Оптическая анизотропия кальцита – различное поведение света при распространении в разных направлениях – наделяет его способностью двойного лучепреломления: скорость света изменяется в зависимости от направления. Отсутствие зеркальной симметрии кристалла порождает естественную оптическую активность: плоскость поляризации света поворачивается. Отсутствие инверсионной симметрии сообщает кварцу пьезоэлектрические свойства: пространство сжимается под действием электричества. На самом деле сжимается кристаллическая решетка, но если вы живете на квантовом масштабе, внутри кристалла, равномерно распределенные атомы должны казаться вам приблизительно такими же, каким нам кажется воздух, – повсеместными и воспринимаемыми как пустое пространство.
Хотя все эти эффекты связаны с симметриями кристаллической решетки, интересно отметить, что все они порождаются отсутствием той или иной симметрии. В этом заключается фундаментальный парадокс каждого кристалла: хотя кристаллы определяются присущими им симметриями, на самом деле их определяет отсутствие симметрий, которыми они могли бы обладать. Кристалл – это то, что получается при нарушении симметрий.
Пытались ли вы когда-нибудь установить яйцо так, чтобы оно оставалось в равновесии, стоя на конце? Существует народное поверье, что это возможно только в определенные дни года, и в течение этого якобы необычного периода по всему миру происходят целые фестивали установки яиц. На самом деле этот миф давно развеян одним физиком, глубоко овладевшим искусством симметрии. Мы уже знакомы с ним: это Укисиро Накайя, создатель искусственных снежинок. Он-то и показал, что равновесная установка яйца – задача одинаково трудная, но выполнимая, в любое время года. Трудность ее связана с симметрией. Яйцо обладает почти совершенной вращательной симметрией: если поворачивать его вокруг продольной оси, его вид остается таким же. Накайя объяснил, что для равновесной установки яйца нужно найти мельчайшие неровности – такие, чтобы скорлупа одновременно соприкасалась со столом в трех точках, а центр тяжести яйца находился над образованным ими треугольником. Если бы симметрия яйца была абсолютной, то единственным способом его установить было бы помещение центра тяжести в точности над концом яйца, что недостижимо на практике. Однако секрет Накайи позволяет вам научиться одному фокусу: если просыпать на стол несколько крупинок соли, на них легко установить яйцо (три крупинки создадут три точки соприкосновения). Сдуйте оставшуюся соль, и всем будет казаться, что яйцо стоит само по себе. Если вы привержены черной магии, вы легко можете превратить этот фокус в тему для прибыльных пари в вашей местной таверне.
Яйцо в равновесии
Неподвижное уравновешенное яйцо симметрично и выглядит одинаково со всех сторон. Когда яйцо начинает катиться, симметрия нарушается: яйцо катится только в одном направлении. Как оно решает в каком? На самом деле яйцо никогда не бывает абсолютно симметричным. К тому же стол не может быть идеально ровным, в воздухе могут быть легкие порывы ветра и так далее. Если бы нам нужно было разработать математическую модель, мы не смогли бы учесть в ней все такие отклонения от идеального состояния, так что нам пришлось бы прибегнуть к некоторой магии и сказать, что яйцо выбирает направление случайным образом. Эту абстракцию называют спонтанным нарушением симметрии: направление выбирается произвольным образом. Это кажется самоочевидным, если только вас не вводит в заблуждение совершенство математических моделей. Притча о буридановом осле предостерегает нас как раз от такого рода ошибок: осел, стоящий ровно посередине между двумя копнами сена, не в состоянии выбрать одну из них и умирает с голоду. Кристаллы растут, потому что они способны выбирать.
В прошлой главе мы говорили о жидкой воде и ее фазовом переходе в газообразный пар. Поговорим теперь о ее фазовом переходе в кристаллический лед. Как мы только что отмечали, замерзание – это пример спонтанного нарушения симметрии, потому что все кристаллы определяются симметриями, которых им недостает. Но если это так, значит, жидкость должна обладать большей симметрией, чем кристалл. Это утверждение может показаться несколько сомнительным: разве кристаллический лед не более симметричен, чем беспорядочная мешанина молекул, образующая жидкую воду? Но на деле вода действительно более симметрична в мокром состоянии. Как такое может быть?
Ответ на эту загадку основывается на следующем соображении, которое может показаться неким жульничеством, но на самом деле представляет собой глубокую и таинственную истину. Симметрии бывают двух типов – дискретные и непрерывные. Равносторонний треугольник обладает дискретной вращательной симметрией: если повернуть его на треть оборота, то есть определенную дискретную величину, его вид останется прежним, но после поворота на меньший угол он будет выглядеть по-другому. Напротив, окружность обладает непрерывной вращательной симметрией: на какой угол ее ни поверни, она выглядит так же, как прежде. Поэтому непрерывные симметрии сильнее, чем дискретные.
Оказывается, именно поэтому жидкостям удается быть симметричнее кристаллов.
Определяющее свойство кристалла состоит в наличии трансляционной симметрии на атомном масштабе: при переносе атомов на дискретное, фиксированное расстояние, равное промежутку между соседними одинаковыми атомами, вид кристалла не изменяется. В случае переноса на меньшее расстояние он будет выглядеть иначе. Но жидкость обладает более сильной, непрерывной трансляционной симметрией: она сохраняет прежний вид при переносе на любое расстояние, большое или малое. На атомном масштабе жидкость не упорядочена, и неупорядоченность эта одинакова повсюду. Точно так же, если кристаллы обладают дискретными вращательными симметриями, то жидкости всегда имеют более сильные, непрерывные вращательные симметрии.
Я согласен, что это кажется шулерством – очередной ловкостью рук, – но уверяю вас, что это не так. Дело в том, что мы не живем в микроскопическом мире атомов; мы живем в своей собственной срединной области. Когда мы измеряем свойства материалов, будь то своими руками или замысловатыми экспериментальными приборами, мы измеряем поведение, усредненное по некоторому временному периоду и некоторой пространственной области. На атомном масштабе жидкости в той или иной точке в тот или иной момент атом может присутствовать или отсутствовать, но разрешение наших измерений вынуждает нас вычислять среднее по времени, а в среднем атом с равной вероятностью может быть как в этой, так и в другой точке. А то обстоятельство, что у наших измерений есть минимальное пространственное разрешение, аналогичным образом означает, что мы всегда рассматриваем величины, усредненные по этой минимальной области. Если такой объем достаточно велик, чтобы в него поместилось существенное число атомов, жидкость повсюду выглядит одинаково. Нам важны именно эти средние значения.
Это ясно показывает рентгеновская дифракция. Если дифракция рентгеновских лучей в кристалле дает сетку четких точек (фотографию обратной решетки), то дифракция рентгеновских лучей в жидкости дает кольцо, радиус которого обратно пропорционален среднему расстоянию между молекулами (то есть при увеличении этого расстояния кольцо становится меньше). Те существенные величины, которые мы измеряем, – это средние значения. Таким образом, неупорядоченная жидкость действительно более симметрична, чем упорядоченный кристалл, и некоторые из ее симметрий неизбежно нарушаются при замерзании: важно отметить, что кристаллы нарушают симметрию даже в среднем.
Способности кристаллов порождаются нарушениями симметрий. Чем больше симметрий нарушено, тем больше способностей может быть у кристаллов (и этим они похожи на супергероев, за сверхспособностями которых неизменно скрывается трагическая история из прошлого). Изотропные жидкости выглядят одинаково во всех направлениях – что тоже есть одна из форм симметрии; когда из этих жидкостей вырастают анизотропные кристаллы, они теряют эту симметрию, приобретая при этом способность к двойному лучепреломлению. Жидкости обладают инверсионной симметрией; когда из этих жидкостей вырастают неинвертируемые кристаллы, они теряют эту симметрию, приобретая при этом пьезоэлектрические свойства. Жидкости обладают непрерывной трансляционной симметрией; когда из этих жидкостей вырастают кристаллы, они теряют эту симметрию, сохраняя лишь дискретную трансляционную симметрию. Все это примеры спонтанного нарушения симметрии. Слово «спонтанное» говорит о том, что из всех возможных способов нарушения симметрии кристалл без каких-либо указаний извне выбирает один вариант. Тут у него есть атом, а там нет – но чем «тут» лучше, чем «там»?
Точно так же, как мы объясняли качение яйца неизвестным порывом ветра, мы можем объяснить рост кристалла неизвестной асимметрией. Когда вода замерзает в лед, кристалл льда начинает расти со стенок сосуда или с каких-нибудь инородных частиц в воде. Атомы кристалла предпочитают одни положения другим, так как они должны соответствовать сосуду. На этом основан следующий фокус: если очень осторожно охлаждать чрезвычайно чистую воду, можно довести ее в жидком состоянии до температуры на несколько градусов ниже нуля по Цельсию. В этом состоянии, которое называют переохлажденной жидкостью, малейшее сотрясение приводит к мгновенному затвердеванию воды. Чтобы произвести на публику максимально эффектное впечатление, стукните по сосуду своей волшебной палочкой, предварительно произнеся какое-нибудь приличествующее случаю заклинание. Это тот же принцип, на основе которого работает ручная грелка с фазовым переходом. Переохлажденная жидкость подобна очень голодному буриданову ослу или чрезвычайно симметричному яйцу, только и ждущему, чтобы его вывело из равновесия малейшее дуновение ветра.
Выращивание кристаллов – дело магическое по самой своей природе. Специалисты по выращиванию кристаллов составляют уникально волшебную когорту среди прочих физиков.