любого математика алгоритмической школы это полное соответствие величин, которое вполне удовлетворяет потребностям повседневной практики жизни.
Нам показалось увлекательным, что эти мегалитические числа могут давать такие почти совершенные круглые числа для окружности и диаметра круга. Но имеет ли какое-нибудь особое значение получившийся диаметр величиной 233 единицы?
Ряды Фибоначчи
Ответ на этот вопрос такой. Это число имеет действительно особое значение. В то время как греческая буква пи используется для обозначения отношения длины окружности к ее диаметру, буква фи используется для обозначения отношения, которое встречается в нескольких рядах, известных как ряды Фибоначчи. Леонардо Пизано Фибоначчи (1170–1250) изучал закономерности размножения кроликов и почти случайно открыл поразительное отношение, которое теперь называют фи. Это ряд, в котором каждое последующее число равняется сумме двух предыдущих: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 и т. д. Такая последовательность сводится к отношению, которое ученые называют фи и которое выражается величиной 1,618033989.
Фи имеет феноменальную важность, потому что это отношение ассоциируется с ростом. От цветов до человеческих эмбрионов и от моллюсков до галактик — все во Вселенной, что растет, имеет тенденцию расширяться в этом универсальном ритме. Ряды Фибоначчи были известны грекам и многим другим ранним культурам, но Фибоначчи первым изучил это отношение с научной точки зрения. В изобразительном искусстве этот ряд называют «золотым сечением», или «золотой серединой», где отношение выражается как 5:8. Анализ многих картин эпохи Ренессанса показывает, насколько неукоснительно следовали этому принципу. Художники, такие как Леонардо да Винчи и Микеланджело, например, учились тому, что такое золотое сечение, будучи подмастерьями, и следовали ему почти во всех своих художественных творениях.
Число Фибоначчи 233 из нашего круга с 732 делениями получается от сложения чисел 89 и 144. Однако мы должны были учитывать возможность того, что число 233, появившееся в мегалитическом контексте, могло быть всего лишь еще одним совпадением, и мы, конечно, чувствовали, что нужно продолжать исследования. Тогда мы обратили внимание на нечто весьма особенное относительно двух иррациональных отношений, пи и фи. Перемножив эти числа, мы получили число, которое нам ничего не говорило:
3,14159265 х 1,618033989 = 5,08320369
Но если разделить наш круг из 732 половин мегалитического ярда на пи х фи, то получим в результате почти круглое 144. И это число перед 233 в ряду Фибоначчи, и снова необычайно точный результат. Однако это только косвенное доказательство первого заключения, что окружность из 732 половин мегалитического ярда даст практически круглые результаты по Фибоначчи для его диаметра. Мы считаем весьма необычным, что следующие величины получаются с совершенно невероятной степенью точности:
360, деленное на 5 = 72
366, деленное на (пи х фи) = 72
Создается впечатление, что числа, которыми пользовались люди мегалита, обладали необыкновенным свойством, которое выражалось в том, что взятые вместе пи и фи определяли разницу между 360 и 366. Крошечное расхождение в математике, которое здесь описано, это одна четырехсоттысячная, величина, которую не возьмет никакой инженерный расчет. С помощью какого-то механизма, который мы все еще не понимаем, мегалитические строители находились в контакте с природой и реальностью, чего еще не сумела добиться современная наука. Мы сумели экстраполировать это отношение из мегалитических принципов, но нас не оставлял вопрос: «Существует ли какое-нибудь свидетельство, которое позволило бы допустить, что мегалитические строители знали о математическом принципе, в XIII столетии прославившем Леонардо Фибоначчи?» Наши исследования показали результаты, которые, на наш взгляд, подтверждали их осведомленность о фи, и наши мысли поддержали открытия, сделанные, независимо от нас, Моной Филипс из Огайо. В 1970-х годах доктор Филипс взяла первые данные, полученные Томом на мегалитических памятниках, за основу своей магистрской диссертации. Она также выявила присутствие фи в мегалитических сооружениях и обратилась к профессору Тому с просьбой проверить ее расчеты.
Том ответил, что у нее все правильно, и сказал, что поражен полученными ею результатами, назвав их «почти магическими».
Мы уверены, что доктор Филипс и профессор Том не ошибаются, высказывая мысль о том, что в некоторых мегалитических памятниках просматривается коэффициент фи. Но вот применяли его строители сознательно или это было просто естественным следствием использования при строительстве кругов числа 366? Нам приходилось считаться с возможностью, что фи было как-то свойственно манипуляциям с числом 366, которое, казалось, обладало всевозможными «магическими» свойствами.
Не так-то было просто представить, как люди каменного века работали с фи, но мы решили познакомиться с другими областями, где также могли встретиться примеры присутствия числа фи в сочетании с мегалитическим ярдом и результат взаимодействия резонировал с природой. Перебрав несколько идей, мы решили поближе познакомится с предметом, где математика встречается с искусством, — с музыкой.
Математика встречается с искусством
Наука стала проявлять интерес к музыке уже очень давно. Пифагор, грек, прославившийся в первую очередь, своей знаменитой теоремой, жил между 569-м и 475 годами до н. э. и посвятил годы экспериментам с музыкой. Его считают одним из первых людей, которые создали по-настоящему гармоничную музыкальную гамму. Пифагор экспериментировал со струнными инструментами, чтобы лучше разбирать, какие ноты звучат лучше, когда их играют вместе. С помощью искусной системы, которую называют «музыкальной квинтой», он разрабатывал способы настройки любого инструмента, чтобы получить правильную гармонию. Он знал, что большое значение имеет длина струны, и занимался музыкой, как математическими упражнениями.
Как и во всем, греки, кажется, были великими повторителями изобретений и открытий уже полуденного человеком знания. Теперь известно, что Пифагор не был первооткрывателем таких упражнений. Из шумерских текстов следует, что ученые той культуры разбирались в музыкальных гаммах и настраивали музыкальные инструменты по каденциям задолго до того, как на свете появился первый грек. Особенно мы обязаны Фреду Камерону, калифорнийскому эксперту по компьютерам, в прошлом астроному, который потратил годы на реконструкцию шумерских гамм, а затем на сочинение музыки, которая, возможно, соблазнительно близка оригиналу.
Кажется, есть основания допустить, что у шумеров была достаточно сложная музыка, впрочем, как и у людей мегалита. Имея это в виду, мы решили подойти к этой проблеме с совершенно иного конца, вернувшись к основам мегалитической математики, особенно к маятнику вполовину мегалитического ярда, но концентрируя внимание не на его линейной длине, а на частоте его колебаний. Не прошло много времени, и нас затянул в себя завораживающий мир звука и света.
На практике сделать это не представляется возможным, но, если теоретически прикрепить перо к концу мегалитического маятника и позволить ему свободно качаться, двигая при этом под ним лист бумаги, перо начертило бы синусоиду (см. ниже).
«Длина волны» маятника — это расстояние между двумя высшими точками или двумя низшими точками на синусоиде, и она будет зависеть от того, с какой скоростью мы двигаем бумагу под маятником. «Частота» — это число высших и низших точек за данный период времени.
Сегодня мы измеряем частоту в циклах, которые называются герцами и обычно сокращенно обозначаются Гц. Самый простой пример — ребенок ударяет по игрушечному барабану в ритме один удар в секунду, и в этом случае частота будет равна 1 Гц. Если ребенок удваивает темп до двух ударов в секунду, частота делается 2 Гц и т. д. Человеческое ухо способно воспринимать частоты до потрясающей частоты 20 000 Гц.
Когда мы слышим ноту, которую воспроизводит музыкальный инструмент, то звук, улавливаемый нашим ухом, — результат взаимодействия частоты и длины волны. Нота, которую мы на современной клавиатуре фортепьяно называем ля, на три ноты ниже среднего до, имеет частоту 440 герц, это значит, что имеется 440 высших и 440 низших точек синусоиды, которые показаны на графике. Нота ля также производит волну, длина которой в этом случае 78,4 сантиметра. Следующая нота, си, имеет частоту 466, 16 Гц и длину волны 74 сантиметра. С повышением частоты сокращается длина волны. Перед этим мы установили, что современная секунда времени (плюс ее двойной аналог) впервые была использована шумерами, но мы вполне могли принять мегалитические меры расстояния и времени, чтобы точно таким же способом описать музыкальные ноты.
Земля совершает полное обращение за одни звездные сутки в 86 164 секунды и, согласно мегалитической геометрии, экватор может быть поделен на 366 градусов, 60 минут и 6 секунд дуги. Поскольку наша планета несколько выпирает на экваторе, ее экваториальная окружность больше полярной окружности, и поэтому одна секунда дуги длиннее и равняется около 366,6 мегалитического ярда. Отсюда следует, что Земля будет проходить одну мегалитическую секунду дуги каждые 0,65394657 секунды, что является периодом, который мы имеем полное основание назвать «мегалитической секундой времени». Поэтому, если у нас есть музыкальная нота с частотой 366 циклов за каждую мегалитическую секунду времени, она будет звучать в унисон с вращением Земли, так как будет производиться одна вибрация на каждый мегалитический ярд планетарного поворота на экваторе. В реальности, благодаря экваториальной выпуклости, это чуть больше мегалитического ярда. Разница между полярной и экваториальной окружностью эквивалентна 36,6 мегалитической минуты полярной окружности. Мы решили назвать эту теоретическую единицу мегалитического звука «том» (сокращенно Тм) в