Том 3. Квантовая механика — страница 9 из 20

[29]

Повторить: гл. 33 (вып. 3) «Поляризация»

§ 1. Спиновые матрицы Паули

Продолжаем обсуждение свойств двухуровневых систем. В конце предыдущей главы мы говорили о частице со спином ¹/₂ в магнитном поле. Мы описывали спиновое состояние, задавая амплитуду С₁ того, что z-компонента спинового момента количества движения равна +ℏ/2, и амплитуду С₂ того, что она равна -ℏ/2. В предыдущих главах мы эти базисные состояния обозначали |+> и |->. Прибегнем опять к этим обозначениям, хотя, когда это будет удобнее, мы будем менять их на |1> и |2>.

Мы видели в последней главе, что когда частица со спином ¹/₂ и с магнитным моментом μ находится в магнитном поле В=(В_x, В_y, B_z), то амплитуды С₊(=C₁) и С_-(=С₂) связаны следующими дифференциальными уравнениями:

(9.1)

Иначе говоря, матрица-гамильтониан H_ij имеет вид

(9.2)

конечно, уравнения (9.1) совпадают с

(9.3)

где i и j принимают значения + и - (или 1 и 2).

Эта система с двумя состояниями — спин электрона — настолько важна, что очень полезно было бы найти для ее описания способ поаккуратнее и поизящнее. Мы сейчас сделаем небольшое математическое отступление, чтобы показать вам, как обычно пишутся уравнения системы с двумя состояниями. Это делается так: во-первых, заметьте, что каждый член гамильтониана пропорционален μ и некоторой компоненте В; поэтому (чисто формально) можно написать

Здесь нет какой-либо новой физики; эти уравнения просто означают, что коэффициенты σ^x_ij, σ^y_ij, и σ^z_ij — их всего 4×3=12 — могут быть представлены так, что (9.4) совпадет с (9.2).

Посмотрим, почему это так. Начнем с B_z. Раз В_z встречается только в H₁₁ и H₂₂, то все будет в порядке, если взять

Мы часто пишем матрицу H_ij в виде таблички такого рода:

Для гамильтониана частицы со спином ¹/₂ в магнитном поле В—это все равно что

Точно так же и коэффициенты σ^z_ij можно записать в виде матрицы

(9.5)

Расписывая коэффициенты при В_х, получаем, что элементы матрицы σ_х должны иметь вид

Или сокращенно:

(9.6)

И наконец, глядя на B_y, получаем

или

(9.7)

Если так определить три матрицы сигма, то уравнения (9.1) и (9.4) совпадут. Чтоб оставить место для индексов i и j, мы отметили, какая σ стоит при какой компоненте В, поставив индексы х, у, z сверху. Обычно, однако, i и j отбрасывают (их легко себе и так вообразить), а индексы х, у и z ставят внизу. Тогда (9.4) записывается так:

(9.8)

Матрицы сигма так важны (ими беспрерывно пользуются), что мы выписали их в табл. 9.1. (Тот, кто собирается работать в квантовой физике, обязан запомнить их.) Их еще называют спиновыми матрицами Паули — по имени физика, который их выдумал.

Таблица 9.1. СПИНОВЫЕ МАТРИЦЫ ПАУЛИ

В таблицу мы включили еще одну матрицу 2×2, которая бывает нужна тогда, когда мы хотим рассматривать систему, оба спиновых состояния которой имеют одинаковую энергию, или когда хотим перейти к другой нулевой энергии. В таких случаях к первому уравнению в (9.1) приходится добавлять E₀С₊, а ко второму Е₀С_-. Это можно учесть, введя новое обозначение — единичную матрицу «1», или δ_ij:

(9.9)

переписав (9.8) в виде

(9.10)

Обычно просто понимают без лишних оговорок, что любая константа наподобие Е₀ автоматически умножается на единичную матрицу, и тогда пишут просто

(9.11)

Одна из причин, отчего спиновые матрицы так полезны, — это что любая матрица 2×2 может быть выражена через них. Во всякой матрице стоят четыре числа, скажем

Ее всегда можно записать в виде линейной комбинации четырех матриц. Например,

Это можно делать по-всякому, но, в частности, можно сказать, что М состоит из какого-то количества σ_x плюс какое-то количество σ_y и т. д., и написать

где «количества» α, β, γ и δ в общем случае могут быть комплексными числами.

Раз любая матрица 2×2 может быть выражена через единичную матрицу и матрицу сигма, то все, что может понадобиться для любой системы с двумя состояниями, у нас уже есть. Какой бы ни была система с двумя состояниями — молекула аммиака, краситель фуксин, что угодно, — гамильтоново уравнение может быть переписано в сигмах. Хотя в физическом случае электрона в магнитном поле сигмы кажутся имеющими геометрический смысл, но их можно считать и просто полезными матрицами, пригодными к употреблению во всякой системе с двумя состояниями.

Например, один из способов рассмотрения протона и нейтрона — это представлять их как одну и ту же частицу в любом из двух состояний. Мы говорим, что нуклон (протон или нейтрон) есть система с двумя состояниями, в данном случае состояниями по отношению к электрическому заряду. Если рассматривать нуклон таким образом, то состояние |1> может представлять протон, а |2> — нейтрон. Говорят, что у нуклона есть два состояния «изотопспина».

Поскольку мы будем применять матрицы сигма в качестве «арифметики» квантовой механики систем с двумя состояниями, то наскоро познакомимся с соглашениями матричной алгебры. Под «суммой» двух или большего числа матриц подразумевается как раз то, что имелось в виду в уравнении (9.4).

Вообще если мы «складываем» две матрицы А и В, то «сумма» С означает, что каждый ее элемент C_ij дается формулой

Каждый элемент С есть сумма элементов А и В, стоящих на тех же самых местах.

В гл. 3, § 6, мы уже сталкивались с представлением о матричном «произведении». Та же идея полезна и при обращении с матрицами сигма. В общем случае «произведение» двух матриц A и В (в этом именно порядке) определяется как матрица С с элементами

(9.12)

Это — сумма произведений элементов, взятых попарно из i-й строчки А и k-го столбца В. Если матрицы расписаны в виде таблиц, как на фиг. 9.1, то можно указать удобную «систему» получения элементов матрицы-произведения.

Фиг. 9.1. Перемножение двух матриц.

Скажем, вы вычисляете С₂₃. Вы двигаете левым указательным пальцем по второй строчке А, а правым — вниз по третьему столбцу В, перемножаете каждую пару чисел и складываете пары по мере движения. Мы попытались изобразить это на рисунке.

Для матриц 2×2 это выглядит особенно просто. Например, если σ_х умножается на σ_x, то выходит

т. е. просто единичная матрица. Или, для примера, подсчитаем еще

Взглянув на табл. 9.1, вы видите, что это просто матрица σ_x, умноженная на i. (Вспомните, что умножение матрицы на число означает умножение каждого элемента матрицы на число.) Попарные произведения сигм очень важны и выглядят они довольно забавно, так что мы их выписали в табл. 9.2. Вы сами можете подсчитать их, как мы сделали это с σ_х² и σ_хσ_y.

Таблица 9.2. ПРОИЗВЕДЕНИЯ СПИНОВЫХ МАТРИЦ

С матрицами σ связан еще один очень интересный и важный момент. Можно, если угодно, представить себе, что три матрицы σ_х, σ_y и σ_z подобны трем компонентам вектора; его иногда именуют «вектором сигма» и обозначают σ. Это на самом деле «матричный вектор», или «векторная матрица». Это три разные матрицы, связанные каждая со своей осью х, у или z. С их помощью гамильтониан системы можно записать в красивом виде, пригодном для любой системы координат:

(9.13)

Хотя мы записали эти три матрицы в представлении, в котором понятия «вверх» и «вниз» относятся к направлению z (так что σ_z выглядит особенно просто), но можно представить себе, как будут они выглядеть в любом другом представлении. И хотя это требует немалых выкладок, можно все же показать, что они изменяются как компоненты вектора. (Мы, впрочем, пока не будем заботиться о том, чтобы доказать это. Проверьте сами, если хотите.) Вы можете пользоваться σ в различных системах координат, как если бы это был вектор.

Вы помните, что гамильтониан Н связан в квантовой механике с энергией. Он действительно в точности совпадает с энергией в том простом случае, когда состояний только одно. Даже в системе с двумя состояниями, какой является спин электрона, если записать гамильтониан в виде (9.13), он очень напоминает классическую формулу энергии магнита с магнитным моментом μ в магнитном поле В. Классически это выглядит так:

(9.14)

где μ — свойство объекта, а В — внешнее поле. Можно вообразить себе, что (9.14) обращается в (9.13), если классическую энергию заменяют гамильтонианом, а классическое μ — матрицей μσ. Тогда после такой чисто формальной замены результат можно будет интерпретировать как матричное уравнение. Иногда утверждают, что каждой величине в классической физике соответствует в квантовой механике матрица. На самом деле правильнее было бы говорить, что матрица Гамильтона соответствует энергии и что у каждой величины, которая может быть определена через энергию, есть соответствующая матрица.

Например, магнитный момент можно определить через энергию, сказав, что энергия во внешнем поле В есть —μ·B. Это определяет вектор магнитного момента μ. Затем мы смотрим на формулу для гамильтониана реального (квантового) объекта в магнитном поле и пытаемся угадать, какие матрицы соответствуют тем или иным величинам в классической формуле. С помощью этого трюка иногда у некоторых классических величин появляются их квантовые двойники.

Если хотите, попробуйте разобраться в том, как, в каком смысле классический вектор равен матрице μσ; может быть, вы что-нибудь и откроете. Но не надо ломать над этим голову. Право же, не стоит: на самом-то деле они не равны. Квантовая механика — это совсем другой тип теории, другой тип представлений о мире. Иногда случается, что всплывают некоторые соответствия, но вряд ли они представляют собой нечто большее, нежели мнемонические средства — правила для запоминания.

Иначе говоря, вы запоминаете (9.14), когда учите классическую физику; затем если вы запомнили соответствие μ→μσ, то у вас есть повод вспомнить (9.13). Разумеется, природа знает квантовую механику, классическая же является всего лишь приближением, значит, нет ничего загадочного в том, что из-за классической механики выглядывают там и сям тени квантовомеханических законов, представляющих на самом деле их подоплеку. Восстановить реальный объект по тени прямым путем никак невозможно, но тень помогает нам вспомнить, как выглядел объект. Уравнение (9.13) — это истина, а уравнение (9.14) — ее тень. Мы сперва учим классическую механику и поэтому нам хочется выводить из нее квантовые формулы, но раз и навсегда установленной схемы для этого нет. Приходится каждый раз возвращаться обратно к реальному миру и открывать правильные квантовомеханические уравнения. И когда они оказываются похожими на что-то классическое, мы радуемся.

Если эти предостережения покажутся вам надоедливыми, если, по-вашему, здесь изрекаются старые истины об отношении классической физики к квантовой, то прошу прощения: сработал условный рефлекс преподавателя, который привык втолковывать квантовую механику студентам, никогда прежде не слыхавшим о спиновых матрицах Паули. Мне всегда казалось, что они не теряют надежды, что квантовая механика как-то сможет быть выведена как логическое следствие классической механики, той самой, которую они старательно учили в прежние годы. (Может быть, они просто хотят обойтись без изучения чего-то нового.) Но, к счастью, вы выучили классическую формулу (9.14) всего несколько месяцев тому назад, да и то с оговорками, что она не совсем правильна, так что, может быть, вы не будете столь неохотно воспринимать необходимость рассматривать квантовую формулу (9.13) в качестве первичной истины.

§ 2. Спиновые матрицы как операторы

Раз уж мы занялись математическими обозначениями, то хотелось бы описать еще один способ записи, способ, часто употребляемый из-за своей краткости. Он прямо следует из обозначений, введенных в гл. 6. Если имеется система в состоянии |ψ|(t)>, изменяющемся во времени, то можно, как мы это делали в уравнении (6.31), написать амплитуду того, что система при t+Δt оказалась бы в состоянии |i>:

Матричный элемент <i|U(t, t+Δt)|j> — это амплитуда того, что базисное состояние |j> превратится в базисное состояние |i> за время Δt. Затем мы определяли Н_ij при помощи

и показывали, что амплитуды C_i(t)=<i|ψ(t)> связаны дифференциальными уравнениями

(9.15)

Если амплитуды C_i записать явно, то это же уравнение будет выглядеть по-иному:

(9.16)

Далее, матричные элементы H_ij — это тоже амплитуды, которые можно записывать в виде <i|H|j>; наше дифференциальное уравнение выглядит тогда так:

(9.17)

Мы видим, что —iℏ<1|H|j> — это амплитуда того, что в физических условиях, описываемых матрицей Н, состояние |j> за время dt «генерирует» состояние |i>. (Все это неявно подразумевалось в рассуждениях гл. 6, § 4.)

Теперь, следуя идеям гл. 6, § 2, мы можем сократить в (9.17) общий «множитель» <i|, поскольку (9.17) справедливо при любом |i>, и записать это уравнение просто в виде

(9.18)

Или, сделав еще один шаг, убрать к тому же и j и написать

(9.19)

В гл. 6 мы указывали, что при такой записи Н в Н|j> или в Н|ψ> называется оператором. Отныне на операторы мы будем надевать маленькие шапочки (^), чтобы напоминать вам, что это оператор, а не число. Мы будем писать ^H|ψ>. Хотя оба уравнения (9.18) и (9.19) означают в точности то же самое, что и (9.15) или (9.17), мы можем думать о них совершенно иначе. Например, уравнение, (9.18) можно было бы описывать так: «Производная по времени от вектора состояния |ψ> равняется тому, что получается от действия оператора Гамильтона Н на каждое базисное состояние, умноженному на амплитуду <j|ψ> того, что ψ окажется в состоянии j, и просуммированному по всем j». Или уравнение (9.19) можно описать так: «Производная по времени (умноженная на iℏ) от состояния |ψ> равняется тому, что вы получите, если подействуете гамильтонианом Н на вектор состояния |ψ>». Это просто сокращенный способ выражения того, что содержится в (9.17), но, как вы потом убедитесь, он может оказаться очень удобным.

Если хотите, идею «абстрагирования» можно продвинуть еще на шаг. Уравнение (9.19) справедливо для всякого состояния |ψ>. Кроме того, левая сторона iℏd/dt — это тоже оператор; его действие: «продифференцируй по t и умножь на iℏ». Итак, (9.19) можно рассматривать как уравнение между операторами — операторное уравнение

Оператор Гамильтона (с точностью до константы), действуя на любое состояние, приводит к тому же результату, что и d/dt. Помните, что это уравнение, как и (9.19), не есть утверждение о том, что оператор ^H просто та же операция, что и d/dt. Эти уравнения — динамический закон природы (закон движения) для квантовой системы.

Только для того, чтобы попрактиковаться в этих представлениях, продемонстрируем вам другой вывод уравнения (9.18). Вы знаете, что любое состояние |ψ> можно записать через его проекции на какой-то базис [см. (6.8)]:

(9.20)

Как же меняется |ψ> во времени? Продифференцируем его:

(9.21)

Но базисные состояния |i> во времени не меняются (по крайней мере у нас они всегда были определенными, закрепленными состояниями), и только амплитуды <i|ψ> — это числа, которые могут меняться. Иначе говоря, (9.21) превращается в

(9.22)

Но ведь d<i|ψ>/dt нам известно—это (9.16); получается, следовательно,

А это опять-таки уравнение (9.18).

Итак, на гамильтониан можно смотреть по-разному. Можно рассматривать совокупность коэффициентов H_ij просто как компанию чисел, можно говорить об «амплитудах» <i|Н|j>, можно представлять себе «матрицу» H_ij и можно считать его «оператором» ^H. Все это одно и то же.

Вернемся теперь к нашей системе с двумя состояниями. Если уж мы записываем гамильтониан через матрицы сигма (с подходящими численными множителями, такими, как В_х и т. д.), то естественно рассматривать и σ^x_ij как амплитуду <i|σ_х|j>, или, для краткости, как оператор ^σ_x. Если применить эту идею оператора, то уравнение движения состояния |ψ> в магнитном поле можно написать в виде

(9.23)

Желая «использовать» это уравнение, нам, естественно, приходится выражать |ψ> через базисные векторы (равносильно тому, что приходится находить компоненты пространственных векторов, когда задача доводится до числа). Так что обычно мы предпочитаем расписывать (9.23) в более раскрытом виде:

(9.24)

Сейчас вы увидите, чем красива идея оператора. Чтобы применять уравнение (9.24), нужно знать, что будет, когда операторы ^σ подействуют на каждое базисное состояние. Напишем ^σ_z|+>; это какой-то вектор |?>, но какой? Что ж, умножим его слева на <+| и получим

(пользуясь табл. 9.1). Итак, мы знаем, что

(9.25)

Теперь умножим ^σ_z|+> слева на <-|. Получится

т, е.

(9.26)

Существует только один вектор состояния, удовлетворяющий и (9.25), и (9.26); это |+>. Мы, стало быть, открыли, что

(9.27)

Такого рода рассуждениями можно легко показать, что все свойства матриц сигма могут быть в операторных обозначениях описаны рядом правил, приведенных в табл. 9.3.

Таблица 9.3. СВОЙСТВА ОПЕРАТОРА ^σ

Если у нас есть произведения матриц сигма, то они переходят в произведения операторов. Когда два оператора стоят рядом в виде произведения, то сперва приступает к операции тот оператор, который стоит правее. Скажем, под ^σ_x^σ_y|+> надо понимать ^σ_х(^σ_y|+>). Из табл. 9.3 получаем ^σ_y|+>=i|-> так что

(9.28)

Числа (как, например, i) просто проходят сквозь операторы (операторы действуют только на векторы состояний); значит (9.28) перейдет в

Если сделать то же самое с ^σ_x^σ_y|->, то получится

Если взглянуть на табл. 9.3, то видно, что ^σ_х^σ_у, действуя на |+> или |->, даст в точности то же, что получается, если просто подействовать оператором ^σ_z и умножить на — i. Поэтому можно сказать, что операция ^σ_х^σ_y совпадает с операцией i^σ_z, и записать это утверждение в виде операторного уравнения

(9.29)

Убедитесь, что это уравнение совпадает с одним из наших матричных уравнений табл. 9.2. Итак, мы опять видим соответствие между матричной и операторной точкой зрения. Каждое из уравнений в табл. 9.2 может поэтому рассматриваться и как уравнение относительно операторов сигма. Можно проверить, что они действительно следуют из табл. 9.3. Работая с этими вещами, лучше не следить за тем, являются ли величины типа σ или Н операторами или матрицами. Чем их ни считай, уравнения выйдут одни и те же, так что табл. 9.2 можно при желании относить то к операторам сигма, то к матрицам сигма.

§ 3. Решение уравнений для двух состояний

Теперь можно писать наше уравнение двух состояний в различных видах, например:

или вот так:

(9.30)

Оба они означают одно и то же. Для частицы со спином ¹/₂ в магнитном поле гамильтониан Н дается уравнением (9.8) или (9.13).

Если поле направлено по z, то, как мы уже много раз видели, решение заключается в том, что состояние |ψ>, каким бы оно ни было, прецессирует вокруг оси z (в точности, как если бы взять физическое тело и вращать его как целое вокруг оси z) с угловой скоростью, вдвое большей, чем μB/ℏ. Все это, конечно, относится и к магнитному полю, направленному под другим углом, ведь физика от системы координат не зависит. Если магнитное поле время от времени как-то сложно меняется, то такое положение вещей можно анализировать следующим образом. Пусть вначале спин был в направлении +z, а магнитное поле — в направлении х. Спин начал поворачиваться. Если выключить x-поле, поворот прекратится. Если теперь включить z-поле, спин начнет поворачиваться вокруг z и т. д. Значит, смотря по тому, как меняются поля во времени, вы можете представить себе, каким будет конечное состояние — по какой оси оно будет направлено. Затем можно отнести это состояние к первоначальным |+> и |-> по отношению к z, пользуясь проекционными формулами, полученными в гл. 8 (или в гл. 4). Если в конечном состоянии спин направлен по (θ, φ), то амплитуда того, что спин будет смотреть вверх, равна cos(θ/2)e^-iφ/2, а амплитуда того, что спин будет смотреть вниз, равна sin(θ/2)e^+iφ/2. Это решает любую задачу. Таково словесное описание решений дифференциальных уравнений.

Только что описанное решение достаточно общо для того, чтобы справиться с любой системой с двумя состояниями. Возьмем наш пример с молекулой аммиака, на которую действует электрическое поле. Если система описывается на языке состояний |I> и |II>, то уравнения выглядят так:

(9.31)

Вы скажете: «Нет, там, я помню, стояло еще E₀». Неважно, мы просто сдвинули начало отсчета энергий, чтобы Е₀ стало равно нулю. (Это всегда можно сделать, изменив обе амплитуды в одно и то же число раз — в exp(iE₀T/ℏ); так можно избавиться от любой постоянной добавки к энергии.) Одинаковые уравнения обладают одинаковыми решениями, поэтому не стоит решать их вторично. Если взглянуть на эти уравнения и на (9.1), то их можно отождествить между собой следующим образом. Состояние |+> обозначим |I>, состояние |-> обозначим |II>. Это вовсе не значит, что мы выстраиваем аммиак в пространстве в одну линию или что |+> и |-> как-то связаны с осью z. Это все делается чисто искусственно. Имеется искусственное пространство, которое можно было бы назвать, например, «модельным пространством молекулы аммиака» или еще как-нибудь иначе. Это просто трехмерная «диаграмма», и направление «вверх» означает пребывание молекулы в состоянии |I>, а направление «вниз» по фальшивой оси z означает пребывание молекулы в состоянии |II>. Тогда уравнения отождествляются следующим образом.

Прежде всего вы видите, что гамильтониан может быть записан через матрицы сигма:

(9.32)

Если сравнить это с (9.1), то μB_z будет соответствовать -А, а μВ_х будет соответствовать -μℰ. В нашем «модельном» пространстве возникает, стало быть, постоянное поле В, направленное по оси z. Если есть, кроме этого, электрическое поле ℰ, меняющееся со временем, то у поля В появится и пропорционально меняющаяся x-компонента. Таким образом, поведение электрона в магнитном поле с постоянной составляющей в направлении z и колеблющейся составляющей в направлении х математически во всем подобно и точно соответствует поведению молекулы аммиака в осциллирующем электрическом поле. К сожалению, у нас нет времени входить глубже в детали этого соответствия или разбираться в каких-либо технических деталях. Мы только хотели подчеркнуть, что можно сделать так, чтобы все системы с двумя состояниями были аналогичны объекту со спином ¹/₂, прецессирующему в магнитном поле.

§ 4. Состояния поляризации фотона

Есть множество других интересных для изучения систем с двумя состояниями, и первая, о которой мы бы хотели поговорить, — это фотон. Чтобы описать фотон, нужно сначала задать вектор его импульса. У свободного фотона импульс определяет и частоту, так что указывать особо частоту не придется. Но еще остается одно свойство, именуемое поляризацией. Представьте себе фотон, приходящий к вам с определенной монохроматической частотой (которую во всем нашем обсуждении мы будем считать постоянной, так что можно не говорить о множестве состояний импульса).Тогда существуют два направления поляризации. По классической теории свет обладает, например, либо горизонтально колеблющимся электрическим полем, либо вертикально колеблющимся электрическим полем; этот свет двух сортов называют x-поляризованным и y-поляризованным светом. У света может быть и какое-то иное направление поляризации, его можно создать суперпозицией полей в направлении x и в направлении у. Или, взяв х- и y-компоненты со сдвигом фаз в 90°, получить вращающееся электрическое поле — свет будет поляризован эллиптически. [Это краткое напоминание классической теории поляризованного света, которую мы изучали в гл. 33 (вып. 3).]

Пусть теперь у нас есть одиночный фотон, всего один. Уже нет электрического поля, которое можно было бы рассматривать прежним способом. Один-единственный фотон и ничего больше. Но он тоже должен обладать аналогом классического явления поляризации. Значит, должны существовать по крайней мере два разных сорта фотонов. Сперва могло бы показаться, что их должно быть бесконечное множество, ведь, как бы то ни было, электрический вектор может быть направлен в любую сторону. Однако поляризацию фотона можно описать как систему с двумя состояниями. Фотон может быть либо в состоянии |х>, либо в состоянии |у>. Под |х> подразумевается состояние поляризации каждого из фотонов в пучке света, который классически x-поляризован. А |у> означает состояние поляризации каждого из фотонов в y-поляризованном пучке. Эти |х> и |у> вы можете выбрать в качестве базисных состояний фотона с данным направленным на вас импульсом — импульсом в направлении z. Итак, существуют два базисных состояния |x> и |y>, и их вполне хватает, чтобы описать всякий фотон.

К примеру, если у нас есть поляроид, ось которого расположена так, чтобы пропускать свет, поляризованный в направлении, которое мы называем направлением х, и если мы направили туда фотон, который, как нам известно, находится в состоянии |у>, то он поглотится поляроидом. Если послать туда фотон, который, как нам известно, находится в состоянии |х>, он и выйдет в состоянии |x>. Когда мы берем кусок кальцита (исландского шпата), который расщепляет пучок поляризованного света на |x>-пучок и |y>-пучок, то этот кусок кальцита полностью аналогичен прибору Штерна—Герлаха, расщепляющему пучок атомов серебра на два состояния |+> и |->. Значит, все, что мы раньше делали с частицами и приборами Штерна—Герлаха, можно повторить со светом и кусками поляроида. А что можно сказать о свете, который отфильтрован куском поляроида, повернутым на угол θ? Другое ли это состояние? Да, действительно, это другое состояние. Обозначим ось поляроида х', чтобы отличать ее от осей наших базисных состояний (фиг. 9.2).

Фиг. 9.2. Оси координат, перпендикулярные к вектору импульса фотона.

Выходящий наружу фотон будет в состоянии |х'>. Но всякое состояние может быть представлено в виде линейной комбинации базисных состояний, а формула для такой комбинации известна:

(9.33)

Иначе говоря, если фотон пройдет сквозь кусок поляроида, повернутого на угол θ (по отношению к х), он все равно может быть разрешен на |x>- и |y>-пучки (например, куском кальцита). Или, если угодно, вы можете в своем воображении просто разбить его на х- и y-компоненты. Любым путем вы получите амплитуду cosθ быть в |х>-состоянии и амплитуду sinθ быть в |y>-состоянии.

Теперь поставим такой вопрос: пусть фотон поляризован в направлении х' куском поляроида, повернутого на угол θ, и пусть он попадет в другой поляроид, повернутый на угол нуль (фиг. 9.3).

Фиг. 9.3. Две поляроидные пластины с углом θ между плоскостями поляризации.

Что тогда произойдет? С какой вероятностью он пройдет сквозь поляроид? Ответ: Пройдя первый поляроид, фотон наверняка оказывается в состоянии |х'>. Через второй поляроид он протиснется лишь в том случае, если будет в состоянии |x> (и поглотится им, оказавшись в состоянии |у>). Значит, мы спрашиваем, с какой вероятностью фотон окажется в состоянии |x>? Эту вероятность мы получим из квадрата модуля амплитуды , амплитуды того, что фотон в состоянии |х'> находится также и в состоянии |x>. Чему равно <x|x'>? Умножив (9.33) на <x|, получим

Но <x|y>=0; это следует из физики, так должно быть, если |х> и |у> суть базисные состояния, а <x|x>=1. И мы получаем

а вероятность равна cos²θ. Например, если первый поляроид поставлен под углом 30°, то ³/₄ времени фотон будет проходить через него, а ¹/₄ времени будет нагревать поляроид, поглощаясь внутри него.

Посмотрим теперь, что в такой же ситуации происходит с точки зрения классической физики. Там мы имели бы пучок света, электрическое поле которого меняется тем или иным образом, — скажем «неполяризованный» пучок. После того как он прошел бы через первый поляроид, электрическое поле величины ℰ начало бы колебаться в направлении х' ; мы бы начертили его в виде колеблющегося вектора с пиковым значением ℰ₀ на диаграмме фиг. 9.4.

Фиг. 9.4. Классическая картина электрического вектора ℰ.

Если бы затем свет достиг второго поляроида, то через него прошла бы только x-компонента ℰ₀cosθ электрического поля. Интенсивность была бы пропорциональна квадрату поля, т. е. ℰ₀²cos²θ. Значит, проходящая сквозь последний поляроид энергия была бы в cos²θ слабее энергии, поступающей в него.

И классическая, и квантовая картины приводят к одинаковым результатам. Если бы вы бросили на второй поляроид 10 миллиардов фотонов, а средняя вероятность прохождения каждого из них была бы, скажем, ³/₄, то следовало бы ожидать, что сквозь него пройдет ³/₄ от 10 миллиардов. Равным образом и энергия, которую они унесли бы, составила бы ³/₄ той энергии, которую вам хотелось протолкнуть через поляроид. Классическая теория ничего не говорит о статистике этих вещей, она попросту утверждает, что энергия, которая пройдет насквозь, в точности равна ³/₄ той энергии, которая была пущена в поляроид. Это, конечно, немыслимо, если фотон только один. Не бывает ³/₄ фотона. Либо он весь здесь, либо его вовсе нет. И квантовая механика говорит нам, что он бывает весь здесь³/₄времени. Связь обеих теорий ясна.

А как же с другими сортами поляризации? Скажем, с правой круговой поляризацией? В классической теории компоненты х и у правой круговой поляризации были равны, но сдвинуты по фазе на 90°. В квантовой теории фотон, поляризованный по кругу вправо («правый»), обладает равными амплитудами быть |х>- и |у>-поляризованным, и эти амплитуды сдвинуты по фазе на 90°. Обозначая состояние «правого» фотона через |П>, а состояние «левого» фотона через |Л>, можно написать [см. гл. 33, § 1 (вып. 3)]

(9.34)

множитель 1/√2 поставлен, чтобы нормировать состояния. С помощью этих состояний можно подсчитывать любые эффекты, связанные с фильтрами или интерференцией, применяя законы квантовой теории. При желании можно также выбрать в качестве базисных состояний |П> и |Л> и все представлять через них. Надо только предварительно убедиться, что <П|Л>=0, а это можно сделать, взяв сопряженный вид первого уравнения [см. (6.13)] и перемножив их друг с другом. Можно раскладывать свет, пользуясь в качестве базиса и х-, и y-поляризациями, и х'-, и y'-поляризациями, а можно—и правой, и левой поляризациями.

Попробуйте (просто для упражнения) обратить наши формулы. Можно ли представить состояние |х> в виде линейной комбинации правого и левого? Да, вот ответ:

(9.35)

Доказательство: сложите и вычтите два уравнения в (9.34). От одного базиса к другому очень легко переходить.

Впрочем, одно замечание надо бы сделать. Если фотон поляризован по правому кругу, он не имеет никакого касательства к осям х и у. Если бы мы взглянули на него из системы координат, повернутой вокруг направления полета на какой-то угол, то свет по-прежнему был бы поляризован по кругу; то же с левой поляризацией. Право- и левополяризованный по кругу свет при любом таком повороте одинаков; определение не зависит от выбора направления х (если не считать того, что направление фотона задано). Великолепно, не так ли? Для определения не нужны никакие оси. Куда лучше, чем х и у! Но, с другой стороны, не чудо ли, что, складывая левое и правое, вы в состоянии узнать, где было направление x? Если «правое» и «левое» никак не зависят от х, как же получается, что мы можем сложить их и вновь получить x? На этот вопрос можно частью ответить, расписав состояние |П'>, представляющее фотон, правополяризованный в системе координат х', у'. В этой системе мы бы написали

Как же будет выглядеть такое состояние в системе х, у? Подставим |х'> из (9.33) и соответствующее |у'>; мы его не выписывали, но оно равно (-sinθ)|x>+(cosθ)|y>. Тогда

Первый множитель — это просто |П>, а второй е^-iθ ; итог таков:

(9.36)

Состояния |П'> и |П> отличаются только фазовым множителем е^-iθ. Если подсчитать такую же вещь для |Л'>, мы получим[30]

(9.37)

Теперь мы видим, что происходит. Сложив |П> и |Л>, мы получаем нечто отличное от того, что получилось бы при сложении |П'> и |Л'>. Скажем, x-поляризованный фотон есть [см. (9.35)] сумма |П> и |Л>, но y-поляризованный фотон — это сумма со сдвигом фазы первого на 90° назад, а второго — на 90° вперед. Это просто то же самое, что получилось бы из суммы |П> и |Л'> при определенном выборе угла θ=90°, и это правильно. В штрихованной системе x-поляризация — это то же самое, что y-поляризация в первоначальной системе. Значит, не совсем верно, что поляризованный по кругу фотон выглядит в любой системе осей одинаково. Его фаза (фазовое соотношение между право- и левополяризованными по кругу состояниями) запоминает направление х.

§ 5. Нейтральный К-мезон[31]

Теперь мы расскажем о двухуровневой системе из мира странных частиц — о системе, для которой квантовая механика приводит к поразительнейшим предсказаниям. Полное описание этой системы потребовало бы от нас таких знаний о странных частицах, каких у нас пока нет, поэтому, к сожалению, кое-какие углы нам придется срезать. Мы лишь вкратце успеем изложить историю того, как было сделано одно открытие, чтобы показать вам, какого типа рассуждения для этого потребовались. Началось это с открытия Гелл-Манном и Нишиджимой понятия странности и нового закона сохранения странности. И вот когда Гелл-Манн и Пайс проанализировали следствия из этих новых представлений, то они пришли к предсказанию замечательнейшего явления, о котором мы и хотим повести речь. Сперва, однако, нужно немного рассказать о «странности».

Начать нужно с того, что называется сильными взаимодействиями ядерных частиц. Существуют взаимодействия, которые ответственны за мощные ядерные силы, в отличие, например, от относительно более слабых электромагнитных взаимодействий. Взаимодействия «сильны» в том смысле, что если две частицы сойдутся так близко, чтобы быть способными взаимодействовать, то взаимодействуют они очень мощно и создают другие частицы очень легко. Ядерные частицы обладают еще так называемым «слабым взаимодействием», в результате которого происходят такие вещи, как бета-распад; но они всегда происходят очень медленно (по ядерным масштабам времени): слабые взаимодействия на много-много порядков величины слабее, чем сильные, и даже слабее, чем электромагнитные.

Когда при помощи больших ускорителей начали изучать сильные взаимодействия, все были поражены, увидев, что некоторые вещи, которые «должны были» произойти (ожидалось, что они произойдут), на самом деле не возникали. К примеру, в некоторых взаимодействиях не появлялась частица определенного сорта, хотя ожидалось, что она появится. Гелл-Манн и Нишиджима заметили, что многие из этих странных случаев можно было объяснить одним махом, изобретя новый закон сохранения: сохранение странности. Они предположили, что существует свойство нового типа, связываемое с каждой частицей, — число, названное ими «странностью», — и что во всяком сильном взаимодействии «количество странности» сохраняется.

Предположим, например, что отрицательный K-мезон высокой энергии, скажем с энергией во много Гэв, сталкивается с протоном. Из их взаимодействия могут произойти много других частиц: π-мезонов, K-мезонов, Λ-частиц, Σ-частиц, — любые из мезонов или барионов, перечисленных в табл. 2.2 (вып. 1). Оказалось, однако, что возникали только определенные комбинации, а другие — никогда.

Про некоторые законы сохранения было известно, что они обязаны соблюдаться. Во-первых, всегда сохранялись энергия и импульс. Полная энергия и импульс после события должны быть такими же, как и перед событием. Во-вторых, существует закон сохранения электрического заряда, утверждающий, что полный заряд выходящих частиц обязан равняться полному заряду, внесенному начальными частицами. В нашем примере столкновения К-мезона и протона действительно происходят такие реакции:

или

(9.38)

И никогда из-за несохранения заряда не идут реакции

(9.39)

Было также известно, что количество барионов сохраняется. Количество выходящих барионов должно быть равно количеству входящих. В этом законе античастица бариона считается за минус один барион. Это значит, что мы можем видеть — и видим — реакции

или

(9.40)

(где ^—p — это антипротон, несущий отрицательный заряд). Но мы никогда не увидим

или

(9.41)

(даже если энергия очень-очень большая), потому что число барионов здесь не сохранялось бы.

Эти законы, однако, не объясняют того странного факта, что нижеследующие реакции, которые с виду не особенно отличаются от кое-каких приведенных в (9.38) или (9.40), тоже никогда не наблюдались:

или

или

(9.42)

Объяснением служит сохранение странности. За каждой частицей следует число — ее странность S, и имеется закон, что в любом сильном взаимодействии полная странность на выходе должна равняться полной странности на входе. Протон и антипротон (p, ^—p), нейтрон и антинейтрон (n, ^—n) и π-мезоны (π⁺, π⁰, π^-) — все имеют странность нуль; у К⁺- и K⁰-мезонов странность равна +1;у К^- и ^—K⁰ (анти-К⁰)[32], у Λ⁰- и Σ-частиц (Σ⁺, Σ⁰, Σ^-) странность равна -1. Существует также частица со странностью -2 (Ξ-частица), а может быть, и другие, пока неизвестные. Перечень этих странностей приведен в табл. 9.4[33].

Таблица 9.4. СТРАННОСТИ СИЛЬНО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ

Посмотрим, как действует сохранение странности в некоторых написанных реакциях. Если мы исходим из К^- и протона, то их суммарная странность равна (-1)+0=-1. Сохранение странности утверждает, что странности продуктов реакции после сложения тоже должны дать -1. Вы видите, что в реакциях (9.38) и (9.40) это действительно так. Но в реакциях (9.42) странность справа во всех случаях есть нуль. В них странность не сохраняется, и они не происходят. Почему? Это никому не известно. Никому не известно что-либо сверх того, что мы только что рассказали. Просто природа так действует — и все.

Давайте теперь взглянем на такую реакцию: π^- попадает в протон. Вы можете, например, получить Λ⁰-частицу плюс нейтральный K-мезон — две нейтральные частицы. Какой же из нейтральных K-мезонов вы получите? Раз у Λ-частицы странность -1, а у π^- и π⁺ странность нуль и поскольку перед нами быстрая реакция рождения, то странность измениться не должна. Вот K-частица и должна обладать странностью +1, —и быть поэтому К⁰. Реакция имеет вид

причем

Если бы здесь вместо К⁰ стояло ^—К⁰, то странность справа была бы -2, чего природа не позволит, ведь слева странность нуль. С другой стороны, ^—К⁰ может возникать в других реакциях:

где

или

где

Вы можете подумать: «Не слишком ли много разговоров. Как узнать, ^—K⁰ это или K⁰? Выглядят-то они одинаково. Они античастицы друг друга, значит, массы их одинаковы, заряды у обеих равны нулю. Как вы их различите?» По реакциям, которые они вызывают. Например, ^—K⁰-мезон может взаимодействовать с веществом, создавая Λ-частицу, скажем, так:

а K⁰-мезон не может. У К⁰нет способа создать Λ-частицу, взаимодействуя с обычным веществом (протонами и нейтронами)[34]. Значит, экспериментальное отличие между К⁰- и ^—K⁰-мезонами состояло бы в том, что один из них создает Λ-частицу, а другой— нет.

Одно из предсказаний теории странности тогда заключалось бы в следующем: если в опыте с пионами высокой энергии Λ-частица возникает вместе с нейтральным K-мезоном, тогда этот нейтральный K-мезон, попадая в другие массивы вещества, никогда не создаст Λ-частицы. Опыт мог бы протекать таким образом. Вы посылаете пучок π^--мезонов в большую водородную пузырьковую камеру. След π^- исчезает, но где-то в стороне появляется пара следов (протона и π^--мезона), указывающая на то, что распалась Λ-частица[35] (фиг. 9.5). Тогда вы знаете, что где-то есть K⁰-мезон, который вам не виден.

Но вы можете представить, куда он направился, применяя сохранение импульса и энергии. (Он затем иногда раскрывает свое местоположение, распадаясь на пару заряженных частиц, как показано на фиг. 9.5, а.)

Фиг. 9.5. Высокоэнергетические события, наблюдаемые в водородной пузырьковой камере. а — π^--мезон взаимодействует с ядром водорода (протоном), образуя А⁰-частицу и К⁰-мезон; обе частицы распадаются в камере; б —^—K⁰-мезон взаимодействует с протоном, образуя π^--мезон и А⁰-частицу, которая затем распадается. (Нейтральные частицы не оставляют следа. Предполагаемые их траектории показаны здесь штрихованными линиями.)

Когда К⁰-мезон летит в веществе, он может провзаимодействовать с одним из ядер водорода (протонов), создав при этом, быть может, еще какие-то частицы. Предсказание теории странности состоит в том, что K⁰-мезон никогда не породит Λ-частицу в простой реакции, скажем, такого типа

хотя ^—K⁰-мезон это может сделать. Иначе говоря, в пузырьковой камере ^—K⁰-мезон мог бы вызвать событие, показанное на фиг. 9.5, б, где Λ⁰-частицу из-за распада можно заметить, а К⁰-мезон не смог бы. Это первая часть рассказа. Это и есть сохранение странности.

Странность, впрочем, сохраняется не совсем. Существуют очень медленные распады странных частиц — распады, происходящие за большое время — порядка 10^-10сек[36], в которых странность не сохраняется. Их называют «слабые» распады. Например, K⁰-мезон распадается на пару π-мезонов (+ и -) со временем жизни 10^-10сек. Именно так на самом деле впервые были замечены K-частицы. Обратите внимание, что распадная реакция

не сохраняет странности, так что «быстро», путем сильного взаимодействия, она идти не может. Может она идти только через слабый распадный процесс.

Далее, ^—K⁰-мезон также распадается таким же путем (на π⁺ и π^-) и тоже с таким же самым временем жизни:

Здесь опять идет слабый распад, потому что он не сохраняет странности. Существует принцип, по которому для всякой реакции всегда найдется соответствующая реакция, в которой «материя» заменяется «антиматерией» и наоборот. Раз ^—K⁰ — это античастица К⁰, она обязана распадаться на античастицы π⁺ и π^-, но античастица π⁺ есть π^-. (Или, если вам угодно, наоборот. Оказывается, что для π-мезонов неважно, кого из них назовут «материей», их эта материя совсем не интересует.) Итак, как следствие слабых распадов К⁰- и ^—K⁰-мезоны могут превращаться в одинаковые конечные продукты. Если «видеть» их по их распадам (как в пузырьковой камере), то выглядят они, как совершенно одинаковые частицы. Отличаются только их сильные взаимодействия.

Теперь наконец-то мы доросли до того, чтобы описать работу Гелл-Манна и Пайса. Во-первых, они отметили, что раз К⁰ и ^—K⁰ оба могут превращаться в два π-мезонов, то должна также существовать некоторая амплитуда того, что К⁰ может превратиться в К⁰, и такая же амплитуда того, что ^—K⁰ превратится в К⁰. Реакцию можно записать так, как это делают химики:

(9.43)

Из существования таких реакций следует, что есть амплитуда, которую мы обозначим через -i/ℏ<^—K⁰|W|K⁰>, превращения К⁰ в ^—K⁰, обусловленная тем самым слабым взаимодействием, с которым связан распад на два π-мезона. Ясно, что есть и амплитуда обратного процесса <K⁰|W|^—K⁰>. Так как материя и антиматерия ведут себя одинаково, то эти две амплитуды численно равны между собой; мы обозначим их через А:

(9.44)

И вот, сказали Гелл-Манн и Пайс, здесь возникает интересная ситуация. То, что люди назвали двумя разными состояниями мира (К⁰ и ^—K⁰), на самом деле следует рассматривать как одну систему с двумя состояниями, потому что имеется амплитуда перехода из одного состояния в другое. Для полноты рассуждений следовало бы, конечно, рассмотреть не два состояния, а больше, потому что существуют еще состояния 2π и т. д.; но поскольку наши физики интересовались главным образом связью К⁰ с ^—K⁰, то они не захотели усложнять положения и представили его приближенно в виде системы с двумя состояниями. Другие состояния были учтены в той мере, в какой их влияние неявно скажется на амплитудах (9.44).

В соответствии с этим Гелл-Манн и Пайс анализировали нейтральную частицу как систему с двумя состояниями. Начали они с того, что выбрали состояния |К⁰> и |^—K⁰> за базисные состояния. (С этого места весь рассказ становится очень похожим на то, что было для молекулы аммиака.) Всякое состояние |ψ> нейтрального K-мезона можно тогда описать, задав амплитуды того, что оно окажется в одном из базисных состояний. Обозначим эти амплитуды

(9.45)

Следующим шагом мы должны написать уравнение Гамильтона для такой системы с двумя состояниями. Если бы К⁰ и ^—K⁰ не были бы связаны между собой, то уравнения выглядели бы просто

(9.46)

Однако есть еще амплитуда <^—K⁰|W|K⁰> перехода К⁰ в ^—K⁰; поэтому в правую часть первого уравнения надо еще добавить слагаемое

Аналогичное слагаемое АС₊ надо добавить и в уравнение, определяющее скорость изменения С_-. Но это еще не все! Если уж мы учитываем двухпионный эффект, то надо учесть и то, что существует еще дополнительная амплитуда превращения К⁰ в самого себя по цепочке

Эта дополнительная амплитуда (обозначим ее <K⁰|W|K⁰>) в точности равна амплитуде <^—K⁰|W|K⁰>, так как амплитуды перехода в пару π-мезонов или от пары π-мезонов в К⁰ или ^—K⁰ одни и те же.

Если угодно, можно показать это и подробнее. Прежде всего напишем[37]

и

Симметрия между материей и антиматерией требует, чтобы

а также

Отсюда <K⁰|W|K⁰>=<^—K⁰|W|K⁰> а также <^—K⁰|W|K⁰>=<K⁰|W|^—K⁰> о чем мы уже говорили выше.

Итак, у нас есть две дополнительные амплитуды <K⁰|W|K⁰> и <^—K⁰|W|^—K⁰>, обе равные А, которые надо вставить в уравнения Гамильтона. Первая приводит к слагаемому АС₊ в правой части уравнения для dC₊/dt, а вторая — к слагаемому АС_- в правой части уравнения для dC_-/dt. Рассуждая именно так, Гелл-Манн и Пайс пришли к заключению, что уравнения Гамильтона для системы K^0—K⁰ должны иметь вид

(9.47)

Теперь надо сделать поправку к сказанному в прежних главах: к тому, что две амплитуды, такие, как <K⁰|W|^—K⁰> и <^—K⁰|W|K⁰>, выражающие обратные друг к другу процессы, всегда комплексно сопряжены. Это было бы верно, если бы мы говорили о частицах, которые не распадаются. Но если частицы могут распадаться, а поэтому «пропадать», то амплитуды не обязательно комплексно сопряжены. Значит, равенство (9.44) не означает, что наши амплитуды суть действительные числа. На самом деле они суть комплексные числа. Поэтому коэффициент А комплексный и его нельзя просто включить в энергию Е₀.

Часто, возясь со спинами электронов и тому подобными вещами, наши герои знали: такие уравнения означают, что имеется другая пара базисных состояний с особенно простым поведением, которые также пригодны для представления системы K-частиц. Они рассуждали так: «Возьмем теперь сумму и разность этих двух уравнений. Будем отсчитывать все энергии от Е₀ и возьмем для энергии и времени такие единицы, при которых ℏ=1». (Так всегда поступают современные теоретики. Это не меняет, конечно, физики, но уравнения выглядят проще.) В результате они получили

(9.48)

откуда ясно, что комбинации амплитуд С₊+С_- и С₊-С_- действуют друг от друга независимо (и отвечают стационарным состояниям, которые мы раньше изучали). Они заключили, что удобнее было бы для K-частиц употреблять другое представление. Они определили два состояния:

(9.49)

и сказали, что вместо того, чтобы думать о K⁰- и ^—K⁰-мезонах, с равным успехом можно рассуждать на языке двух «частиц» (т. е. «состояний») К₁ и К₂. (Они, конечно, соответствуют состояниям, которые мы обычно называли |I> и |II>. Мы не пользуемся нашими старыми обозначениями, потому что хотим следовать обозначениям самих авторов, тем, которые вы встретите на физических семинарах.)

Но Гелл-Манн и Пайс проделывали все это не для того, чтобы давать частицам новые названия; во всем этом имеется еще некоторая весьма странная физика. Пусть C₁ и С₂ суть амплитуды того, что некоторое состояние |ψ> окажется либо K₁-, либо K₂-мезоном:

Из уравнений (9.49)

(9.50)

Тогда (9.48) превращается в

(9.51)

Их решения имеют вид

(9.52)

где С₁(0) и С₂(0) — амплитуды при t=0.

Эти уравнения говорят, что если нейтральный K-мезон при t=0 находится в состоянии |К₁> [так что С₁(0)=1 и С₂(0)=0], то амплитуды в момент t таковы:

Вспоминая, что А — комплексное число, удобно положить

(так как мнимая часть 2А оказывается отрицательной, мы пишем ее как минус iβ). После такой подстановки С₁(t) принимает вид

(9.53)

Вероятность обнаружить в момент t частицу К₁ равна квадрату модуля этой амплитуды, т. е. e^-2βt. А из (9.52) следует, что вероятность обнаружить в любой момент состояние K₂ равна нулю. Это значит, что если вы создаете К-мезон в состоянии |К₁>, то вероятность найти его в том же состоянии со временем экспоненциально падает, но вы никогда не увидите его в состоянии |К₂>. Куда же он девается? Он распадается на два π-мезона со средним временем жизни τ=¹/₂β, экспериментально равным 10^-10сек. Мы предусмотрели это, говоря, что А комплексное.

С другой стороны, (9.52) утверждают, что если создать K-мезон целиком в состоянии К₂, он останется в нем навсегда. На самом-то деле это не так. На опыте замечено, что он распадается на три π-мезона, но в 600 раз медленнее, чем при описанном нами двухпионном распаде. Значит, имеются какие-то другие малые члены, которыми мы в нашем приближении пренебрегли. Но до тех пор, пока мы рассматриваем только двухпионные распады, К₂ остается «навсегда».

Рассказ о Гелл-Манне и Пайсе близится к концу. Дальше они посмотрели, что будет, когда K-мезон образуется вместе с Λ⁰-частицей в сильном взаимодействии. Раз его странность должна быть +1, он обязан возникать в состоянии К⁰. Значит, при t=0 он не является ни К₁, ни К₂, а их смесью. Начальные условия таковы:

Но это означает [из (9.50)], что

а из (9.52) следует, что

(9.54)

Теперь вспомним, что K₁ и К₂ суть линейные комбинации К⁰ и ^—K⁰. В (9.54) амплитуды были выбраны так, что при t=0 части, из которых состоит ^—K⁰, взаимно уничтожаются за счет интерференции, оставляя только состояние К⁰. Но состояние |К₁>со временем меняется, а состояние |К₂> — нет. После t=0 интерференция С₁ и С₂ приведет к конечным амплитудам и для К⁰, и для ^—K⁰.

Что же все это значит? Возвратимся назад и подумаем об опыте, показанном на фиг. 9.5. Там π^--мезон образовал Λ⁰-частицу и K⁰-мезон, который летит без оглядки сквозь водород камеры. Когда он движется, существует ничтожный, но постоянный шанс, что он столкнется с ядром водорода. Раньше мы думали, что сохранение странности предохранит K-мезон от образования Λ⁰-частицы в таком взаимодействии. Теперь, однако, мы понимаем, что это не так. Потому что, хотя наш К-мезон вначале является К⁰-мезоном, неспособным к рождению Λ⁰-частицы, он не остается им навечно. Через мгновение появляется некоторая амплитуда того, что он перейдет в состояние ^—K⁰. Значит, следует ожидать, что иногда мы увидим Λ⁰-частицу, образованную вдоль следа K-мезона. Вероятность такого происшествия дается амплитудой С_-, которую можно [решая (9.50)] связать с С₁ и С₂. Связь эта такова:

(9.55)

И когда K-частица движется, вероятность того, что она будет «действовать как» ^—K⁰, равна |С_-|², т. е.

(9.56)

Сложный и поразительный результат!

Это и есть замечательное предсказание Гелл-Манна и Пайса: когда возникает K⁰-мезон, то шанс, что он превратится в ^—K⁰-мезон, продемонстрировав это возможностью создания Λ⁰-частицы, меняется со временем по закону (9.56). Это предсказание последовало только из чистейших логических рассуждений и из основных принципов квантовой механики без знания внутренних механизмов K-частицы. И поскольку никто не знает ничего об этом внутреннем механизме, то дальше этого Гелл-Манн и Пайс не смогли продвинуться. Им не удалось дать теоретических значений α и β. И никто до сегодняшнего дня не смог это сделать. Им было по силам оценить значение β из экспериментально наблюдаемой скорости распада на два π-мезона (2β=1,1·10¹⁰сек^-1), но про α они ничего не смогли сказать.

Мы изобразили функцию (9.56) для двух значений α на фиг. 9.6.

Фиг. 9.6. Функция (9.56). а — для α=8πβ, б — для а=2πβ (при 2β=10¹⁰сек^-1) время t отложено в 10^-10сек

Видно, что форма ее сильно зависит от отношения α и β. Наблюдать ^—K⁰-мезон сперва нет никакой вероятности, но затем она появляется. Если значение α велико, вероятность сильно осциллирует; если оно мало, осцилляции невелики или вовсе отсутствуют, вероятность просто плавно возрастает до ¹/₄.

Как правило, K-мезоны движутся с постоянной скоростью, близкой к скорости света. Тогда кривые фиг. 9.6 также представляют вероятность наблюдения ^—K⁰-мезона вдоль следа с типичными расстояниями порядка нескольких сантиметров. Теперь вы видите, отчего это предсказание так удивительно своеобразно. Вы создаете отдельную частицу, и она не просто распадается, а проделывает нечто совсем иное. Временами она распадается, а порой превращается в частицу другого сорта. Характеристическая вероятность этого эффекта по мере ее движения меняется очень странно. Ничего другого, похожего на это, в природе нет. И это удивительнейшее предсказание было сделано только на основе рассуждений об интерференции амплитуд.

Если и существует какое-то место, где есть шанс проверить главные принципы квантовой механики самым прямым образом — бывает ли суперпозиция амплитуд или не бывает, — то оно именно здесь. Несмотря на то что этот эффект был предсказан уже несколько лет тому назад, до сих пор достаточно ясного опытного определения еще не было. Имеются некоторые грубые результаты, указывающие, что значение α не равно нулю и что эффект действительно наблюдается: они свидетельствуют, что α по порядку величины равно β. И это все, что мы знаем из эксперимента. Было бы замечательно, если бы удалось точно проверить и посмотреть, действительно ли работает принцип суперпозиции в этом таинственном мире странных частиц — с неизвестными поводами для распадов и неизвестным поводом существования странности[38].

Анализ, который мы только что привели, — характерный пример того, как сегодня используется квантовая механика, чтобы разгадать странные частицы. Во всех сложных теориях, о которых вы, быть может, слышали, нет ничего сверх этого элементарного фокуса, использующего принципы суперпозиции и другие принципы квантовой механики того же уровня. Некоторые утверждают, что у них есть теории, с помощью которых можно подсчитать β и α или по крайней мере α при данном β. Но эти теории совершенно бесполезны. Например, теория, предсказывающая значение α при данном β, говорит, что α должно быть бесконечным. Система уравнений, из которой они исходят, включает два π-мезона и затем возвращается от двух π-мезонов обратно к K⁰-мезону и т. д. Если все выкладки проделать, то действительно возникает пара уравнений, похожих на те, что у нас получались, но, поскольку у двух π-мезонов имеется бесконечно много состояний, зависящих от их импульсов, интегрирование по всем возможностям приводит к α, равному бесконечности. А природное α не бесконечно. Значит, динамические теории неверны. На самом деле чрезвычайно поразительно, что единственные явления, которые могут быть в мире странных частиц предсказаны, вытекают из принципов квантовой механики на том уровне, на котором вы их сейчас изучаете.

§ 6. Обобщение на системы с N состояниями

Мы покончили с системами с двумя состояниями, рассказав все, что хотелось. В дальнейших главах мы перейдем к изучению систем с большим числом состояний. Расширение на системы с N состояниями идей, разработанных для двух состояний, проходит довольно просто. Это делается примерно так.

Если система обладает N различными состояниями, то всякое состояние |ψ(t)> можно представить как линейную комбинацию произвольной совокупности базисных состояний |t>, где i=1, 2, 3, ..., N:

(9.57)

Коэффициенты C_i(t) — это амплитуды <i|ψ(t)>. Поведение амплитуд С_i во времени направляется уравнениями

(9.58)

где энергетическая матрица H_ij описывает физику задачи. С виду она такая же, как и для двух состояний. Но только теперь и i, и j должны пробегать по всем N базисным состояниям, и энергетическая матрица H_ij (или, если вам больше нравится, гамильтониан) — это теперь матрица N×N, состоящая из N² чисел. Как и прежде, H_ij=H_ji (до тех пор, пока частицы сохраняются) и диагональные элементы H_ii суть вещественные числа.

Мы нашли общее решение для всех С в системе с двумя состояниями, когда энергетическая матрица постоянна (не зависит от t). Точно так же нетрудно решить и уравнение (9.58) для системы с N состояниями, когда Н не зависит от времени. Опять мы начинаем с того, что ищем возможное решение, в котором у всех амплитуд зависимость от времени одинакова. Мы пробуем

(9.59)

Если все эти C_i подставить в (9.58), то производные dC_i(t)/dt превращаются просто в (-i/ℏ)EC_i. Сокращая повсюду на общую экспоненту, получаем

(9.60)

Эта система N линейных алгебраических уравнений для N неизвестных a₁а₂, ..., а_n; решение у нее бывает только тогда, когда вам сильно повезет, когда определитель из коэффициентов при всех а равен нулю. Но не нужно чересчур умничать: можете просто начать их решать любым способом, и вы сразу увидите, что решить их удается лишь при некоторых значениях E. (Вспомните, что единственная величина, которая в этих уравнениях подлежит подгонке, это Е.)

Если, впрочем, вы хотите, чтобы все было по форме, перепишите (9.60) так:

(9.61)

Затем примените правило (если оно вам знакомо), что эти уравнения будут иметь решения лишь для тех значений Е, для которых

(9.62)

Каждый член в детерминанте — это просто H_ij и только из диагональных отнято Е. Иначе говоря, (9.62) означает просто

(9.63)

Это, конечно, всего-навсего особый способ записывать алгебраические уравнения для Е, складывая вереницы членов, перемножаемых в определенном порядке. Эти произведения дадут все степени Е вплоть до E^N.

Значит, у нас есть многочлен N-й степени, который равняется нулю. У него, вообще говоря, есть N корней. (Нужно помнить, однако, что некоторые из них могут быть кратными корнями; это значит, что два или более корней могут быть равны друг другу.) Обозначим эти N корней так:

(9.64)

(пусть n обозначает n-е порядковое числительное, так что n принимает значения I,II, ..., N). Некоторые из этих энергий могут быть между собой равны, скажем Е_II=Е_III, но мы решили все же обозначать их разными именами.

Уравнения (9.60) или (9.61) имеют по одному решению для каждого значения Е [из (9.64)]. Если вы подставите любое из Е, скажем E_n, в (9.60) и найдете все а_i, то получится ряд чисел а_i, относящихся к энергии E_n. Этот ряд мы обозначим а_i(n).

Если подставить эти а_i(n) в (9.59), то получатся амплитуды С_i(n) того, что состояния с определенной энергией находятся в базисном состоянии |i>. Пусть |n> обозначает вектор состояния для состояния с определенной энергией при t=0. Тогда можно написать

где

(9.65)

Полное состояние с определенной энергией |ψ_n(t)> можно тогда записать так:

или

(9.66)

Векторы состояний |n> описывают конфигурацию состояний с определенной энергией, но с вынесенной зависимостью от времени. Это постоянные векторы, которые, если мы захотим, можно использовать в качестве новой базисной совокупности.

Каждое из состояний |n> обладает тем свойством (в чем легко убедиться), что при действии на него оператором Гамильтона Н получится просто Е_n, умноженное на то же состояние:

(9.67)

Значит, энергия Е_n — это характеристическое число оператора Гамильтона ^Н. Как мы видели, у гамильтониана в общем случае бывает несколько характеристических энергий. Физики обычно называют их «собственными значениями» матрицы Н. Для каждого собственного значения ^Н, иными словами, для каждой энергии, существует состояние с определенной энергией, которое мы называли «стационарным». Состояния |n> обычно именуются «собственными состояниями ^Н». Каждое собственное состояние отвечает определенному собственному значению Е_n.

Далее, состояния |n> (их N штук) могут, вообще говоря, тоже быть выбраны в качестве базиса. Для этого все состояния должны быть ортогональны в том смысле, что для любой пары их, скажем |n> и |m>,

(9.68)

Это выполнится автоматически, если все энергии различны. Кроме того, можно умножить все а_i(n) на подходящие множители, чтобы все состояния были отнормированы: чтобы для всех n было

(9.69)

Когда оказывается, что (9.63) случайно имеет два (или больше) одинаковых корня с одной и той же энергией, то появляются небольшие усложнения. По-прежнему имеются две различные совокупности а_i, отвечающие двум одинаковым энергиям, но состояния, которые они дают, не обязательно ортогональны. Пусть вы проделали нормальную процедуру и нашли два стационарных состояния с равными энергиями. Обозначим их |μ> и |v>. Тогда они не обязательно окажутся ортогональными: если вам не повезло, то обнаружите, что

Но зато всегда верно, что можно изготовить два новых состояния (обозначим их |μ'> и |v'>) с теми же энергиями, но ортогональных друг другу:

(9.70)

Этого можно добиться, составив |μ'> и |v'> из подходящих линейных комбинаций |μ> и |v> с так подобранными коэффициентами, что (9.70) будет выполнено. Это всегда полезно делать, и мы будем вообще предполагать, что это уже проделано, так что можно будет считать наши собственноэнергетические состояния |n> все ортогональными.

Для интереса докажем, что когда два стационарных состояния обладают разными энергиями, то они действительно ортогональны. Для состояния |n> с энергией Е_n

(9.71)

Это операторное уравнение на самом деле означает, что имеется соотношение между числами. Если заполнить недостающие части, то оно означает то же самое, что и

(9.72)

Проделав здесь комплексное сопряжение, получим

(9.73)

Теперь вспомним, что комплексно сопряженная амплитуда — это амплитуда обратного процесса, так что (9.73) можно переписать в виде

(9.74)

Поскольку это уравнение справедливо для всякого i, то его можно «сократить» до

(9.75)

Это уравнение называется сопряженным с (9.71).

Теперь легко доказать, что Е_n— число вещественное. Умножим (9.71) на <n|. Получится

(9.76)

(с учетом, что =1). Умножим теперь (9.75) справа на |n>:

(9.77)

Сравнивая (9.76) с (9.77), видим, что

(9.78)

а это означает, что E_n вещественно. Звездочку при Е_n в (9.75) можно убрать.

Теперь наконец-то мы в силах доказать, что состояния с различными энергиями ортогональны. Пусть |n> и |m> — пара базисных состояний с определенными энергиями. Написав (9.75) для состояния |m> и умножив его на |n>, получим

Но если (9.71) умножить на

Раз левые части этих уравнений равны, то равны и правые:

(9.79)

Если Е_m=Е_n, то это равенство ни о чем не говорит. Но если энергии двух состояний |m> и |n>различны (Е_m≠Е_n), то уравнение (9.79) говорит, что <m|n> должно быть нулем, что мы и хотели доказать. Два состояния обязательно ортогональны, если только Е_n и Е_m отличаются друг от друга.

Глава 10 СВЕРХТОНКОЕ РАСЩЕПЛЕНИЕ В ВОДОРОДЕ