуда появиться с +ℏ, и такая же появиться с -ℏ. Интерференция этих двух амплитуд создает линейную поляризацию, обладающую равной вероятностью оказаться с плюс или с минус одной единичкой момента количества движения. Макроскопические измерения, проведенные над пучком линейно поляризованного света, покажут, что он несет нулевой момент количества движения, потому что среди большого числа фотонов, несущих противоположные количества момента, окажется поровну правых и левых, и средний момент количества движения будет равен нулю. И в классической теории вы не обнаружите никакого момента количества движения, разве что где-то окажутся следы какой-то круговой поляризации.

Мы говорили, что частица со спином 1 может иметь три значения J_z: +1, 0, -1 (те три состояния, которые нам встретились в опыте Штерна — Герлаха).

Но у света свой нрав: у него только два состояния. Состояния с нулем у него нет. Эта странная потеря связана с тем, что свет не может стоять на месте. У покоящейся частицы со спином j имеются 2j+1 возможных состояния со значениями j_z, идущими с шагом 1 от -j до +j. Но оказывается, что если что-то имеет спин j, а масса этого чего-то равна нулю, то у него могут быть только состояния с компонентами +j и -j вдоль направления движения. Например, у света не три состояния, а два, хотя фотон — это объект со спином 1. Как же это согласуется с нашими прежними доказательствами, опирающимися на то, что происходит при поворотах в пространстве, доказательствами того, что для частиц со спином 1 необходима тройка состояний? Покоящуюся частицу можно поворачивать вокруг любой оси, не меняя состояния ее момента. Частицы же с нулевой массой покоя (например, фотоны или нейтрино) не могут находиться в покое; только повороты вокруг оси, указывающей направление движения, не изменят состояния момента. А поворотов вокруг одной оси не хватает на то, чтобы доказать, что нужны обязательно три состояния, если дано, что одно из них при поворотах на угол φ меняется, как е^iφ[66].

Еще одно замечание в сторону. Вообще-то частицы с нулевой массой покоя могут обойтись только одним из двух спиновых состояний (+j, -j) относительно линии движения. У нейтрино (частиц со спином ¹/₂) в природе существуют только состояния с компонентой момента количества движения -ℏ/2, обратной направлению движения (а у антинейтрино — только с компонентой по направлению движения, +ℏ/2). Когда же система обладает симметрией инверсии (так что четность сохраняется), требуются уже обе компоненты +j и -j. Примером является свет.

§ 5. Распад Λ⁰

Теперь приведем пример того, как теорема о сохранении момента количества движения применяется в чисто квантовофизических задачах. Рассмотрим распад лямбда-частицы (Λ⁰), которая расщепляется на протон и π^--мезон посредством слабого взаимодействия:

Пусть нам известно, что спин у пиона равен нулю, у протона — половине, а у Λ⁰ тоже половине. Мы хотели бы решить следующую задачу: положим, что Λ⁰ рождена таким образом, что оказалась полностью поляризованной; это значит, что ее спин направлен, скажем, вверх по отношению к подходящим образом выбранной оси z (фиг. 15.6, а).

Фиг. 15.6. Λ⁰-частица со спином, направленным вверх, распадается на протон и пион (в системе центра масс). Какова вероятность того, что протон вылетит под углом θ?

Вопрос заключается в том, с какой вероятностью она распадется так, что протон вылетит под углом θ к оси z (фиг. 15.6, б). Иными словами, каково угловое распределение распадов? Мы будем рассматривать распад в системе координат, где Λ⁰ покоится, измеряя углы в системе покоя Λ⁰; если нужно, их всегда можно перевести в другую систему.

Начнем с рассмотрения того частного случая, когда протон испускается в небольшой телесный угол ΔΩ близ оси z (фиг. 15.7).

Фиг. 15.7. Две возможности распада частицы Λ⁰со спином, направленным вверх, если протон движется по оси +z. Момент сохраняется только при схеме распада (б).

До распада спин Λ⁰ был направлен вверх (фиг. 15.7, а). Через мгновение (по причинам, по сей день неизвестным, известно только, что они связаны со слабыми распадами) Λ⁰ взрывается, образуя протон и пион. Пусть протон летит вверх по оси +z. Тогда пиону из-за сохранения импульса придется направиться вниз. Поскольку протон — это частица со спином ¹/₂, то его спин обязан быть направлен либо вверх, либо вниз,— в принципе имеются две возможности, показанные на фиг. 15.7, б и в. Сохранение момента количества движения требует, однако, чтобы спин протона был направлен только вверх. Легче всего понять это из следующих рассуждений. Частица, движущаяся вдоль оси z, никак не может приобрести за счет своего движения момента вокруг этой оси, поэтому в J_z могут дать вклад только спины. Спиновый момент количества движения вокруг оси z до распада был равен +ℏ/2; значит, и после он будет равен +ℏ/2. Можно сказать, что из-за того, что у пиона нет спина, спин протона должен смотреть вверх.

Если вас тревожит, что такого рода рассуждения могут в квантовой механике оказаться неправильными, стоит потратить минутку, чтобы показать, что и по квантовой механике все обстоит так же. Начальное (дораспадное) состояние, которое мы обозначим |Λ⁰, спин по +z>, обладает тем свойством, что если его повернуть вокруг оси z на угол φ, то вектор состояния умножается на фазовый множитель e^iφ/2. (В повернутой системе вектор состояния равен e^itf/2|Λ⁰, спин но +z>.) Именно это и имеют в виду, говоря о спине вверх у частицы со спином ¹/₂. Поскольку поведение природы не зависит от нашего выбора осей, то конечное состояние системы «протон плюс пион» должно обладать тем же свойством. Конечное состояние мы можем, например, записать в виде

Но движение пиона на самом деле не нужно оговаривать, потому что в выбранной нами системе пион всегда движется противоположно протону; наше описание конечного состояния можно упростить до

Так что же случится с этим состоянием, если мы повернем систему координат вокруг оси z на угол φ?

Раз протон и пион движутся вдоль оси z, их движение поворотом не изменишь. (Вот почему мы и выбрали этот частный случай; иначе бы наше рассуждение не прошло.) Значит, с пионом ничего не случится, потому что спин его равен нулю. У протона, однако, спин равен ¹/₂. Если его спин направлен вверх, он в ответ на поворот изменит фазовый множитель в e^iφ/2 раз. (А если бы спин его был направлен вниз, то изменение фазы стало бы e^-iφ/2.) Но если момент количества движения обязан сохраняться (а это так, ибо в гамильтониане нет факторов, зависящих от внешних воздействий), то изменение фазы из-за поворота должно быть до распада и после распада одно и то же. Итак, единственная возможность состоит в том, что спин протона будет направлен вверх. Если протон двинулся вверх, то и спин его должен быть направлен вверх.

Мы, следовательно, заключаем, что сохранение момента количества движения разрешает процесс, показанный на фиг. 15.7, б, но не разрешает процесса, показанного на фиг. 15.7, в. А раз мы знаем, что распад все же происходит, то, значит, имеется некоторая амплитуда для процесса, показанного на фиг. 15.7, б, когда протон летит вверх и спин его при этом тоже смотрит вверх. И мы обозначим буквой а амплитуду того, что в бесконечно малый промежуток времени произойдет такой распад[67].

Теперь посмотрим, что было бы, если бы спин Λ⁰ вначале был направлен вниз. Опять рассматриваем распады, в которых протон взлетает вверх по оси z, как показано на фиг. 15.8.

Фиг. 15.8. Распад вдоль оси z для Λ⁰со спином, направленным вниз.

Вам, конечно, теперь ясно, что в этом случае спин протона направлен вниз (если только момент количества движения сохраняется). Обозначим амплитуду такого распада буквой b.

Об амплитудах а и b мы ничего больше сказать не сможем. Они зависят от внутренней механики частицы Λ⁰ и от слабых распадов, и никто пока не знает, как их подсчитывать. Их приходится получать из опыта. Но, зная только эти две амплитуды, мы можем узнать об угловом распределении распадов все, что захотим. Надо только всегда тщательно и полностью определять те состояния, о которых идет речь.

Мы хотим знать вероятность того, что протон вылетит под углом θ к оси z (в некоторый узкий телесный угол ΔΩ), как показано на фиг. 15.6. Проведем новую ось z в этом направлении и обозначим ее z'! Как анализировать, что происходит вдоль этой оси, мы знаем. По отношению к ней спин Λ⁰ уже не направлен вверх, а имеет какую-то амплитуду того, что он окажется направленным вверх и какую-то — вниз. Все это мы уже подсчитывали в гл. 4, а потом опять в гл. 8 [уравнение (8.30)] (вып. 8). Амплитуда того, что спин будет направлен вверх, есть cosθ/2, а амплитуда того, что спин будет смотреть вниз, есть -sinθ/2[68]. Когда спин Λ⁰ направлен вверх по оси z', она испустит протон в направлении z с амплитудой а. Значит, амплитуда того, что по направлению z пройдет протон, держа свой спин вверх, равна

(15.33)

Точно так же амплитуда того, что вдоль положительной оси z пройдет протон, направив свой спин вниз, равна

(15.34)

Те два процесса, к которым относятся эти амплитуды, показаны на фиг. 15.9.

Фиг. 15.9. Два возможных состояния распада Λ⁰.

Теперь зададим такой немудреный вопрос. Пусть мы собираемся регистрировать протоны, вылетающие под углом θ, не интересуясь их спином. Два спиновых состояния (вверх и вниз по оси z') различимы, даже если бы мы того и не хотели. Значит, чтобы получить вероятность, надо амплитуды возвысить в квадрат и сложить. Вероятность f(θ) обнаружить протон в небольшом телесном угле ΔΩ при θ равна

(15.35)

Вспоминая, что sin²θ/2=¹/₂(1-cosθ) и cos²θ/2=¹/₂(1+cosθ), запишем f(θ) так:

(15.36)

Угловое распределение имеет вид

(15.37)

Одна часть вероятности не зависит от θ, а другая зависит от cosθ линейно. Из измерений углового распределения мы можем получить α и β, а значит, и |а|, и |b|.

Можно получить ответ и на многие другие вопросы. Может быть, вас интересуют лишь те протоны, спин которых направлен вверх относительно старой оси z? Каждый член в (15.33) и (15.34) даст амплитуду того, что спин протона окажется направленным вверх или вниз по отношению к оси z'(|+z'> и |-z'>). А состояние, когда спин направлен вверх относительно старой оси, |+z>, можно выразить через два базисных состояния |+z'> и |-z'>. Можно тогда взять две амплитуды (15.33) и (15.34) с надлежащими коэффициентами (cosθ/2 и -sinθ/2) и получить полную амплитуду

Ее квадрат даст вероятность того, что протон вылетит под углом θ со спином, направленным туда же, куда направлен спин Λ⁰ (вверх по оси z).

Если бы четность сохранялась, можно было бы сделать еще одно утверждение. Распад на фиг. 15.8 — это просто зеркальное отражение, скажем в плоскости yz, распада с фиг. 15.7[69]. Если бы четность сохранялась, b равнялось бы либо a, либо -а. Тогда коэффициента в (15.37) был бы равен нулю и распад одинаково часто происходил бы во всех направлениях.

Результаты опытов говорят, однако, что при распаде асимметрия существует. Измеренное угловое распределение действительно, как мы предсказали, меняется по закону cosθ, а не по закону cos²θ или по другой степени. Из этого углового распределения, стало быть, следует, что спин Λ⁰ равен ¹/₂. Кроме того, мы видим, что четность не сохраняется. Действительно, коэффициент a на опыте найден равным -0,62±0,05, так что b примерно вдвое больше а. Отсутствие симметрии относительно отражений совершенно очевидно.

Вы видите, как много можно вывести из сохранения момента количества движения. Еще некоторые примеры будут приведены в следующей главе.

* * *

Замечание после лекции. Под амплитудой а здесь мы подразумевали амплитуду того, что состояние |протон летит по +z, спин по +z> образовано за бесконечно малое время dt из состояния |Λ, спин по +z>, или, иными словами, что

(15.38)

где H — гамильтониан всего мира или по крайней мере той его части, которая ответственна за Λ-распад. Сохранение момента количества движения означает, что у гамильтониана должно быть такое свойство:

(15.39)

Под амплитудой b подразумевается, что

(15.40)

Сохранение момента количества движения предполагает, что

(15.41)

Если вам не ясно, как написаны амплитуды (15.33) и (15.34), можно их записать в более математической форме. Когда мы писали (15.33), нам нужна была амплитуда того, что Λ со спином, направленным по +z, распадается на протон, движущийся вдоль направления +z' и обладающий спином, направленным тоже по +z', т. е.

(15.42)

По общим теоремам квантовой механики эту амплитуду можно записать так:

(15.43)

где суммирование проводится но базисным состояниям |Λ, i> покоящейся Λ-частицы. Поскольку спин Λ-частицы равен ¹/₂, таких состояний два, в каком бы базисе мы ни работали. Если в качестве базисных мы выберем состояния со спином, направленным вверх и вниз по отношению к оси z'(|+z'>, |-z'>), то амплитуда (15.43) будет равна сумме

(15.44).

Первый множитель в первом слагаемом равен а [из (15.38)], а первый множитель во втором слагаемом равен нулю — из формулы (15.41), в свою очередь следующей из сохранения момента количества движения. Второй множитель <Λ, +z'|Λ, +z> из первого слагаемого — это как раз амплитуда того, что частица со спином ¹/₂, направленным вверх по одной оси, будет также обладать спином, направленным вверх по другой оси, повернутой относительно первой на угол θ. Такая амплитуда равна cosθ/2 [см. табл. 4.2 (вып. 8)]. Так что (15.44) равно просто а cosθ/2, как и было написано в (15.33). Амплитуда (15.34) следует из таких же рассуждений для Λ-частицы со спином, направленным вниз.

* * *

§ 6. Сводка матриц поворота

Теперь мы хотим собрать воедино все, что мы узнали о поворотах частиц со спином ¹/₂ и спином 1; это будет удобно для дальнейшего. Ниже вы найдете таблицы двух матриц поворота R_z(φ) и R_y(θ) для частиц со спином ¹/₂, для частиц со спином 1 и для фотонов (частиц со спином 1 и нулевой массой).

Таблица 15.1. МАТРИЦЫ ПОВОРОТА ДЛЯ СПИНА ½. Два состояния:

|+>, вверх по оси z, m=+1/2

|—>, вниз по оси z, m=—1/2

Таблица 15.2. МАТРИЦЫ ПОВОРОТА ДЛЯ СПИНА 1. Три состояния:

|+>, m=+1

|0>, m=0

|—>, m=—1

Таблица 15.3. ФОТОНЫ. Два состояния:

|R>=1/√2(|x>+iy>), m=+1 (правополяризованные)

\L>=1/√2(\x>—i|y>), m=—1 (левополяризованные)

Для каждого из них приведены элементы матрицы <j|R|i> поворотов вокруг оси z или оси y. Они, конечно, в точности эквивалентны амплитудам типа <+T|0S>, которыми мы пользовались в предыдущих главах. Под R_z(φ) мы понимаем, что берется проекция состояния на новую систему координат, повернутую на угол φ вокруг оси z, причем для определения направления поворота всегда применяется правило правой руки; R_y(θ) означает, что оси координат повернуты на угол θ вокруг оси у. Зная эти два поворота, вы запросто сможете рассчитать любой поворот. Как обычно, матричный элемент пишется так, что состояние слева — это базисное состояние новой (повернутой) системы, а состояние справа — это базисное состояние старой (неповернутой) системы. Клетки таблицы можно истолковывать по-разному. К примеру, клетка e^iφ/2 в табл. 15.1 означает, что матричный элемент < — |R| —>=е^-iφ/2. Но это означает также, что ^R| —>=е^-iφ/2|—> или что <—| ^R=<—|e^-iφ. Это все одно и то же.

Глава 16 МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ