Письменные свидетельства о медицинских узлах, применявшихся для профилактики и лечения болезней, начинаются по меньшей мере с Вавилона VIII века до н. э.: мы находим их в виде заклинаний, записанных клинописью на глиняных табличках. В книге Сайруса Дэя «Кипу и ведьмины узлы» (Quipus and Witches’ Knots: The Role of the Knot in Primitive and Ancient Cultures) приводятся примеры употребления медицинских узлов во все времена и во всех уголках мира; возраст узловой магии оценивается в ней по меньшей мере в 7000 лет. Чтобы помочь от головной боли, узлодел мог завязать на голове повязку, распевая при этом соответствующие заклинания; когда повязку снимали, вместе с ней снимали и головную боль. Так же могли повязывать, а затем развязывать и другие болеющие части тела. В альтернативном варианте узел мог улавливать болезнь; тогда его снимали целиком, тщательно затягивали и выбрасывали как можно дальше от людей (либо в реку, текущую к морю, либо подальше в пустыню). Что касается узлов профилактических, в доме, в котором в ближайшее время ожидалось рождение ребенка, узлодел мог посоветовать развязать все имеющиеся узлы, чтобы младенец не «попался» в них: распустить шнурки, отвязать занавеси и отпереть замки.
Любовные узлы остаются на удивление распространенными и в современном обществе. Многие церемонии бракосочетания включают в себя ритуальное переплетение рук или что-нибудь в этом роде, да и обручальные кольца, будучи замкнутыми петлями, тоже символизируют соединения и нерушимые связи. Огромное множество замков, развешанных парочками по мостам всего мира, говорит о том, что в любовную магию по-прежнему верят очень многие.
В физике узлы имеют историю не столь древнюю, но не менее почетную. Началось все с физического наблюдения того факта, что кольца дыма – например выпускаемые волшебником из трубки – переносят всевозможные возмущения воздуха. Они могут колебаться и растягиваться, но, как кажется, никогда не разрываются, как будто их защищает некое заклятие. Физический механизм этого явления объяснил в XIX веке лорд Кельвин. Когда волшебник выдыхает кольцо дыма, он создает в воздухе вихрь, похожий на торнадо, верхний и нижний концы которого соединены так, что образуется кольцо. Дым оказывается заключен внутри этого вихря и позволяет увидеть, куда тот летит. Кельвин разработал соответствующую модель, используя некоторые упрощающие предположения относительно свойств воздуха – в частности, считая его вязкость нулевой. В рамках этой модели он смог математически доказать, что вихрь, который удается замкнуть в кольцо, будет существовать вечно. На самом деле у воздуха есть небольшая вязкость, вследствие чего кольца дыма рано или поздно рассеиваются. Тем не менее они существуют достаточно долго, чтобы их можно было использовать в одном весьма впечатляющем фокусе. Возьмите картонную коробку, прорежьте в ее стенке круглое отверстие диаметром десять сантиметров и наполните коробку дымом. Если после этого сильно ударить по бокам коробки, вы можете добиться того, что из нее вылетит кольцо дыма, такое устойчивое, что им можно сбивать бумажные стаканчики на расстоянии метров пяти.
Математические узлы подобны тем, что вы завязываете на ботинках, за исключением того, что у них, как и у колец дыма, свободные концы соединены и образуют замкнутую петлю. Кольцо дыма принимает форму простейшего узла, называемого тривиальным, – потому что он даже не завязан. Следующий по сложности узел – первый, который мы можем естественно завязывать. Он называется трилистником и часто встречается в кельтских орнаментах: например, он украшает «Келлскую книгу» VIII века, рунические камни XI века из шведской деревни Фунбо и созданную в XX веке обложку музыкального альбома Led Zeppelin IV. Друг Кельвина, математик Питер Гатри Тэйт, вдохновившись его работой, взялся за составление таблицы всех возможных узлов. Здесь приведена часть его таблицы узлов:
Таблица узлов
Трилистник находится в верхнем ряду, вторым слева. Как его ни рисуй, в этом узле нить должна пересекаться с самой собой не менее трех раз. Это пример «топологического» свойства. Топология – это раздел математики, занимающийся изучением форм. Считается, что две формы имеют одинаковую топологию, если одна может быть преобразована в другую без разрезов и соединений. Например, трубка волшебника имеет такую же топологию, что и кольца дыма, которые из нее вылетают: обе эти формы содержат по одному отверстию. Хотя эти предметы выглядят совершенно по-разному, их формы могут быть преобразованы одна в другую без разрезов и соединений.
Часто говорят, что самой первой топологической задачей была задача о семи мостах Кёнигсберга. В 1736 году мэр Гданьска рассказал в письме к легендарному математику Леонарду Эйлеру о головоломке, озадачившей жителей близлежащего Кёнигсберга. В этом городе четыре участка суши соединялись семью мостами. У горожан имелось множество маршрутов для прогулок по городу, но был один маршрут, по которому им особенно хотелось, но никак не удавалось пройти: маршрут, проходивший по каждому из мостов один, и только один, раз. Построение такого маршрута – задача топологическая: мосты можно изгибать или растягивать, острова можно увеличивать или сжимать, и это не меняет задачи. Она изменится, только если разрушить один из мостов или, наоборот, построить новый. Здесь показана оригинальная схема мостов, нарисованная Эйлером. Вам будет интересно попытаться решить эту задачу самостоятельно. Эйлер, однако, так и не нашел ее решения – вместо этого он доказал, что решение невозможно.
Еще более ранняя предшественница топологии, задача о ходе коня, существует по меньшей мере с IX века. Шахматный конь ходит на две клетки по вертикали и одну по горизонтали (или наоборот). Задача состоит в нахождении последовательности ходов, в которой конь побывает на каждой клетке шахматной доски один, и только один, раз. Эйлер предложил несколько решений этой задачи. До него ее решение нашел в 842 году анатолийский шахматист аль-Адли ар-Руми. Приблизительно в то же время кашмирский поэт Рудрата придумал поистине мастерское решение. Он написал на санскрите стихотворение, состоящее из четырех строк, по восемь символов в каждой (что соответствует половине доски); каждый символ обозначает один слог. Стихотворение можно читать так же, как вы читаете этот текст, слева направо и сверху вниз. Но, кроме этого, его можно читать, переходя от символа к символу ходом коня. Как это ни поразительно, в обоих случаях получается в точности одно и то же стихотворение.
Схема семи мостов Кёнигсберга, нарисованная Эйлером
Однажды я видел замечательную иллюстрацию топологии, которую приводил Данкан Холдейн. Холдейн был одним из трех лауреатов Нобелевской премии по физике за 2016 год, которой они были удостоены за «теоретические открытия топологических фазовых переходов и топологических состояний вещества». На одной конференции в 2015 году мне отвели место в том же кабинете, что и ему. Я заметил, что, когда ему задавали какой-нибудь вопрос, он отвечал, глядя в упор на кого-нибудь другого, – а его ответ всегда казался относящимся к другому вопросу. Иллюстрируя топологию, он показал изображение кружки и объяснил, что у нее есть одно отверстие – в ручке. Затем он показал изображение кружки с двумя ручками – так называемой «кружки для любовников». У нее другая топология, потому что в ней есть два отверстия, а потому ее могут одновременно использовать два человека. Затем он описал кружку с тремя ручками, топология которой отличается от двух предыдущих. Ее он назвал «кружкой для калифорнийских любовников».
Суть защитного заклинания топологии в том, что разрезание и соединение часто бывает делом гораздо более трудным, чем изгибание и поворачивание. Узел можно изгибать, переворачивать или трясти, но он останется тем же узлом. Тривиальный узел никогда не станет трилистником. Природа находит узлам практическое применение: известно, что миксины, походящие формой на угрей, завязывают свои тела узлом, спасаясь от хищников; птицы-портнихи связывают нити паутинного шелка узлами, когда строят гнездо; цепочки ДНК иногда образуют узлы, что, возможно, увеличивает их устойчивость.
В 1997 году российский физик Алексей Китаев выдвинул одно замечательное предложение. Представьте себе квантовый алгоритм, который можно зашифровать в виде узла. Тогда его, может быть, можно будет защитить от декогеренции так же, как кольцо дыма оказывается защищено от порывов ветра. Мировой шум никуда не денется, но квантовый компьютер будет глух к нему. Таким было первое предложение, касавшееся так называемых топологических квантовых компьютеров. Впоследствии Китаев объяснил, как завязывать такие квантовые узлы, используя магию эмерджентных квазичастиц.
Если свести защитное заклинание топологии к самой сути, она такова: точно так же, как не бывает наполовину беременных или наполовину влюбленных, не бывает и половинных отверстий. Хотя может показаться, что у топологии есть только очень специализированные приложения, она имеет огромное множество практических применений в повседневной жизни. Один абстрактный пример этого дает прославленный источник древней мудрости, ставший хитом 1995 года фильм «Крепкий орешек 3: Возмездие». Несомненно, у вас, как и у меня, где-нибудь хранится заезженная видеокассета. Этот фильм популяризовал следующую головоломку. У вас есть канистра на пять галлонов, канистра на три галлона и водоем. Злодей с манией величия и неубедительным немецким акцентом угрожает взорвать бомбу, если вы не поставите на весы ровно четыре галлона воды, с точностью до унции. У вас есть всего одна попытка. Как же выполнить это задание? Немного поразмыслив, Брюс Уиллис и Сэмюэл Л. Джексон моментально находят решение. Полностью наполните пятигаллонную канистру. Вылейте из нее в трехгаллонную канистру столько воды, сколько туда поместится. В пятигаллонной канистре останется два галлона воды. Теперь вылейте всю воду из трехгаллонной канистры в водоем и перелейте два галлона, оставшиеся в пятигаллонной канистре, в трехгаллонную. Еще раз налейте доверху пятигаллонную канистру, а потом долейте из нее трехгаллонную. При этом перельется ровно один галлон воды, а в пятигаллонной канистре останется ровно четыре галлона.