Хотя Клаузиус объяснил, что делает энтропия, он не рассказал, что это такое. Так что же это? И какое отношение она может иметь к двойникам? Чтобы по-настоящему понять энтропию, нам нужно глубже заглянуть в двигатели промышленной революции, нужно посмотреть на газ внутри них.
По большей части газ – это ничто, обширное пространство пустоты, в котором беспорядочно перемещаются атомы и молекулы. Вы можете вообразить рой сердитых насекомых, запертых в пустом сарае, беспорядочно летающих от стены к стене слева направо и справа налево, сталкивающихся, падающих и снова поднимающихся. Чтобы представить, как газ становится все горячее, нужно вообразить, что эти мухи летают все быстрее. Под температурой понимается средняя кинетическая энергия, которая за счет движения есть у каждой молекулы (в нашем примере – у каждого насекомого). Время от времени при своем беспорядочном перемещении насекомые сталкиваются и упруго отлетают друг от друга. Они случайным образом отражаются от стен и предметов, и эта совокупная сила ощущается как давление. Если бы вы попали в этот сарай, они налетали бы на вас и вы бы ощущали их коллективное прикосновение. Если насекомых в сарае будет больше, они начнут налетать на вас чаще, касания станут сильнее, давление будет расти. Если мы начнем набивать ими сарай все больше, то такое давление раздавит вас и уничтожит. Как известно, именно такой ужас творится на Венере, где давление воздуха в девяносто раз выше, чем на Земле. Если вы окажетесь там, молекулы местного воздуха мгновенно раздавят вас насмерть.
Эту «насекомообразную» модель газа предложил в 1738 году Даниил Бернулли, швейцарский принц из аристократического Дома науки, в который входили его отец Иоганн и дядя Якоб – пионеры математического анализа и теории вероятностей[30]. Модель Бернулли позволила ему вывести из механики молекулярных столкновений закон Бойля, дающий соотношение между давлением и объемом газа. Несмотря на этот успех и солидное положение физика в научных кругах, другие ученые восприняли модель Бернулли не особо приветливо. В XVIII веке большинство физиков все еще придерживались модели теплорода, где температура определялась как плотность этого флюида. Они не понимали, зачем Бернулли представил теплоту как форму энергии, заключенной в микроскопическом движении мельчайших частиц. В конце концов, это происходило за целый век до Майера и его кровопускательных прозрений. Бернулли просто опередил свое время.
Чтобы еще больше усложнить жизнь Бернулли, его отец Иоганн попытался украсть работу сына, неправильно датировав собственную (более позднюю) рукопись, чтобы казалось, что она была написана раньше. Дух соперничества со стороны Иоганна и раньше портил отношения между ним и Даниилом. В 1733 году их самостоятельные работы поделили награду Парижской академии. Этот компромисс так разозлил Иоганна, что он порвал с сыном.
Когда теория теплорода умерла от руки Клаузиуса, блестящую идею Даниила Бернулли ждало возрождение. В частности, ею занимались трое ученых: Максвелл, маэстро электричества и магнетизма; тихий американец Джозайя Уиллард Гиббс; и в первую очередь – Людвиг Больцман, измученный гений, который в конце концов покончил с собой.
Клаузиус, Максвелл, Больцман, Гиббс и другие физики начали применять к модели Бернулли статистические методы. В конце концов, она описывала газ, где многочисленные беспорядочно движущиеся частицы отскакивали и прокладывали себе путь сквозь пустое пространство. Эти ученые показали, как из микроскопического хаоса могут возникать коллективные явления. Как и в случае гигантских стай скворцов, где не видны отдельные птицы, температура и давление в газе не определены в базовом микромире, однако проявляются на макроуровне благодаря силе больших чисел. Температуру можно воспринимать через среднюю кинетическую энергию молекул и то, как она изменяется вместе с энтропией. Но как насчет самой энтропии? Что это?
Энтропия – то, что учитывается[31].
Я говорю в буквальном смысле. Как объяснил Больцман, энтропия – на самом деле подсчет микросостояний. Микросостояние похоже на итоговую перепись для какого-нибудь макроскопического объекта; оно говорит вам все, что нужно знать о расположении всех атомов и молекул, где они находятся и что делают. Когда мы рассматриваем какой-то объем газа (или яйцо, или динозавра), мы знаем, что он состоит из множества мельчайших частиц. Каждый атом находится в той или иной точке, вращается определенным образом, двигается с определенной скоростью через короткие промежутки пространства, и таких атомов миллиарды и миллиарды. При этом сами атомы состоят из строительных блоков, имеющих, разумеется, собственные свойства. Чтобы полностью описать газ, яйцо или динозавра, вы можете создать (если сошли с ума) гигантский массив данных, перечислив положение, скорость, спин[32], любимый цвет, книги, музыку и любые иные характеристики для миллиардов строительных блоков в этой системе. Такой массив данных будет описывать конкретное микросостояние, предоставляя вам полную и точную информацию о рассматриваемом объекте.
Но дело вот в чем: даже если вы измените положение нескольких атомов здесь или там, никто этого не заметит. Яйцо будет выглядеть точно так же, объем газа сохранит ту же температуру, а динозавр по-прежнему останется трицератопсом, который должен был умереть 65 млн лет назад. Когда мы смотрим на крупные объекты, глупо беспокоиться обо всех мелочах. Энтропия – мера этой скрытой детальности. Она учитывает все микросостояния, которые поддерживают неизменность макроскопических свойств объекта. Со временем, когда яйцо или динозавр начинают распадаться, превращаясь в пыль, пропадает все больше их микроскопических деталей. Глядя на пыльные останки, все труднее отличить одно возможное микросостояние от другого. С тревожной неизбежностью количество микросостояний яйца или динозавра со временем увеличивается. Так растет энтропия: всегда возрастает и никогда не уменьшается.
Энтропия не обязательно связана с молекулами и атомами. Мы можем говорить об энтропии в любом контексте, пока существуют какие-то микросостояния и мы можем их подсчитать. Возьмем, например, программное обеспечение для распознавания лиц. Мой телефон признает меня, хотя я не всегда принимаю точно такое же выражение лица, как при регистрации. Он отбрасывает все лишние данные и считает множество чуть-чуть различающихся моих изображений одним и тем же объектом. Если бы вы сосчитали все изображения, то получили бы меру энтропии для моего лица.
Вот более количественный пример: в английской Премьер-лиге играют двадцать футбольных команд, которые в ходе сезона проводят с каждым из соперников по одному матчу дома и на выезде. В общей сложности получаем 20 × 19 = 380 матчей за сезон, каждый заканчивается одним из трех возможных исходов: победа дома, победа на выезде или ничья. Это означает, что существует 3380 разных вариантов футбольных сезонов. Однако многие из них приведут к одинаковой турнирной таблице, если нас интересует только количество очков, набранных чемпионами, занявшими второе место, и т. д. Мы можем думать о различных исходах как о микросостояниях и для любой итоговой таблицы подсчитать все способы, которые приводят к одному и тому же распределению очков. Это дало бы нам меру энтропии для Премьер-лиги.
Математика Премьер-лиги с двадцатью командами слишком сложна, чтобы разобраться в ней во всех подробностях, поэтому сократим число команд и представим урезанную лигу, в которой всего два соперника: «Ливерпуль» и «Манчестер Юнайтед». Ради математической простоты мы уберем все остальные команды, включая «Эвертон», «Арсенал», «Тоттенхэм Хотспур» и даже живущий на нефтяные деньги «Манчестер Сити». В сезоне такой ужатой Премьер-лиги состоятся всего две игры, а значит, возможны всего девять разных исходов. Если нас не беспокоит вопрос, кто на первом месте, а кто на втором, разные результаты матчей могут привести к одинаковой турнирной таблице. Поскольку за победу начисляется три очка, за ничью – одно, а за поражение – ноль, девять возможных исходов дадут четыре разные турнирные таблицы, как показано на следующем рисунке.
Посмотрим на таблицу A, где чемпион набирает шесть очков, а команда, занявшая второе место, не получает ни одного. Это можно реализовать двумя способами: «Ливерпуль» выиграет оба матча или проиграет оба. Иными словами, есть два разных микросостояния, которые дадут одну и ту же турнирную таблицу. Такой подсчет дает нам меру энтропии для таблицы А. Или, точнее, ее дает нам натуральный логарифм числа состояний.
Мне нужно быстренько объяснить, что такое логарифм. Логарифм числа X по основанию a (обозначается logaX) – такое число b, что ab = X, то есть степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получилось X. Например, если мы возьмем основание 10, то логарифм 100 по основанию 10 равен 2, поскольку 102 = 100, и мы можем написать log10100 = 2. Если в качестве основания логарифма берут число Эйлера e ≈ 2,71828, то обычно используют обозначение ln и говорят о натуральных логарифмах. Например, lne2 = 2, lne3 = 3, lne0,12 = 0,12 и т. д. Натуральные логарифмы в науке используют гораздо чаще, чем десятичные.
Больцман предложил формулу для энтропии, использующую натуральный логарифм: S = lnW, где W – количество соответствующих микросостояний или количество способов. Вернемся к сокращенной Премьер-лиге. Энтропия таблиц A и C равна ln2 ≈ 0,693, энтропия таблицы B составляет ln4 ≈ 1,386, а энтропия таблицы D равна нулю (поскольку ln1 = 0). Точно так же мы считаем состояния и энтропию, когда говорим о яйцах или динозаврах. Единственная разница заключается в используемых числах. Количество микросостояний, которые могли бы описать съеденное на завтрак яйцо (или динозавра!), крайне велико; там понадобятся гуголы, в отличие от чисел 1, 2 и 4, которые обнаружились у нас для результатов двух команд в Премьер-лиге.