Том 3. Квантовая механика — страница 16 из 20

§ 1. Электрическое дипольное излучение

В предыдущей главе мы развили представления о сохранении момента количества движения в квантовой механике и показали, как ими можно воспользоваться для предсказания углового распределения протонов при распаде Λ⁰-частицы. Теперь мы хотим добавить еще несколько иллюстраций тех следствий, которые вытекают из сохранения момента количества движения в атомных системах. Первым примером послужит излучение света атомом. Сохранение момента количества движения (наряду с другими обстоятельствами) определит поляризацию и угловое распределение испускаемых фотонов.

Пусть имеется атом в возбужденном состоянии с определенным моментом количества движения, скажем со спином, равным 1; он, излучая фотон, переходит к состоянию с моментом нуль при более низкой энергии. Задача в том, чтобы представить угловое распределение и поляризацию фотонов. (Она очень похожа на задачу о распаде Λ⁰-частицы, но только теперь спин равен не ¹/₂, а 1.) Раз у возбужденного состояния спин равен единице, то для z-компоненты момента имеются три возможности. Значение m может быть или +1, или 0, или -1. Возьмем для примера m=+1. (Если мы разберемся в этом примере, то справимся и с другими.) Предположим, что момент количества движения атома направлен по оси +z (фиг. 16.1, а), и спросим, какова амплитуда того, что он излучит вверх по оси z правополяризованный по кругу свет, так что в результате его момент станет равным нулю (фиг. 16.1, б).

Фиг. 16.1. Атом с m=+1 излучает вдоль оси +z правый фотон.

Ответа на этот вопрос мы не знаем. Но зато мы знаем, что правополяризованный по кругу свет уносит вдоль направления своего распространения одну единицу момента количества движения. Значит, после излучения фотона положение станет таким, как показано на фиг. 16.1, б, т. е. атом остался с нулевым моментом относительно оси z, поскольку мы предположили, что низшее состояние атома имеет спин нуль. Обозначим амплитуду такого события буквой а. Точнее, а будет обозначать амплитуду излучения фотона в некоторый узкий телесный угол ΔΩ, окружающий ось z, за время dt. Заметьте, что амплитуда излучения левого фотона в том же направлении равна нулю. У такого фотона момент относительно оси z был бы равен -1, а так как у атома он равен нулю, то и в сумме получилось бы -1, так что момент не сохранился бы.

Точно так же, если спин атома вначале направлен вниз (-1 вдоль оси z), то он может излучать в направлении оси +z только левые фотоны (фиг. 16.2).

Фиг. 16.2. Атом с m=-1 излучает вдоль оси z левый фотон.

Амплитуду такого события обозначим буквой b (снова имея в виду амплитуду излучения фотона в некоторый узкий телесный угол ΔΩ). С другой стороны, если атом находится в состоянии с m=0, он вообще не сможет испустить фотон в направлении +z, потому что у фотона момент количества движения относительно его направления распространения может быть только +1 или -1.

Далее, можно показать, что b и а связаны. Проделаем над системой, изображенной на фиг. 16.1, преобразование инверсии. Это значит, что мы должны представить себе, как будет выглядеть система, если мы каждую ее часть передвинем в соответствующую точку с другой стороны от начала координат. Но это не значит, что следует отражать и векторы момента количества движения, ведь они — искусственные образования. Нужно другое — нужно обратить истинный характер движения, соответствующего такому моменту количества движения.

На фиг. 16.3, а мы показали, как выглядит процесс, изображенный на фиг. 16.1, до и после инверсии относительно центра атома.

Фиг. 16.3. Если процесс (а) преобразовать путем инверсии относительно центра атома, он станет выглядеть, как (б).

Заметьте, что направление вращения атома не изменилось[70]. В обращенной системе (фиг. 16.3, б) получается атом с m=+1, излучающий вниз левый фотон.

Если мы теперь повернем систему, изображенную на фиг. 16.3, б, на 180° вокруг оси х и у, она совпадет с фиг. 16.2. Сочетание инверсии и поворота превращает второй процесс в первый. Пользуясь табл. 15.2, мы видим, что поворот на 180° вокруг оси у как раз переводит состояние с m=-1 в состояние с m=+1, так что амплитуда b должна быть равна амплитуде а, если не считать возможной перемены знака при инверсии. А перемена знака при инверсии зависит от четностей начального и конечного состояний атома.

В атомных процессах четность сохраняется, так что четность всей системы до и после излучения фотона должна быть одной и той же. Что на самом деле произойдет, зависит от того, положительны или отрицательны четности начального и конечного состояний атома — в разных случаях угловое распределение излучения будет различным. Возьмем обычный случай отрицательной четности начального состояния атома и положительной четности конечного; он даст так называемое «электрическое дипольное излучение». (Если начальное и конечное состояния обладают одинаковой четностью, то говорят, что происходит «магнитное дипольное излучение», напоминающее по характеру излучение витка с переменным током.) Если четность начального состояния отрицательна, его амплитуда при инверсии, переводящей систему из а в б на фиг. 16.3, меняет знак. Конечное состояние атома имеет положительную четность, так что его амплитуда при инверсии знака не меняет. Если в реакции сохраняется четность, то амплитуда b должна быть равна а по величине, но противоположна по знаку.

Мы приходим к заключению, что если амплитуда того, что состояние m=+1 излучит фотон вперед, равна а, то для рассматриваемых четностей начального и конечного состояний амплитуда того, что состояние m=-1 излучит вперед левый фотон[71], равна -а.

Теперь у нас есть все, чтобы найти амплитуду того, что фотон будет испущен под углом θ к оси z. Пусть вначале атом поляризован так, что m=+1. Это состояние мы можем разложить на состояния с m=+1, 0, -1 относительно новой оси z', проведенной в направлении испускания фотона. Амплитуды этих трех состояний — как раз те, которые были приведены в нижней половине табл. 15.2. Амплитуда того, что правый фотон испускается в направлении θ, равна тогда произведению а на амплитуду того, что в этом направлении будет m=+1, а именно

(16.1)

Амплитуда того, что в том же направлении будет испущен левый фотон, равна произведению -а на амплитуду того, что в новом направлении будет m=-1. Из табл. 15.2 следует

(16.2)

Если вас интересуют другие поляризации, то их амплитуды вы получите из суперпозиции этих двух амплитуд. Чтобы получить интенсивность любой компоненты как функцию угла, вам придется, конечно, взять квадрат модуля амплитуд.

§ 2. Рассеяние света

Воспользуемся этими результатами, чтобы решить немного более сложную задачу, но зато и более близкую к реальности. Предположим, что те же атомы находятся в своем основном состоянии (j=0) и рассеивают падающий на них пучок света. Пусть свет первоначально распространяется в направлении +z, так что фотоны падают на атом из направления -z, как показано на фиг. 16.4, а.

Фиг. 16.4. Рассеяние света атомом, рассматриваемое как процесс, состоящий из двух шагов.

Рассеяние света мы можем рассматривать как процесс, состоящий из двух шагов: фотон поглощается, а затем вновь излучается. Если мы начнем с правого фотона (фиг. 16.4, а) и если момент количества движения сохраняется, то после поглощения атом окажется в состоянии с m=+1 (фиг. 16.4, б). Амплитуду этого процесса мы обозначим с. Затем атом может испустить правый фотон в направлении θ (фиг.16.4,в). Полная амплитуда того, что правый фотон рассеется в направлении θ, равна просто произведению с на (16.1). Обозначая эту амплитуду рассеяния <R' |S |R>, имеем

(16.3)

Имеется также амплитуда того, что поглотится правый фотон, а излучится левый. Произведение обеих амплитуд — это амплитуда S|R> — амплитуда того, что правый фотон, рассеявшись, превратится в левый. Используя (16.2), имеем

(16.4)

Теперь посмотрим, что происходит, если на атом падает левый фотон. Когда он поглощается, сам атом переходит в состояние с m=-1. Рассуждая так же, как в предыдущем параграфе, можно показать, что эта амплитуда будет равна -с. Амплитуда того, что атом в состоянии с m=-1 испустит правый фотон под углом θ, равна произведению а на амплитуду <+|R_y(θ)| —>, равную ¹/₂(1- cosθ). В итоге получается

(16.5)

Наконец, амплитуда того, что левый фотон после рассеяния останется левым, есть

(16.6)

(здесь минус на минус дал плюс).

Если мы измеряем интенсивность рассеяния для любой данной комбинации круговых поляризаций, то она будет пропорциональна квадрату одной из этих четырех амплитуд. Например, если падает правополяризованный пучок света, то интенсивность правополяризованного света в рассеянном излучении будет меняться как (1+cosθ)².

Все это прекрасно, но допустим, что мы хотели бы начать с линейно поляризованного света. Чего можно было бы тогда ожидать? Если свет поляризован вдоль оси х, его можно представить как суперпозицию право- и левополяризованного по кругу света. Мы пишем [см. гл. 9, § 4 (вып. 8)]

(16.7)

Или если свет поляризован вдоль оси у, то

(16.8)

Что вы теперь хотите знать? Хотите знать амплитуду того, что х- поляризованный фотон рассеется под углом θ как правый фотон? Пожалуйста. Примените для этого обычное правило комбинирования амплитуд. Сначала умножьте (16.7) на <R'|S. Вы получите

(16.9)

Теперь подставьте сюда (16.3) и (16.5). Получается

(16.10)

Если бы вам нужна была амплитуда того, что x-фотон рассеется как левый фотон, то вы бы получили

(16.11)

Наконец, представим, что вас заинтересовала амплитуда того, что x-поляризованный фотон рассеется, сохранив свою x-поляризацию. Значит, вам нужно знать <х'|S|х>. Это можно записать так:

(16.12)

Если вы затем вспомните соотношения

(16.13)

(16.14)

то из них последует

(16.16)

(16.16)

В итоге вы получите

(16.17)

Ответ, стало быть, состоит в том, что пучок x-поляризованного света рассеивается в направлении θ (в плоскости xz) с интенсивностью, пропорциональной cos²θ. Если же нас интересует y-поляризованный свет, то

(16.18)

Иначе говоря, рассеянный свет полностью поляризован в x-направлении.

Здесь отметим интересную вещь. Формулы (16.17) и (16.18) точно соответствуют классической теории рассеяния света, которую мы излагали в гл. 32, § 5 (вып. 3), считая, что электрон связан с атомом линейной возвращающей силой, что действует он как классический осциллятор. Вы можете подумать: «А в классической теории все было куда проще; если она дает верный ответ, зачем забивать себе голову квантовой теорией?» Во-первых, мы пока рассмотрели только один частный (хотя и частый) случай атома с возбужденным состоянием j=1 и с основным состоянием j=0. Если бы возбужденное состояние имело спин, равный 2, вы бы получили уже иные результаты. Во-вторых, нет причины, почему бы модель электрона, привязанного к пружинке и приводимого в движение колеблющимся электрическим полем, должна была бы быть верна для одиночного фотона. Правда, мы обнаружили, что она все же верна и что интенсивность и поляризация оказываются какими надо. Так что в каком-то смысле мы в течение нашего курса лавировали где-то неподалеку от истины. В начале курса мы излагали теорию показателя преломления и рассеяния света, опираясь на классические представления. А теперь мы показали, что квантовая теория в самых обычных случаях приводит к тому же результату. Мы фактически только что объяснили такое, скажем, явление, как поляризация дневного света, с помощью квантовомеханических рассуждений, а это единственный по-настоящему законный путь.

Вообще все имеющие сегодня хождение классические теории должны быть в конечном счете подтверждены единственно правильными квантовыми аргументами. Естественно, что все те вещи, на объяснения которых мы потратили прежде столько времени, были отобраны как раз из тех частей классической физики, которые еще подтверждаются квантовой механикой. Заметьте, что мы не обсуждали во всех деталях такие модели атома, в которых электроны двигались вокруг ядра по орбитам. Это потому, что такая модель не дает результатов, согласуемых с квантовой механикой. Но электрон на пружинке (хоть эта картина ничуть не смахивает на настоящий атом) действительно с ней согласуется, и потому мы применяли эту модель в теории показателя преломления.

§ 3. Аннигиляция позитрония

Теперь хотелось бы рассмотреть еще один очень интересный пример. Он очень привлекателен, хотя и немного сложен, но, надеемся, все же не слишком. Пример этот — система, именуемая позитронием, т. е. «атом», составленный из электрона и позитрона,— связанное состояние е⁺ и е^-. Он походит на атом водорода, только вместо протона стоит позитрон. Как и у водорода, у него много состояний. И как у водорода, основное состояние вследствие взаимодействия с магнитным моментом расщепляется на «сверхтонкую структуру». Спины электрона и позитрона равны ¹/₂ и могут быть либо параллельны, либо антипараллельны любой данной оси. (В основном состоянии орбитальное движение не создает своего момента количества движения.) Итак, всего есть четверка состояний: три из них — подсостояния системы со спином 1, все с одной энергией; и одно состояние со спином нуль и с иной, отличной энергией. Однако расщепление уровней здесь намного сильнее, чем те 1420 Мгц, которые есть в спектре водорода, потому что магнитный момент у позитрона куда больше протонного — в 1000 раз.

Но самое важное различие в том, что позитроний не может существовать вечно. Позитрон — это античастица электрона; они могут взаимно друг друга уничтожить. Две частицы полностью исчезают, обращая свою энергию покоя в излучение в виде γ-квантов (фотонов). Две частицы с конечной массой покоя переходят в пару (а то и больше) объектов с нулевой массой покоя[72].

Начнем с анализа распада состояния позитрония со спином нуль. Он распадается на два γ-кванта со временем жизни 10^-10сек. Вначале имеются позитрон и электрон с антипараллельными спинами, расположенные очень близко один к другому и образующие систему позитрония. После распада возникают два фотона, разлетающиеся с равными и противоположными импульсами (фиг. 16.5).

Фиг. 16.5. Двухфотонная аннигиляция позитрония.

Импульсы обязаны быть равны и противоположны, потому что полный импульс после распада должен быть таким, как и до распада, т. е. равен нулю (если мы рассматриваем аннигиляцию в покое). Если позитроний движется, мы можем нагнать его, решить задачу и затем все преобразовать обратно в лабораторную систему (вот видите — мы теперь все умеем; все, что надо, у нас под рукой).

Для начала заметим, что угловое распределение интереса не представляет. Раз спин начального состояния равен нулю, то нет какой-либо выделенной оси, оно симметрично относительно любых поворотов. Значит, и конечное состояние должно быть симметрично относительно всякого поворота. Это означает, что все углы распада одинаково вероятны — амплитуда вылететь в любую сторону для фотона одна и та же. Конечно, если один из фотонов отправляется в одну сторону, то другой отправится в противоположную.

Единственное, что нам остается, это рассмотреть поляризацию фотонов. Проведем ось +z по направлению движения одного фотона, а ось -z по направлению движения второго фотона. Для описания состояний поляризации фотонов можно использовать любые представления. Мы выберем правую и левую круговые поляризации, всегда отсчитывая их относительно направлений движения. Сразу же видно, что если движущийся вверх фотон — правый, то момент количества движения останется прежним, если фотон, отправившийся вниз, тоже окажется правым. Каждый унесет по +1 единице момента относительно направления своего импульса[73], что означает +1 и -1 относительно оси z. В сумме будет нуль, и момент количества движения после распада окажется таким же, как и до распада (фиг. 16.6).

Фиг. 16.6. Одна из возможностей для аннигиляции позитрония вдоль оси z.

Те же рассуждения показывают, что если движущийся вверх фотон является правым, то движущийся вниз не может быть левым, ведь тогда конечное состояние обладало бы двумя единицами момента количества движения. А это не разрешается, если спин начального состояния равен нулю. Заметьте, что такое конечное состояние невозможно и тогда, когда основное состояние позитрония обладает спином 1, потому что в этом случае наибольшая величина момента количества движения в любом направлении равна единице.

А теперь мы покажем, что двухфотонная аннигиляция из состояния со спином 1 вообще невозможна. Могло бы показаться, что это не так, что если взять состояние с j=1, m=0, у которого момент количества движения относительно оси z равен нулю, то оно будет походить на состояние со спином 0 и поэтому распадется на два правых фотона. Конечно, изображенный на фиг. 16.7, а распад сохраняет момент количества движения относительно оси z.

Фиг. 16.7. Для состояния позитрония с j=1 процесс (а) и процесс (б), получаемый поворотом (а) вокруг оси у на 180°, в точности совпадают.

Но посмотрим, что будет, если мы повернем эту систему вокруг оси у на 180°; получится то, что показано на фиг. 16.7, б, т. е. конфигурация, в точности совпадающая с фиг. 16.7, а. Обменялись местами два фотона и больше ничего. А ведь фотоны — это бозе-частицы; перестановка их местами не меняет знака амплитуды, так что амплитуда распада на конфигурацию, показанную на фиг. 16.7, б, должна быть такой же, как и на конфигурацию фиг. 16.7, а. Но мы предположили, что у начального объекта спин был равен единице. А когда мы поворачиваем объект со спином 1 в состоянии с m=0 на 180° вокруг оси у, то его амплитуда меняет знак (см. табл. 15.2 для θ=π). Значит, амплитуды обеих конфигураций на фиг. 16.7 должны иметь обратные знаки; частица со спином 1 не может распадаться на два фотона.

Когда образуется позитроний, то можно ожидать, что в течение ¹/₄ времени он будет превращаться в состояние со спином 0 и в течение ³/₄ времени — в состояние со спином 1 (с m=-1,0 или +1). Так что ¹/₄ времени будет происходить двухфотонная аннигиляция. Остальные ³/₄ времени двухфотонная аннигиляция происходить не может. Аннигиляция происходит, но на три фотона. Такой аннигиляции труднее дождаться, и время жизни получается в 1000 раз дольше — около 10^-7сек. Это и наблюдается на опыте. Аннигиляцией состояния со спином 1 мы подробнее заниматься не будем.

До сих пор мы, опираясь на сохранение момента количества движения, считали, что состояние позитрония с нулевым спином может превращаться в два правых фотона. Имеется и другая возможность: это состояние может превратиться в пару левых фотонов, как показано на фиг. 16.8. Следующий вопрос — каково соотношение между амплитудами этих двух типов распада? Это можно узнать, учтя сохранение четности.

Но для этого нам нужно знать четность позитрония. Физики-теоретики показали (сложным путем, который нелегко пояснить), что четности электрона и позитрона (его античастицы) должны быть противоположны, так что основное состояние позитрония со спином 0 должно обладать отрицательной четностью. Мы просто предположим, что четность отрицательна, и, поскольку мы получим согласие с экспериментом, мы сочтем это достаточно убедительным доводом.

Посмотрим же, что произойдет, если мы проделаем инверсию процесса на фиг. 16.6. При инверсии оба фотона меняют свои направления и поляризации. Обращенная картина выглядит так, как показано на фиг. 16.8.

Фиг. 16.8 Другой мыслимый процесс аннигиляции позитрония.

Если считать, что четность позитрония отрицательна, то амплитуды процессов на фиг. 16.6 и 16.8 должны иметь обратные знаки. Пусть |R₁R₂> — конечное состояние на фиг. 16.6, где оба фотона правые, а |L₁L₂> — конечное состояние на фиг. 16.8, где оба фотона — левые. Истинное конечное состояние (обозначим его |F>) должно быть таким:

(16.19)

Тогда инверсия поменяет местами все R со всеми L и приведет к состоянию

имеющему по сравнению с (16.19) знак минус. Значит, конечное состояние |F> обладает отрицательной четностью, совпадающей с четностью первоначального состояния позитрония со спином 0. Это единственное конечное состояние, которое сохраняет и момент количества движения и четность. Можно, конечно, вычислить амплитуду того, что произойдет распад в это состояние, но мы не будем этим заниматься, нас сейчас интересует только поляризация.

Что же означает состояние (16.19) физически? Один из выводов таков: если мы наблюдаем пару фотонов при помощи двух детекторов, которые могут порознь считать число левых или число правых фотонов, то мы всегда будем видеть одновременно либо пару правых, либо пару левых фотонов. Иначе говоря, если вы встанете по одну сторону позитрония, а ваш приятель по другую, то вы сможете, измеряя поляризацию, сказать вашему приятелю, какая поляризация у него получилась. С вероятностью 50% вы будете ловить то левый, то правый фотон; что вы поймаете, то и предсказывайте.

Раз левая и правая поляризации встречаются поровну, то все это сильно смахивает на линейную поляризацию. Спросим себя, что будет, если наблюдать фотон с помощью счетчиков, которые воспринимают только линейно поляризованный свет? Поляризацию γ-квантов измерять не так легко, как поляризацию света; нет таких поляризаторов, которые на столь коротких волнах хорошо работают. Но вообразим, чтобы облегчить обсуждение, что такое бывает. Пусть имеется счетчик, который воспринимает только x-поляризованный свет, а по ту сторону позитрония стоит кто-то, кто тоже наблюдает линейно поляризованный свет, но только, скажем, y-поляризованный. Каков шанс, что вы оба одновременно заметите фотоны от аннигиляции? Нужно найти амплитуду того, что |F> будет в состоянии |х₁y₂>. Иными словами, мы ищем амплитуду

которая, конечно, равна просто разности

(16.21)

Далее, хотя нам сейчас нужны двухчастичные амплитуды для двух фотонов, с ними здесь можно обращаться так же, как с амплитудами для отдельных частиц, ведь каждая частица действует независимо от другой. Это значит, что амплитуда <x₁y₂|R₁R₂> попросту равна произведению двух независимых амплитуд <x₁|R₁> и <y₂|R₂>. Эти амплитуды (см. табл. 15.3) равны 1/√2 и i/√2, так что

Аналогично,

Вычитая их, как сказано в (16.21), получаем

(16.22)

Значит, если вы заметите в своем x-поляризованном детекторе фотон, то ваш приятель с вероятностью единица тоже заметит фотон в своем y-поляризованном детекторе[74].

Теперь предположим, что ваш приятель настраивает свой счетчик на ту же х-поляризацию, что и вы. Тогда он ни за что не получит отсчета одновременно с вами. Подсчитав все, что надо, вы найдете, что

(16.23)

Естественно, если вы настроите свой счетчик на y-поляризацию, то ваш приятель будет получать совпадающие отсчеты только тогда, когда он сам настроится на z-поляризацию.

Все это создает интересное положение. Представьте, что вы взяли кусок известкового шпата, который разделяет фотоны на х- и y-поляризованные пучки, и в каждом пучке поставили по счетчику. Назовем один из них x-счетчик, другой — y-счетчик. Если ваш приятель, стоящий по другую сторону, сделает то же самое, вы всегда сможете его предупредить, в каком пучке собирается пройти его фотон. Всякий раз, как у вас и у него получаются одновременные отсчеты, вы можете посмотреть, в какой из ваших детекторов попал фотон, и дать ему знать, какой из его счетчиков поймал фотон. Пусть, скажем, в некотором распаде вы обнаружите, что фотон вошел в ваш x-счетчик; тогда вы крикнете ему, что в его y-счетчике произошел отсчет.

Многих людей, изучающих квантовую механику обычным (старомодным) способом, это обстоятельство очень волнует. Им хотелось бы считать, что когда фотон излучается, то он движется как волна определенного характера. Они хотели бы думать, что поскольку «каждый данный фотон» обладает некоторой «амплитудой» того, что он окажется х- или y-поляризованным, то должен быть определенный шанс поймать его либо в х-, либо в y-счетчике, и что этот шанс не должен зависеть от того, что обнаруживает другой человек у совершенно другого фотона. Они доказывают, что «если кто-то другой делает измерения, он не должен быть в состоянии изменить вероятность того, что я обнаружу». Наша квантовая механика утверждает, однако, что, делая измерения над фотоном № 1, вы в состоянии предсказать точно, какая собирается быть поляризация у фотона № 2. С этим никак не мог согласиться Эйнштейн. Этот парадокс, так называемый «парадокс Эйнштейна — Подольского — Розена», его очень беспокоил. Но если описать положение вещей так, как это было сделано у нас, то вообще нет никакого парадокса; вполне естественно получается, что то, что измеряется в одном месте, коррелировано с тем, что измеряется где-то в другом. Рассуждать, чтобы результат стал парадоксальным, надо примерно так:

1) Если у вас есть счетчик, который сообщает вам, какой ваш фотон — правый или левый, то вы можете точно предсказать сорт фотона (правый или левый), который обнаружит ваш приятель.

2) Каждый фотон, который он принимает, должен поэтому быть либо чисто левым, либо чисто правым, причем часть фотонов будет одного сорта, а часть другого.

3) Вы бесспорно не в состоянии переменить физическую природу его фотонов, меняя характер тех наблюдений, которые вы совершаете над вашими фотонами. Какие бы вы измерения ни проделывали над своими фотонами, его фотоны по-прежнему должны быть либо правыми, либо левыми.

4) Допустим, что он меняет свой аппарат так, чтобы расщепить свои фотоны при помощи куска известкового шпата на два линейно поляризованных пучка, так что все его фотоны перейдут либо в x-поляризованный, либо в y-поляризованный пучок. Согласно квантовой механике, нет никакого способа сообщить, в какой из пучков перейдет заданный правый фотон. Есть 50%-ная вероятность, что он пойдет в x-пучок, и 50%-ная вероятность, что в y-пучок. То же будет и с левым фотоном.

5) Поскольку каждый фотон является либо левым, либо правым (согласно пунктам 2 и 3), то каждый из них должен с 50%-ной вероятностью перейти либо в x-пучок, либо в y-пучок, и невозможно предсказать, какой путь он выберет.

6) А теория предсказывает, что если вы заметили, что ваш фотон прошел через x-поляризатор, то вы со всей определенностью можете предсказать, что его фотон пройдет в его y-поляризованном пучке. Это противоречит пункту 5, так что налицо парадокс.

Но природа, по всей видимости, не замечает этого «парадокса», потому что опыт свидетельствует о том, что предсказание пункта 6 в действительности верно. Мы уже обсуждали ключ к решению этого «парадокса» в нашей самой первой лекции по квантовомеханическому поведению [см. гл. 37 (вып. 3)]. В приведенном выше рассуждении пункты 1, 2, 4 и 6 все правильны, а пункт 3 и, как следствие этого, пункт 5 — ошибочны; они не являются правильным описанием природы. Рассуждение в пункте 3 говорит, что с помощью вашего измерения (наблюдения правого или левого фотона) вы можете определить, какое из двух взаимоисключающих событий произойдет у него (увидит ли он правый фотон или левый), и что даже если вы не проделаете своих измерений, вы все равно сможете сказать, что у него произойдет либо одно событие, либо другое. В этом и состоит суть рассказанного в гл. 37 (вып. 3) — подчеркнуть сразу, с самого начала, что в Природе дело обстоит совсем не так. Ее путь требует описания на языке интерферирующих амплитуд, по одной амплитуде для каждого события, исключающего другие события. Измерение, в котором действительно реализуется одна из возможностей, разрушает интерференцию, но если измерение проделано не было, вы не вправе говорить, что все равно реализуется либо одна возможность, либо другая».

Вот если бы вы могли определить для каждого из ваших фотонов, какой он — правый или левый и, кроме того, является ли он x-поляризованным (все для одного и того же фотона), то это действительно было бы парадоксом. Но этого вы не сможете сделать — перед вами пример принципа неопределенности.

Если вы все еще не удовлетворены и считаете это «парадоксом», то покажите, что это действительно парадокс: придумайте такой воображаемый опыт, для которого теория квантовой механики двумя различными рассуждениями предсказывала бы два несогласующихся результата. В противном случае «парадокс» — это всего лишь конфликт между тем, что есть на самом деле, и вашим ощущением того, какой «полагалось бы быть» реальной природе.

Вы считаете, что это не «парадокс», но что это все же очень странно? С этим мы все можем согласиться. Именно это и делает физику столь захватывающе интересной.

§ 4. Матрица поворота для произвольного спина

Сейчас, я надеюсь, вам уже ясно, как важно представление о моменте количества движения для понимания атомных процессов. До сих пор мы рассматривали только системы со спинами (или «полными моментами количества движения») 0, ¹/₂ и 1. Но бывают, конечно, и атомные системы с большими моментами количества движения. Для анализа таких систем нужны такие же таблицы амплитуд поворота, какие мы привели в гл. 15, § 6. Иными словами, нужна матрица амплитуд для спина ³/₂, 2, ⁵/₂, 3 и т. д. Мы не будем подробно рассчитывать эти таблицы, но хотели бы показать, как это делается, чтобы вы, если понадобится, могли сами это проделать.

Как мы видели раньше, любая система со спином, или «полным моментом количества движения», j может существовать в одном из 2j+1 состояний, в которых z-компонента момента количества движения принимает одно из дискретных значений j, j-1, j -2, ..., -(j-1), -j (все в единицах ℏ). Обозначая z-компоненту момента количества движения произвольного выбранного состояния через mℏ, можно определить состояние момента количества движения, задав численные значения двух «квантовых чисел момента количества движения» j и m. Такое состояние можно отметить, указав вектор состояния |j, m>. В случае частиц со спином ¹/₂ могут быть два состояния |¹/₂, ¹/₂> и |¹/₂, -¹/₂> a состояния системы со спином 1 в этих обозначениях можно записать как |1, +1>, |1, 0>, |1, -1>. У частицы со спином 0 может быть, конечно, лишь одно состояние |0, 0>.

Теперь мы можем посмотреть, что происходит, когда мы проецируем общее состояние |j, m> на представление, относящееся к повернутой системе осей. Прежде всего известно, что j — это число, которое характеризует систему, поэтому оно не меняется. При повороте осей мы получим просто смесь различных значений m для одного и того же j. В общем случае появится амплитуда того, что система в повернутой системе координат окажется в состоянии |j, m'>, где m' — новая z-компонента момента количества движения. Значит, нам нужны матричные элементы <j, m' |R|j, m> всевозможных поворотов. Мы уже знаем, что бывает, если поворот делается на угол φ вокруг оси z. Новое состояние — это попросту старое, умноженное на e^imφ, у него по-прежнему то же значение т. Это можно записать так:

(16.24)

или, если вам больше нравится,

(16.25)

(где δ_m,m' равно единице при m'=m, и нулю в прочих случаях).

При поворотах вокруг любой другой оси возникает перемешивание различных m-состояний. Можно было бы, конечно, попытаться подсчитать матричные элементы для произвольных поворотов, описываемых углами Эйлера β,α и γ. Но будет легче, если мы вспомним, что самый общий такой поворот может быть составлен из трех поворотов R_z(γ), R_y(α), R_z(β); так что если мы знаем матричные элементы для поворотов вокруг оси y, то уже располагаем всем необходимым.

Как же нам найти матрицу поворота для поворота частицы со спином j на угол θ вокруг оси у? Опираясь на основные законы (и на то, что уже было), это сделать нелегко. Мы так поступали со спином ¹/₂: вывели все, что нужно, пользуясь довольно сложными соображениями симметрии. Для спина 1 мы это проделали уже иначе: рассмотрели частный случай, когда система со спином 1 складывается из двух систем со спином ¹/₂. Если вы последуете за нами и признаете правильным тот факт, что в общем случае ответы зависят только от спина j, а не от того, как скреплены между собой разные части системы со спином j, то мы сможем обобщить рассуждения для спина 1 на произвольный спин. Мы сможем, например, соорудить искусственную систему со спином ³/₂ из трех объектов со спином ¹/₂. Мы сможем даже избежать всяких усложнений, вообразив, что все они суть различные частицы — скажем, протон, электрон и мюон. Преобразуя каждый объект со спином ¹/₂, мы увидим, что происходит со всей системой — надо только вспомнить, что для комбинированного состояния все амплитуды перемножаются. Давайте посмотрим, как все это проходит.

Допустим, мы расположили все три объекта со спином ¹/₂ спинами вверх; обозначим такое состояние |+++>. Если мы взглянем на него из системы координат, повернутой относительно оси z на угол φ, то каждый плюс останется плюсом, но умножится на е^iφ/2. Таких множителей у нас тройка, так что

(16.26)

Ясно, что состояние |+++> — это как раз то, что мы называем состоянием m=+³/₂, или состоянием |³/₂, +³/₂>.

Если мы затем повернем эту систему вокруг оси у, то у каждого из объектов со спином ¹/₂ появится некоторая амплитуда стать плюсом или стать минусом, так что вся система станет теперь смесью восьми возможных комбинаций |+++>, |++->, |+-+>, |-++>, |+-->, |-+->, |--+> или |--->. Ясно, однако, что их можно разбить на четыре группы, чтобы каждая соответствовала своему значению m. Прежде всего мы имеем |+++>, для которого m=³/₂. Затем имеется тройка состояний |++->, |+-+> и |-++> — каждое с двумя плюсами и одним минусом. Поскольку каждый из объектов со спином ¹/₂ имеет равные шансы стать после поворота минусом, то каждая из этих трех комбинаций должна войти на равных паях. Поэтому возьмем комбинацию

(16.27)

где множитель 1/√3 поставлен для нормировки. Если мы повернем это состояние вокруг оси z, то получим множитель e^iφ/2 для каждого плюса и e^-iφ/2 для каждого минуса. Каждое слагаемое в (16.27) умножится на e^iφ/2, и общий множитель е^iφ/2 мы вынесем за скобки. Такое состояние соответствует нашему представлению о состоянии с m=+¹/₂; мы приходим к выводу, что

(16.8)

Точно так же можно написать

(16.29)

что соответствует состоянию с m=-¹/₂. Заметьте, что мы берем только симметричные сочетания, у нас нет комбинаций, куда входят слагаемые со знаком минус. Они отвечали бы состояниям с таким же m, но с иным j. Это аналогично случаю спина 1, где (1/√2){|+->+|-+>} было состоянием |1,0>, а (1/√2){|+->-|-+>} было состоянием |0,0>. Наконец, мы имеем

(16.30)

Эта четверка состояний сведена в табл. 16.1.

Таблица 16.1. СВОДКА СОСТОЯНИЙ

Все, что нам теперь нужно сделать, это взять каждое состояние, повернуть его вокруг оси у и посмотреть, сколько новых состояний оно создаст — пользуясь известной нам матрицей поворота для частицы спина ¹/₂. Можно поступать так же, как мы это делали в случае спина 1 [см. гл. 10, § 6 (вып. 8)]. (Только алгебры будет побольше.) Мы будем строго следовать идеям гл. 10 (вып. 8), так что подробных объяснений давать не будем. Состояния в системе S будут обозначаться

и т. д.; T-системой будет считаться система, повернутая вокруг оси у системы S на угол θ. Состояния в T-системе будут обозначаться |³/₂, +³/₂, T>, |³/₂, +¹/₂, T> и т. д. Ясно, что |³/₂, +³/₂, T> это то же самое, что |+'+'+'> (штрихи всегда относятся к T-системе). Точно так же |³/₂, +¹/₂, T> будет равняться

и т. д. Каждое |+'>-состояние в T-системе получается как из |+>-, так и из |->-состояний в системе S с помощью матричных элементов из табл. 10.4 (вып. 8).

Если мы имеем тройку частиц со спином ¹/₂, то (10.47) надо заменить на

(16.31)

Пользуясь обозначениями табл. 10.4, получим вместо (10.48) уравнение

(16.32)

Это уже дает нам некоторые из наших матричных элементов <jT| iS>. Чтобы получить выражение для |³/₂, +¹/₂, S>, мы должны исходить из преобразования состояния с двумя плюсами и одним минусом. К примеру,

(16.33)

Добавляя два сходных выражения для |+—+> и |—++> и деля на √3, найдем

(16.34)

Продолжая этот процесс, мы найдем все элементы <jT|iS> матрицы преобразования. Они приведены в табл. 16.2. Первый столбец получается из (16.32), второй — из (16.34). Последние два столбца были вычислены таким же способом.

Теперь допустим, что T-система была повернута относительно S-системы на угол θ вокруг ее оси у. Тогда а, b, с и d равны [см. (10.54), вып. 8]: а=d=cosθ/2, с=-b=sinθ/2. Подставляя это в табл. 16.2, получаем формулы, похожие на вторую половину табл. 15.2, но на этот раз для системы со спином ³/₂.

Таблица 16.2. МАТРИЦА ПОВОРОТА ДЛЯ ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ ³/₂

Коэффициенты а, b, с и d объясняются в табл. 10.4.

Рассуждения, которые мы только что провели, были обобщены на систему с произвольным спином j. Состояния |j, m> можно составить из 2j частиц со спином ¹/₂ у каждой. (Из них j+m будут в |+>-состоянии, а j-m будут в |->-состоянии.) Проводится суммирование по всем возможным способам, какими их можно сочетать, а затем состояния нормируются умножением на надлежащую постоянную. Если у вас есть способности к математике, то вы сможете доказать, что получается следующий результат[75]:

(16.35)

где k пробегает все те значения, при которых под знаком факториала получаются неотрицательные величины.

Это очень запутанная формула, но с ее помощью вы сможете проверить табл. 15.2 для j=1 и составить ваши собственные таблицы для больших j. Некоторые матричные элементы очень важны и получили особые наименования. Например, матричные элементы для m=m'=0 и целых j известны под названием полиномов Лежандра и обозначаются

(16.36)

Первые из них таковы:

(16.37)

(16.38)

(16.39)

(16.40)

§ 5. Измерение ядерного спина

Продемонстрируем теперь пример, где понадобятся только что описанные коэффициенты. Он связан с проделанными не так давно интересными опытами, которые вы теперь в состоянии будете понять. Некоторым физикам захотелось узнать спин одного из возбужденных состояний ядра Ne²⁰. Для этого они принялись бомбить углеродную мишень пучком ускоренных ионов углерода и породили нужное им возбужденное состояние Ne²⁰ (обозначаемое Ne^20*) в реакции

где α₁ — это α-частица, или Не⁴. Кое-какие из создаваемых таким образом возбужденных состояний Ne²⁰ неустойчивы и распадаются таким путем:

Значит, на опыте видны возникающие в реакции две α-частицы. Обозначим их α₁ и α₂; поскольку они вылетают с разными энергиями, их можно отличить друг от друга. Кроме того, выбирая α₁, имеющие нужную энергию, мы можем отобрать любые возбужденные состояния Ne²⁰.

Опыт ставился так, как показано на фиг. 16.9.

Фиг. 16.9. Размещение приборов в опыте по определению спина возбужденных состояний Ne²⁰.

Пучок ионов углерода с энергией 16 Мэв был направлен на углеродную пленку. Первая α-частица регистрировалась кремниевым детектором, настроенным на прием α-частиц с нужной энергией, движущихся вперед (по отношению к падающему пучку ионов С¹²). Вторая α-частица регистрировалась счетчиком α₂, поставленным под углом θ к α₁. Скорость счета сигналов совпадений от α₁ и α₂ измерялась как функция угла θ.

Идея опыта в следующем. Прежде всего нужно знать, что спины С¹², О¹⁶ и α-частицы все равны нулю. Назовем направление движения начальных частиц С¹² направлением +z; тогда известно, что Ne^20* должен обладать нулевым моментом количества движения относительно оси z. Ведь ни у одной из остальных частиц нет спина; кроме того, С¹² прилетает вдоль оси z и α₁ улетает вдоль оси z, так что у них не может быть момента относительно этой оси. И каким бы ни был спин j ядра Ne^20*, мы знаем, что это ядро находится в состоянии |j, 0>. Что же случится, когда Ne^20* распадется на О¹⁶ и другую α-частицу? Что ж, α-частицу поймает счетчик α₂, а О¹⁶, чтобы сохранить начальный импульс, вынужден будет уйти в противоположную сторону[76]. Относительно новой оси (оси α₂) не может быть тоже никакой компоненты момента количества движения. А раз конечное состояние имеет относительно новой оси нулевой момент количества движения, то у распада Ne^20* должна быть некоторая амплитуда того, что m'=0, где m'—квантовое число компоненты момента количества движения относительно новой оси. Вероятность наблюдать α₂ под углом θ будет на самом деле равна квадрату амплитуды (или матричного элемента)

(16.41)

Чтобы получить спин интересующего нас состояния Ne^20*, вычертим интенсивность наблюдений второй α-частицы как функцию угла и сравним с теоретическими кривыми для различных значений j. Как мы отмечали в конце предыдущего параграфа, амплитуды <j,0|R_y(θ)|j,0>—это просто функции Р_j(cosθ). Значит, угловые распределения будут следовать кривым [P_j(cosθ)]². Экспериментальные результаты для двух возбужденных состояний показаны на фиг. 16.10.

Фиг. 16.10. Экспериментальные результаты измерений углового распределения α-частиц, вылетающих при распаде двух возбужденных состояний Ne²⁰. Они получены на устройстве, показанном на фиг. 16.9.

Вы видите, что угловое распределение для состояния 5,80 Мэв очень хорошо укладывается на кривую [Р₁(cosθ)]², т. е. оно должно быть состоянием со спином 1. С другой стороны, данные для состояния 5,63 Мэв выглядят совершенно иначе; они ложатся на кривую [Р₃(cosθ)]². Спин этого состояния равен 3.

В этом опыте мы измерили момент количества движения двух возбужденных состояний Ne^20*. Этой информацией можно воспользоваться, чтобы понять, как ведут себя протоны и нейтроны внутри этого ядра, и это принесет нам добавочные сведения о таинственных ядерных силах.

§ 6. Сложение моментов количества движения

Когда мы изучали сверхтонкую структуру атома водорода в гл. 10 (вып. 8), нам пришлось рассчитывать внутренние состояния системы, составленной из двух частиц — электрона и протона — со спинами ¹/₂. Мы нашли, что четверка возможных спиновых состояний такой системы может быть разбита на две группы — на тройку состояний с одной энергией, которая во внешнем поле выглядела как частица со спином 1, и на одно оставшееся состояние, которое вело себя как частица со спином 0. Иначе говоря, объединяя две частицы со спином ¹/₂, можно образовать систему, «полный спин» которой равен либо единице, либо нулю. В этом параграфе мы хотим рассмотреть на более общем уровне спиновые состояния системы, составленной из двух частиц с произвольными спинами. Это другая важная проблема, связанная с моментами количества движения квантовомеханической системы.

Перепишем сперва результаты гл. 10 для атома водорода в форме, которая позволит распространить их на более общий случай. Мы начали с двух частиц, которые теперь обозначим так: частица а (электрон) и частица b (протон). Спин частицы а был равен j_a (=¹/₂), а z-компонента момента количества движения m_а могла принимать одно из нескольких значений (на самом деле два, а именно m_а=+¹/₂ или m_а=-¹/₂). Точно так же спиновое состояние частицы b описывалось ее спином j_b и z-компонентой момента количества движения m_b. Из всего этого можно было составить несколько комбинаций спиновых состояний двух частиц. Например, из частицы а с m_а=¹/₂ и частицы b с m_b=-¹/₂ можно было образовать состояние |а, +¹/₂; b, -¹/₂>. Вообще, объединенные состояния образовывали систему, у которой «спин системы», или «полный спин», или «полный момент количества движения» J мог быть равен либо единице, либо нулю, а z-компонента момента количества движения М могла равняться +1, 0 или -1 при J=1 и нулю при J=0. На этом новом языке формулы (10.41) и (10.42) можно переписать так, как показано в табл. 16.3.

Таблица 16.3. СОСТАВЛЕНИЕ МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ ДВУХ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ ¹/₂

Левый столбец таблицы описывает составное состояние через его полный момент количества движения J и z-компоненту М. Правый столбец показывает, как составляются эти состояния из значений m двух частиц а и b.

Мы хотим обобщить этот результат на состояния, составленные из двух объектов а и b с произвольными спинами j_а и j_b. Начнем с разбора примера, когда j_а=¹/₂ и j_b=1, а именно с атома дейтерия, в котором частица а — это электрон е, а частица b — ядро, т. е. дейтрон d. Тогда j_a=j_e=¹/₂. Дейтрон образован из одного протона и одного нейтрона в состоянии с полным спином 1, так что j_b=j_d=1. Мы хотим рассмотреть сверхтонкие состояния дейтерия, как мы сделали это для водорода. Поскольку у дейтрона может быть три состояния, m_b=m_d=+1, 0, -1, а у электрона — два, m_а=m_е=+¹/₂, -¹/₂, то всего имеется шесть возможных состояний, а именно (используется обозначение |е, m_e; d, m_d>):

(16.42)

Обратите внимание, что мы разверстали состояния согласно значениям суммы m_e и m_d в порядке ее убывания.

Спросим теперь: что случится с этими состояниями, если спроецировать их в другую систему координат? Если эту новую систему просто повернуть вокруг оси z на угол φ, то состояние |е, m_e; d, m_d> умножается на

(16.43)

(Состояние можно считать произведением |е, m_е>|d, m_d>, и каждый вектор состояния независимо привнесет свой собственный экспоненциальный множитель.) Множитель (16.43) имеет форму е^iMφ, поэтому z-компонента момента количества движения у состояния |е, m_е; d, m_d> окажется равной

(16.44)

Иначе говоря, z-компонента полного момента количества движения есть сумма z-компонент моментов количества движения отдельных частей.

Значит, в перечне состояний (16.42) верхнее состояние имеет М=+³/₂, два следующих М=+¹/₂, затем два М=-¹/₂ и последнее состояние М=-³/₂. Мы сразу же видим, что одной из возможностей для спина J объединенного состояния (для полного момента количества движения) должно быть ³/₂, это потребует четырех состояний с М=+³/₂, +¹/₂, -¹/₂ и -³/₂. На М=+³/₂ есть только один кандидат, и мы сразу видим, что

(16.45)

Но что является состоянием |J=³/₂, М=+¹/₂>? Кандидатов здесь два, они стоят во второй строчке (16.42), и всякая их линейная комбинация тоже даст М=+¹/₂. Значит, в общем случае можно ожидать, что

(16.46)

где α и β — два числа. Их именуют коэффициенты Клебша—Гордона. Найти их и будет нашей очередной задачей.

И мы их легко найдем, если просто вспомним, что дейтрон состоит из нейтрона и протона, и в явном виде распишем состояния дейтрона, пользуясь правилами табл. 16.3. Если это проделать, то перечисленные в (16.42) состояния будут выглядеть так, как показано в табл. 16.4.

Таблица 16.4. СОСТОЯНИЯ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ АТОМА ДЕЙТЕРИЯ

Пользуясь состояниями из этой таблицы, мы хотим образовать четверку состояний с J=³/₂. Но ответ нам уже известен, потому что в табл. 16.1 уже стоят состояния со спином ³/₂, образованные из трех частиц со спином ¹/₂. Первое состояние в табл. 16.1 имеет |J=³/₂, М=+³/₂>, это |+++>, а в наших нынешних обозначениях это |e, +¹/₂; n, +¹/₂; p, +¹/₂>, или первое состояние из табл. 16.4. Но это состояние — то же самое, что первое по списку в (16.42), так что наше выражение (16.45) подтверждается. Вторая строчка в табл. 16.1 утверждает, если воспользоваться нашими теперешними обозначениями, что

(16.47)

То, что стоит в правой части, можно, очевидно, составить из двух членов во второй строчке табл. 16.4, взяв √²/₃ от первого члена и √¹/₃ от второго. Иначе говоря, (16.47) эквивалентно

(16.48)

Мы нашли два наших первых коэффициента Клебша—Гордона α, и β [см. (16.46)]:

(16.49)

Повторяя ту же процедуру, найдем

(16.50)

а также, конечно,

(16.51)

Это и есть правила составления из спина 1 и спина ¹/₂ полного спина J=³/₂. Мы свели (16.45) и (16.50) в табл. 16.5.

Таблица 16.5. СОСТОЯНИЯ С J=³/₂ АТОМА ДЕЙТЕРИЯ

Но у нас пока есть только четыре состояния, а у системы, которую мы рассматриваем, их шесть.

Из двух состояний во второй строчке (16.42) мы для образования |J=³/₂, М=+¹/₂> составили только одну линейную комбинацию. Есть и другая линейная комбинация, ортогональная к ней, у нее тоже М=+¹/₂ и она имеет вид

(16.52)

Точно так же из двух состояний в третьей строке (16.42) можно скомбинировать два взаимно-ортогональных состояния, каждое с М=-¹/₂. То, которое ортогонально к (16.50), имеет вид

(16.53)

это и есть два оставшихся состояния. У них M=m_e+m_d=±¹/₂; эти состояния должны соответствовать J=¹/₂. Итак, мы имеем

(16.54)

Можно убедиться, что эти два состояния действительно ведут себя как состояния объекта со спином ¹/₂; для этого надо выразить дейтронную часть через нейтронные и протонные состояния (при помощи табл. 16.3). Первое состояние в (16.53) превратится в

(16.55)

а это можно переписать так:

(16.56)

Посмотрите теперь на выражение в первых фигурных скобках и подумайте, что получается при объединении е и р. Вместе они образуют состояние с нулевым спином (см. нижнюю строку в табл. 16.3) и не дают вклада в момент количества движения. Остался только нейтрон, значит, вся первая фигурная скобка (16.56) будет вести себя при поворотах как нейтрон, а именно как состояние с J=¹/₂, M=+¹/₂.

Повторяя те же рассуждения, убедимся, что во вторых фигурных скобках (16.56) электрон и нейтрон объединяются, чтобы образовать нулевой момент количества движения, и остается только вклад протона — с m_p=+¹/₂. Скобка опять ведет себя как объект с J=+¹/₂, М=+¹/₂. Значит, и все выражение (16.56) преобразуется как |J=+¹/₂, М=+¹/₂>, чего мы и хотели. Состояние М=-¹/₂, отвечающее формуле (16.56), можно расписать так (заменив везде, где нужно, +¹/₂ на -¹/₂):

(16.57)

Вы легко проверите, что это совпадает со второй строчкой в (16.54), как и полагается, если каждая скобка представляет собой одно из двух состояний системы со спином ¹/₂. Значит, наши результаты подтвердились. Дейтрон и электрон могут существовать в шести спиновых состояниях, четыре из которых ведут себя как состояния объекта со спином ³/₂ (табл. 16.5), а два — как объект со спином ¹/₂ (16.54).

Результаты табл. 16.5 и уравнения (16.54) мы получили, воспользовавшись тем, что дейтрон состоит из нейтрона и протона. Правильность уравнений не зависит от этого особого обстоятельства. Для любого объекта со спином 1, объединяемого с объектом со спином ¹/₂, законы объединения (и коэффициенты) одни и те же. Совокупность уравнений в табл. 16.5 означает, что если система координат поворачивается, скажем, вокруг оси у, так что состояния частицы со спином ¹/₂ и частицы со спином 1 изменяются согласно табл. 16.1 и 16.2, то линейные комбинации по правую сторону знака равенства будут изменяться так, как это свойственно объекту со спином ³/₂. При таком же повороте состояния (16.54) будут меняться как состояния объекта со спином ¹/₂. Результаты зависят только от свойств относительно поворотов (т. е. от спиновых состояний) двух исходных частиц, но отнюдь не от происхождения их моментов количества движения. Мы этим происхождением воспользовались лишь для вывода формул, выбрав частный случай, в котором одна из составных частей сама состоит из двух частиц со спином ¹/₂ в симметричном состоянии. Все наши результаты мы свели в табл. 16.6, изменив индексы е и d на а и b, чтобы подчеркнуть их общность.

Таблица 16.6. ОБЪЕДИНЕНИЕ ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ ¹/₂( j_a=¹/₂) С ЧАСТИЦЕЙ СО СПИНОМ 1 (j_b=1)

Поставим теперь себе общую задачу найти состояния, которые можно образовать, объединяя два объекта с произвольными спинами. Скажем, у одного спин j_a (так что его z-компонента m_а пробегает 2j_а+1 значений от -j_a до +j_a, а у другого j_b (с z-компонентой m_b, пробегающей значения от -j_b до+j_b).

Объединенные состояния суть |а, m_а; b, m_b>, их всего (2j_a+1)(2j_b+1). Какие же состояния с полным спином J мы обнаружим?

Полная z-компонента М момента количества движения равняется m_а+m_b, и все состояния можно перечислить, опираясь на величину М [как в (16.42)]. Наибольшее М является единственным; оно отвечает значениям m_a=j_a и m_b=j_b и равно попросту j_a+j_b. Это означает, что наибольший полный спин J также равен сумме j_а+j_b:

Следующему значению М, меньшему чем М_макс на единицу, будут соответствовать два состояния (либо m_а, либо m_b меньше своих максимальных значений на единицу). Из них должно быть образовано одно состояние, принадлежащее совокупности с J=j_a+j_b, и останется еще одно, которое будет принадлежать новой совокупности с J=j_a+j_b-1. Следующее значение М (третье сверху) можно составить тремя путями (из m_a=j_a — 2, m_b=j_b, из m_a=j_a-1, m_b=j_b-1 и из m_a=j_a, m_b=j_b -2). Два из них принадлежат к уже начавшим составляться группам; третье говорит нам, что надо включить в рассмотрение и состояния с J=j_a+j_b-2. Такие рассуждения будут продолжаться до тех пор, пока уже нельзя будет, меняя то одно, то другое m, получать новые состояния.

Пусть из j_а и j_b меньшим является j_b (а если они одинаковы, возьмите любое из них); тогда понадобятся только 2j_b значений полного спина J, идущих единичными шагами от j_а+j_b вниз к j_а-j_b. Иначе говоря, когда объединяются два объекта со спинами j_а и j_b, то полный момент количества движения J их системы может равняться одному из значений:

(16.58)

(Написав |j_a-j_b| вместо j_a-j_b, мы можем избежать напоминания о том, что j_a≥j_b.)

Для каждого из этих значений J имеется 2J+1 состояний с различными значениями М; М меняется от +J до -J. Каждое из них образовано из линейных комбинаций исходных состояний |а, m_а; b, m_b> с соответствующими коэффициентами — коэффициентами Клебша—Гордона для каждого отдельного члена. Можно считать, что эти коэффициенты дают «количество» состояния |j_a, m_a; j_b, m_b>, проявляющегося в состоянии |J,M>. Так что каждый из коэффициентов Клебша—Гордона обладает, если угодно, шестью индексами, указывающими его положение в формулах типа приведенных в табл. 16.3 и 16.6. Иначе говоря, обозначая, скажем, эти коэффициенты С (J, М; j_a, m_a; j_b, m_b), можно выразить равенство во второй строчке табл. 16.6 так:

Мы не будем здесь подсчитывать коэффициенты для других частных случаев[77]. Но вы обнаружите такие таблицы во многих книжках. Попробуйте сами подсчитать другой случай, например объединение двух объектов со спином 1. Мы же просто привели в табл. 16.7 окончательный результат.

Таблица 16.7. ОБЪЕДИНЕНИЕ ДВУХ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ 1 (j_a=1, j_b=1)

Эти законы объединения моментов количества движения имеют очень важное значение в физике частиц, их приложениям поистине нет конца. К сожалению, у нас нет сейчас больше времени на другие примеры.

Добавление 1. Вывод матрицы поворота[78]

Для тех, кто хотел бы разобраться в этом поподробнее, мы вычислим сейчас общую матрицу поворота для системы со спином (полным моментом количества движения) j. В расчете общего случая на самом деле большой необходимости нет; важно понять идею, а все результаты вы сможете найти в таблицах, которые приводятся во многих книжках. Но, с другой стороны, вы зашли уже так далеко, что у вас, естественно, может возникнуть желание убедиться, что вы и впрямь в состоянии понять даже столь сложные формулы квантовой механики, как (16.35).

Расширим рассуждения § 4 на систему со спином j, которую будем считать составленной из 2j объектов со спином ¹/₂. Состояние с m=j имело бы вид |+ + + ... +> (с j плюсами). Для m=j-1 было бы 2j членов типа |+ + ... + + ->, |+ + ... +- +> и т. д. Рассмотрим общий случай, когда имеется r плюсов и s минусов, причем r+s=2j. При повороте вокруг оси z от каждого из r плюсов появится множитель e^+iφ/2. В итоге фаза изменится на i(r/2-s/2)φ. Мы видим, что

(16.59)

Как и в случае J=³/₂, каждое состояние с определенным m должно быть суммой всех состояний с одними и теми же r и s, взятых со знаком плюс, т. е. состояний, отвечающих всевозможным перестановкам с r плюсами и s минусами. Мы считаем, что вам известно, что всего таких сочетаний есть (r+s)!/r!s!. Чтобы нормировать каждое состояние, надо эту сумму разделить на корень квадратный из этого числа. Можно написать

(16.60)

где

(16.61)

Введем еще новые обозначения, они нам помогут в счете. Ну а поскольку мы уж определили состояния при помощи (16.60), то два числа r и s определяют состояние ничуть не хуже, чем j и m. Мы легче проследим за выкладками, если обозначим

(16.62)

где [см.. (16.61)]

Далее, (16.60) мы запишем, пользуясь специальным обозначением

(16.63)

Обратите внимание, что показатель степени в общем множителе мы изменили на +¹/₂. Это оттого, что внутри фигурных скобок в (16.60) стоит как раз N=(r+s)!/r!s! слагаемых. Если сопоставить (16.63) с (16.60), то ясно, что

— это краткая запись выражения

где N — количество различных слагаемых в скобках. Эти обозначения удобны тем, что каждый раз при повороте все знаки плюс вносят один и тот же множитель, так что в итоге он получается в r-й степени. Точно так же все знаки минус дадут некоторый множитель в s-й степени, в каком бы порядке эти знаки ни стояли.

Теперь положим, что мы повернули нашу систему вокруг оси у на угол θ. Нас интересует R_y(θ)|^r_s>. Оператор R_y(θ), действуя на каждый |+>, дает

(16.64)

где С=cosθ/2 и S=sin θ/2. Когда же R_y(θ) действует на |->, это приводит к

Так что искомое выражение равно

(16.65)

Теперь надо возвысить биномы в степень и перемножить. Появятся члены со всеми степенями |+> от нуля до r+s. Посмотрим, какие члены дадут r'-ю степень |+>. Они всегда будут сопровождаться множителем типа |->^s', где s'=2j-r'. Соберем их вместе. Получится сумма членов типа |+>^r' |->^s' с численными коэффициентами А_r', куда входят коэффициенты биномиального разложения вместе с множителями С и S. Уравнение (16.65) тогда будет выглядеть так:

(16.66)

Теперь разделим каждое А_r' на множитель [(r'+s')!/r'!s'!]^1/2 и обозначим частное через В_r. Тогда (16.66) превратится в

(16.67)

[Можно просто сказать, что требование, чтобы (16.67) совпадало с (16.65), определяет B_r']

Если так определить В_r', то оставшиеся множители в правой части (16.67) будут как раз состояниями|^r'_s'>. Итак, имеем

(16.68)

где s' всегда равняется r+s-r'. А это, конечно, означает, что коэффициенты В_r' и есть искомые матричные элементы

(16.69)

Теперь, чтобы найти B_r', остается немного: лишь пробиться через алгебру.

Сравнивая (16.67) с (16.65) и вспоминая, что r'+s'=r+s, мы видим, что B_r' — это просто коэффициент при a^r'b^s' в выражении

(16.70)

Осталась лишь нудная работа разложить скобки по биному Ньютона и собрать члены с данными степенями а и b. Если вы все это проделаете, то увидите, что коэффициент при а^r'b^s' в (16.70) имеет вид

(16.71)

Сумма берется по всем целым k, при которых аргументы факториалов больше или в крайнем случае равны нулю. Это выражение и есть искомый матричный элемент.

В конце надо вернуться к нашим первоначальным обозначениям j, m и m', пользуясь формулами

Проделав эти подстановки, получим уравнение (16.34) из § 4.

Добавление 2. Сохранение четности при испускании фотона

В § 1 мы рассмотрели испускание света атомом, который переходит из возбужденного состояния со спином 1 в основное состояние со спином 0. Если спин возбужденного состояния направлен вверх (m=+1), то атом может излучить вверх вдоль оси +z правый фотон или вдоль оси -z левый. Обозначим эти два состояния фотона |R_вв> и |L_вн>. Ни одно из них не обладает определенной четностью. Если оператор четности обозначить ^P, то ^P|R_вв>=|L_вн> и ^P|L_вн>=|R_вв>.

Что же тогда будет с нашим прежним доказательством, что атом в состоянии с определенной энергией должен иметь определенную четность, и с нашим утверждением, что четность в атомных процессах сохраняется? Разве не должно конечное состояние в этой задаче (состояние после излучения фотона) иметь определенную четность? Да, должно, если только мы рассмотрим полное конечное состояние, в которое входят амплитуды излучения фотонов под всевозможными углами. А в § 1 мы рассматривали только часть полного конечного состояния.

Если вы хотите, можно рассмотреть только конечные состояния, у которых действительно определенная четность. Например, рассмотрим конечное состояние |ψ_k>, у которого есть некоторая амплитуда α оказаться правым фотоном, движущимся вдоль оси +z, и некоторая амплитуда β оказаться левым фотоном, движущимся вдоль оси -z. Можно написать

(16.72)

Оператор четности, действуя на это состояние, дает

(16.73)

Это состояние совпадает с ±|ψ_к> либо при β=α, либо при β=-α. Так что конечное состояние с положительной четностью таково:

(16.74)

а состояние с отрицательной четностью

(16.75)

Далее, мы хотим рассмотреть распад возбужденного состояния с отрицательной четностью на основное состояние с положительной четностью и на фотон. Если четность должна сохраниться, то конечное состояние фотона должно иметь отрицательную четность. Оно обязано быть состоянием (16.75). Если амплитуда того, что будет обнаружено |R_вв>, есть α, то амплитуда того, что будет обнаружено |L_вн>, есть -α.

Теперь обратите внимание на то, что получается, если мы проводим поворот на 180° вокруг оси у. Начальное возбужденное состояние атома становится состоянием с m=-1 (согласно табл. 15.2, знак не меняется). А поворот конечного состояния дает

(16.76)

Сравнивая это с (16.75), мы увидим, что при выбранной нами четности конечного состояния амплитуда того, что при начальном состоянии с m=-1 будет получен левый фотон, идущий в направлении +z, равна со знаком минус амплитуде того, что при начальном состоянии с m=+1 будет получен правый фотон, идущий в направлении -z. Это согласуется с результатами, полученными в § 1.

Глава 17 АТОМ ВОДОРОДА И ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ТАБЛИЦА