Тот факт, что при взгляде на любой ящик кристаллической решетки мы видим в точности одну и ту же структуру, определяет еще один вид симметрии – трансляционную симметрию[38]. В математике и физике слово «трансляция» означает перенос объекта без его вращения или каких-либо других преобразований. Таким образом, нечто обладает трансляционной симметрией, если после переноса результат выглядит так же, как до него. Полная классификация симметрии кристаллов учитывает их поведение при отражении, вращении, инверсии и трансляции. Все возможные симметрии кристаллов были впервые подсчитаны в 1892 году, и оказалось, что существует в точности 230 возможных вариантов. Эти варианты называются пространственными группами. Число 230 кажется на удивление несимметричным; пространственные группы образуют исчерпывающий перечень всех возможных симметрий всех возможных периодических структур, какие только могут существовать в нашем трехмерном мире. Казалось бы, их количество должно выражаться каким-нибудь более приятным числом – например тремя, – но это не так.
Хотя способности кристаллов происходят от микромасштабных симметрий, эти симметрии часто проявляются и на макроскопическом масштабе. Хорошо знакомый (или незнакомый – смотря где вы живете) пример дают снежинки. Каждая снежинка – это индивидуальный кристалл льда. Поскольку у снежинок по шесть лучей, можно с первого же взгляда понять, что микромасштабная структура льда обладает шестиугольной симметрией вращения. Здорово, правда? Однако привычность воды и в этом случае скрывает от нас ее хитрости. Например, меня долгое время ставил в тупик следующий вопрос: почему все шесть лучей снежинки выглядят одинаково? Оказывается, тут идет речь о чрезвычайно искусном обмане.
Магия льда не нуждается в представлении. Мультфильм «Холодное сердце» был настолько популярным, что привел к 37-процентному увеличению потока американских туристов в Норвегию – хотя его действие происходит вовсе не там. В путешествии внутрь мира ледяного кристалла обнаруживается одно из моих любимых проявлений кристаллической магии.
Два нерушимых закона мироздания гласят, что скорость света в вакууме постоянна и ничто не может двигаться быстрее ее. Но, если вы окажетесь внутри кристалла льда, вы обнаружите, что скорость света в нем составляет всего лишь около трех четвертых обычной. Она по-прежнему постоянна, но имеет другое постоянное значение. А знаете, что по-настоящему холодит кровь (оцените игру слов)? То, что в этом ледяном мире другие частицы могут двигаться быстрее света! Никакой закон не запрещает превышать скорость света во льду – только в вакууме. Элементарные частицы, которые называются мюонами, постоянно прилетают в виде космических лучей (каждую секунду сквозь вас проходит около 30 таких частиц, не причиняя вам никакого вреда) и то и дело пролетают сквозь лед быстрее света. Когда при взмахе кнутом его кончик переходит звуковой барьер, раздается резкий щелчок; точно так же мюоны, пролетающие сквозь лед, создают ударную волну синего света, который называют черенковским излучением. Это свойство использует и нейтринная обсерватория IceCube[39], находящаяся глубоко подо льдами Антарктиды. В этом эксперименте ищут нейтрино – призрачные элементарные частицы, известные тем, как трудно их обнаружить. Экспериментальная установка регистрирует вспышки черенковского излучения, возникающие при рождении мюонов в результате взаимодействия нейтрино с молекулами воды, из которых состоит лед. Проект IceCube играет ключевую роль в поисках темной материи, потому что предполагается, что нейтрино являются измеримым продуктом распада некоторых частиц, которые могут составлять темную материю.
Я заинтересовался симметрией снежинок, когда увидел, как они растут, в документальном сериале «Замерзшая планета» (Frozen Planet) производства Би-би-си. Откуда один луч узнает, что происходит с остальными? Я попытался поспрашивать об этом на физическом факультете, но, к моему удивлению, ответа на этот вопрос, по-видимому, никто не знал. Тогда я организовал проект, в котором студент магистратуры должен был написать программу, моделирующую рост снежинки. В начале всякого исследовательского проекта нужно выяснить, что уже было сделано. Мы узнали, что специалистом мирового уровня по снежинкам считается профессор Кеннет Либбрехт, бывший глава факультета астрофизики Калифорнийского технологического института. В титрах «Холодного сердца» он назван «консультантом по снежинкам», а кроме того, он участвовал в создании той серии «Замерзшей планеты», которая и вдохновила меня на эту работу. У самого Либбрехта интерес к снежинкам возник, когда он приезжал в свой родной промерзший город в штате Северная Дакота. Стремясь как можно глубже понять источники их красоты, он установил у себя в гараже камеру, в которой можно было растить и фотографировать снежинки.
Мы со студентом связались с Либбрехтом. Он не только помог нам разработать компьютерную модель, но и дал простой ответ на вопрос о том, почему все шесть лучей снежинки выглядят одинаково. Они растут в облаках, начиная с мельчайших сгустков порядка половины миллиметра в поперечнике. В каждый момент на рост кристалла влияют две вещи: температура и «перенасыщение» в ближайшей окрестности снежинки. Когда воздух перенасыщен водой, в нем содержится больше водяного пара, чем могло бы содержаться в присутствии твердой поверхности. Например, если бы рядом оказалась трава, вода осаждалась бы на ней в виде росы. В облаке единственные твердые объекты – это сами снежинки, и поэтому перенасыщение совершенно необходимо для роста снежинок.
Летая по облаку, снежинка попадает в разные условия, и ее рост то и дело изменяется. Поскольку никакие две снежинки не следуют в точности по одному и тому же маршруту, не может получиться двух одинаковых снежинок. Но все шесть лучей каждой снежинки в каждый момент оказываются приблизительно в одних и тех же условиях и потому выглядят одинаково. Однако Либбрехт рассказал нам, что этим дело не ограничивается.
Важные для роста снежинок факторы впервые выявил профессор Укисиро Накайя (1900–1962), создатель первых искусственных снежинок. Когда Накайя начинал работать профессором физики в университете Хоккайдо, у него было мало оборудования, но сколько угодно снега. Им-то он и занялся и создал первый в мире снежный кристалл, выращенный в лаборатории (на кончике кроличьей шерстинки). Тщательно контролируя условия роста, Накайя составил так называемую диаграмму Накайи, которая показывает, какого типа снежинки вырастают при тех или иных температурах и уровнях перенасыщения.
Диаграмма роста снежинок Накайи
Хотя общей теории, объясняющей все особенности этой диаграммы, у нас пока нет, некоторые тенденции понятны. При низком перенасыщении воды мало, и снежинке приходится дожидаться появления очередной молекулы. Это приводит к образованию плоских поверхностей, потому что молекулы предпочитают иметь как можно больше соседей, а это достигается посреди граней, а не на ребрах или вершинах. При высоком перенасыщении вся вода, окружающая кристалл, идет на рост кристалла, но если какой-нибудь выступ на поверхности сможет пройти через эту обедненную область, он попадает туда, где воды имеется в достатке, и начинает расти быстрее. По мере разветвления мелких выступов на всех масштабах это приводит к образованию кустистых, папоротникообразных наростов.
Накайя называл снежинки «письмами с небес»: в них содержится информация о всей последовательности условий, которые встречались на пути этих снежинок[40]. Кроме того, Либбрехт рассказал нам о более фундаментальной причине, по которой снежинки симметричны: они вовсе не симметричны! Это классический пример отвлечения внимания. На каждую снежинку, изображение которой вы видите, приходится от 1000 до 10 000 снежинок менее симметричных. Миф о совершенной симметрии снежинок был подкреплен вышедшей в 1864 году книгой Фрэнсис Чикеринг «Облачные кристаллы – Альбом снежинок» (Cloud Crystals – A Snow-Flake Album). Чикеринг создавала иллюстрации для своей книги, быстро вырезая из бумаги снежинки, которые она видела на своем подоконнике. Для этого она применяла изобретенную ею же особую технику – заранее складывала бумагу вшестеро. Это позволяет вырезать быстрее и обеспечивает совершенную симметрию. Мне в конце концов удалось найти немного снега, который я мог исследовать, и найти по-настоящему симметричные образцы действительно оказалось трудно. Но на мой взгляд, несовершенство снежинок только добавляет им красоты.
То, как Чикеринг использовала приблизительную симметрию снежинок, выводит на первый план большую практическую пользу симметрии в более широком смысле: она позволяет экономить время, опираясь на выявленные закономерности. Предположив, что снежинки обладают шестиугольной симметрией, она могла вырезать форму лишь одного луча, а не всех шести. Эта фундаментальная идея играет важную роль в современном мире. Взять хотя бы сжатие данных, используемое при кодировании видеозаписей: файл сообщает компьютеру, какого цвета в каждый момент должен быть каждый пиксель. Но если бы видеофайл содержал данные по каждому пикселю для каждого кадра, он был бы таким большим, что его невозможно было бы обрабатывать. В каждом кадре соседние пиксели часто бывают одинакового цвета, и это создает своего рода симметрию, которую можно использовать: при переходе от одного пикселя к соседнему цвет не меняется. Точно так же пиксели по большей части сохраняют цвет при переходе от кадра к кадру. Это тоже своего рода симметрия: мы переходим к следующему кадру, а цвет пикселя остается тем же. Поэтому один из способов сжатия видеофайлов состоит в том, что записывают только изменения, а во всех остальных случаях полагаются на симметрию. Это похоже на то, как в текстах песен пишут слово «припев»: одно слово заменяет сразу несколько.