Теология постепенно уступала место современным научным идеям, но мало кто имел желание бросить вызов бесконечности. Многие математики эпохи Возрождения пытались использовать потенциал бесконечности в духе Аристотеля, но не осмеливались прикасаться к ней. Они довольствовались тем, что приближались к бесконечности, рассматривая всё большие числа, но никогда не спрашивали о самой бесконечности.
Но Галилей был другим.
Он уже расстроил власть раньше. В своем «Диалоге о двух главнейших системах мира» Галилей выступил против католической церкви, приводя доводы в пользу коперниканского мировоззрения — с Солнцем в центре и Землей на периферии. Его книга организована в форме разговоров между тремя людьми: это ученый Сальвиати, пытающийся убедить друзей в гелиоцентрической модели; отсталый простак Симпличио, которого многие считали изображением папы; и нейтральный обыватель Сагредо. Инквизиция во главе с племянником понтифика, кардиналом Франческо Барберини, быстро отреагировала на оскорбление. Галилею приказали явиться в Рим и предстать перед судом за ересь.
К счастью, у великого ученого имелись влиятельные друзья. В защиту Галилея хотел выступить великий герцог Тосканы, и ему даже предложили убежище в Венецианской республике. Возможно, из-за самонадеянности или наивности Галилей отклонил все эти предложения и решил защищаться перед инквизицией. Он полагал, что покойный кардинал Беллармин дал ему разрешение опубликовать эти идеи, и даже имел подтверждающее письмо. К сожалению, детали не совсем соответствовали копии письма, хранившейся в Ватикане. Вскоре инквизиция признала его виновным и потребовала, чтобы ученый отказался от своей работы под угрозой пыток и смерти. Говорят, когда Галилей преклонил колени, отвергая коперниканскую точку зрения, он с вызовом пробормотал: «E pur si muove. А все-таки она вертится»[155].
Галилей провел остаток жизни под домашним арестом, написав в это время свой последний шедевр — трактат «Беседы и математические доказательства двух новых отраслей науки». В этой работе он развил свои идеи о движении, создав фундамент, на котором другие ученые — от Ньютона до Эйнштейна — в конце концов возвели башню современной физики. Именно в этой последней книге Галилей отважился прикоснуться к бесконечности. Как и ранее, его труд имел вид беседы между теми же персонажами, хотя на этот раз, после судебного процесса, Симпличио оказался несколько умнее, чем раньше.
В тексте Галилея Сальвиати предлагает двум друзьям подумать о бесконечном семействе квадратных чисел. Симпличио, связанный узлами Аристотеля, недоволен безрассудным отношением Сальвиати к бесконечности. Однако Сагредо побуждает его продолжать, и вскоре Сальвиати приходит к парадоксу. Если вы возьмете все целые числа от 0 до 15, то увидите, что только четыре из них — квадраты: 0, 1, 4 и 9. А если вы возьмете целые числа от 0 до 99, вы обнаружите, что только десять из них — квадраты. Если мы экстраполируем эту ситуацию на бесконечность, возникает соблазн сказать, что целых чисел гораздо больше, чем квадратов. В конце концов, каждое квадратное число — одновременно и целое, а вот обратное неверно.
Вот только сейчас мы имеем дело с бесконечностью, а бесконечность кусается.
Сальвиати понимает, что каждый квадрат можно сопоставить с квадратным корнем из него. Например, 0 → 0, 1 → 1, 4 → 2, 9 → 3 и т. д. При таком методе мы можем превратить семейство квадратных чисел в семейство натуральных: 0, 1, 2, 3 и т. д. Дело в том, что соответствие между двумя этими семействами взаимно однозначно: каждому квадрату соответствует натуральное число, определяемое квадратным корнем из него, и каждому натуральному числу соответствует квадрат. Это должно означать, что семейства имеют одинаковый размер! Это верно, но Сальвиати не хочет поспешно делать такой вывод и предпочитает говорить о двусмысленности: он решает, что к бесконечным количествам неприменимо любое сравнение — больше, меньше или равно. Но на самом деле такие сравнения вполне можно проводить, если придерживаться определенного набора правил. Мы говорим о равенстве всякий раз, когда существует взаимно однозначное соответствие между семействами, или множествами, как позже станут их называть. Может показаться нелогичным, когда бесконечное семейство сопоставляется только с какой-то частью себя, а не со всем семейством, но это не приводит к математическим авариям. Вот почему мы можем сказать, что натуральных чисел ровно столько же, сколько и четных, или квадратов, или степеней числа TREE(3).
Только через двести лет после этих галилеевских оккультных занятий бесконечностью стали появляться люди, обладавшие достаточной смелостью или глупостью, чтобы идти по этому пути. Предупреждения держаться подальше от таких оккультных практик исходили от самого высокого авторитета — Карла Фридриха Гаусса, прозванного королем математиков, Princeps Mathematicorum. В своем письме соотечественнику Генриху Шумахеру в 1831 году Гаусс предупреждал: «В математике бесконечную величину никогда нельзя использовать как нечто законченное. Бесконечность — всего лишь façon de parler[156], когда на самом деле говорят о пределах, к которым одни соотношения подходят сколь угодно близко, а другие могут расти без ограничений». Однако один католический священник из Праги, лишенный всех своих постов, думал иначе. Его звали Бернард Больцано.
Больцано был сыном итальянского торговца произведениями искусства, набожного католика, тоже носившего имя Бернард. Отец использовал свое состояние, чтобы помогать бедным; он основал сиротский приют в Праге, куда приехал жить. Эти поступки оказали огромное влияние на Больцано, который значительную часть своей взрослой жизни боролся за справедливость и равенство. А еще он боролся с бесконечностью.
По собственному признанию, Больцано был угрюмым больным ребенком, с нарушениями зрения и сильными головными болями. В школе он не выделялся в учебе и не имел популярности у сверстников. У других людей такая изоляция могла бы привести к замкнутости, но ему она, похоже, дала независимость мышления и редкую способность бросать вызов устоявшимся представлениям. В юности Больцано получил степень доктора богословия и вскоре после этого был рукоположен в католические священники. Он быстро заработал репутацию свободомыслящего христианского философа и в двадцать четыре года получил должность заведующего кафедрой истории и философии религии в Карловом университете в Праге. Больцано никогда не разделял христианский мистицизм, а свою веру оправдывал моральными соображениями, помогая прийти к добру в обществе, испорченном жестокостью и лишениями. В то время Прага находилась под сильным влиянием религиозного консерватизма, и в последующие годы он, подобно Галилею, перестал устраивать власть. Больцано проповедовал своим ученикам пацифизм и своеобразную форму социализма. Это в основном оставалось незамеченным, пока видный богослов Якоб Фринт, духовник императора в Вене, не предложил Больцано использовать в преподавании свою новую книгу. Больцано отказался: на его взгляд, книга была неполной и слишком дорогой для студентов. Обиженный Фринт начал настраивать людей против Больцано, указывая на радикализм проповедей и отказ принять консервативные христианские ценности. Больцано пользовался поддержкой друга, архиепископа Праги, но кампания против него продолжалась. Он придерживался своих убеждений и по-прежнему выступал против войны, частной собственности и богемских властей, и в конце концов произошло неизбежное: его уволили и попросили покинуть университет. Тогда Больцано было чуть за сорок. Уехав из Праги в деревню, он отвернулся от религии и обратился к математике — к бесконечности.
Он задал себе простой вопрос: если бы он держал в руке бесконечность, что бы это было? Гаусс и другие объявляли ее изменчивой сущностью, переменной величиной, которая растет и растет, никогда не останавливаясь, не достигая своего предела. Больцано отверг это: переменное количество — вовсе не истинное, а только идея количества. Этого недостаточно, это все равно что сказать, что у вас x яиц в корзине даже после того, как вы их уже пересчитали!
Больцано осознал, что семейство натуральных чисел — подлинный объект, актуальная бесконечность, которую он мог использовать для количественной оценки других бесконечностей. Он понял: всё, что можно взаимно однозначно сопоставить с этим семейством, тоже должно быть актуальной бесконечностью. Чтобы выразить это строже, он начал развивать идею множества. Множество — просто совокупность каких-то объектов, например «четыре всадника Апокалипсиса» или «команды, которые играют в Премьер-лиге». Это примеры конечных множеств: в Библии описано четыре всадника Апокалипсиса, а в Премьер-лиге играют двадцать команд. Но Больцано был готов рассматривать и бесконечные множества, например множество натуральных чисел или действительных чисел от нуля до единицы. Он был убежден, что эти объекты реально существуют. Не имело значения, что вы не могли разделить их и вообразить себе все их отдельные части. Как замечал Больцано, разумно говорить о множестве людей, живущих в Праге, не имея мысленного представления о каждом отдельном человеке. Аналогичную логику он применил и к своим бесконечным множествам.
Больцано начал играть на своей бесконечной игровой площадке. Двумя веками ранее Галилей открыл парадокс, продемонстрировав взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел и множеством квадратов. Но Больцано пошел дальше. Он обратился к континууму и обнаружил собственный парадокс: чешский математик показал, что между 0 и 1 находится столько же действительных чисел, сколько между 0 и 2. Он сделал это примерно так. Математик начал с меньшего интервала от 0 до 1 и удвоил каждое число. Например, 0 → 0, 0,25 → 0,5, 0,75 → 1,5, 1 → 2 и т. д. Это дало ему новое множество чисел, которое заполнило все пространство между 0 и 2. Он также понял, что может обратить эту процедуру: перейти от большего интервала к меньшему путем деления каждого числа пополам. Все это может показаться очевидным, однако Больцано создал простое взаимно однозначное соответствие между двумя континуальными множествами — точно так же, как это сделал Галилей со множеством натуральных чисел и квадратов. Используя логику взаимно однозначного соответствия, мы можем утверждать, что между 0 и 1 имеется столько же действительных чисел, сколько между 0 и 2, или 0 и числом TREE(3), или даже между гуголом и числом Грэма.