Эта система мер, используемая в большинстве стран мира, основана на немецком стандарте, введенном Deutsches Institut fur Normung (Немецким институтом по стандартизации) в 1922 году — стандарте DIN, который затем стал частью стандарта ISO (Международной организации по стандартизации). С форматами бумаги стандарта DIN работает большинство цифровых печатных машин и фотокопировальных аппаратов для частного и промышленного использования. Этот формат бумаги был создан с учетом трех условий: во-первых, соотношение большей стороны к меньшей у листов разного размера должно быть одинаковым; во-вторых, листы последовательных форматов по площади должны отличаться друг от друга ровно в два раза, так, что если разрезать лист пополам, то получится два одинаковых листа следующего формата; в-третьих, площадь листа наибольшего формата, А0, должна составлять ровно 1 м2.
Формат листа бумаги, соотношение сторон которого при складывании пополам остается неизменным.
Как найти искомое соотношение? Рассмотрим прямоугольный лист бумаги со сторонами а и b соответственно. Лист бумаги большего формата должен иметь стороны 2а и b. Чтобы соотношение длин его сторон было прежним, должно выполняться условие:
Следовательно:
Иными словами, соотношение длины большей стороны к меньшей должно равняться √2. Если мы разрежем пополам лист бумаги, удовлетворяющий этому условию, то указанное соотношение сторон будет выполняться и для двух полученных листов.
Зная размеры листа формата А0, несложно определить размеры листа следующего формата (А1): достаточно разделить его большую сторону пополам и принять длину большей стороны листа А1 равной длине меньшей стороны листа А0. Если мы выполним аналогичные действия для листа А1, точнее, разделим его большую сторону пополам и оставим меньшую сторону неизменной, то получим лист формата А2 и так далее, как показано на следующем рисунке.
Размеры листов бумаги формата DIN.
* * *
РАСЧЕТ РАЗМЕРОВ ЛИСТА ФОРМАТА А0
Прямоугольник со сторонами а и b должен иметь площадь 1 м2, при этом длины его сторон должны удовлетворять соотношению b = √2·а:
Зная а, мы с легкостью вычислим b:
Таким образом, лист бумаги формата DIN А0 имеет следующие размеры:
* * *
Измерения могут быть прямыми, например измерение температуры термометром, и косвенными — в этом случае для получения результата требуется несколько измерений. Если мы проводим измерения с помощью специального измерительного инструмента, то речь идет о прямых измерениях. В таких случаях мы получаем результат, сравнивая измеряемую величину с другой величиной, имеющей ту же физическую природу. Это происходит, к примеру, при сравнении длины объекта с длиной размеченного эталона.
Методы измерений — это приемы, используемые для измерения величины: подсчет, оценка, использование формул или применение измерительных инструментов.
Большинство людей ассоциируют с измерением именно применение инструментов — линеек, рулеток, мерных сосудов, термометров, часов, хронометров и так далее.
Иногда прямое измерение невозможно: во-первых, существуют величины, которые нельзя измерить путем сравнения с эталоном той же природы, во-вторых, рассматриваемая величина может быть слишком мала или слишком велика, и у нас не найдется подходящего инструмента для ее измерения. В таких ситуациях следует прибегнуть к косвенному измерению: провести измерение с помощью какой-то другой величины и вычислить искомое значение на ее основе.
При использовании формул и отношений для определения новых мер особую роль играют треугольники, что подтверждает и история математики. Всем известна теорема Пифагора со множеством доказательств, найденных разными культурами в разное время и в разных регионах: в Египте, Греции, Африке, Китае, Индии и Европе. Также особую роль треугольников подчеркивают отношение подобия треугольников и теорема Фалеса, которые позволяют проводить косвенные измерения. Кроме того, треугольник является основным элементом тригонометрии. Эта математическая дисциплина, на протяжении многих веков связанная с астрономией, описывает основы расчетов, необходимых для астрономических измерений. Тригонометрия лежит и в основе триангуляции — метода измерения дуг земных меридианов (мы расскажем об этом в следующих главах).
Рассмотрим косвенное измерение на примере подобия фигур, в частности прямоугольных треугольников. Допустим, что мы хотим измерить высоту очень высокой башни или здания. По какой-то причине мы не можем подняться на его вершину, чтобы произвести прямые измерения, опустив, к примеру, веревку или рулетку до самой земли. Но мы можем определить высоту башни с помощью простого косвенного метода.
Поставим возле башни вертикально расположенный предмет (шест или посох) и измерим его высоту. Если теперь мы одновременно измерим длину тени этого предмета и длину тени башни, то сможем узнать ее высоту. Учитывая, что Солнце находится на огромном расстоянии от Земли (примерно 150000000 км), солнечные лучи, освещающие башню, можно считать параллельными. Соотношение между высотой и тенью объекта будет тем же, что и соотношение между высотой и тенью башни, так как образуются два подобных треугольника (это прямоугольные треугольники с одинаковыми углами). Следовательно, достаточно найти одно из этих соотношений.
Измерение высоты башни по длине тени шеста.
Пусть А'В' — искомая высота, В'С' — длина тени башни, АВ — высота вертикально расположенного предмета (шеста или посоха), ВС — длина его тени. Так как
имеем
Эти несложные математические рассуждения позволяют определить высоту башни путем косвенных измерений.
Как мы только что показали, математические методы очень удобны для проведения точных измерений. Одна из древнейших задач, с которой столкнулись люди, это измерение времени и составление календаря. Еще одной насущной задачей было объяснение окружающего мира и создание общих представлений о нем, то есть космологии. Когда человек смог избавиться от мифологической картины мира, он захотел узнать его реальные размеры и измерить Землю. Парадоксально, но и для измерения времени, и для измерения окружающего пространства человеку пришлось посмотреть на небо. Как вы узнаете из следующих глав, систематическое наблюдение за небесными телами и стремление понять, как они движутся, помогли измерить время и пространство.
Глава 2Измерение небес
Еще древние заметили, что жаркое время года сменяется холодным, за ним вновь приходит жара, за ней — снова холод. Растения расцветают, на деревьях появляются плоды, затем многие деревья постепенно теряют листья, после чего все начинается сначала.
Наблюдения за небосводом и фиксация результатов этих наблюдений привели к тому, что человек стал связывать небесные явления с изменениями в окружающей среде. В результате люди стали изучать положение небесных тел и их движение (так родилась астрономия) и смогли предсказывать явления природы, в частности смену времен года. Возникла идея о том, что звезды влияют на происходящее на Земле, и так родилась астрология.
Измерение небес стало в некотором роде необходимостью, и наиболее полезной наукой для этого оказалась математика, в частности геометрия и тригонометрия. Древние греки создали сложные математические теории, объяснявшие видимое движение звезд и, в особенности, планет.
Если понимать под наукой систематическое изучение, описание и объяснение явлений природы при помощи математики и логики, то истоки западной науки следует искать в древнегреческой традиции. Современная физика началась с попыток решить астрономические задачи о движении небесных тел и дать им рациональное объяснение при помощи математических моделей.
В целом, представления древних людей о Вселенной носили ярко выраженный мифологический характер. Первыми, кто предложил рациональную космологию, стали философы Древней Греции. Начиная с VI века до н. э. великие древнегреческие мыслители силой своего воображения пытались найти рациональное объяснение окружающему миру, не обращаясь к трактовкам сверхъестественного характера.
Они считали, что явления природы подчиняются определенным причинно-следственным связям, а все изменения в ней можно объяснить действием определенных законов. По мнению древних греков, познание этих законов помогло бы объяснить, почему происходят те или иные явления.
* * *
АНАКСИМАНДР И РАССУЖДЕНИЯ ПО АНАЛОГИИ
Древнегреческий философ Анаксимандр (ок. 610 г. до н. э. — ок. 545 г. до н. э.) использовал рассуждения по аналогии. Так, он утверждал, что «звезды есть части сжатого воздуха в форме колес, полные огня, постоянно испускающие пламя из небольших отверстий». Сегодня подобное объяснение вызывает улыбку, но для того времени оно стало важным шагом вперед — Анаксимандр исключил из рассмотрения сверхъестественные силы и попытался определить естественные причины явлений природы.
Фрагмент «Афинской школы» (1510–1511) Рафаэля Санти, на котором изображен Анаксимандр.
* * *
Чтобы понять древнегреческий рационализм, в рамках которого были созданы сложные математические модели для объяснения, количественного описания и предсказания небесных явлений, попытаемся ненадолго забыть все свои знания и мысленно перенесемся в начало IV века до н. э. Только так мы сможем понять всю гениальность древних греков. Примерно за 400 лет до нашей эры древние греки уже имели достаточно данных о видимом движении небесных тел и начали предлагать математические теории для его объяснения.