В итоге «Ливерпуль» выиграл Премьер-лигу, однако не обошлось без страхов. В марте 2020 года — всего за две игры до досрочной победы в чемпионате — сезон приостановили из-за ужасной вспышки коронавируса в Великобритании. Во время весеннего строгого локдауна по всей стране никто не знал, когда ситуация нормализуется. Футбол отошел на второй план, и я как болельщик «Ливерпуля» начал задаваться вопросом, не живем ли мы в каком-то неожиданном и маловероятном уголке мультивселенной Дэна.
Одно можно сказать наверняка: когда вы перейдете от футбола к физике, то окажетесь в весьма неожиданном месте. В мультивселенной физических миров наша Вселенная находится в самом невероятном из углов. Сюрпризы начинаются с открытия бозона Хиггса в ЦЕРН, однако уходят глубоко в кипящий бульон космического вакуума. Правда в том, что наша Вселенная столкнулась с необъяснимо малыми числами и ужасно невероятными результатами. Это требует объяснения. Если бы «Ливерпулю» не удалось выиграть Лигу, когда вероятность неудачи составляла всего 0,00002, вам было бы любопытно узнать, что пошло не так. Может быть, смертельно опасный вирус? Итак, именно тогда, когда мы сталкиваемся с крошечными числами и неожиданными свойствами нашей Вселенной, мы начинаем задавать вопросы. Что же делает частицу Хиггса такой смехотворно легкой? Почему бурлящий бульон вакуума так необъяснимо спокоен? Это повествование о неожиданных вещах, стремление понять крохотные числа в физике и разобраться в невероятной Вселенной, которой никогда не должно было существовать.
Начнем с нуля. По абсолютной величине ничего меньше нет.
Ноль — это симметрия.
Мы можем увидеть связь между симметрией и нулем, вообразив бухгалтерию какой-нибудь крупной организации. Бухгалтерские документы показывают, как приходят и уходят миллионы долларов. Если небрежно взглянуть на несколько отдельных трансакций, можно предположить, что поступления и расходы более или менее случайны. Однако в этих документах есть нечто странное: в конце каждого квартала главный бухгалтер сообщает, что прибыль в точности равна нулю. Иными словами, организация всегда выходит строго на уровень безубыточности. Как правило, такого не происходит: обычно мы ожидаем, что бухгалтерский баланс покажет прибыль или убыток, измеряемый миллионами. Это все равно что пытаться уравновесить на весах стадо африканских слонов и стадо индийских — весы обязательно склонятся в ту или иную сторону. Ноль в отчетах о прибылях и убытках компании указывал бы на идеальную симметрию между доходами и расходами, а это требует объяснения. Возможно, организация — благотворительный фонд, который провел строгий учет и решил направить всю свою прибыль на добрые дела. Дело в том, что такие исчезновения величин (в бухгалтерии, физике или стаде слонов) не происходят случайно. Всегда существует веская причина, и обычно она связана с симметрией.
Симметрия — это идеология природы. Взаимодействия субатомных частиц — строительных блоков для всего, что вы видите, — управляются симметриями Стандартной модели физики элементарных частиц. Ушедший XX век научил нас тому, что ключ к пониманию физики часто заключается в самых маленьких числах природы. Всякий раз, когда мы видим ноль или что-то неожиданно маленькое, мы начинаем думать о симметриях, которые могут нести за это ответственность.
Так что же такое симметрия?
Симметрии привлекают. И я имею в виду не только физиков. Люди считают симметрию физически привлекательной. Исследования показывают, что хорошее совпадение между левой и правой сторонами лица часто кажется красивым. Обычно это объясняется теорией эволюционного преимущества. Наши гены должны порождать симметричное лицо, однако процессу развития могут помешать другие факторы: возраст, болезнь, паразитарная инфекция. Все это признаки плохого здоровья. Именно поэтому нас привлекают симметричные лица: с эволюционной точки зрения мы стремимся спариваться со здоровым человеком.
На протяжении веков симметрия вдохновляла также и художников. Мы видим это в зеркальной и вращательной симметрии первобытных изображений, а также в величественных узорах Альгамбры — впечатляющего мусульманского дворца XIV века в испанском городе Гранада. Когда исламские мастера придумывали декор на полах и стенах Альгамбры, они создавали различные формы и узоры, демонстрирующие различные виды симметрии. Их можно сгруппировать по тем способам, какими они сочетают привычные симметрии отражения и вращения, а также менее известные трансляционные и скользящие симметрии[84].
Чтобы увидеть, как можно классифицировать по симметрии орнаменты Альгамбры, рассмотрите мозаику из Патио-де-лос-Аррайянес (Миртового дворика), показанную на следующем рисунке.
Танцующие летучие мыши в Патио-де-лос-Аррайянес в Альгамбре
У меня этот орнамент вызывает в воображении образ летучих мышей, танцующих тройками на фоне звездного неба. Однако настоящая красота — в его симметрии. Двигаясь слева направо или по диагонали, вы можете заметить, что он обладает трансляционной симметрией. На рисунке также полно тройных поворотов. Например, если вы сделаете треть оборота — повернете орнамент на 120 градусов вокруг центра любой звезды, — изображение не изменится. То же можно сделать с центром одного из белых шестиугольников или даже с точкой, где соприкасаются три мышиных крыла. Другими словами, у вас есть тройка из тройных поворотов, а также два параллельных переноса. Такую комбинацию симметрий математики называют группой p3. В честь летучих мышей Альгамбры назовем ее «вальс втроем».
Другие орнаменты могут содержать те же симметрии, что и «вальс втроем», но могут обладать и другими, и это сделает орнамент иным с математической точки зрения. Группируя различными способами вращения, отражения, переносы и скольжения, мы можем легко представить бесконечную Альгамбру математически различных узоров, бесконечное количество двориков, каждый из которых имеет рисунок с собственной группой симметрии. Различные группы, которые характеризуют эти орнаменты, по понятным причинам называются группами орнамента. Но вот неожиданный факт: исламские художники воспроизводили только семнадцать узоров. Это не особо похоже на бесконечность. На самом деле, если мы поищем по всем культурам, окажется, что никто и никогда не рисовал ничего сверх этих семнадцати орнаментов. На первый взгляд это странно. В конце концов, можно вообразить огромное количество различных способов соединять повороты, отражения, переносы и скольжения, поэтому вроде бы нужно ожидать, что количество групп орнаментов будет очень велико, а возможно, и бесконечно. Почему выдающиеся мастера изображали только семнадцать из них? Причина точно не в отсутствии воображения. Оказывается, у нашей математической красоты есть ограничения. Из-за необходимости повторять орнамент существует только семнадцать различных комбинаций, которые можно сшить в узор нужным образом. Это можно доказать с помощью так называемой магической теоремы математики[85]. Похоже, мусульманским художникам хватило изобретательности, чтобы запечатлеть абсолютно все орнаменты, которые могут существовать.
Это говорит нам о том, что симметрии — действительно особенные штуки. Они не просто разрешают какой-то старинный орнамент, и это справедливо и для искусства Альгамбры, и для космического искусства нашей неожиданной Вселенной. Если обнаруживается нечто особенное или неожиданное, то, скорее всего, виновата симметрия. Поскольку она становится ключом к разгадке тайн Вселенной, нам, вероятно, следует разобраться, что такое симметрия на самом деле. Когда я спросил свою старшую дочку, что ей приходит в голову при слове «симметрия», она ответила: «Квадрат». Я подумал, что это очень хороший ответ. В конце концов, у квадрата имеется какая-то четко определенная математическая красота. Если вы повернете его на девяносто градусов вокруг центра, он будет выглядеть точно так же. Он не изменится, если вы повернете его по диагонали или по прямой, проходящей через центры двух противоположных сторон. Именно это мы в реальности и подразумеваем под симметрией: вы воздействуете на объект каким-то нетривиальным образом, но это действие оставляет его неизменным. Например, для человеческого лица это действие заключается в зеркальном отражении, и действительно красивое лицо останется неизменным. Для плиток, изображающих танцующих летучих мышей в Альгамбре, такими действиями становятся параллельные переносы и тройные повороты.
А как же ноль? Существует ли действие, которое оставляет его без изменений? Если вы собираетесь думать о нуле как о вещественном числе, то одно из возможных действий в вашем распоряжении — смена знака. Иными словами, вы превращаете пять в минус пять, минус TREE(3) — в TREE(3) и т. д. Смена знака обычно переносит вас в другое место на числовой прямой, и единственное исключение — ноль. Когда вы меняете знак нуля, вы остаетесь в нуле. Иными словами, ноль — единственное вещественное число, симметричное относительно смены знака. Вы можете распространить эту идею на комплексные числа. Теперь вы можете утверждать, что ноль — единственное комплексное число, которое остается на месте при изменении аргумента[86]. Конечно, связь между нулем и симметрией гораздо глубже, чем несколько математических уловок. Как мы увидим, неожиданное появление нуля — способ природы сообщить вам, что в ткани нашего физического мира существует некая симметрия. И поскольку в симметрии есть красота, это должно означать, что красота заключается в нуле.
Так и есть.
Однако наши предки считали так не всегда. У нуля есть и другая сторона, о которой я также должен рассказать: история подозрительности и недоверия. Проблема в том, что древние ученые видели в нем глубину пустоты. Они видели там ничто, то есть отсутствие Бога и суть зла. Философ Боэций в ожидании казни в 524 году нашей эры писал: