следовательное, логически обоснованное построение.
Вначале излагаются аксиомы,а затем из них по правилам доказательства выводятся все полученные к этому времени теоремы геометрии. Такое построение математики, получившее с тех пор название аксиоматического метода, стало образцом для развития европейской математики на протяжении двух последующих тысячелетий. Возникнув из практических потребностей пересчета домашнего скота, денег, товаров, из необходимости проектировать крупные постройки, вроде пирамид и осушительных каналов, рассчитывать земельные участки и т. д., геометрия и арифметика, благодаря открытию логических доказательств и формальных преобразований, получили мощный толчок и стали развиваться в силу, как теперь говорят, внутренней логики. Накопление точных, общезначимых, доказательных математических знаний, позволявших производить точные расчеты и вычисления, с успехом заменявшие трудноосуществимые эмпирические измерения, побудило греческих мыслителей применить математику к наблюдаемым явлениям. Уже Фалес, как гласит легенда, пытался воспользоваться теоремами о подобии треугольников для измерения расстояния от берега до корабля.
Находясь в точке А (см. рис. 1) побережья, он завизировал направление на мачту находящегося в море корабля, а затем на другую точку побережья В. Перейдя в точку В, он проделал такую же процедуру, направив на этот раз визир на мачту и точку А. Затем он построил небольшой треугольник с основанием ав и углами при вершинах а иве соответственно равными углами при вершинах А и В треугольника ABC. Измерив затем расстояние ав и расстояние АВ и применив теорему о подобии треугольников, Фалес без труда смог точно рассчитать расстояние до корабля, которое при тогдашних методах измерения трудно было бы установить иным методом.
Мысль о том, что применение математики может не только облегчить практически вычисления и расчеты, но и позволяет познать явления, которые иным способом вообще не могут быть познаны или могут быть познаны с трудом и менее точно, очень быстро овладело умами мыслителей. Архимед (287 — 212 гг. до н. э.) был одним из самых великих греческих механиков, широко применявших математику для решения механических и физических задач. Сочетая вычисления с наблюдениями, он, в частности, открыл знаменитый закон об уменьшении веса тел, погруженных в жидкость. Другое интересное применение, и, быть может, самое перспективное, в античную эпоху математика нашла в астрономии. В частности, александриец Эратосфен воспользовался геометрическими построениями, чтобы вычислить длину земного меридиана, поскольку он считал Землю шарообразной. Аристарх Самосский, живший в III веке до н. э., воспользовался геометрической моделью пространства для измерения диаметра Луны и расстояния до Солнца. Считая, что Земля вращается вокруг Солнца, а Луна вокруг Земли, он правильно представил себе пространственно-геометрическую модель расположения этих трех тел, при котором ровно половина лунного диска является освещенной. Аристарх правильно решил, что при таком освещении Луна должна находиться в вершине прямого угла в треугольнике, образованном Землей, Луной и Солнцем. Завизировав направление на Солнце и границы освещенной части Луны, а также воспользовавшись некоторыми исход-72 ными данными о размерах Луны, Земли и некоторыми другими сведениями, с большей или меньшей точностью установленными им самим и его предшественниками, Аристарх сделал важные вычисления, оставившие определенный след в античной астрономии. В этом отчетливо проявляется возможность использовать математические построения для вычислений, дополняющих и продолжающих практические астрономические измерения.
Таким образом, использование математики позволяло делать расчеты все более и более точными, а также заменять некоторые неосуществимые по разным причинам измерения вычислениями и, что особенно важно, придавало научным знаниям систематический, упорядоченный, научный характер.
Разумеется, применение математики в астрономии, механике и физике в античном мире было несравненно менее эффективным и распространенным, чем в наши дни. Однако следует специально подчеркнуть, что именно в эпоху античности впервые был сделан шаг к фундаментальному изменению роли математики в процессе познания. Этот шаг, по моему мнению, связан прежде всего с именем александрийского астронома Клавдия Птолемея, жившего во II веке н. э.
С тех пор как в XVI веке Коперником была провозглашена гелиоцентрическая система и особенно после того, как благодаря трудам Галилея, Кеплера и Ньютона ее справедливость была доказана, многие относились к Птолемею пренебрежительно, рассматривая созданную им геоцентрическую систему как нелепость, веками использовавшуюся богословами для подтверждения библейской картины мира. Однако сам Коперник с большим почтением и уважением относился к Птолемею, подчеркивая, что и Птолемей и он метили в одну цель, но степень точности прицела была различной.
Великая историческая заслуга Птолемея заключалась в том, что он впервые в истории астрономии да, пожалуй, и науки вообще попытался создать единую систему знаний, относящуюся к единой области — движению небесных светил. Птолемей стремился объединить в рамках единой системы механические основы движения светил, заимствованные у Аристотеля, эмпирические наблюдения, производившиеся его многочисленными предшественниками в Греции и в странах древней Азии, а также достижения современной ему математики. Что еще важнее, он попытался подойти к рассматриваемым явлениям с единой математической точки зрения и создать для каждого движущегося небесного светила — Солнца и известных ему планет — геометрическую модель движения. Правда, его система страдала рядом серьезных недостатков, справедливо подмеченных как арабскими астрономами, так и особенно Коперником, который отмечал слабость математических основ системы Птолемея. Тем не менее первая историческая попытка изложить астрономию на математической основе, позволяющей хотя бы приблизительно вычислять и предсказывать движение светил, произвела столь сильное впечатление на современников и последователей Птолемея, что, несмотря на множество недостатков и несоответствия более точным наблюдениям, система эта просуществовала без изменения почти тринадцать столетий.
Интересно отметить, что не только несоответствие ряда вычислений, произведенных на основе невероятно сложных геометрических построений Птолемея, с действительными наблюдениями, но в гораздо большей степени общая математическая шаткость основ системы Птолемея побудили Коперника, по его собственным словам, заняться пересмотром системы Птолемея в целом.
Величайшей заслугой Коперника было понимание того, что научное знание должно излагаться и развиваться в рамках единой математической системы. Коперник правильно считал, что основа, то есть исходные положения, отнюдь не обязательно должны покоиться на наблюдении. Достаточно, чтобы они были просты, не противоречивы и позволяли путем логического вывода или математических преобразований получить следствия, которые, по мнению Коперника, должны непременно согласовываться с наблюдением и экспериментом. В противном случае вся математическая система рассматривалась как несоответствующая данной совокупности естественно-научных знаний, не способная служить их развитию и изложению.
Этим подход Коперника существенно отличался от подхода Птолемея, стремившегося в первую очередь согласовать свои геометрические модели движения планет и Солнца с наблюдением, но мало заботившегося как о простоте и согласованности между собой различных моделей, так и о соответствии их точным расчетам, опирающимся на наблюдения. Переворот в научном мышлении, произведенный Коперником, оказал могучее влияние на развитие всего естествознания Нового времени.
Дальнейшие успехи в применении математики для целей научного познания связаны с именами прежде всего Галилея, Кеплера, Гюйгенса и Ньютона. Из этого, конечно, неверно было бы делать вывод, что только эти четыре великих мыслителя содействовали применению математики к решению научных проблем.
Период XVI и XVII веков дал миру многих выдающихся ученых, стремившихся применить математику для решения различных научных задач, но именно эти мыслители сделали существенные шаги, видоизменившие взаимоотношения математики и экспериментального естествознания. Со времен античных ученых и особенно Птолемея вплоть до Коперника математика играла роль вспомогательного средства. Ее использовали для упорядочения результатов наблюдения, для проведения вычислений в тех случаях, когда прямые наблюдения или измерения казались невозможными, наконец, для вычисления отдельных количественных характеристик тех или иных явлений. Но при этом математика как бы накладывалась на эмпирические знания, само же развитие математики происходило независимо от естествознания и никак не связывалось со стоящими перед ним задачами.
В период средних веков, в эпоху засилья церковной схоластики, успехи опытного эмпирического естествознания были практически ничтожны, и математика развивалась независимо от него, в силу своих внутренних потребностей и закономерностей. Галилей одним из первых стал использовать математические соображения при проведении и планировании экспериментов.
Хотя Галилей и не сформулировал соотношение математики и эксперимента в четкой форме, оно, по существу, хорошо усматривается в его работах. Их смысл заключается в глубоком понимании, что для того чтобы быть истинными, знания должны быть проверены точным экспериментом, не вызывающим возражений или сомнений. Это возможно лишь в том случае, если эксперимент основан на количественных измерениях. Измерения же могут быть сопоставлены с научными знаниями, использованы для их проверки, только если эмпирические знания выражены в математической форме. С этого момента само наблюдение и эксперимент должны были выражаться в точной количественной, то есть математизированной форме.
Математизация наблюдения и эксперимента была тем существенным отличием, которое позволяет провести водораздел между качественными наблюдениями, преобладавшими в прежней науке, и количественными наблюдениями, основанными на многократных, хорошо проверяемых, общедоступных и неопровержимых измерениях.