деситтеровское пространство (Вселенная де Ситтера, или модель де Ситтера). Название дано в честь голландского физика, который первым задался вопросом, на что похожа жизнь в таком месте.
Обнаруженные Риссом и Перлмуттером сверхновые, похоже, заставляют предположить, что мы направляемся именно в мир де Ситтера, где звезды и галактики разлетаются все дальше, не оставляя ничего, кроме вакуума и ускоряющего бульона. Если это так (а большинство физиков сейчас с этим соглашаются), каждый из нас окружен огромной космологической оболочкой диаметром почти в триллион триллионов километров. Она представляет собой своеобразный горизонт, хотя он сильно отличается от горизонта событий, обозначающего край черной дыры. Этот деситтеровский горизонт обозначает границу того, что мы можем когда-либо надеяться увидеть, даже если бы мы жили вечно. Возможно, вам кажется странным, что такая граница может существовать. В конце концов, если подождать достаточно долго, времени хватит, чтобы принять свет даже от самых далеких звезд и галактик. Но это не так. Когда действует ускорение, эти далекие звезды удаляются от нас все быстрее. Пространство между вами и ими увеличивается слишком быстро, свет не может успеть за этим процессом. Даже с вечностью в кармане вы никогда не сможете заглянуть за пределы деситтеровского горизонта. Свет этих далеких миров никогда не сможет добраться до вас.
Всякий раз, когда есть предел тому, что вы можете видеть, используется слово горизонт. Однако важно понимать, что деситтеровский горизонт имеет больше общего с океанским горизонтом, чем с горизонтом событий черной дыры. Это не вход в темницу и не покров какой-то ужасной сингулярности. При этом он не имеет абсолютного местоположения. Подобно океанскому горизонту, это явление относительное, персональное. Каждый человек может описать собственный деситтеровский горизонт — обширную космологическую сферу с собой в центре. У вас есть свой деситтеровский горизонт — ваша персональная граница между тем, что вы можете видеть, и тем, что не можете, и он пролегает не там, где пролегает мой горизонт или горизонт инопланетянина из галактики Андромеды. При желании вы могли бы пересечь горизонт этого инопланетянина, а он ваш — так же легко, как далекий корабль может в океане скрыться за горизонтом для другого корабля.
Давайте заканчивать наш эксперимент. По мере того как вы собираете все больше цифр числа Грэма, ваш деситтеровский горизонт раздвигается. Горизонт событий вашей черной дыры продолжает расти, расширяясь все дальше, пока в конце концов не соприкоснется с вашим деситтеровским горизонтом. Такая ситуация известна как предел Нариаи. Вы не можете больше увеличивать свою черную дыру. Ваши друзья могут попытаться вложить еще больше данных и вытолкнуть вас за пределы вашей собственной космологической оболочки, но дела пойдут плохо. Уравнения заставляют предположить, что природа будет сопротивляться, заставляя Вселенную перейти в Большое сжатие. И несмотря на все, что вам пришлось пережить, вы не приблизитесь к числу Грэма.
В общем, если вы действительно хотите зафиксировать всю информацию в числе Грэма, вам понадобится Вселенная побольше. Если у нее есть деситтеровский горизонт, он должен быть не меньше числа Грэма — в метрах, милях или любых других единицах, которые вы решите использовать. Мы живем в другом месте (наши деситтеровские горизонты ничтожны по сравнению с этой величиной), однако подобная Вселенная в принципе могла бы существовать. Теория струн предсказывает мультивселенную — огромное множество Вселенных, имеющих разные размеры, форму и количество измерений. Если в этой мультивселенной существуют гиганты с невообразимо большой космологической оболочкой, то, возможно, найдется место для Грэма и его исполинского числа.
Tree(3)
При счете 47–47 в последнем сете табло корта № 18 Всеанглийского клуба лаун-тенниса и крокета отказало. Шел Уимблдонский теннисный турнир 2010 года. Француз Николя Маю (прошедший в турнир через квалификационные игры) и его американский соперник Джон Изнер творили историю. На тот момент их матч уже был самым длинным в истории тенниса, но при этом еще далек от завершения. Табло отказало, потому что не было рассчитано на такие продолжительные игры. Инженеры, которые его запрограммировали, не ожидали, что электронике придется обрабатывать столько данных в таком количестве геймов. Когда экран погас, счет продолжил вести арбитр, и к моменту наступления темноты в конце второго дня игры матч остановили при счете 59–59. За ночь программисты починили табло, но предупредили: «Если они сыграют не больше двадцати пяти геймов, все в порядке. Если они будут играть дольше, табло откажет». Повезло. В двадцатом гейме третьего дня Изнер нанес потрясающий удар по линии и тем самым взял гейм на подаче Маю. Война на истощение наконец закончилась. Изнер выиграл: 6–4, 3–6, 6–7, 7–6, 70–68. Непримечательный матч первого круга превратился в удивительное событие. Двое игроков сражались на корте более одиннадцати часов, изнемогая, но не сдаваясь. Оба сделали более сотни эйсов (подач навылет). Для зрителей на корте № 18 и миллионов телезрителей этот матч оказался угрозой вечности.
Уимблдон никогда больше не увидит ничего подобного. В 2018 году, через восемь лет после эпической встречи Маю и Изнера, Всеанглийский клуб решил изменить правила[75]. Организаторы обеспокоились соблюдением расписания и влиянием марафонских поединков на физическое состояние игроков. Они заявили, что со следующего года в пятом решающем сете при счете 12–12 игроки будут играть тай-брейк. Угроза бесконечного матча уменьшилась, но не исчезла, ведь ограничений на продолжительность тай-брейка или отдельного гейма не существует, и теннисный матч по-прежнему потенциально может длиться вечно.
То же верно и для «Монополии». Я уверен, что после нескольких часов игры вы уже задавались вопросом, завершится ли когда-нибудь партия, надеясь приземлиться в отеле в Мейфэр[76], лишь бы все закончилось. Угроза бесконечности есть всегда, если только вы не придерживаетесь исключительно тех игр, которые гарантированно заканчиваются после конечного числа шагов вроде крестиков-ноликов. Шахматы — еще одна конечная игра: если мы используем обязательное правило семидесяти пяти ходов, шахматная партия гарантированно закончится менее чем за 8849 ходов. Итак, если вы намереваетесь оставаться в конечном мире, что делать, если кто-нибудь предлагает сыграть в Игру деревьев? Грозит ли это вам вечностью?
Этот вопрос поставил великий странник Пал Эрдеш, рассказывая о своих путешествиях по математическому миру в конце 1950-х. Эрдеш часто говорил о молодом венгерском математике, с которым он познакомился в Будапеште, когда оба они были еще подростками. Его звали Эндре Вайсфельд, или Эндрю Важони, как он стал называть себя позже. Он поменял имя из-за дискриминации евреев в 1930-х, а затем бежал в Америку. По словам Эрдеша, Важони выдвинул гипотезу, что Игра деревьев всегда будет конечной, однако так и не доказал свое утверждение, а теперь уже умер. На самом деле Важони был жив и здоров, — по крайней мере, когда Эрдеш рассказывал свою историю. Просто на языке Эрдеша он именовался умершим, поскольку ушел из науки и устроился на хорошо оплачиваемую работу авиаинженера. Однако гипотеза оставалась недоказанной. В коридорах Принстона байки Эрдеша с интересом выслушивал один талантливый молодой студент. Его звали Джозеф Краскал.
Весной 1960 года, только что защитив докторскую диссертацию, Краскал доказал, что Игра деревьев гарантированно заканчивается после конечного числа ходов. Однако имейте в виду: хотя игра конечна, она легко может продлиться дольше жизни человека, планеты или даже галактики. Возможно, вам придется играть до смерти Вселенной и еще дольше.
Давайте играть. Идея в том, чтобы построить лес деревьев из определенного множества семян.
Вот типичное дерево.
Как видите, деревья — просто кружки, соединенные линиями. Кружки — семена, а линии — ветви. В нашем примере есть три разных типа семян: черные, белые и крестики. Правила игры таковы: когда вы строите лес, первое дерево должно иметь не более одного семени, второе — не более двух и т. д. Лес умирает, если вы строите дерево, которое содержит одно из предыдущих деревьев. У выражения «содержит одно из предыдущих деревьев» есть точное математическое значение, но, возможно, достаточно представить яблоню. Яблони могут стоять отдельно, а могут вырастать из других деревьях. Возможно, где-нибудь в лесу вы видите определенную яблоню, а затем обнаруживаете какую-то большую сосну, из ствола которой торчит точная копия этой яблони. Такая ситуация в Игре деревьев запрещена.
Чтобы дать более точное определение, сравним несколько деревьев и спросим, «содержит» ли одно из них другое. Например, рассмотрим следующие различные деревья.
Содержит ли дерево A дерево B? Ответ довольно очевиден. Конечно, дерево А содержит дерево B — это видно по верхним ветвям. А что насчет дерева С? Содержится ли и оно в дереве А? На первый взгляд кажется, что нет, но подумайте, что произойдет, если вы прикроете белое семя в центре дерева А. То, что остается, по сути является деревом С. Таким образом, в этом смысле вы можете утверждать, что дерево А действительно содержит дерево С.
Чтобы разобраться с ситуацией, нужно поближе взглянуть на свод правил. Чтобы одно дерево содержало другое, мы должны уметь сопоставлять соответствующие семена, как сделали в вышеприведенном примере, прикрыв белое семя дерева А. Но одного этого недостаточно. Соответствующие друг другу семена также должны согласовываться по своему ближайшему общему предку. Для любых двух семян на верхних ветвях дерева вы можете найти их ближайшего общего предка, прослеживая их родословную в сторону корня и обнаружив то семя, где эти две линии сходятся. Представьте, что семена — это вы и ваш двоюродный брат. Если вы пойдете по своим родословным, эти линии сойдутся у ваших общих бабушки и дедушки.