Как же быть с тем, что не наглядно, как познать не наглядные явления?
Здесь-то и обнаруживается в полной мере роль математики в современном научном познании.
Уже Ньютон, Гюйгенс и другие мыслители XVII, XVIII и XIX веков использовали математику для того, чтобы формулировать знания о не наглядных явлениях. Можно почувствовать силу тяжести по боли в плечах, вызванной тяжелым рюкзаком, можно увидеть волны, расходящиеся по воде от брошенного камня, но увидеть силу взаимного притяжения, особенно при взаимодействии небесных светил, или волновые колебания света невозможно. Однако эти явления могут быть описаны и поняты с помощью определенных законов, выраженных в виде уравнений волнового движения или уравнений, указывающих количественные характеристики взаимодействующих на расстоянии тел.
Математика, следовательно, позволяет современной науке говорить о том, что не наглядно. При этом она не просто формулирует на языке особых символов то, что понятно и выразимо в обыденном языке. Напротив, математика позволяет сказать и даже открыть то, что иным образом никогда, быть может, и не было бы сделано.
Наконец, еще одна замечательная особенность математики заключается в силе абстракций. Отвлекаясь от качественного разнообразия предметов, математика позволяет изучать сходные структуры самых различных объективных систем. Я уже рассказывал вам, как Максвелл воспользовался уравнениями гидродинамики для описания сходных свойств и отношений совершенно другого физического явления— электромагнетизма.jЧисло подобных примеров не трудно увеличить. Достаточно вспомнить, что некоторые уравнения механики, например для соударения чрезвычайно малых упругих шариков, могут при известных условиях использоваться для описания движения молекул газов.
В. И. Ленин еще в начале нашего столетия подчеркивал, что общность и единство дифференциальных уравнений, применяемых к качественно различным объектам природы, демонстрируют не только связь между науками, но и внутреннее единство окружающего нас мира.
Это обстоятельство особенно важно, когда мы сталкиваемся с изучением больших и сложных систем, подобных тем, о которых говорилось раньше.
С помощью электронно-вычислительных машин, позволяющих в необыкновенно сжатые сроки решать сложные уравнения и делать громоздкие вычисления, непосильные человеку, математика дает нам мощное средство изучения сложных систем. Она не только обслуживает потребности науки, но и подсказывает направление новых исследований. Именно поэтому Маркс и говорил, что наука только тогда достигает совершенства, когда она начинает пользоваться математикой.
Итак, можно сделать выводы:
1. Математика превращает науку в систематическое, доказательное, количественное и проверяемое знание.
2. Она позволяет придать нашим наблюдениям с помощью измерения количественный характер и точно проверить результаты теоретических вычислений.
3. Она позволяет сформулировать знания о принципиально не наглядных и не наблюдаемых явлениях.
4. Она позволяет точно описывать и изучать сложные системы.
Штурм неопределенности
Наш разговор о системном подходе, сложных системах, о многоструктурных объектах и месте математики в научном познании будет не полон, если мы не затронем еще одну важную проблему теории познания — вопрос о неопределенности. Но какое отношение ко всему этому имеет неопределенность? Что это за особая вещь? Почему вообще о ней нужно говорить, а тем более в трактате о научном познании?—спросите вы. Ну что ж, ваши вопросы законны. И я предлагаю вам вместе попытаться наити на них разумный ответ.
В повседневной жизни мы сталкиваемся с неопределенностью на каждом шагу. Выглянув в окно и заметив, что вечернее небо затянуто тучами, вы можете сказать: «Вероятно, ночью будет гроза». Тот, кто услышит такой прогноз, вряд ли задумается над тем, почему вы употребили слово «вероятно», а не сказали просто: «Ночью будет гроза». А между тем короткое слово «вероятно» занимает одно из самых почетных мест и в математике и в теории познания. Я даже готов утверждать, что с понятием вероятности связаны самые острые, так сказать, «гвардейские» проблемы современной науки, изучающие самые разные процессы, происходящие в природе и человеческом обществе.
Когда вы говорите, что ночная гроза вероятна, то вами, по-видимому, руководит осторожность, опирающаяся на опыт. Нередкб бывает так, что внезапно налетает сильный ветер и разгоняет тучи. Если бы вы сказали: «Ночью будет гроза», ваше утверждение оказалось бы ложным в случае, если бы ветер разогнал тучи. Если же вы говорите: «Вероятно, ночью будет гроза», то вас никто не упрекнет в ошибочности прогноза, ибо вы не настаиваете на своем утверждении, а только предполагаете, не считаете его абсолютно истинным, а лишь более или менее правдоподобным.
Такая осторожность имеет серьезные основания. Погода в каждый определенный день в определенном месте Земли так же, как и климат в целом, зависит от множества различных факторов, от тысячи различных причин. На погоду влияют: состояние солнечной активности, положение Земли на околосолнечной орбите, наклон ее оси к плоскости вращения вокруг Солнца, направление и сила воздушных течений в соседних областях (наличие циклонов или антициклонов), относительная влажность воздуха, температура и многое другое. Короче говоря, чтобы точно предсказать погоду, мы должны знать все факторы, от которых она зависит, их взаимодействие, мы должны учитывать огромное количество самых разнообразных причин и уметь точно определять влияние каждой из них на конечные результаты. Для этого, как вы знаете, нам, с одной стороны, необходимо располагать точными математически сформулированными законами метеорологии (науки о погоде), с другой — результатами измерений всех величин, входящих в этот закон (атмосферное давление, температура воздуха и поверхности почвы, относительная влажность, характер воздушных течений на различных высотах и т. п.).
А между тем метеорологи еще не сформулировали закона, связывающего воедино все причины, влияющие на погоду, да и измерить такие величины с надлежащей точностью в различных уголках Земли, а затем с предельной быстротой собрать полученные данные и обработать их далеко не просто. Вот и оказывается, что многие факторы, влияющие на погоду, не определены, а порой и не могут быть определены достаточно точно.
Вы, наверно, уже заметили, что климат и погода как его характеристика являются системами, и притом весьма сложными, с десятками подсистем и тысячами элементов. Точно определить взаимосвязь и количественные характеристики всех этих подсистем и элементов невозможно даже с помощью радиосвязи, передающей сведения на любые расстояния с молниеносной быстротой, и при содействии ЭВМ, способных просчитать миллионы данных за несколько минут. Понятие «вероятность», следовательно, отражает некоторую неопределенность, с которой вольно или невольно нам приходится считаться.
Если быть до конца откровенным, то я должен сказать, что мы живем в мире неопределенности. Наши категорические утверждения: «Высота Останкинской телебашни равна 536 м» или «Вес этой гири равен 1 кг», «Радиус Земли составляет 6371 км» — на самом деле дают огрубленное, упрощенное знание об объективной действительности. Правда, и в повседневной жизни и в науке такие упрощения и огрубления часто бывают оправданными, а во многих случаях даже необходимыми. Возьмите хотя бы второй закон Кеплера. Он позволяет довольно точно вычислять положение планет в Солнечной системе в любой момент времени, и все-таки я употребил оговорку «довольно точно», не сказал «совершенно точно», так как в действительности законы небесной механики основаны на определенных огрубленных моделях, на абстракциях, учитывающих лишь взаимодействие небольшого числа факторов.
В действительности, как показали астрономические наблюдения и измерения, планеты не двигаются вокруг Солнца по геометрически правильным эллипсам, а колеблются, вибрируют вокруг некоторой «средней» линии, ибо на них оказывают воздействие множество причин, влияние которых не учитывается законами Кеплера.
Под влиянием наших практических потребностей мы, как правило, отражаем в законах науки лишь наиболее устойчивые, постоянные и простые связи между объективными явлениями и процессами. Но, по мере того как в сферу научных исследований втягиваются все более сложные системы, мы чаще сталкиваемся с «неопределенностными» ситуациями, то есть с таким положением дел, когда мы не можем отвлечься, абстрагироваться от влияния неизвестных, неизученных или не поддающихся учету причин.
А между тем людям приходится постоянно действовать в условиях большей или меньшей неопределенности. Полководец часто разрабатывает план военных действий, не зная в точности сил и намерений врага. Ученый планирует высадку человека на другую планету, не имея всех необходимых сведений о поверхности и атмосфере этой планеты. Директор завода, рабочий, водитель автобуса, диспетчер на железной дороге, пешеход, пересекающий улицу, министр торговли, хирург, производящий операцию, сотни и тысячи раз принимают самые различные решения, не зная до конца всех возможных последствий и всех условий, необходимых для осуществления этих решений и действий. Естественно поэтому, что люди стремятся уменьшить неопределенность, а для этого им прежде всего необходимо ее оценить, необходимо сравнить различные последствия, определить «вес» или влияние различных неопределенных факторов, оценить их предполагаемые следствия.
Вот этим-то целям и служит понятие «вероятность». В обычном, повседневном языке, в бытовой деятельности мы говорим, что одно событие более вероятно, чем другое, или что одно весьма вероятно тогда, как другое почти невероятно, и т. д. Однако в науке, где требуется высокая точность, ограничиться такими расплывчатыми оценками нельзя, поэтому ученые стремятся разработать особые математические приемы, особые правила, определения и вычисления количественных оценок вероятностей различных событий и процессов.