я забрать его домой. Она не могла исполнить это желание, и 6 января 1918 года Георг Кантор, ослабленный недоеданием, умер от сердечного приступа.
Последние годы Кантора были осложнены психическими заболеваниями, личной трагедией и профессиональным истощением. Но, несмотря на пережитые падения, он поднялся выше всех. Он осмелился вообразить невообразимое, достигнув небес, чтобы посмотреть на небесные числа – бесконечности. Кантор увидел не только бесконечность на краю царства конечных чисел, но и более высокие, находящиеся далеко за пределами земного понимания. Благодаря его идеям мы теперь знаем, что существуют бесконечности, которые настолько велики, что математически недоступны для других, меньших. Другими словами, за царствами бесконечности лежат другие царства бесконечности.
Чаще всего бесконечность изображается в виде «пьяной» восьмерки ∞, лежащей на боку после того, как перебрала. Этот символ ввел в 1655 году англичанин Джон Валлис; иногда его называют лемнискатой, что означает «ленты»[152]. Но эта конкретная бесконечность – не число, она представляет собой границу, идею вечного продолжения, ad infinitum[153], предел, который вы можете надеяться когда-нибудь достичь. Но, как показал Кантор, бесконечные числа существуют, и их бесконечно много. Они так же реальны, как пять, сорок два или даже гугол. Просто они существуют не в конечном мире – они трансфинитны. Это чудовищные алефы и могучие омеги, и есть даже число под названием йети.
Начнем с нескольких вопросов.
Знаете ли вы, что четных чисел столько же, сколько целых?
Знаете ли вы, что между нулем и единицей столько же действительных чисел, сколько между нулем и TREE(3)?
И знаете ли вы, что на окружности столько же точек, сколько в круге внутри ее?
Когда речь идет о бесконечности, интуитивная ясность редка. Это, безусловно, справедливо по отношению к отелю Гильберта, названному в честь великого немецкого математика Давида Гильберта, который предложил эту идею более века назад. В отеле Гильберта есть бесконечное количество номеров, а это означает, что, даже когда он полон, управляющий может принять столько новых гостей, сколько ему понадобится. Чтобы понять, как он это делает, пронумеруем комнаты: 1, 2, 3 и так далее до бесконечности. Когда появляется новый гость, управляющему нужно всего лишь переместить всех жильцов отеля в комнату со следующим номером: семья из комнаты номер 1 переезжает в комнату номер 2, пара из комнаты 2 переезжает в комнату 3, бизнесмен из комнаты 3 переезжает в комнату 4 и т. д. Из-за бесконечности числа комнат этот процесс никогда не прервется, все старые жильцы останутся в отеле, а новый гость может поселиться в комнату 1, которая освободилась в начале этой цепочки. Управляющий не станет паниковать, даже если столкнется с бесконечным количеством новых гостей. Он просто переведет всех в комнаты с удвоенным номером. Старые посетители теперь занимают комнаты с четными номерами, а комнаты с нечетными освободились для новых гостей. В отеле Гильберта всегда есть места.
По собственному признанию, Давид Гильберт был «скучным и глупым мальчиком», который не производил впечатления в школе; однако он стал одним из самых влиятельных мыслителей в новейшей истории. Его работы легли в основу большей части современной математики и физики – от логики и теории доказательств до теории относительности и квантовой механики. Но, возможно, больше всего он известен благодаря опубликованному им в 1900 году списку из двадцати трех нерешенных математических задач, который оказал огромное влияние на исследования последнего столетия. Первая из задач, гипотеза континуума, – это проблема бесконечности, первоначально предложенная Кантором. На сегодня только восемь задач Гильберта имеют решения, которые полностью приняты математическим сообществом. Как мы увидим позже, гипотеза континуума в их число не входит.
Первые письменные упоминания о бесконечности восходят к VI веку до нашей эры – к Древней Греции и философским трудам Анаксимандра. Анаксимандр – представитель милетской школы, который, возможно, обучал Пифагора[154]. Хотя большая часть его трудов с годами была утеряна, в нескольких сохранившихся фрагментах он говорит о бесконечности как об апейроне. Слово апейрон (ἄπειρον) буквально переводится как «бесконечное, беспредельное». Анаксимандр пытался понять происхождение всех вещей. Он представлял себе апейрон бесконечным и неистощимым супом, из которого все рождается и куда возвращается после окончательного разрушения. Для древних греков это казалось не красотой, а хаосом. Это были не небеса, а бездна.
Бесконечность и ее бесконечно малый родственник лежат в основе парадоксов Зенона Элейского. Возможно, вы помните Зенона – философа, организовавшего заговор против тиранического правления Неарха. Его схватили и убили, но он успел откусить часть тирана, которого отчаянно пытался свергнуть. В главе «Ноль» мы обсуждали парадокс Зенона об Ахиллесе и черепахе, когда быстроногий воин не может обогнать медленно двигающуюся рептилию. В другом парадоксе, так называемой дихотомии, Зенон задает очень простой вопрос: как вы вообще пересекаете комнату? На первый взгляд вопрос кажется абсурдным, но философ предложил рассуждение, бросающее вызов нашим повседневным иллюзиям. Представьте то место, где вы сидите и читаете эту книгу. Чтобы выйти из комнаты, вы должны сначала достичь середины пути от вас до двери. Но чтобы пройти половину пути, вы должны сначала пройти четверть пути; чтобы добраться до четверти, вам нужно сначала преодолеть одну восьмую часть пути. Вы можете продолжать эту последовательность до бесконечности, пока, подобно Зенону, не начнете верить, что движение невозможно.
Этот парадокс демонстрирует тонкое различие между бесконечно малым числом и нулем. Трюк Зенона породил последовательность рациональных чисел: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16…
Возьмите любое сколь угодно малое положительное число. Если мы достаточно далеко продвинемся по последовательности Зенона, то за конечное число шагов сможем добраться до еще меньшего числа. Однако на самом деле мы никогда не достигнем нуля, как уверяет нас Зенон. Ноль – это предел этой последовательности, но не ее часть. Как размышлял Аристотель столетие спустя, мы можем осознать потенциальную возможность для реализации бесконечного количества шагов, но никогда не сможем реализовать их на самом деле. Он считал, что бесконечность можно держать в уме, но не в руке. Согласно Аристотелю и его последователям, потенциальная бесконечность была реальной, а актуальная – нет.
Так получилось, что древние греки не питали особого интереса к апейрону. Когда Платон описывал наивысшую идею Блага, он объявил его конечным и определенным, не запятнанным хаосом бесконечности. Но по мере того, как греки начали терять свое интеллектуальное превосходство, бесконечность стала развиваться. В начале III века античный философ Плотин связал бесконечность с высшей сущностью, которую он назвал Единым. Единое понималось как нечто, находящееся за пределами деления и умножения, как божественная бесконечность, существующая без предела. Спустя два века эта идея резонировала с мыслями святого Августина о христианском Боге. К тому времени мощь Рима рухнула, и многие винили в этом обращение к новой религии. Августину поручили написать несколько книг, пропагандирующих христианство и доказывающих его превосходство над старой римской идеологией. Именно в этих книгах он коснулся бесконечности, сделав вывод о ее существовании в разуме Бога. Августин осознавал, что у чисел не может быть предела, ведь если бы мы объявили, что существует какое-то наибольшее число, то к нему всегда можно добавить единицу. Поскольку не может существовать число, о котором Бог бы не знал, он должен знать все числа. Он способен мыслить о бесконечности.
Связь между Богом и бесконечностью можно найти во многих других религиозных контекстах. Например, в еврейском мистицизме каббалисты говорили о десяти сфирот и лежащем в их основе Эйн Соф. Все сфирот представляли отдельные аспекты божественного тела, а Эйн Соф было чем-то большим, бесконечным Богом, не поддающимся описанию и пониманию. Точно так же в индуизме бога Вишну иногда называют Ананта: это санскритское слово означает «бескрайний» или «беспредельный». Также это слово может означать бесконечность.
К XIII веку в западном мире начали возрождаться древние идеи Аристотеля, включая отрицание актуальной бесконечности. В результате большинство средневековых мыслителей не хотело заходить так далеко, как Августин, и признавать способность Бога создавать бесконечности за пределами его собственного существования. Самым известным из них был Фома Аквинский, который утверждал, что эти пределы не накладывают ограничений на силу Бога. Он полагал, что дополнительные бесконечности не могут существовать в реальности, как и утверждал Аристотель, поэтому их создание Богом было бы логически несостоятельным действием. Несмотря на свою неограниченную силу, Бог не мог сделать что-то бесконечным, как не мог сделать что-то несотворенным. Это рассуждение внешне выглядит элегантно, но при ближайшем рассмотрении мы видим, что оно зациклено. Оно начинается и заканчивается одной и той же идеей: существовать могут только конечные вещи.
Теология постепенно уступала место современным научным идеям, но мало кто имел желание бросить вызов бесконечности. Многие математики эпохи Возрождения пытались использовать потенциал бесконечности в духе Аристотеля, но не осмеливались прикасаться к ней. Они довольствовались тем, что приближались к бесконечности, рассматривая всё б