– Тогда, значит, Бог может содеять зло?
– Нет, – сказал я.
– Стало быть, зло есть ничто, если его не может содеять Тот, Кто может все[87].
В средневековом сознании Боэция ноль не был тем объектом красоты, каким он представляется мне.
Это был сам дьявол.
А теперь время для дьяволов. Пора рассказать историю прекрасного числа с самого начала, раскрыть правду о его нелегком путешествии сквозь паранойю человеческой истории. Мы будем двигаться шаг за шагом, переходя от одной древней цивилизации к другой, от Месопотамии к Греции, от Индии к Аравии, пока наконец не дойдем до дьяволов и бухгалтеров Западной Европы. Каждый шаг расскажет свою историю: в некоторых случаях ноль будут славить, но чаще презирать. История ничего начинается в Плодородном полумесяце на территории современного Ирака – с рождения чисел.
Именно здесь, в Шумере, в Древней Месопотамии, более 6000 лет назад зародилась древнейшая в мире цивилизация. Древние шумерские города-государства Урук, Лагаш, Ур и Эриду находились между реками Тигр и Евфрат, в районах с развитым сельским хозяйством. Как и в Египте, математика потребовалась местной цивилизации, похоже, раньше литературы, и самые ранние записи – нумерованные инвентарные списки, а не тексты. Иначе говоря, первыми были бухгалтеры. В истории нуля они также окажутся последними.
Около 3000 года до нашей эры шумерские счетоводы стали выдавливать знаки на глиняных табличках. Если они хотели зафиксировать пять хлебов и пять рыб, то делали пять изображений хлеба и пять изображений рыбы. Первый крупный интеллектуальный скачок произошел, когда люди отделили число от объектов, которые приходилось считать. Иными словами, они отображали пять хлебов с помощью числа, обозначавшего пять, и символа хлеба. Если им требовалось указать пять других предметов, они понимали, что могут взять то же число, а значок хлеба заменить значком рыбы, кувшина с маслом или любого иного требуемого объекта. Шумеры разработали идею освобожденного числа, существующего отдельно, не зависящего от подсчитываемых предметов. Идею такого абстрактного числа легко счесть само собой разумеющейся, поскольку она прочно укоренилась в современном мышлении, однако для самых ранних цивилизаций она оказалась принципиально новой и в высшей степени мощной.
Благодаря этому прорыву шумеры начали разрабатывать систему счисления, основанную на числе 60, введя отдельные символы для 1, 10, 60, 600, 3600 и 36 000. По сути, мы не знаем, почему они выбрали преимущественно шестидесятеричную систему. Самая популярная теория, восходящая еще к Теону Александрийскому (около 335 – около 405 года нашей эры), состоит в том, что число 60 было взято из-за большого количества делителей. Какова бы ни была причина выбора, наследие этой системы счисления сохранилось до сих пор: сейчас у нас шестьдесят секунд в минуте и шестьдесят минут в часе.
В этой ранней системе записи не было особых хитростей. Шумеры просто добавляли символы, пока не получали нужное число. Например, если они хотели изобразить число 1278, они дважды рисовали число 600, затем 60, 10 и восемь раз по 1. Этот способ не особо удобен. Все изменилось примерно в 2000 году до нашей эры, когда математики Месопотамии совершили следующий крупный интеллектуальный скачок: они начали осознавать важность положения цифр. Шумеры и их вавилонские преемники начали разрабатывать новую систему счисления, основанную всего на двух знаках: стоячий клин означает 1, а лежачий – 10. Однако принципиально важно то, что на общий смысл влияло относительное положение знаков. Например, рассмотрим число 56. Оно записывается пятью копиями лежачего клина (10) и шестью копиями стоячего (1).
(5 × 10) + (6 × 1) = 56
Это не кажется особо интеллектуальным. Но предположим, что мы переместим два стоячих клина влево следующим образом.
(2 × 60) + (5 × 10) + (4 × 1) = 174
В этом случае вавилонские математики интерпретировали два клина иначе: это уже не две единицы, а две шестидесятки. Получается число 174. В результате они разработали шестидесятеричную систему счисления, в которой относительное положение цифр показывает соответствующую степень числа 60. Вот еще один пример.
(1 × 602) + (3 × 60) + (4 × 10) + (2 × 1) = 3822
Это была самая умная система счисления на тот момент. Причем крайне эффективная, поскольку позиционная система значительно уменьшила количество символов, необходимых для выражения чисел. Однако кое-что отсутствовало. А точнее, отсутствовало ничто. Я объясню это на примере следующей истории.
Один жрец вызвал вавилонского математика и попросил записать число пожертвований, принесенных в храм. Мешок зерна. Резьба по дереву. Слоновая кость, шелк и драгоценные металлы. Математик все считает и получает в общей сложности 62 подношения. Поскольку 62 = (1 × 60) + (2 × 1), он оттискивает на глиняной табличке следующие символы и подает священнику.
На следующей неделе приношений оказывается гораздо больше. Больше украшений, золота, вина и пищи. Математика снова просят подсчитать их и зафиксировать на глиняной табличке.
Закончив подсчеты, он берет стило и оттискивает следующие знаки.
Жрец в ярости. Очевидно, что человек, который считал, смошенничал. На этой неделе пожертвований было гораздо больше, а число на табличке – то же. Священника так просто не одурачить, и он требует смерти математика. Математика тащат на казнь, но он заявляет о своей невиновности: он насчитал 3602 приношения, то есть действительно гораздо больше, чем 62, которые были на предыдущей неделе. Однако в шестидесятеричной системе счисления 3602 = (1 × 602) + (2 × 1), так что записать это число можно только так, как он и сделал. Жрец, как и большая часть вавилонского общества, не разбирался в деталях новой позиционной системы счисления. По его мнению, математик дважды написал одно и то же число. Он пытался обдурить храм. В результате ничто не могло помочь математику. Хотя как раз ничто – я имею в виду ноль – и могло бы его спасти.
В шестидесятеричной системе мы имеем 3602 = (1 × 602) + (0 × 60) + (2 × 1), так что на самом деле следовало бы писать сначала один , затем ноль, а затем еще . Тогда была бы видна разница с числом 62 = (1 × 60) + (2 × 1), в записи которого стоят сначала , а затем . Однако древние вавилоняне отмечали ноль, просто оставляя пустое место, и это место не всегда было достаточно большим. По их мнению, контекст давал возможность понять неоднозначность. Как показывает печальная история храмового математика, такая система может легко дать сбой. Глядя на табличку, жрец не смог сказать, идет ли после первого символа бессмысленное пустое место или это вполне осмысленный ноль.
Позиционная система счисления Древнего Вавилона – блестящий образец математики, однако отсутствие символа нуля было принципиальным пороком. Примерно к 1600 году до нашей эры ею перестали пользоваться, и больше 1000 лет система бездействовала. Возрождение произошло после того, как в IV веке до нашей эры в Месопотамию пришла армия Александра Македонского. На пике своего могущества Александр внезапно умер во дворце Навуходоносора в Вавилоне – в возрасте всего тридцати двух лет. В последовавшие кровавые годы полководцы царя поделили государство, и огромная азиатская его часть досталась Селевку, который основал государство Селевкидов, просуществовавшее с 312 года до нашей эры до римского завоевания в 63 году до нашей эры. Именно в этот период месопотамские математики сделали свой третий значительный интеллектуальный скачок. Они заново открыли для себя великолепие позиционной системы и приправили ее замечательным новым ингредиентом.
Каждый раз, когда вы видите этот символ в числе, его нужно считать пустым местом для разряда, соответствующего 60 или 3600 – в зависимости от положения. Это был ноль, но не отдельная цифра, обозначающая его, а указатель пустого места. Если бы наш древний математик знал такой символ, то избежал бы гнева священника. Он мог записать число 3602 более понятно.
(1 × 3600) + (0 × 60) + (2 × 1) = 3602
Новый символ нуля отчасти устранял неопределенность, от которой страдала позиционная система счисления. Он давал математикам и астрономам Древнего Вавилона беспрецедентные вычислительные возможности, хотя в целом не прижился. Как ни странно, ученые ставили такой символический ноль только в начале или середине числа, но не в конце, так что некоторая двусмысленность оставалась. Знак также нельзя было найти отдельно – он не был самостоятельным числом. Первоначально этот символ использовался для разделения предложений, а не чисел, и это позволяет предположить, что в действительности он мог обозначать пробел, а не число. Тем не менее вавилоняне сделали заявку на изобретение нуля, по крайней мере в качестве рудиментарного указателя пустого места.
Конкурирующие заявки на первый ноль подавали майя, жившие в Мезоамерике, и, конечно, древние египтяне. У майя ноль изображался в виде раковины, а иногда и головы бога, рука которого задумчиво прижималась к подбородку. Хотя майяский ноль, вероятно, появился раньше вавилонского, он не был ни особым числом, ни указателем места. Он использовался для отсчета времени, помогая измерять количество дней, месяцев и лет от нулевого дня майя, мифического момента творения, датируемого 11 августа 3114 года до нашей эры по сегодняшнему календарю[88]. Египтяне никогда не использовали ноль в своих числах, однако применяли знак nfr, записываемый как , для обозначения пустого остатка в расчете или уровня земли на площадке, где возводились пирамиды. На древнеегипетском языке это означало «хороший», «полный» или даже «красивый», что превосходно перекликается с нашим представлением о нуле как воплощении симметрии и красоты.