§ 1. Операции и операторы
Для того чтобы управиться со всем, что мы до сих пор делали в квантовой механике, достаточно было бы обычной алгебры, но мы все же время от времени демонстрировали особые способы записи квантовомеханических величин и уравнений. Мы хотели бы рассказать теперь немного больше о некоторых интересных и полезных способах описания квантовомеханических величин.
К предмету квантовой механики можно подойти разными способами, и во многих книгах прибегают совсем к иному подходу, чем у нас. Когда вы начнете читать другие книжки, то может оказаться, что вам не удастся сразу связать то, что в них говорится, с тем, что делали мы. Хотя в этой главе мы и получим кое-какие новые результаты, она не похожа на другие главы. У нее совсем иная цель: рассказать о других способах выражения тех же самых физических представлений. Зная это, вы легче поймете, о чем говорится в других книжках.
Когда люди впервые начали разрабатывать классическую механику, они неизменно расписывали свои уравнения через х-, у- и z-компоненты. Затем кто-то сделал шаг вперед и указал, что все можно упростить, введя векторные обозначения. Правда, очень часто, чтобы представить себе задачу конкретнее, вы разбиваете векторы обратно на их компоненты. Но обычно все же куда легче делать расчеты и разбираться в существе дела, работая с векторами. В квантовой механике нам тоже удалось упростить запись многих вещей, воспользовавшись идеей «вектора состояния». Вектор состояния |ψ> ничего общего, конечно, не имеет с геометрическими векторами в трехмерном пространстве; это просто отвлеченный символ, который обозначает физическое состояние, отмечаемое своим «значком» или «названием» ψ. Представление это весьма и весьма полезно, потому что на языке этих символов законы квантовой механики выглядят как алгебраические уравнения. К примеру, тот наш фундаментальный закон, что всякое состояние можно составить из линейной комбинации базисных состояний, записывается так:
(18.1)
где Сi — совокупность обычных (комплексных) чисел, амплитуд Ci=
Если вы берете какое-то физическое состояние и что-то проделываете над ним (поворачиваете или ждете в течение времени Δt или еще что-то), то вы получаете уже другое состояние. Мы говорим: «производя над состоянием операцию, получаем новое состояние». Эту же идею можно выразить уравнением
(18.2)
Операция над состоянием создает новое состояние. Оператор А обозначает некоторую определенную операцию. Когда эта операция совершается над каким-то состоянием, скажем над |ψ>, то она создает какое-то другое состояние |φ>.
Что означает уравнение (18.2)? Мы определяем его смысл так. Умножив уравнение на <i| и разложив |ψ> по (18.1), вы получите
(18.3)
(|j> — это состояния из той же совокупности, что и |i>. Теперь это просто алгебраическое уравнение. Число <i|φ> показывает, какое количество базисного состояния |i> вы обнаружите в |φ>, и оно определяется через линейную суперпозицию амплитуд <j|ψ> того, что вы обнаружите |ψ> в том или ином базисном состоянии. Числа <i|^A|j> — это попросту коэффициенты, которые говорят, сколько (какая доля) состояния <j|ψ> входит в сумму. Оператор А численно описывается набором чисел, или «матрицей»
(18.4)
Значит, (18.2) это запись уравнения (18.3) на высшем уровне. А на самом деле даже немножко и сверх того: в нем подразумевается нечто большее. В (18.2) нет ссылки на ту или иную систему базисных состояний. Уравнение (18.3) — это образ уравнения (18.2) в некоторой системе базисных состояний. Но, как известно, система годится любая. Именно это и имеется в виду в (18.3). Операторная манера записи, стало быть, уклоняется от того или иного выбора системы. Конечно, если вам хочется определенности, вы вольны избрать одну из систем. И когда вы делаете этот выбор, вы пишете уравнение (18.3). Значит, операторное уравнение (18.2) — это более отвлеченный способ записи алгебраического уравнения (18.3). Это очень походит на разницу между записью
и записью
Первый способ нагляднее. Но если вам понадобятся числа, вы наверняка зададите сперва компоненты относительно некоторой системы осей. Точно так же, если вы хотите дать понять, что за штука А, вам нужно быть готовыми задать матрицу Аij через некоторую совокупность базисных состояний. И пока вы имеете в виду определенную совокупность чисел Aij, уравнение (18.2) означает то же, что и (18.3). (И нужно еще помнить, что если уж вы знаете матрицу для одной частной совокупности базисных состояний, то всегда сможете подсчитать матрицу, соответствующую любому другому базису. Матрицу всегда можно преобразовать от одного представления к другому.)
Операторное уравнение (18.2) допускает и другие возможности. Если мы представили себе некоторый оператор А, то его можно применить к любому состоянию |ψ> и он создаст новое состояние ^A |ψ>. Временами получаемое таким путем «состояние» может оказаться очень своеобразным — оно может уже не представлять собой никакой физической ситуации, с которой можно встретиться в природе. (Например, может получиться состояние, которое не нормировано на вероятность получить один электрон.) Иными словами, временами мы можем получить «состояния», которые есть математически искусственные образования. Эти искусственные «состояния» могут все равно оказаться полезными, чаще всего в каких-либо промежуточных вычислениях.
Мы уже приводили много примеров квантовомеханических операторов. Встречался нам оператор поворота ^Rу(θ), который, взяв состояние |ψ>, делает из него новое состояние, представляющее собой старое состояние с точки зрения повернутой системы координат. Встречался оператор четности (или инверсии) ^P, создающий новое состояние обращением всех координат. Встречались и операторы ^σх, ^σу и ^σz для частиц со спином 1/2.
Оператор ^Jz определялся в гл. 15 через оператор поворота на малые углы ε:
(18.5)
Это, конечно, попросту означает, что
(18.6)
В этом примере ^Jz|ψ> — это умноженное на ℏ/iε состояние, получаемое тогда, когда вы повернете |ψ> на малый угол ε и затем вычтете прежнее состояние. Оно представляет «состояние», являющееся разностью двух состояний.
Еще один пример. Мы имели оператор ^pх, он назывался оператором (x-компоненты) импульса и определялся уравнением, похожим на (18.6). Если ^Dx(L) — оператор, который смещает состояние вдоль х на длину L, то ^pх определялось так:
(18.7)
где δ — малое смещение. Смещение состояния |ψ> вдоль оси х на небольшое расстояние δ дает новое состояние |ψ'>. Мы говорим, что это новое состояние есть старое состояние плюс еще новый кусочек
Операторы, о которых мы говорим сейчас, действуют на вектор состояния, скажем на |ψ>, являющийся абстрактным описанием физической ситуации. Это совсем не то, что алгебраические операторы, действующие на математические функции. Например, d/dx это «оператор», действие которого на f(x) создает из f(x) новую функцию f'(x)=df/dx. Другой пример алгебраического оператора — это ∇2. Можно понять, отчего в обоих случаях пользуются одним и тем же словом, но нужно помнить, что это разные типы операторов. Квантовомеханический оператор А действует не на алгебраическую функцию, а на вектор состояния, скажем на |ψ>. В квантовой механике употребляются и те и другие операторы, и часто, как вы увидите, в уравнениях сходного типа.
Когда вы впервые изучаете предмет, то все время надо иметь в виду эту разницу. А позднее, когда предмет вам станет ближе, вы увидите, что не так уж важно делать резкое различие между одними операторами и другими. И во многих книгах, как вы убедитесь, оба типа операторов обозначаются одинаково!
Теперь нам пора продвинуться вперед и узнать о многих полезных вещах, которые можно проделывать с помощью операторов. Но для начала небольшое замечание. Пускай у нас имеется оператор ^A, матрица которого в каком-то базисе есть Aij≡<i|^A|j>. Амплитуда того, что состояние ^A|ψ> находится также в некотором другом состоянии |φ>, есть <φ|^A|ψ>. Имеет ли смысл комплексное сопряжение этой амплитуды? Вы, вероятно, сможете показать, что
(18.8)
где ^A† (читается «А с крестом») это оператор, матричные элементы которого равны
(18.9)
Иначе говоря, чтобы получить i, j-й элемент матрицы А†, вы обращаетесь к j, i-му элементу матрицы А (индексы переставлены) и комплексно его сопрягаете. Амплитуда того, что состояние ^A†|φ> находится в состоянии |ψ>, комплексно сопряжена амплитуде того, что ^A|ψ> находится в |φ>. Оператор ^A† называется «эрмитово сопряженным» оператору ^A. Многие важные операторы квантовой механики имеют специальное свойство: если вы их эрмитово сопрягаете, вы опять возвращаетесь к тому же оператору. Если В как раз такой оператор, то ^В†=^В; его называют «самосопряженным», или «эрмитовым», оператором.
§ 2. Средние энергии
До сих пор мы в основном напоминали вам о том, что вы уже знаете. А теперь перейдем к новому. Как бы вы подсчитали среднюю энергию системы, скажем, атома? Если атом находится в определенном состоянии с определенной энергией и вы эту энергию измеряете, то вы получите определенную энергию Е. Если вы начнете повторять измерения с каждым из множества атомов, которые отобраны так, чтобы быть всем в одинаковом состоянии, то все измерения дадут вам Е, и «среднее» изо всех ваших измерений тоже, конечно, окажется Е.
Но что случится, если вы проделаете свои измерения над состоянием |ψ>, которое не является стационарным? Раз у системы нет определенной энергии, то одно измерение даст одну энергию, то же измерение над другим атомом в том же состоянии даст другую и т. д. Каким же окажется среднее всей серии измерений энергии?
На этот вопрос мы ответим, если возьмем проекцию состояния |ψ> на систему состояний с определенной энергией. Чтобы помнить, что это особый базис, будем обозначать эти состояния |ηi>. Каждое из состояний |ηi> обладает определенной энергией Ei. В этом представлении
(18.10)
Когда вы проделываете измерение энергии и получаете некоторое число Еi, вы тем самым обнаруживаете, что система была в состоянии |ηi>. Но в каждом новом измерении вы можете получить новое число. Иногда вы получите E1, иногда Е2, иногда Е3 и т. д. Вероятность, что вы обнаружите энергию E1, равна попросту вероятности обнаружить систему в состоянии |η1>, т. е. квадрату модуля амплитуды С1=<η1|ψ>. Вероятность обнаружить то или иное возможное значение энергии Ei есть
(18.11)
Как же связать эти вероятности со средним значением всей последовательности измерений энергий? Вообразим, что мы получили ряд результатов измерений, напримерE1, Е7, E11, Е9, E1, E10, Е7, E2, Е3, Е9, Е6, E4 и т. д., всего тысяча измерений. Сложим все энергии и разделим на 1000. Это и есть среднее. Можно сложение проделать и покороче. Посчитайте, сколько раз у вас вышло E1 (скажем, оно вышло N1 раз), сколько раз вышло Е2 (скажем, N2 раз) и т. д. Ясно, что сумма всех энергий равна
Средняя энергия равна этой сумме, деленной на полное число измерений, т. е. на сумму всех Ni, которую мы обозначим N:
(18.12)
Мы почти у цели. Под вероятностью какого-нибудь события мы понимаем как раз число случаев, когда ожидается наступление этого события, деленное на общее число испытаний. Отношение Ni/N должно (при больших N) мало отличаться от Pi— вероятности обнаружить состояние |ηi>, хоть и не будет точно совпадать с Рi из-за статистических флуктуации. Обозначим предсказываемую (или «ожидаемую») среднюю энергию <E>ср; тогда мы вправе сказать
(18.13)
Те же рассуждения подойдут к измерениям каких угодно величин. Среднее значение измеряемой величины А должно равняться
где Ai—различные допустимые значения наблюдаемой величины, а Рi — вероятность получения этого значения.
Вернемся теперь к нашему квантовомеханическому состоянию |ψ>. Его средняя энергия равна
(18.14)
А теперь следите внимательно! Сначала перепишем эту сумму так:
(18.15)
Теперь будем рассматривать левое <ψ| как общий множитель.
Вынесем его за знак суммы и напишем
Это выражение имеет вид <ψ|φ>, где |φ> — некоторое «придуманное» состояние, определяемое равенством
(18.16)
Иными словами, это то состояние, которое у вас получится, если вы возьмете каждое базисное состояние |ηi> в количестве Еi<ηi|ψ>.
Но вспомним теперь, что такое |ηi>. Состояния |ηi> считаются стационарными, т. е. для каждого из них
А раз Еi—просто число, то правая часть совпадает с |ηi>Еi, а сумма в (18.16) — с
Теперь приходится просуммировать по i общеизвестную комбинацию, приводящую к единице:
Чудесно, уравнение (18.16) совпало с
(18.17)
Средняя энергия состояния |ψ> записывается, стало быть, в очень привлекательном виде
(18.18)
Чтобы получить среднюю энергию, подействуйте на |ψ> оператором ^H и затем умножьте на <ψ|. Очень простой результат. Наша новая формула для средней энергии не только привлекательна, но и полезна. Теперь нам уже не надо ничего говорить об особой системе базисных состояний. И даже всех уровней энергии знать не нужно. При расчете достаточно выразить наше состояние через какую угодно совокупность базисных состояний, и, если мы знаем гамильтонову матрицу Нij для этой совокупности, мы уже сможем узнать среднюю энергию. Уравнение (18.18) говорит, что при любой совокупности базисных состояний |i> средняя энергия может быть вычислена из
(18.19)
где амплитуды <i|H|j> как раз и есть элементы матрицы Hij.
Проверим это на том частном примере, когда состояния |i> суть состояния с определенной энергией. Для них ^H|j>=E|j>, так что <i|^H|j>=Ejδij и
что вполне естественно.
Уравнение (18.19) можно, кстати, обобщить и на другие физические измерения, которые вы в состоянии выразить в виде оператора. Например, пусть ^Lz есть оператор z-компоненты момента количества движения L. Средняя z-компонента для состояния |ψ> равна
Один из способов доказательства этой формулы — придумать такую задачу, в которой энергия пропорциональна моменту количества движения. Тогда все рассуждения просто повторятся. Подытоживая, скажем, что если физически наблюдаемая величина А связана с соответствующим квантовомеханическим оператором ^A, то среднее значение А в состоянии |ψ> дается формулой
(18.20)
Под этим подразумевается
(18.21)
где
(18.22)
§ 3. Средняя энергия атома
Пусть мы хотим узнать среднюю энергию атома в состоянии, описываемом волновой функцией ψ(r); как же ее найти? Рассмотрим сперва одномерную задачу, когда состояние |ψ> определяется амплитудой <x|ψ>=ψ(x). Нас интересует частный случай применения уравнения (18.19) к координатному представлению. Следуя нашей обычной процедуре, заменим состояния |i> и |j> на |х> и |х'> и сумму на интеграл. Мы получим
(18.23)
Этот интеграл можно при желании записывать иначе:
где
(18.25)
Интеграл по х' в (18.25) тот же самый, что встречался нам в гл. 14 [см. (14.50) и (14.52)]. Он равен
Поэтому можно написать
(18.26)
Вспомним, что <ψ|x>=<x|ψ>*=ψ*(x); с помощью этого равенства среднее значение энергии в (18.23) можно записать в виде
(18.27)
Если волновая функция ψ(x) известна, то, взяв этот интеграл, вы получите среднюю энергию. Вы теперь начинаете понимать, как от представлений о волновом векторе можно перейти к представлению о волновой функции и обратно.
Величина в фигурных скобках в (18.27) это алгебраический оператор. [«Оператор» V(x) означает «умножь на V(x)».] Мы обозначим его ^ℋ
В этих обозначениях (18.23) превращается в
(18.28)
Определенный здесь алгебраический оператор ^ℋ, конечно, не тождествен с квантовомеханическим оператором ^H. Новый оператор действует на функцию координаты ψ(x)=<x|ψ>, образуя новую функцию от х, φ(x)=<x|φ>, а ^H действует на вектор состояния |ψ>, образуя другой вектор состояния |ф>, причем не имеется в виду ни координатное, ни вообще какое-либо частное представление. Мало того, даже в координатном представлении ^ℋ не совсем то же, что ^H. Если бы мы решили работать в координатном представлении, то смысл оператору ^H пришлось бы придавать с помощью матрицы <x|^H|x'>, которая как-то зависит от двух «индексов» x и x'; иначе говоря, следовало бы ожидать, что [как утверждает (18.25)] <x|φ> связано со всеми амплитудами <x|ψ> операцией интегрирования. А с другой стороны, мы нашли, что ^ℋ — это дифференциальный оператор. Связь между <x|^H|х'> и алгебраическим оператором ^ℋ мы уже выясняли в гл. 14, § 5.
Наши результаты нуждаются в одном уточнении. Мы предположили, что амплитуда ψ(x)=<x|ψ> нормирована, т. е. масштабы выбраны так, что
и вероятность увидеть электрон все равно где равна единице. Но вы могли бы, если бы захотели работать с ненормированной ψ(х), следовало бы только писать
(18.29)
Это одно и то же.
Обратите внимание на сходство между (18.28) и (18.18). Оба эти способа записи одного и того же результата при работе в x-представлении часто встречаются. От первого можно перейти ко второму, если ^A — локальный оператор, т. е. такой, для которого интеграл
может быть записан в виде ^A[script]ψ(x), где ^A[script] — дифференциальный алгебраический оператор. Однако встречаются операторы, для которых это неверно. Тогда приходится работать с исходными уравнениями (18.21) и (18.22).
Наш вывод легко обобщается на три измерения. Итог таков[83]:
(18.30)
где
(18.31)
причем подразумевается, что
(18.32)
Такие же уравнения получаются довольно очевидным образом и при обобщении на системы с несколькими электронами, но мы не будем сейчас заниматься выписыванием результатов.
С помощью (18.30) можно рассчитать среднюю энергию атомного состояния, даже не зная уровней энергии. Нужна только волновая функция. Это очень важный закон. Расскажем об одном интересном его применении. Пусть вам нужно узнать энергию основного состояния некоторой системы, скажем атома гелия, но вы затрудняетесь решить уравнение Шредингера для волновой функции из-за большого числа переменных. Положим, однако, что вы решили попробовать какую-то волновую функцию (выбрав ее по своему желанию) и подсчитать среднюю энергию. Иначе говоря, вы пользуетесь уравнением (18.29), обобщенным на три измерения, чтобы узнать, какова была бы средняя энергия, если бы атом был на самом деле в состоянии, описываемом этой волновой функцией. Эта энергия, бесспорно, окажется выше энергии основного состояния — самой низкой энергии, какую может иметь атом[84]. Возьмем теперь новую функцию и вычислим новую среднюю энергию. Если она ниже, чем было при первом вашем выборе, значит, вы подошли ближе к истинной энергии основного состояния. Если вы немного поразмыслите, вы, конечно, начнете пробовать такие функции, в которых есть несколько свободных параметров. Тогда энергия выразится через эти параметры. Варьируя параметры так, чтобы получить наинизшую мыслимую энергию, вы тем самым перепробуете за один раз целый класс функций. Скорее всего вы обнаружите, что понижать энергию становится все труднее и труднее, т. е. начнете убеждаться в том, что уже довольно близко подошли к наинизшей возможной энергии. Именно так и был решен атом гелия — никаких дифференциальных уравнений не решали, а составили особые функции со множеством поддающихся подгонке параметров, которые были подобраны так, чтобы дать средней энергии наинизшее значение.
§ 4. Оператор места
Каково среднее местоположение электрона в атоме? В данном состоянии |ψ> каково среднее значение координаты х? Разберем одномерный случай, а обобщение на трехмерный или на системы с большим числом частиц останется на вашу долю. Мы имеем состояние, описываемое функцией ψ(x), и продолжаем раз за разом измерять х. Что получится в среднем? Очевидно, ∫xP(x)dx, где Р(х)—вероятность обнаружить электрон в небольшом элементе длины dx возле х. Пусть плотность вероятности Р(х) меняется с х так, как показано на фиг. 18.1.
Фиг. 18.1. Кривая плотности вероятности, представляющей локализованную частицу.
Вероятнее всего вы обнаружите электрон где-то возле вершины кривой. Среднее значение х тоже придется куда-то на область невдалеке от вершины, а точнее, как раз на центр тяжести площади, ограниченной кривой.
Мы видели раньше, что P(x)=|ψ(x)|2=ψ*(x)ψ(х), значит, среднее х можно записать в виде
(18.33)
Наше уравнение для <x>ср имеет тот же вид, что (18.18). Когда мы считали среднюю энергию, мы ставили между двумя ψ оператор ^ℋ, а когда считаем среднее положение, ставим просто х. (Если угодно, можете рассматривать х как алгебраический оператор «умножь на х».) Эту параллель можно провести еще дальше, выразив среднее местоположение в форме, которая соответствует уравнению (18.18). Предположим, что мы просто написали
(18.34)
где
(18.35)
и смотрим, не удастся ли найти такой оператор х, чтобы он создавал состояние |α>, при котором уравнение (18.34) не противоречит уравнению (18.33). Иначе говоря, мы должны найти такое |α>, чтобы было
(18.36)
Разложим сперва <ψ|α> по x-представлению:
(18.37)
Сравним затем интегралы в (18.36) и (18.37). Вы видите, что в х-представлении (и только в этом представлении)
(18.38)
Воздействие на |ψ> оператора ^x для получения |α> равнозначно умножению ψ(x)=<x|ψ> на х для получения α(х)=<x|α>. Перед нами определение оператора ^x в координатном представлении[85].
(Мы не задавались целью получить x-представление матрицы оператора ^x. Если вы честолюбивы, попытайтесь показать, что
(18.39)
Тогда вы сможете доказать поразительную формулу
(18.40)
т. е. что оператор ^x обладает интересным свойством: когда он действует на базисное состояние |x>, то это равнозначно умножению на х.)
А может, вы хотите знать среднее значение x2? Оно равно
(18.41)
Или, если желаете, можно написать и так:
где
(18.42)
Под ^x2 подразумевается ^x^x — два оператора применяются друг за другом. С помощью (18.42) можно подсчитать <x2>ср, пользуясь каким угодно представлением (базисными состояниями). Если вам нужно знать среднее значение хn или любого многочлена по х, то вы легко это теперь проделаете.
§ 5. Оператор импульса
Теперь мы хотим рассчитать средний импульс электрона, опять начав с одномерного случая. Пусть Р(р)dp — вероятность того, что измерение приведет к импульсу в интервале между р и p+dp. Тогда
(18.43)
Обозначим теперь через <р|ψ> амплитуду того, что состояние |ψ> есть состояние с определенным импульсом |р>. Это та же самая амплитуда, которую в гл. 14, § 3, мы обозначали <имп.р|ψ>; она является функцией от р, как <x|ψ> является функцией от х. Затем мы выберем такую нормировку амплитуды, чтобы было
(18.44)
Тогда получится
(18.45)
что очень похоже на то, что мы имели для <x>ср.
При желании можно продолжить ту же игру, которой мы предавались с <x>ср. Во-первых, этот интеграл можно записать так:
(18.46)
Теперь вы должны узнать в этом уравнении разложение амплитуды <ψ|β> — разложение по базисным состояниям с определенным импульсом. Из (18.45) следует, что состояние |β> определяется в импульсном представлении уравнением
(18.47)
Иначе говоря, теперь можно писать
(18.48)
причем
(18.49)
где оператор ^p определяется на языке p-представления уравнением (18.47).
[И опять при желании можно показать, что матричная запись ^p такова:
(18.50)
и что
(18.51)
Выводится это так же, как и для х.
Теперь возникает интересный вопрос. Мы можем написать <р>ср так, как мы это сделали в (18.45) и (18.48); смысл оператора ^p в импульсном представлении нам тоже известен. Но как истолковать ^p в координатном представлении? Это бывает нужно знать, если у нас есть волновая функция ψ(x) и мы собираемся вычислить ее средний импульс. Позвольте более четко пояснить, что имеется в виду. Если мы начнем с того, что зададим <p>cp уравнением (18.48), то это уравнение можно будет разложить по p-представлению и вернуться к (18.45). Если нам задано p-представление состояния, а именно амплитуда <p|ψ> как алгебраическая функция импульса p, то из (18.47) можно получить <p|β> и продолжить вычисление интеграла. Вопрос теперь в следующем: а что делать, если нам задано описание состояния в x-представлении, а именно волновая функция ψ(x)=<x|ψ>?
Ну что ж, начнем раскладывать (18.48) в x-представлении.
Напишем
(18.52)
Но теперь надо знать другое: как выглядит состояние |β> в x-представлении. Если мы узнаем это, мы сможем взять интеграл. Итак, наша задача — найти функцию β(x)=<x|β>. Ее можно найти следующим образом. Мы видели в гл. 14, § 3, как <р|β> связано с <x|β>. Согласно уравнению (14.24),
(18.53)
Если нам известно <р|β>, то, решив это уравнение, мы найдем <x|β>. Но результат, конечно, следовало бы как-то выразить через ψ(x)=<x|ψ>, потому что считается, что именно эта величина нам известна. Будем теперь исходить из (18.47) и, опять применив (14.24), напишем
(18.54)
Интеграл берется по х, поэтому р можно внести под интеграл
(18.55)
Теперь сравним это с (18.53). Может быть, вы подумали, что <x|β> равно pψ(x)? Нет, напрасно! Волновая функция <х|β>=β(x) может зависеть только от х, но не от р. В этом-то вся трудность.
К счастью, кто-то заметил, что интеграл в (18.55) можно проинтегрировать по частям. Производная e-ipx/ℏ по х равна (-i/ℏ)pe-ipx/ℏ, поэтому интеграл (18.55) это все равно, что
Если это проинтегрировать по частям, оно превратится в
Пока речь идет только о связанных состояниях, ψ(x) стремится к нулю при х→±∞, скобка равна нулю и мы имеем
(18.56)
А вот теперь сравним этот результат с (18.53). Вы видите, что
(18.57)
Все необходимое, чтобы взять интеграл в (18.52), у нас уже есть. Окончательный ответ таков:
(18.58)
Мы узнали, как выглядит (18.48) в координатном представлении. Перед нами начинает постепенно вырисовываться интересная картина. Когда мы задали вопрос о средней энергии состояния |ψ>, то ответ был таков:
То же самое в координатном мире записывается так:
Здесь ^ℋ — алгебраический оператор, который действует на функцию от х.
Когда мы задали вопрос о среднем значении х, то тоже обнаружили, что ответ имеет вид
В координатном мире соответствующие уравнения таковы:
Когда мы задали вопрос о среднем значении р, то ответ оказался
В координатном мире эквивалентные уравнения имели бы вид
Во всех наших трех примерах мы исходили из состояния |ψ> и создавали новое (гипотетическое) состояние с помощью квантовомеханического оператора. В координатном представлении мы генерируем соответствующую волновую функцию, действуя на волновую функцию ψ(x) алгебраическим оператором. Можно говорить о взаимнооднозначном соответствии (для одномерных задач) между
(18.59)
В этом перечне мы ввели новый символ ^℘x для алгебраического оператора (ℏ/i)∂/∂x:
(18.60)
и поставили под ^℘ значок х, чтобы напомнить, что имеем пока дело с одной только x-компонентой импульса.
Результат этот легко обобщается на три измерения. Для других компонент импульса
При желании можно даже говорить об операторе вектора импульса и писать
где ех, еy и еz — единичные векторы в трех направлениях. Можно записать это и еще изящнее:
(18.61)
Окончательный вывод наш таков: по крайней мере для некоторых квантовомеханических операторов существуют соответствующие им алгебраические операторы в координатном представлении. Все, что мы до сих пор вывели (с учетом трехмерности мира), подытожено в табл. 18.1.
Таблица 18.1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ В КООРДИНАТНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ
Каждый оператор может быть представлен в двух равноценных видах[86]:
либо
(18.62)
либо
(18.63)
Теперь мы дадим несколько иллюстраций применения этих идей. Для начала выявим связь между ^℘ и ^ℋ.
Если применить ^℘x дважды, получим
Это означает, что можно написать равенство
Или, в векторных обозначениях,
(Члены в алгебраическом операторе, над которыми нет символа оператора ^, означают простое умножение.) Это уравнение очень приятно, потому что его легко запомнить, если вы еще не забыли курса классической физики. Хорошо известно, что энергия (нерелятивистская) состоит из кинетической энергии р2/2m плюс потенциальная, а у нас ^ℋ — тоже оператор полной энергии.
Этот результат произвел на некоторых деятелей столь сильное впечатление, что они начали стремиться во что бы то ни стало вбить студенту в голову всю классическую физику, прежде чем приступить к квантовой. (Мы думаем иначе!) Параллели очень часто обманчивы. Если у вас есть операторы, то важен порядок различных множителей, а в классическом уравнении он безразличен.
В гл. 15 мы определили оператор ^pх через оператор смещения ^Dx [см. формулу (15.27)]:
(18.65)
где δ — малое смещение. Мы должны показать, что это эквивалентно нашему новому определению. В соответствии с тем, что мы только что доказали, это уравнение должно означать то же самое, что и
Но в правой части стоит просто разложение ψ(x+δ) в ряд Тэйлора, а ψ(x+δ)— то, что получится, если сместить состояние влево на δ (или сдвинуть на столько же вправо систему координат). Оба наши определения ^p согласуются!
Воспользуемся этим, чтобы доказать еще кое-что. Пусть у нас в какой-то сложной системе имеется множество частиц, которым мы присвоим номера 1, 2, 3, ... . (Для простоты остановимся на одномерном случае.) Волновая функция, описывающая состояние, является функцией всех координат х1, х2, x3,... . Запишем ее в виде ψ(x1, х2, х3, ...). Сдвинем теперь систему (влево) на δ. Новая волновая функция
может быть записана так:
(18.66)
Согласно уравнению (18.65), оператор импульса состояния |ψ> (назовем его полным импульсом) равняется
Но это все равно, что написать
(18.67)
Операторы импульса подчиняются тому правилу, что полный импульс есть сумма импульсов отдельных частей. Здесь, как видите, все чудесным образом переплетено и разные вещи взаимно согласуются.
§ 6. Момент количества движения
Для интереса рассмотрим еще одну операцию — операцию орбитального момента количества движения. В гл. 15 мы определили оператор ^Jz через ^Rz(φ) — оператор поворота на угол φ вокруг оси z. Рассмотрим сейчас систему, описываемую всего лишь одной-единственной волновой функцией ψ(r), которая является функцией одних только координат и не учитывает того факта, что спин у электрона должен быть направлен либо вверх, либо вниз. Это значит, что мы собираемся пока пренебречь внутренним моментом количества движения и намерены думать только об орбитальной части. Чтобы подчеркнуть различие, обозначим орбитальный оператор ^Lz и определим его через оператор поворота на бесконечно малый угол ε формулой
(напоминаем: это определение применимо только к состоянию |ψ>, у которого нет внутренних спиновых переменных, а есть только зависимость от координат r: х, у, z). Если мы взглянем на состояние |ψ> из новой системы координат, повернутой вокруг оси z на небольшой угол ε, то увидим новое состояние:
Если мы решили описывать состояние |ψ> в координатном представлении, т. е. с помощью его волновой функции ψ(r), то следует ожидать такого равенства:
(18.68)
Что же такое ^ℒ? А вот что. Точка Р(х, у) в новой системе координат (на самом деле х', у', но мы убрали штрихи) раньше имела координаты x-εy и y+εx (фиг. 18.2).
Фиг. 18.2. Поворот осей вокруг оси z на малый угол ε.
Поскольку амплитуда того, что электрон окажется в точке Р, не меняется от поворота системы координат, то можно писать
(напоминаем, что ε — малый угол). Это означает, что
(18.69)
Это и есть наш ответ. Обратите, однако, внимание, что это определение эквивалентно такому:
(18.70)
Или, если вернуться к нашим квантовомеханическим операторам, можно написать
(18.71)
Эту формулу легко запомнить, потому что она похожа на знакомую формулу классической механики: это z-компонента векторного произведения
(18.72)
Одна из забавных сторон манипуляций с операторами заключается в том, что многие классические уравнения переносятся в квантовомеханическую форму. А какие нет? Ведь должны же быть такие, которые не получаются, потому что если бы все повторялось, то в квантовой механике не было бы ничего отличного от классической, не было бы новой физики.
Вот вам уравнение, которое отличается. В классической физике
А что в квантовой механике?
Подсчитаем это в x-представлении. Чтобы было видно, что мы делаем, приложим это к некоторой волновой функции ψ(x). Пишем
или
Вспомним теперь, что производные действуют на всё, что справа. Получаем
(18.73)
Ответ не нуль. Вся операция попросту равнозначна умножению на -ℏ/i:
(18.74)
Если бы постоянная Планка была равна нулю, то квантовые и классические результаты стали бы одинаковыми и не пришлось бы нам учить никакой квантовой механики!
Отметим, что если два каких-то оператора А и В, взятые в сочетании
не дают нуля, то мы говорим, что «операторы не перестановочны», или «операторы не коммутируют». А уравнение наподобие (18.74) называется «перестановочным соотношением». Вы можете сами убедиться, что перестановочное соотношение для pх и у (или коммутатор рх и у) имеет вид
Существует еще одно очень важное перестановочное соотношение. Оно относится к моментам количества движения. Вид его таков:
(18.75)
Если вы хотите приобрести некоторый опыт работы с операторами ^x и ^p, попробуйте доказать эту формулу сами.
Интересно заметить, что операторы, которые не коммутируют, можно встретить и в классической физике. Мы с этим уже сталкивались, когда говорили о поворотах в пространстве. Если вы повернете что-нибудь, например книжку, сперва на 90° вокруг оси х, а затем на 90° вокруг оси у, то получится совсем не то, что было бы, если бы сначала вы повернули ее на 90° вокруг оси у, а после на 90° вокруг оси х. Именно это свойство пространства и ответственно за уравнение (18.75).
§ 7. Изменение средних со временем
Теперь мы познакомим вас с еще одной интересной вещью: вы узнаете, как средние изменяются во времени. Представим на минуту, что у нас есть оператор ^A, в который время явным образом не входит. Имеется в виду такой оператор, как ^x или ^p. [А исключаются, скажем, такие вещи, как оператор внешнего потенциала V(x, t), меняющийся во времени.] Теперь представим, что мы вычислили <A>ср в некотором состоянии |ψ>, т. е.
(18.76)
Как <A>ср будет зависеть от времени? Но почему оно вообще может зависеть от времени? Ну, во-первых, может случиться, что оператор сам явно зависит от времени, например, если он был связан с переменным потенциалом типа V(x, t). Но даже если оператор от t не зависит, например оператор ^A=^x, то соответствующее среднее может зависеть от времени. Ведь среднее положение частицы может перемещаться. Но как может такое движение получиться из (18.76), если А от времени не зависит? Дело в том, что во времени может меняться само состояние |ψ>. Для нестационарных состояний мы часто даже явно отмечали зависимость от времени, записывая их как |ψ(t)>. Теперь мы хотим показать, что скорость изменения <A>ср дается новым оператором, который мы обозначим ^A. Напомним, что ^A это оператор, так что точка над А вовсе не означает дифференцирования по времени, а является просто способом записи нового оператора ^A, определяемого равенством
(18.77)
Задачей нашей будет найти оператор ^.A.
Прежде всего, нам известно, что скорость изменения состояния дается гамильтонианом. В частности,
(18.78)
Это всего-навсего абстрактная форма записи нашего первоначального определения гамильтониана
(18.79)
Если мы комплексно сопряжем это уравнение, оно будет эквивалентно
(18.80)
Посмотрим теперь, что случится, если мы продифференцируем (18.76) по t. Поскольку каждое ψ зависит от t, мы имеем
(18.81)
Наконец, заменяя производные их выражениями (18.78) и (18.80), получаем
а это то же самое, что написать
Сравнивая это уравнение с (18.77), мы видим, что
(18.82)
Это и есть то интересное соотношение, которое мы обещали; и оно справедливо для любого оператора А.
Кстати заметим, что, если бы оператор А сам зависел от времени, мы бы получили
(18.83)
Проверим (18.82) на каком-либо примере, чтобы посмотреть, имеет ли оно вообще смысл. Какой, например, оператор соответствует х? Мы утверждаем, что это должно быть
(18.84)
Что это такое? Один способ установить, что это такое — перейти в координатное представление и воспользоваться алгебраическим оператором ^ℋ. В этом представлении коммутатор равен
Если вы подействуете всем этим выражением на волновую функцию ψ(х) и вычислите везде, где нужно, производные, вы в конце концов получите
Но это то же самое, что и
так что мы обнаруживаем, что
(18.85)
или что
(18.86)
Прелестный результат. Он означает, что если среднее значение х меняется со временем, то перемещение центра тяжести равно среднему импульсу, деленному на массу m. Точно как в классической механике.
Другой пример. Какова скорость изменения среднего импульса состояния? Правила игры прежние. Оператор этой скорости равен
(18.87)
Опять все можно подсчитать в x-представлении. Напомним, что ^p обращается в d/dx, а это означает, что вам придется дифференцировать потенциальную энергию V (в ^ℋ), но только во втором слагаемом. В конце концов остается только один член, и вы получаете
или
(18.88)
Опять классический результат. Справа стоит сила, так что мы вывели закон Ньютона! Но помните — это законы для операторов, которые дают средние величины. Они не описывают в деталях, что происходит внутри атома.
Существенное отличие квантовой механики в том, что ^p^x не равно ^x^p. Они отличаются на самую малость — на маленькое число ℏ. Но все поразительные сложности интерференции волн и тому подобного проистекают из того небольшого факта, что ^x^p-^p^x не совсем нуль.
История этой идеи тоже интересна. С разницей в несколько месяцев в 1926 г. Гейзенберг и Шредингер независимо отыскали правильные законы, описывающие атомную механику. Шредингер изобрел свою волновую функцию ψ(х) и нашел уравнение для нее, а Гейзенберг обнаружил, что природу можно было бы описывать и классическими уравнениями, лишь бы хр-рх было равно ℏ/i, чего можно было добиться, определив их с помощью особого вида матриц. На нашем теперешнем языке он пользовался энергетическим представлением и его матрицами. И то и другое — и матричная алгебра Гейзенберга и дифференциальное уравнение Шредингера — объясняли атом водорода. Несколькими месяцами позднее Шредингер смог показать, что обе теории эквивалентны — мы только что это видели. Но две разные математические формы квантовой механики были открыты независимо.