К моменту работы аль-Хорезми индийцы обозначали ноль уже не точкой, а кружком. Арабы узнали о нуле и остальных индийских цифрах около полувека назад, после визита послов из индийской провинции Синд ко двору багдадского халифа аль-Мансура в 773 году. Посольство из Синда привезло в подарок халифу копию книги Брахмагупты. Когда спустя десятилетия аль-Хорезми начал изучать этот трактат, ученый сразу же осознал его важность. Он начал изучать правила индийской арифметики, включая те, что касались нуля, и разработал алгоритмы для сложения, вычитания, умножения и деления. Само слово «алгоритм» происходит от algorismus — искаженной латинской передачи имени аль-Хорезми. Наследие аль-Хорезми так велико, что мы обычно называем современные цифры арабскими, несмотря на их индийское происхождение. Он взял неограненный индийский камень, отполировал его и поднял ввысь, так что тот ярко засверкал во всем исламском мире, а затем и за его пределами.
В надписи IX века в храме Чатурбхудж в Гвалиоре (примерно в 400 километрах к югу от Дели) можно мгновенно опознать число 270
Для описания нуля аль-Хорезми использовал слово сифр. От него произошло современное слово «цифра». Сифр — прямой перевод слова сунья, означавшего пустоту, которая так противоречила аристотелевскому учению. Мусульмане, безусловно, знали об Аристотеле и его доказательстве существования Бога. Почему же они не отвергли сифр? Почему не осудили ноль, как это было на Западе? Дело в том, что появились люди, которые начали сомневаться в Аристотеле. В начале X века стала развиваться новая школа исламского богословия. Ее основал Абу-ль-Хасан аль-Ашари — суннит, который отказался от Аристотеля ради его смертельных соперников атомистов. Это соответствовало предложенной аль-Ашари идее окказионализма — радикальной попытке навязать всемогущество Бога всей природе. Окказионализм заявляет, что все события вызваны Богом — от прыгающего мяча до человеческой мысли. Время разбивается на череду случайностей (каждая происходит по воле Бога), а материя распадается на атомы — жертвы этих случайных событий. В каждый конкретный момент Бог желает, чтобы произошли новые случайные события, и атомы выстраиваются соответственно. В некотором смысле такая философия перекликается с квантовой механикой. Движение атомов не детерминировано. Для ашаритов оно определяется волей Бога, а в квантовой теории фиксируется посредством измерения.
Самым знаменитым представителем ашаритской школы был Абу Хамид аль-Газали, которого многие считают муджаддидом — личностью, появляющейся раз в столетие, чтобы обновить веру исламского народа. В своем учении аль-Газали осудил аристотелевское мышление и аналогичные идеи, противоречившие всемогуществу Бога, объявив, что всех их последователей нужно предать смерти. Его влияние было таким, что положило начало концу натурфилософии в средневековом исламе в пользу жесткой религиозной линии. Однако, приняв атомистов и промежуточную пустоту, он позволил процветать сифру. Казалось, что Аллах одобрил ноль.
Всего за семь лет, в начале VIII века, Омейядский халифат неумолимо распространился по всему Пиренейскому полуострову. Создав Аль-Андалус[95], арабы открыли канал для попадания исламских знаний в Западную Европу. Однако преодолеть границу было непросто. Христианский и исламский миры часто находились в состоянии войны — от походов Карла Великого на север Испании в 778 году до Крестовых походов XI, XII и XIII веков. Большую часть этого времени христиане по-прежнему использовали римские цифры и мало интересовались еретическим нулем. Они оставались преданными Аристотелю, его отрицанию пустоты и доказательству существования Бога. Ноль бросал этому вызов. Он бросал вызов их вере.
Ситуация начала меняться к концу XII века, когда торговец из Пизы Гульельмо Боначчо был назначен представителем пизанской торговой конторы в средиземноморском городе Беджая в Алжире. Он решил взять с собой сына Леонардо. Арабский мир был интеллектуальным плавильным котлом, и сын мог как минимум научиться пользоваться абаком — средневековыми счетами. Однако Леонардо научился гораздо большему. Он влюбился в арабскую математику и индийские цифры, и эта любовь навеки прославила его. Вы, наверное, знаете его под другим именем.
Фибоначчи.
Под этим именем он прославился случайно. Леонардо подписал свою работу «filius Bonacci», что означает «сын Боначчо», а сокращение этих слов стало ошибочно восприниматься как фамилия. Однако при жизни он никогда не именовался Фибоначчи. Он называл себя Биголло, что, вероятно, означало «странник». Подходящее прозвище, ведь Фибоначчи много путешествовал — по Сицилии, Греции, Сирии и Египту, — собирая повсюду знания. На рубеже XII–XIII веков, когда ему было около тридцати лет, он решил вернуться в Пизу и начал работать над своим шедевром. Через два года, в 1202 году, появилась Liber Abaci — «Книга абака». Это был трактат о математике, которую он изучал в арабском мире: об алгебре и арифметике, о применении математики в торговле и о чудесных индийских цифрах, к которым он питал такое почтение. В начале первой главы он писал:
Девять индийских форм суть следующие:
9 8 7 6 5 4 3 2 1
С помощью этих девяти форм и с помощью знака 0, который по-арабски называется zephirum[96], можно записать какое угодно число.
Обратите внимание на разделение. Фибоначчи говорит о нуле как о знаке, отдельном от остальных девяти форм[97]. Конечно, он знал о работе Брахмагупты, сделавшей ноль отдельной цифрой, но все же не смог заставить себя уравнять его с остальными индийскими цифрами. Это было слишком эксцентрично. Каким бы просвещенным математик ни был, он, очевидно, все еще нервничал из-за нуля. Однако в целом это уже не имело значения. Ноль и другие индийские цифры наконец прорвали линию обороны. Они попали в христианский мир.
Значительная часть книги Фибоначчи посвящена математике торговли, использующей восточные алгоритмы для расчета прибыли и процентов или конвертации валют. Несмотря на очевидные преимущества, европейские торговцы не спешили брать на вооружение эти методы. Многие по-прежнему предпочитали работать с римскими цифрами, используя абак или счетную доску, на которой раскладывались бусины или камешки. Началось соперничество между абакистами, которые цеплялись за старые способы подсчета, и алгоритмистами, пользовавшимися вычислительной мощью восточной математики.
И власти, и обычные люди не доверяли этому таинственному заимствованию с Востока. В 1299 году во Флоренции индийские цифры были запрещены — во избежание мошенничества, ведь ноль можно легко изменить на шестерку или девятку. Однако запрет не остановил алгоритмистов. Они продолжали использовать эти цифры в частном порядке, вызывая при расчетах дух аль-Хорезми. Сначала их считали безбожниками, которые тратят больше времени на свои алгоритмы, чем на молитву. Но, как всегда, выгода для торговли перевесила, и власть уступила. Ноль и остальные индийские цифры оказались слишком мощными инструментами, и игнорировать их не получилось. Они были обречены на успех.
Даже церковь, похоже, была готова к переменам. В XIII веке парижские епископы выпустили ряд осуждений — документов о различных еретических учениях, которые могли привести к отлучению ученых от церкви. Там оказались и тексты Аристотеля — человека, который когда-то вдохновлял своим доказательством существования Бога таких богословов, как святой Фома Аквинский. В идеях Аристотеля епископы начали усматривать вызов всемогуществу Бога, как и мусульмане несколькими веками ранее. В осуждении 1277 года епископ Этьен Тампье рассматривал вопрос о движении небес. Аристотель говорил, что их невозможно перемещать по прямой линии, поскольку такое движение оставляет вакуум, заполненный пустотой, которую он категорически отвергал. Для Тампье это была явная ересь. Бог может сделать все, что желает. Он может сдвинуть небеса, как ему угодно; он способен создать вакуум. Кто такой Аристотель, чтобы утверждать обратное?
Местами позиции Аристотеля в христианской философии оставались сильными, однако его влияние начало разрушаться. Если христиане могли принять пустоту, они могли принять и ноль. Однако долговременные перемены и принятие нуля осуществили не парижские епископы. Это сделали бухгалтеры.
Они изобрели двойную запись.
В каком-то смысле такое окончание истории нуля разочаровывает, однако именно так он в итоге и победил. Двойную бухгалтерию придумали для учета растущих сложностей в торговле. Самые старые сохранившиеся бухгалтерские книги с ее применением относятся к счетам казначейства Генуэзской республики (1340 год). Система была простой, но гениальной. В одной колонке вы подсчитываете свои активы, в другой — пассивы, и при правильном учете разница должна быть нулевой[98]. Эта система использовала сильные стороны алгоритмистов, располагавших положительные и отрицательные числа по обе стороны от выделенного нуля. В 1494 году отец бухгалтерии, францисканский монах Лука Пачоли, изложил этот метод в своем легендарном учебнике по практической математике. Он выразил числами все — дебет, кредит и даже нулевой баланс. Больше не было места для аргументированных споров. Ноль восторжествовал, но не в результате взрыва или насильственного ниспровержения религиозных идеалов, а в результате торговой уловки и потребности добиться баланса в бухгалтерских документах.
Что такое ноль? Наши предки говорили, что это пустота — проклятая на Западе из-за отсутствия Бога и благословляемая на Востоке из-за безмолвного совершенства. Возможно, вы скажете, что ноль — просто число вроде единицы, двойки или числа Грэма. Но тогда я вынужден спросить: что такое число? До того как древние шумеры высвободили числа, их всегда держали рядом с чем-то другим: пять хлебов, пять рыб, пять кувшинов масла. Прорыв произошел, когда шумеры определили общий признак у всех этих совокупностей: отдельное число пять. Связь между числами и вещами, которые они считают, разорвать трудно. Действительно ли пятерка, которая подсчитывает количество хлеба, — это та же самая пятерка, которая обозначает количество рыбы?