Ни майяский, ни египетский нули не вышли за пределы своих цивилизаций. А вот вавилонскому это удалось: в годы, последовавшие за македонским завоеванием, вместе с золотом, женщинами и детьми, взятыми в рабство, в Грецию последовал и ноль. Греки записывали свои числа с помощью букв. Они обозначали буквами определенные числа (например, 1, 2 или 100), а с помощью различных сочетаний можно было получить другие числа (например, 101 или 102[89]). Позиционной системы у греков не было. Но даже после встречи с вавилонской системой мало кто обладал достаточным интеллектом, чтобы осознать ее преимущества, да и восхищение ею предпочитали скрывать. С помощью импортированного метода греческие математики начали выполнять более сложные расчеты, однако полученные результаты затем переводили обратно в свою старую систему. Что касается вавилонского нуля, то греки, безусловно, о нем знали и со временем придумали свой собственный знак , очень похожий на тот, который мы используем сегодня. Вероятно, это просто совпадение, поскольку символ не попал ни в одну из старых систем числительных. Греки усовершенствовали идею вавилонян, начав ставить нули и в конце чисел, однако они никогда не выпускали ноль на свободу — не признавали его отдельным самостоятельным числом. Если учесть прекрасную репутацию греческих математиков, естественно спросить, почему так получилось. На каком-то уровне это их просто не интересовало. В греческой математике доминировала геометрия, осязаемые отрезки и формы, поэтому трудно увидеть, где бы нашлась какая-нибудь роль для нуля. Но проблема лежала глубже. У греков было презрение и недоверие к нулю, а Запад позже с готовностью подхватил эстафету.
Это был философский вопрос.
Проблемы начались с Зенона Элейского[90]. Зенон принадлежал к философской школе, которую возглавлял его учитель Парменид, отвергавший идею изменения, утверждая, что движение, которое мы видим, — всего лишь иллюзия. Зенон применял эту мысль ко всему — гоночной колеснице, летящей стреле, водопаду, и ни одно из этих движений не оказывалось реальным. Конечно, это кажется абсурдом. Мы собственными глазами можем видеть окружающий нас разнообразный и меняющийся ландшафт. Однако Зенон сочинил несколько парадоксов, которые, казалось, доказывали, что, когда речь идет о познании истины, нашим чувствам доверять нельзя. Понимание и непонимание одного из парадоксов тесно связано с нулем, хотя на первый взгляд это и не заметно.
Мы расскажем свою версию этой истории. Ахиллес, величайший воин из греческой мифологии, соревнуется в беге с черепахой[91]. Он уверен в успехе, ведь его максимальная скорость составляет десять метров в секунду, а никто никогда не видел, чтобы его неторопливая соперница двигалась быстрее, чем один метр в секунду. Он решает дать рептилии фору и начинает забег, стоя позади конкурентки на десять метров. Пусть Ахиллес мгновенно набирает свою максимальную скорость и за одну секунду достигает той точки, с которой движение начала черепаха. Но черепахи там уже нет. Она продвинулась за эту секунду всего лишь на метр, но что ни говори, а Ахиллес ее пока не догнал. За десятую долю секунды Ахиллес пробежал недостающий метр, но черепаха за это время тоже продвинулась дальше — на этот раз на десять сантиметров. Когда Ахиллес преодолеет эти десять сантиметров, черепаха продвинется еще на сантиметр и т. д. С каждым новым шагом воин приближается, но, чтобы догнать черепаху, ему требуется бесконечное количество шагов. Иными словами, Ахиллес никогда ее не догонит.
Зенон озадачил современников. Ясно, что Ахиллес справится с проблемой и догонит черепаху за считаные секунды, но где ошибка в рассуждениях? Другие философы сочли, что дело в бесконечном числе шагов, — и были правы. Однако для решения проблемы бесконечности им также требовалась математика нуля, которой у них не имелось. Зенону было все равно. По его мнению, неспособность философов объяснить парадокс доказывала, что нашим чувствам нельзя доверять. Это был триумф школы Парменида.
Зенон умер насильственной смертью. Он жил в древнегреческом городе Элее, которым правил жестокий тиран Неарх. Зенон замыслил свергнуть правителя, но заговор был раскрыт, Зенона схватили и передали Неарху. От него требовали назвать имена других заговорщиков, но, как его ни пытали, он никого не выдал. Философ сообщил, что у него есть тайна, но, если тиран хочет ее услышать, ему придется подойти поближе. Когда тот наклонился, Зенон вцепился зубами в тирана и не отпускал. В результате философа закололи. Некоторые говорят, что он вцепился в ухо Неарха; другие говорят, что это был нос[92].
Спустя столетие о парадоксе Зенона начал размышлять Аристотель — отец западной философии. Он разобрался с ним, введя правило, что в природе никогда не может быть бесконечного количества. Зенон пытался поделить забег на бесконечное количество частей. Согласно правилу Аристотеля, эти кусочки сами по себе не являются реальностью — они всего лишь плод воображения Зенона. Реальным был только весь континуум забега, когда Ахиллес обгонял черепаху единым непрерывным движением.
В действительности Аристотель признавал возможность бесконечности, но утверждал, что этот потенциал нельзя реализовать. Чтобы понять, что он имел в виду, предположим, что вы разрезаете шоколадный торт. Вы можете резать его снова и снова, и в принципе можно представить, что вы сумеете проделать это бесконечное количество раз. Однако мы знаем, что в реальном мире у вас ничего не получится. Даже если мы признаем возможность достижения бесконечности, мы также знаем, что у вас никогда не получится торт с бесконечным числом бесконечно маленьких кусочков. Иными словами, вы можете держать бесконечность в уме, но не в руке. По мнению Аристотеля, Зенон застрял именно здесь.
С нашим современным пониманием нуля мы можем преодолеть разрыв между воображением Зенона и континуумом Аристотеля. Дело в том, что бесконечное количество шагов не означает автоматически бесконечное время. Иногда вы можете получить конечное время, когда число шагов стремится к бесконечности, но при этом сами шаги становятся все короче и короче, стремясь к нулю. Если мы внимательнее посмотрим на парадокс Зенона, то увидим, что Ахиллес завершает первый этап бега через 1 секунду, второй — через 1,1 секунды, третий — через 1,11 секунды, четвертый — через 1,111 секунды и т. д.; приращения становятся все меньше и меньше. Экстраполируя результат на бесконечное количество этапов, мы видим, что общее количество секунд составляет 1,111111111… Математически это эквивалентно 1 + 1/9 секунды[93]. Парадокс разрешен: Ахиллес не только догонит черепаху, но и сделает это менее чем за две секунды.
Если не осознавать должным образом, что такое ноль, это решение всегда останется за рамками понимания Аристотеля и других греческих философов. Однако прошло более 2000 лет, прежде чем парадокс Зенона поняли полностью. Определенную ответственность за это должен взять на себя Аристотель. Его отказ от бесконечности был первой из трех идей, которые привели к глубоко укоренившемуся в западном мышлении недоверию к нулю. Отвергая бесконечно большое, Аристотель отвергал и бесконечно малое — стремящиеся к исчезновению этапы в пределе забега Ахиллеса. Однако во второй части своей идеологической троицы он пошел еще дальше. Он отверг пустоту пространства и сущность ничего. Для средневековых умов, изучавших его работы, это стало отрицанием нуля.
Причина в том, что Аристотель воевал с атомистами — соперничающей философской школой, в которой считали, что материю нельзя делить до бесконечности. Атомисты утверждали, что материя состоит из крошечных неделимых кусочков (атомов), резвящихся в бесконечной пустоте. Это дало им альтернативный взгляд на парадокс Зенона: если материю нельзя бесконечно делить, как же Зенон мог делить забег на постоянно уменьшающиеся этапы? Атомистическая точка зрения принципиально расходилась с аристотелевской. Он считал, что материя непрерывна, она расширяется и сжимается, переходя между четырьмя основными элементами: землей, водой, воздухом и огнем. В его модели Вселенная была разделена на концентрические сферы: в центре расположены земные сферы, где живут люди, а на краю находятся небесные, где сверкают небесные тела — Луна, Солнце, планеты и звезды. Земные сферы представляют собой изменчивую тленную среду, разделенную на четыре слоя: в центре земля, далее слои воды, воздуха и, наконец, огня. Материя может переходить из одной формы в другую. Когда материя холодная и сухая, она становится землей; когда холодная и сырая — водой; горячая и влажная — воздухом; горячая и сухая — огнем. Меняя свою форму, материя перемещается по слоям, пока не находит свое естественное место: земля опускается к центру, а огонь поднимается вверх.
Вселенная Аристотеля не нуждалась в пустоте, а вот атомистическая Вселенная нуждалась: ей требовалось то, в чем могли бы двигаться частицы. Поэтому Аристотель приступил к дискредитации этой идеи. Он начал с размышлений о том, как твердые объекты падают на землю. Ученый заметил, что при падении через плотную среду (например, воду) они опускаются медленнее, чем при движении через разреженную среду. Он также утверждал, что более тяжелые предметы падают быстрее, чем легкие, — без сомнения, размышляя о камнях и перышках, опускающихся в воздухе. На основании этого он решил, что скорость падающего объекта должна быть пропорциональна простому отношению
У пустоты мгновенно возникли неприятности. Поскольку ее плотность равна нулю, все объекты должны пролетать сквозь нее с бесконечной скоростью, а пространство между атомами — бесконечно быстро заполняться. Это недопустимо, поэтому пустота не может существовать. Конечно, камень падает быстрее перышка не из-за своего веса, а из-за сопротивления воздуха. Тут крылась ошибка в рассуждениях философа, но это уже не имело значения: вред был нанесен. Для Аристотеля и его последователей пустоты не существовало. Не бывает бесконечности и не бывает нуля.