жду гуголом и числом Грэма.
Галилей не стал говорить, что его бесконечные множества одинаково велики, хотя это и верно. Больцано был настолько же осторожен со своими континуумами. Хотя взаимно однозначное соответствие заставляло предположить, что между 0 и 1 находится столько же чисел, сколько между 0 и 2, он не мог в это поверить. Именно эти сомнения и помешали ему пойти дальше. Больцано умер до того, как на его работу всерьез обратили внимание. Тем временем в схватку за бесконечность вступили другие видные математики, и к середине XIX века почва была уже подготовлена. Галилей и Больцано рискнули прикоснуться к бесконечности, но небес достиг Георг Кантор. Он поднялся и пошел посреди бесконечного так, как никто и представить себе не мог.
«Посему не судите никак прежде времени, пока не придет Господь, который и осветит скрытое во мраке»[157].
Эта фраза стоит в начале одной из последних публикаций Кантора, вышедшей в 1895 году. Она взята из Первого послания к Коринфянам, включенного в Новый Завет, и выдает веру Кантора в божественность своей задачи. Кантор полагал, что именно Бог привел его в этот бесконечный рай, в этот бесконечный ад. Именно Бог общался с ним, подарив ему алеф и омегу. Здесь есть даже отголоски Откровения: «Я есмь Альфа и Омега, начало и конец, первый и последний»[158].
Легко отмахнуться от этого как от религиозного бреда. Возможно, так и бывало, однако Кантор вдохновлялся своими религиозными поисками. Когда окружающие нападали на него за безрассудное отношение к бесконечности, называя шарлатаном и развратителем молодежи, Кантор стоял на своем, ободряемый верой. У него хватило мужества бросить вызов бесконечности, и он победил. Но он и проиграл. Размах собственных исканий измучил ученого, и он погрузился в глубокую депрессию, из которой потом уже не выбрался.
Кантор начал с того, что согласился с утверждением, которое так и не приняли полностью Галилей и Больцано: если у двух множеств есть взаимно однозначное соответствие, то они одинаковы по величине. В случае конечных множеств это не вызывает никаких споров. Возьмем, например, четырех всадников Апокалипсиса:
{Смерть, Голод, Чума, Война}
и другое множество, известное как Beatles:
{Джон, Пол, Джордж, Ринго}.
Эти два множества легко сопоставить взаимно однозначно: например, Смерть соответствует Джону, Голод – Полу, Чума – Джорджу, а Война – Ринго. В таком способе сопоставления нет ничего особенного – с равным успехом мы могли бы сопоставить Смерть и Пола, Голод и Джона. Важно то, что каждому всаднику соответствует отдельный участник группы и наоборот: никто не остается без пары. Все это прекрасно работает, потому что Beatles и четыре всадника Апокалипсиса – явно множества одного размера. Как мы уже видели, в случае бесконечных множеств все несколько сложнее. Можно установить взаимно однозначное соответствие между множеством квадратных чисел и множеством целых, хотя первое выглядит меньше. Однако Кантор понимал, что видимость иногда обманчива, особенно когда речь идет о бесконечности.
Математика – игра, в которой вы устанавливаете собственные правила, и, пока они не сталкиваются с какими-либо логическими несоответствиями, вы всегда можете действовать. Кантор определил размер множества через его мощность, или кардинальное число. Beatles и всадники Апокалипсиса – это множества, имеющие мощность 4, потому что мы можем взаимно однозначно сопоставить их элементы и первые четыре натуральных числа {0, 1, 2, 3} (помните: большинство математиков предпочитают начинать отсчет с нуля).
Смерть ↔ Джон ↔ 0
Голод ↔ Пол ↔ 1
Чума ↔ Джордж ↔ 2
Война ↔ Ринго ↔ 3
Множество команд Премьер-лиги имеет мощность 20, потому что мы можем сопоставить их с первыми двадцатью натуральными числами {0, 1, 2, 3, …, 18, 19}. А как насчет наших бесконечных множеств? Из-за наличия взаимно однозначного соответствия Кантор понял, что множество всех квадратов {0, 1, 4, 9…} должно иметь такую же мощность, что и множество всех натуральных чисел {0, 1, 2, 3…}.
Но сколько там чисел? Какова мощность этого множества?
Это не 4, не 20 и даже не TREE(3). Это должно быть нечто большее, нечто более бесконечное. Кантор решил назвать его алеф ноль – , взяв первую букву еврейского алфавита. Ноль в индексе намекает, что это только первая наша бесконечность – дальше их будет еще много. Пока же наберитесь терпения. Если эту первую бесконечность определить как мощность множества натуральных чисел, то благодаря взаимно однозначному соответствию она также будет мощностью множества всех квадратов, четных чисел, чисел, кратных числу Грэма, степеней числа TREE(3). С помощью замечательного математического трюка Кантор показал, что такова же и мощность множества рациональных чисел – тех, которые можно записать в виде отношения двух целых чисел.
Посмотрим, как он это сделал.
Кантор начал свое доказательство, выписав все дроби в определенном порядке.
Если продолжить эту таблицу во всех направлениях, она будет включать все рациональные числа. Конечно, в ней окажется много повторов, но мы с этим справимся. Вопрос в том, можем ли мы взаимно однозначно сопоставить все различные числа в этой таблице со множеством целых чисел? Для начала вы можете попробовать сделать это для одной строки, сопоставляя последовательно дроби и целые числа. Например, если вы возьмете вторую строку, то напишете следующее:
Но эта стратегия не работает: вы не сможете перейти к другой строке, поскольку все целые числа уйдут на эту. Кантор придумал гораздо более удачную идею. Он решил идти по таблице змейкой, постепенно продвигаясь вдоль диагонали и пропуская при этом повторяющиеся числа (выделены серым).
Это действительно удивительно умная идея. Стратегия Кантора никогда не подведет, и по мере движения по таблице каждая дробь сопоставляется с каким-то натуральным числом. Итак, доказано, что мощность рациональных чисел равна .
Понятие мощности множеств дает нам возможность говорить о числах. На самом деле мы говорим о кардинальных числах – вскоре мы встретимся с другим типом чисел. Кардинальные числа – способ сказать, сколько вещей у вас есть. Они включают в себя все конечные числа, например 0, 1, 2, 3, и, конечно, нашу первую бесконечность . Но можем ли мы пойти дальше? Можем ли получить число, которое больше, чем ?
Как насчет + 1?
Чтобы понять, что это, возьмем бесконечное множество резиновых уточек с бесконечным числом рисунков на них, по одной для каждого натурального числа:
Ясно, что их . Чтобы получить + 1, мы добавляем еще одну уточку, предположим белую. Неважно, куда мы ее поместим, – например, поставим в начало и сдвинем всех остальных на 1:
Сколько у нас сейчас уток? Каждой соответствует какое-то целое число, так что их должно быть . Иными словами, получается, что + 1 = . Странно. Как насчет + ? Для этого мы возьмем два бесконечных множества уток, каждое размером , но на этот раз пометим одно из них четными номерами:
а другое – нечетными:
Объединим два множества:
и получим, что + = . Все это немного странно. Мы видим то, чего не бывает с конечными числами. Но почему так? Потому что мы сейчас находимся в царстве бесконечности.
Я обещал вам больше бесконечностей, но, похоже, мы никак не можем пробиться через . Чтобы шагнуть дальше, нам сначала нужно определить некоторый порядок. До сих пор наши множества были организованы свободным образом. Например, мы говорили, что Beatles задаются множеством {Джон, Пол, Джордж, Ринго}; однако можно предположить, что их задает также и {Джон, Джордж, Пол, Ринго}. Никакой разницы, верно? Не обязательно. Все зависит от того, вводим ли мы какой-то порядок, придаем ли значение тому месту, где в множестве появляется каждый музыкант. В следующей версии множества – {Джон, Джордж, Пол, Ринго} – музыканты расположены в алфавитном порядке. Вы можете даже сказать, что и в первом варианте они были упорядочены – по таланту, хотя этот вопрос очень спорный (особенно для моей жены, которая утверждает, что Ринго – лучший, потому что он озвучивал мультфильм «Паровозик Томас»).
В тот момент, когда мы начинаем думать о порядке, мы меняем правила игры и числа могут приобретать дополнительный смысл. Рассмотрим число 4. Мы знаем, что можем думать о нем как о кардинальном числе, сообщающем нам, например, сколько было битлов. Однако мы также можем думать о нем как о ярлыке для четвертого места. В случае с Beatles мы могли бы напрямую связать его с Ринго, потому что он стоит четвертым по алфавиту. Когда мы делаем это, мы думаем о 4 как о порядковом числе (ординальном числе, или ординале): в этом случае нас заботит его положение на конвейерной ленте натуральных чисел. Разница между ординальными и кардинальными числами не особо важна, пока вы не выйдете за пределы царства конечности и не начнете играть с бесконечностью.
Удобный способ определить ординальное число – использовать множества. Мы касались этого в главе «Ноль». Мы начинаем с того, что под нулем подразумеваем пустое множество, единица – это множество, содержащее 0, двойка – множество, содержащее 0 и 1, тройка – {0, 1, 2} и т. д. На самом деле каждый ординал определяется как множество предшествующих ординалов, то есть n + 1 = {0, 1, 2, 3, …n}. Все это здорово, но как это приведет нас к бесконечности и дальше? Чтобы достичь бесконечности, нам нужно определить ординальное число, которое находится на один шаг дальше всех конечных ординалов. Для этого Кантору понадобились новое название и новый символ. Он черпал вдохновение в божественности своего поиска: «Я есмь Альфа и Омега».