Основной идеей квантовой хромодинамики является симметрия. «Симметрия» — это общеупотребительное слово, и его смысл, как и смысл других подобных слов, является не вполне однозначным. Симметрия может означать баланс, приятные пропорции, регулярность. В математике и физике значение этого слова согласуется со всеми этими идеями, но является более четким.
Мне нравится определение, согласно которому симметрия означает, что у вас есть отличие без различия.
Юристы тоже используют фразу «отличие без различия». В этом контексте она обычно означает выражение того же самого, но другими словами. Вот пример от комика Алана Кинга:
«Мой адвокат предупредил меня, что если я умру, не выразив свою последнюю волю, то я умру, не оставив завещания».
Для понимания математической концепции симметрии рассмотрим пример. Мы можем построить симпатичную маленькую башню примеров, содержащую наиболее важные идеи в легко усваиваемой форме, в мире треугольников (рис. 7.1).
Рис. 7.1. Простой пример симметрии: а — вы не можете перевернуть неравносторонний треугольник, не изменив его; б — если вы повернете равносторонний треугольник на 120° вокруг его центра, он не изменится
Вы не можете перевернуть большинство треугольников, не изменив их (см. рис. 7.1, а). Тем не менее равносторонние треугольники являются особенными. Вы можете повернуть равносторонний треугольник на 120 или 240° (то есть дважды), получив при этом ту же самую форму (см. рис. 7.1, б). Равносторонний треугольник обладает нетривиальной симметрией, поскольку она допускает отличия (между треугольником и его повернутыми версиями), которые, в конце концов, не создают каких-либо различий (повернутые варианты имеют ту же форму). И наоборот, если кто-то говорит вам, что треугольник выглядит так же, будучи повернутым на 120°, вы можете сделать вывод о том, что этот треугольник является равносторонним (или что человек лжет).
Следующий уровень сложности проявляется тогда, когда мы рассматриваем набор треугольников с разными видами сторон (рис. 7.2). Конечно, если мы повернем один из них на 120°, мы не получим тот же треугольник — стороны не будут совпадать. На рис. 7.2 первый треугольник (RBG) поворачивается, превращаясь во второй треугольник (BGR), второй поворачивается, превращаясь в третий (GRB), а третий поворачивается, превращаясь в первый. Однако полный набор, содержащий все три треугольника, не изменяется[16].
Рис. 7.2. Более сложный пример симметрии. Равносторонние треугольники без различных «цветных» сторон (здесь цвета обозначаются так: R(ed) — красный, B(lue) — синий, G(reen) — зеленый) изменяются при поворотах на 120°; однако весь набор из трех треугольников возвращается в исходное состояние
С другой стороны, если кто-то говорит вам, что треугольник с тремя различными видами сторон наряду с некоторыми другими вещами выглядит по-прежнему после поворота на 120°, вы можете сделать вывод о том, что треугольник равносторонний, а также о том, что существует два равносторонних треугольника с различным расположением сторон (или о том, что человек лжет).
Давайте добавим последний слой сложности. Вместо треугольников со сторонами разных цветов рассмотрим законы, связанные с этими треугольниками. Например, простой закон может заключаться в том, что при сжатии треугольника он аккуратно сворачивается так, что его стороны искривляются. Теперь предположим, что мы исследовали только треугольники RBG, так что мы действительно вывели закон сжатия только для этих треугольников. Если мы знаем, что вращение на 120° обеспечивает отличие без различий, то есть поворот на 120° определяет симметрию в математическом смысле, то мы можем сделать вывод не только о существовании других видов треугольников, но и том, что они тоже аккуратно сворачиваются при сжатии.
Эта серия примеров на простых формах демонстрирует мощь симметрии. Если мы знаем, что объект обладает симметрией, мы можем сделать вывод относительно некоторых его свойств. Если мы знаем, что набор объектов обладает симметрией, то на основании знания одного объекта мы можем сделать вывод о существовании и свойствах других. И если мы знаем, что законы природы обладают симметрией, то на основании знаний об одном объекте мы можем сделать вывод о существовании, свойствах и поведении новых объектов.
В современной физике симметрия позволяет предсказывать существование новых форм материи и формулировать новые, более всеобъемлющие законы. Например, специальную теорию относительности можно рассматривать в качестве постулата симметрии. Она говорит нам о том, что уравнения физики должны выглядеть по-прежнему, если мы преобразуем все объекты в этих уравнениях, добавив постоянную величину к их скоростям. Эта величина переносит один мир в другой, движущийся относительно него с постоянной скоростью. Специальная теория относительности говорит, что это отличие не дает различия — поведение в обоих мирах описывается одними и теми же уравнениями.
Несмотря на то что детали являются более сложными, процедуры использования симметрии для понимания нашего мира в основном соответствуют тем, которые мы использовали в нашем простом примере из мира треугольников. Мы считаем, что наши уравнения могут быть преобразованы таким образом, чтобы они в принципе изменились, и после этого мы требуем, чтобы они фактически не менялись. Возможное отличие не имеет никакого значения. Как и в примерах с треугольниками, для обеспечения общей симметрии должны соблюдаться несколько правил. Объекты, которые присутствуют в уравнениях, должны иметь особые свойства, образовывать связанные наборы и подчиняться тесно связанным законам.
Таким образом, симметрия может быть мощной идеей с богатыми следствиями. Кроме того, эту идею очень любит Природа. Приготовьтесь к публичной демонстрации любви.
Гайки, болты, катушки и палочки
Теория кварков и глюонов называется квантовой хромодинамикой или КХД. Уравнения КХД приведены на рис. 7.3[17].
Рис. 7.3. Приведенный здесь лагранжиан L для КХД в принципе представляет собой полное описание сильного взаимодействия. Здесь mj и qj — это масса и квантовое поле кварка сорта j, а A — это глюонное поле с пространственно-временными индексами μ, ν и цветовыми индексами а, b, c. Значения числовых коэффициентов ƒ и t полностью определяются цветовой симметрией. Помимо масс кварков, константа взаимодействия g является единственным свободным параметром в теории. На практике, чтобы вычислить что-либо с помощью лагранжиана L, требуются немалая изобретательность и упорный труд
Довольно компактно, не правда ли? Ядерная физика, новые частицы, странное поведение, происхождение массы — все здесь!
На самом деле вам не стоит сразу удивляться тому факту, что мы можем записать уравнения в компактной форме. Наш умный друг Фейнман показал, как записать уравнение Вселенной в одну строку. Вот оно:
U = 0.
U — это определенная математическая функция, выражающая все. Это сумма вкладов всех частичных законов физики. Чтобы быть точным, U = UНьютон + UЭйнштейн + … Например, вклад ньютоновской механики UНьютон определяется как UНьютон = (F − ma)2; вклад эйнштейновского соотношения «масса/энергия» определяется как UЭйнштейн = (Е − mc2)2 и т. д. Поскольку каждый вклад положителен или равен нулю, то единственный способ обращения U в ноль подразумевает обращение в ноль каждого вклада. Поэтому выражение U = 0 подразумевает то, что F = ma, E = mc2, и это касается любого другого прошлого или будущего закона!
Так мы можем охватить все известные нам законы физики и учесть еще не открытые в одном универсальном уравнении. Теория Всего!!! Разумеется, это жульничество, поскольку не существует никакого способа использовать или даже определить U, кроме разбиения на отдельные фрагменты и их дальнейшего применения.
Уравнения, приведенные на рис. 7.3, очень сильно отличаются от шуточной унификации Фейнмана. Как и в U = 0, в управляющих уравнениях КХД зашифровано множество отдельных более мелких уравнений. (Для экспертов: управляющие уравнения содержат матрицы тензоров и спиноров, более мелких уравнений, компоненты которых включают обычные числа.) Тем не менее существует большая разница. Когда мы раскладываем уравнение U = 0, мы получаем множество не связанных друг с другом вещей. Когда мы раскладываем управляющие уравнения КХД, мы получаем уравнения, которые связаны симметрией — цветов, различных направлений в пространстве, а также симметрией специальной теории относительности между системами, движущимися с постоянной скоростью. Все их содержимое непосредственно доступно, а распаковывающие их алгоритмы вытекают из однозначной математики симметрии. Итак, позвольте мне заверить вас в том, что вы сейчас действительно удивитесь! Это по-настоящему элегантная теория.
Данная элегантность проявляется, в частности, в том, что суть КХД можно без серьезного искажения отразить в нескольких простых картинках. Они приведены на рис. 7.5. Мы обсудим их прямо сейчас.
Но сначала в качестве разминки и для сравнения я хотел бы в аналогичном формате представить суть квантовой электродинамики (КЭД). Как следует из названия, КЭД предполагает квантово-механическое описание электродинамики. Теория КЭД несколько старше теории КХД. Основные уравнения квантовой электродинамики были сформулированы уже к 1931 году, однако на протяжении долгого времени люди совершали ошибки при попытке их решения и получали бессмысленные (бесконечные) ответы, из-за чего эти уравнения получили плохую репутацию. И только около 1950 года несколько блестящих теоретиков (Ханс Бете, Синъитиро Томонага, Джулиан Швингер, Ричард Фейнман, Фримен Дайсон) решили проблему.
Суть КЭД можно выразить с помощью единственного изображения, приведенного на рис. 7.4, а. На нем показано, что фотон реагирует на присутствие или движение электрического заряда. Эта маленькая картинка, хоть и кажется мультяшной, представляет собой гораздо больше, чем метафору. Это базовый процесс системного метода решения уравнений квантовой электродинамики, которым мы обязаны Фейнману. (Да, опять он. Прости, Мюррей.) Диаграммы Фейнмана изображают процессы в пространстве и времени, в результате которых частицы находившиеся в некотором месте в одно время, перемещаются в другое место в некоторое другое время. Между этими моментами они могут влиять друг на друга.
Возможные процессы и влияния в квантовой электродинамике строятся путем произвольного соединения мировых линий (то есть путей в пространстве и времени) электронов и фотонов с использованием базового процесса. Это легче сделать, чем описать, и вы легко получите общее представление, тщательно изучив рис. 7.4, б — е.
Рис. 7.4. Суть КЭД: а — суть квантовой электродинамики состоит в следующем: фотоны реагируют на электрический заряд; б — хорошее приближение к силе взаимодействия между электронами в результате обмена виртуальными фотонами; в — более точное приближение подразумевает такие вклады; г — да будет свет! Ускоренный электрон может испустить фотон; д — полностью виртуальный процесс; е — излучение пары «электрон — позитрон». Антиэлектрон, или позитрон, представлен в виде электрона, движущегося назад во времени
Для каждой диаграммы Фейнмана совершенно конкретные математические правила определяют вероятность того, что изображаемый на ней процесс произойдет. Правила для сложных процессов, вероятно, с участием многих реальных и виртуальных заряженных частиц и множества реальных и виртуальных фотонов построены на основе базового процесса. Это похоже на сборку из конструктора TinkerToy. Частицы представляют собой различные виды палочек, которые можно использовать, а базовый процесс — соединяющие их катушки или узлы. Учитывая наличие этих элементов, можно сказать, что правила строительства полностью определены. Например, на рис. 7.4, б показано, как присутствие одного электрона влияет на другой. Правила диаграмм Фейнмана говорят вам, насколько велика вероятность того, что обмен одним виртуальным фотоном, как показано на рисунке, заставит электроны отклониться на конкретную величину. Другими словами, они расскажут вам о силе! В этой диаграмме заключена классическая теория электрических и магнитных взаимодействий, которую мы преподаем студентам. В эту теорию вносятся поправки, когда вы принимаете во внимание более редкие процессы, предполагающие обмен двумя виртуальными фотонами, как показано на рис. 7.4, в. Кроме того, фотон может вырваться на свободу, как показано на рис. 7.4, г: это то, что мы называем электромагнитным излучением, одной из форм которого является свет. Могут иметь место и такие процессы, в которых все частицы виртуальные, как показано на рис. 7.4, д. Поскольку ни одна из участвующих частиц не является наблюдаемой, этот «вакуумный» процесс может показаться академическим или метафизическим, однако мы увидим, что такого рода процессы имеют огромную важность[18].
Уравнения Максвелла для радиоволн и света, уравнение Шредингера для атомов и химии, а также более утонченная версия Дирака, включающая спин и антиматерию, — все это и многое другое закодировано в этих закорючках.
Выраженная в той же живописной манере теория КХД выступает в качестве расширенной версии КЭД. Ее более сложный набор компонентов и базовых процессов приведен на рис. 7.5. Соответственно, она имеет более сложную расшифровку.
На уровне этой иллюстрации КХД очень похожа на КЭД, только больше. Диаграммы выглядят почти одинаково, и правила их оценки похожи, однако здесь представлено больше видов палочек и катушек. Если точнее, то, тогда как в КЭД есть только один вид заряда, а именно электрический заряд, в КХД их три.
Три вида заряда в КХД без особой на то причины называются «цветами». Эти «цвета», разумеется, не имеют ничего общего с цветом в обычном смысле этого слова; скорее, они очень похожи на электрический заряд. В любом случае мы будем называть их красным, зеленым и синим. Каждый кварк имеет одну единицу того или иного цветного заряда. Кроме того, кварки бывают разных сортов или «ароматов». Два аромата, которые играют определенную роль в обычной материи, называются u и d, верхний и нижний[19]. Кварковые «ароматы» также не имеют ничего общего с запахом, как кварковые «цвета» не имеют ничего общего с цветом. Кроме того, эти метафорические названия для кварков u и d (дзенский коан: каков вверх на вкус?) не означают, что между ароматами и направлениями в пространстве существует какая-то реальная связь. Не вините меня; когда я получаю возможность назвать частицу, я употребляю по-научному звучащие слова, например «аксион» и «энион».
Рис. 7.5(начало). Компоненты и процессы КЭД: а — кварки (антикварки) являются носителями одной положительной (отрицательной) единицы цветного заряда. Их роль в КХД аналогична роли электронов в КЭД. Сложность заключается в существовании нескольких различных сортов, или ароматов, кварков. Два из них, которые имеют большое значение для обычного вещества, являются самыми легкими и называются u и d (следует сказать, что существуют и различные ароматы электронов, называемые мюонами и тау-лептонами, однако я старался избегать лишних сложностей); б — существует восемь различных цветных глюонов. Каждый переносит единицу цветового заряда и приносит другой цвет (возможно, тот же самый). Сумма каждого цветового заряда сохраняется. Для глюонов существует 3 × 3 = 9 различных вариантов. Но одна конкретная комбинация, так называемый цветовой синглет SU(3), который одинаково реагирует на все заряды, отличается от других. Мы должны избавиться от него для получения совершенно симметричной теории. Таким образом, мы предполагаем, что существует ровно восемь глюонов. К счастью, этот вывод подтверждается экспериментом. Глюоны в КХД играют роль, аналогичную роли фотонов в КЭД
Рис. 7.5(продолжение). Компоненты и процессы КЭД: в — два показательных базовых процесса, где глюоны просто реагируют, или и реагируют, и изменяют цветной заряд кварков; г — качественно новой чертой КХД по сравнению с КЭД является существование процессов, в которых цветные глюоны влияют друг на друга. Фотоны этого не делают
Продолжая аналогию между КЭД и КХД, следует сказать о существовании фотоноподобных частиц, называемых цветными глюонами, которые должным образом реагируют на присутствие или движение цветного заряда, подобно тому как фотоны реагируют на электрический заряд.
Итак, существуют u−кварки с единицей красного заряда, d−кварки с единицей зеленого заряда — всего шесть различных возможностей. И вместо одного фотона, который реагирует на электрический заряд, в КХД существует восемь цветных глюонов, которые могут либо реагировать на другие цветные заряды, либо изменить один цветной заряд на другой. Таким образом, существует довольно большое разнообразие палочек и катушек, с помощью которых их можно соединить. Вам покажется, что все эти возможности создают ужасные сложности и беспорядок. И так бы все и было, если бы не удивительная симметрия теории. Например, если везде заменить красный синим, у вас все равно получатся те же самые закономерности. Симметрия КХД позволяет непрерывно смешивать цвета, образуя смеси, и правила должны быть одинаковыми как для смесей, так и для чистых цветов. Эта расширенная симметрия является чрезвычайно мощной. Она фиксирует относительную силу всех узлов.
Несмотря на все сходства, между КХД и КЭД, есть и несколько существенных различий. Во-первых, реакция глюонов на цветной заряд, измеряемый с помощью константы взаимодействия КХД, является гораздо более энергичной по сравнению с реакцией фотонов на электрический заряд.
Во-вторых, как показано на рис. 7.5, в, кроме реагирования на цветной заряд глюоны также могут изменять один цветной заряд на другой. Допускаются все возможные изменения такого рода. Тем не менее каждый цветной заряд сохраняется, поскольку сами глюоны могут переносить несбалансированные цветные заряды. Например, если в результате поглощения глюона кварк с синим зарядом изменяется на кварк с красным зарядом, то поглощенный глюон переносил одну единицу красного заряда и минус одну единицу синего заряда. С другой стороны, кварк с синим зарядом может испустить глюон с одной единицей синего заряда и минус одной единицей красного заряда; в результате этого процесса он превращается в кварк с красным зарядом.
Третье, самое глубокое, различие между КХД и КЭД является следствием второго. Поскольку глюоны реагируют на присутствие и движение цветного заряда и переносят несбалансированный цветной заряд, глюоны, в отличие от фотонов, реагируют непосредственно друг на друга.
Фотоны, напротив, являются электрически нейтральными. Они не реагируют друг на друга. Мы все знаем это, даже если никогда об этом не задумывались. Когда вы оглядываетесь вокруг в солнечный день, все освещено отраженным в разные стороны светом, однако вы видите сквозь него. Бои на световых мечах, которые вы наблюдали в «Звездных войнах», не могут иметь места в нашем мире. Возможное объяснение: это фильм о технологически развитой цивилизации в далекой-далекой галактике, в которой, вероятно, используются лазеры с цветными глюонами.
В любом случае каждое из этих различий больше усложняет процесс вычисления последствий КХД, чем последствий КЭД. Поскольку основное взаимодействие является более сильным в КХД, чем в КЭД, более сложные диаграммы Фейнмана с большим количеством узлов создают относительно большие вклады в любой процесс. А поскольку существуют различные возможности для маршрутизации потоков цвета и больше разнообразных видов узлов, на каждом уровне сложности существует гораздо больше диаграмм.
Асимптотическая свобода позволяет вычислить такие вещи, как общие потоки энергии и импульса в струях. Это связано с тем, что многие события мягкой радиации не сильно влияют на общий поток, поэтому мы можем игнорировать их в наших расчетах. Нашего внимания требуют лишь немногочисленные узлы, в которых возникает жесткое излучение. Таким образом, используя карандаш и бумагу, человек без особого труда может рассчитать относительную вероятность появления различного количества струй, выходящих под разными углами с различной долей энергии. (Конечно, этому человеку не помешают ноутбук и несколько лет, проведенных в аспирантуре.) В других случаях уравнения решаются с получением лишь приблизительных результатов и с приложением героических усилий. В главе 9 мы обсудим эти героические усилия, позволяющие рассчитать массу протона, начиная от безмассовых кварков и глюонов, и таким образом определить происхождение массы.
Кварки и глюоны 3.0: воплощенная симметрия
Пытаясь отдать должное способу, при использовании которого постулат о высокой степени симметрии (то, что мы называем локальной симметрией) вынуждает нас включить в уравнения цветные глюоны и таким образом предсказать их существование и все их свойства, я вспомнил один из моих любимых афоризмов Пита Хейна:
«Влюбленные в прозе и рифме
в тысячный раз пытаются
выразить то,
что легче сделать, чем сказать».
Так или иначе, приступим к прозе и стихам.
Ранее в тексте, где мы обсуждали цветные треугольники и их симметрию, была сноска о том, что вам следует игнорировать факт нахождения разных треугольников в разных местах. С точки зрения логики и математики это имеет смысл. В математике мы часто игнорируем незначительные детали, чтобы сконцентрироваться на наиболее интересных, существенных особенностях. Например, в геометрии стандартной процедурой является использование линий, имеющих нулевую толщину и продолженных до бесконечности в обоих направлениях. Однако с точки зрения физики несколько странным является предположение о том, что симметрия требует не принимать во внимание местонахождение вещей. Например, странно, что симметрия между красным зарядом и синим зарядом требует превратить кварки с красным зарядом в кварки с синим зарядом и наоборот во всей Вселенной. Более естественным является предположение о возможности произвести только локальные изменения, не беспокоясь о далеких частях Вселенной.
Эта естественная с физической точки зрения версия симметрии называется локальной симметрией. Локальная симметрия представляет собой гораздо более сильное допущение, чем альтернативная, глобальная симметрия. Локальная симметрия является огромным набором отдельных симметрий, грубо говоря, отдельных симметрий для каждой точки пространства и времени. В нашем примере мы можем изменить красный заряд на синий в любом месте и в любой момент времени. Таким образом, каждое место и момент времени определяют свою собственную симметрию. Глобальная симметрия не делает различий между единицами цветного заряда в разных местах и в разные моменты времени. В случае глобальной симметрии вы должны сделать это преобразование повсеместно и во все моменты времени, и вместо бесконечного множества независимых симметрий у вас будет только одна согласованная версия.
Поскольку локальная симметрия выступает более сильным допущением по сравнению с глобальной, она накладывает больше ограничений на уравнения или, другими словами, на форму физических законов. На самом деле ограничения, налагаемые локальной симметрией, являются настолько серьезными, что на первый взгляд может показаться: их невозможно примирить с идеями квантовой механики.
Прежде чем объяснять эту проблему, я приведу краткий обзор соответствующих положений квантовой механики: в ней мы должны допустить возможность того, что частица может наблюдаться в разных местах с разными вероятностями. Эти вероятности описываются волновой функцией. Большие значения волновой функции соответствуют большой вероятности, а малые значения — малой вероятности (количественно вероятность равна квадрату волновой функции). Кроме того, «красивые» (или «хорошие») и гладкие волновые функции, которые соответствуют плавным изменениям в пространстве и времени, имеют меньшую энергию по сравнению с теми, которым свойственны резкие изменения.
Теперь перейдем к сути проблемы: давайте предположим, что у нас есть «хорошая» гладкая волновая функция для кварка, переносящего красный цветной заряд. Теперь применим наш пример локальной симметрии в малом пространстве, изменив красный цветной заряд на синий. После этого превращения наша волновая функция станет изменяться быстро. Внутри этого небольшого пространства она имеет только синий цветной компонент, а снаружи — только красный цветной. Итак, мы превратили низкоэнергетическую волновую функцию без резких изменений в волновую функцию, которая быстро изменяется и, следовательно, описывает состояние высокой энергии. Это изменение состояния приведет к изменению поведения кварков, которое мы описываем безошибочно, поскольку существует множество способов обнаружить изменения в уровне энергии. Например, согласно второму закону Эйнштейна вы можете определить энергию кварка, взвесив его. Однако вся суть симметрии заключается в том, что преобразование не должно приводить к изменению поведения вещей[20]. Мы хотим получить отличие без различия.
Таким образом, чтобы получить уравнения, имеющие локальную симметрию, мы должны исправить правило, согласно которому резкие изменения волновой функции обязательно соответствуют большой энергии. Мы должны предположить, что энергия не регулируется только крутизной изменения волновой функции; необходимы дополнительные поправочные члены. Вот где в игру вступают глюонные поля. Поправочный член содержит продукты различных глюонных полей (восемь для КХД) с различными цветными компонентами кварковых волновых функций. Если вы все делаете правильно, то при локальном преобразовании изменяется и волновая функция кварков, и глюонное поле, однако энергия волновой функции, включая поправочные члены, остается прежней. Эта процедура не предполагает никакой двусмысленности — локальная симметрия диктует то, что вы должны делать на каждом этапе.
Подробности этого процесса очень трудно передать словами. Это на самом деле, как говорилось в приведенном выше афоризме, «легче сделать, чем сказать», и если вы хотите увидеть, как все это делается, с уравнениями, вам следует обратиться к техническим статьям или учебникам. Я упомянул некоторые из наиболее доступных в примечаниях. К счастью, вам не обязательно вникать в подробности, чтобы понять главный философский смысл, который заключается в следующем.
Чтобы получить локальную симметрию, мы должны ввести глюонные поля. И мы должны обеспечить способы взаимодействия этих глюонных полей с кварками и друг с другом. Идея — локальная симметрия — производит конкретный набор уравнений. Другими словами, реализация идеи ведет к реальности-кандидату.
Реальность-кандидат, содержащая цветные глюоны, воплощает в себе идею локальной симметрии. Новые составляющие — цветные глюонные поля — являются частью рецепта для мира-кандидата. Существуют ли они в нашем мире? Как мы уже обсуждали и даже видели на фотографиях, они на самом деле существуют. Реальность-кандидат, родившаяся из идей, — это наша собственная реальность.