Кардинальную бесконечность он обозначал алефом, а первой из его ординальных бесконечностей стала омега – ω. Если каждый конечный ординал определяется по правилу n + 1 = {0, 1, 2, 3, …n}, то естественно определить ω как бесконечный предел:
ω = {0, 1, 2, 3…}.
Иными словами, первая из наших ординальных бесконечностей есть не что иное, как множество натуральных чисел!
Берем еще выше.
Что идет после ω? Конечно, ω + 1. Если мы последуем выбранному правилу, это число, как и выше, определяется как множество ординалов, – иными словами, это множество натуральных чисел с вишенкой-омегой сверху:
ω + 1 = {0, 1, 2. 3 …; ω}.
Мы использовали точку с запятой, чтобы указать границу между бесконечным списком конечных вкладов 0, 1, 2, 3… и трансфинитным вкладом от ω. Но это всего лишь обозначения, которые не особо важны. Важно то, что ω + 1 – не то же самое, что ω. Причина в том, что для ординалов важен порядок. Чтобы лучше понять это, вернемся к нашим уточкам, только теперь представим, что это настоящие утки и они соревнуются:
Черная уточка финиширует первой и немного раздражена тем, что ее наградили нулем. Впрочем, ноль – первое из натуральных чисел, так что особо жаловаться ей не стоит. Клетчатая уточка заканчивает гонку второй и получает второе натуральное число (1), полосатая занимает третье место и получает третье натуральное число (2) и т. д. Многоточия указывают на то, что в гонке участвует бесконечное количество уток и каждой из них присваивают какое-то натуральное число. Теперь предположим, что проводится другая гонка, в которой на одного участника больше: добавляется белая утка. Она довольно медлительна и пересекает финишную черту, когда все остальные уже закончили гонку. Картина выглядит примерно так:
Когда мы добавляли белую утку в нашем предыдущем рассуждении, нас не заботил порядок, поэтому мы просто посадили ее рядом с черной и передвинули всех остальных на единицу. В итоге мы показали, что + 1 = . Но теперь нам важен порядок, ведь это соревнование! Белая утка финишировала последней, позади всех остальных, так что ее нельзя просто поставить впереди. Какое число мы должны ей присвоить? Это не может быть ни одно из натуральных чисел, потому что все они израсходованы; следовательно, это должно быть следующее число из списка, то есть ω. Поскольку порядок имеет значение, ясно, что две наши гонки весьма различаются. Множество натуральных чисел – не то же самое, что множество натуральных чисел с вишенкой-омегой сверху, иными словами, ω + 1 – не то же самое, что ω.
Мы можем продолжить восхождение. После ω + 1 идет ω + 2, снова определяемое в терминах порядковых номеров, которые были раньше:
ω + 2 = {0, 1, 2, 3, …; ω, ω + 1}.
Кажется, что мы дотянулись до небес, добравшись до новой лестницы: от ω + 2 к ω + 3 и т. д., пока не найдем новый уровень неба в ω + + ω. Обычно это записывают как ω × 2 и определяют как множество
ω × 2 = {0, 1, 2, …; ω, ω + 1, ω + 2…}.
Мы можем продолжать подъем ко все более высоким небесам, вплоть до ω × 3 и ω × 4 и т. д., пока не дойдем до предела ω × ω, который наиболее здравомыслящие люди называют попросту ω2. Теперь мы достигли бесконечного количества уровней бесконечных небес. Но мы можем продолжать. Двигаясь так же, как и раньше, мы достигаем ω3, затем ω4 и в конце концов доходим до очередного предела – экспоненциально высокого неба, которое мы запишем как ωω.
Теперь включим ускорители.
После ωω мы можем представить восхождение все выше, и выше, и выше – к башне из степеней ω, которая имеет ω этажей высоты:
Как мы видели в главе «Число Грэма», такие башни удобнее записывать с помощью наших двойных стрелок, и мы получаем ω ↑ ↑ ω. Отсюда мы переходим к числу
затем к ω ↑4 ω и т. д., пока мы не достигнем еще одного исполинского предела, ω ↑ω ω – небесного левиафана, подобно Богу возвышающегося над всем, что было прежде.
А помните, как вы думали, что число Грэма – это очень большое число?
Но мы еще не закончили.
Самое забавное, что ω + 1 на самом деле не больше ω; оно просто идет следующим. Мощность соответствующего множества ω + 1 = = {0, 1, 2, 3, …; ω} по-прежнему равна . Чтобы доказать это, вам просто нужно сопоставить элементы ω + 1 = {0, 1, 2, 3, …; ω} с натуральными числами. Это просто: вы сопоставляете ω и 0; 0 и 1; 1 и 2; 2 и 3 и т. д. Точно так же подъем до ω + 1 или даже до ω ↑ω ω приводит нас ко все более высоким бесконечностям, стоящим выше в списке, но не к большим бесконечностям. Все они имеют ту же мощность – алеф ноль, .
А потом это происходит.
На поистине невообразимой высоте Кантор показал, что должен существовать новый тип ординала, отличный от всего, что было прежде. Не очевидно, что он вообще должен существовать, но он существует. Кантор обнаружил, что большие бесконечности скрыты в континууме, во множестве всех действительных чисел, включающем рациональные, которые можно записать в виде дробей, и иррациональные числа, такие как √2, которые записать таким образом нельзя[159]. Математик продемонстрировал, что континуум находится за пределами нашего умения считать – один, два, три, четыре… Его мощность больше, чем алеф ноль.
Давайте спросим, сколько действительных чисел находится в континууме между 0 и 1. Понятно, что бесконечно много, но это алеф ноль или действительно что-то большее? Вот как это выяснял Кантор. Предположим, что континуум счетен и, следовательно, можно установить взаимно однозначное соответствие между числами из него и натуральными числами. Это значит, что мы можем записать все числа континуума в бесконечный список размера . Порядок не имеет значения, так что мы просто начинаем перечислять все числа от нуля до единицы в случайном порядке:
0,12347348956792457…
0,34579479867439087…
0,73549874397493486…
0,42784508734067383…
0,54345689483459808…
…
Чтобы доказать, что континуум больше , Кантор продемонстрировал, что этот список не может охватить все числа. Он выделил цифры, стоящие на диагонали:
0,12347348956792457…
0,34579479867439087…
0,73549874397493486…
0,42784508734067383…
0,54345689483459808…
…
Эти диагональные элементы образуют число 0,14585… Затем Кантор написал новое число, все цифры которого отличаются от этого числа на единицу. В нашем примере 0,14585… преобразуется в новое число 0,25696… Оно отличается от первого числа в списке, ведь у них разные первые цифры после запятой (по определению у нового числа первая цифра больше на 1). Оно отличается и от второго числа в нашем списке: у них разные вторые цифры после запятой. Оно отличается и от третьего числа – третьей цифрой после запятой. Фактически оно отличается от всех чисел из списка! Следовательно, невозможно уложить все числа континуума в список размера , поэтому за континуумом скрывается какая-то большая бесконечность, как и представлял себе Кантор.
Существует ли способ систематически конструировать эти большие бесконечности, чтобы пройти путь за пределы ? Ответ – «да». Мы уже построили огромную башню бесконечных ординалов, имеющих размер , от ω = {0, 1, 2, 3…} и ω + 1 = {0, 1, 2, 3, …; ω} до ω ↑ω ω и даже выше. Их иногда называют счетными бесконечностями, потому что каждая из них на самом деле представляет собой множество чисел, для которого можно установить взаимно однозначное соответствие с множеством натуральных чисел – тех, которые мы используем для счета. Но что находится за пределами этой башни? Какой ординал находится в одном шаге за пределами счетных бесконечностей? Это омега один, ω1. По определению он не может быть счетным – для него нельзя установить взаимно однозначное соответствие с множеством натуральных чисел. Такой небесный гигант должен иметь новую мощность, новый размер: алеф один, . Эта бесконечность не просто выше. Она больше.
Как обычно, ω1 определяется как множество предшествующих ему ординалов. Иными словами, это полное множество счетных величин – от конечных крохотулек до наибольшей из счетных бесконечностей. Но от ω1 мы можем продолжить восхождение – к ω1 + 1 и даже выше. И снова они не обязаны быть больше, чем ω1, – они просто идут следом. Вдобавок ω1 + 1 также имеет мощность , потому что можно установить взаимно однозначное соответствие с множеством счетных величин. А затем появится очередной уровень – ординал, выходящий за рамки мощности . Это ω2 – еще большее число с новой великолепной мощностью .
Полагаю, вам сейчас стало бесконечно тревожно из-за всего этого. В конце концов, даже бесконечность было трудно осознать, а теперь мы имеем дело с бесконечностями за пределами бесконечного, с чудовищными алефами и могучими омегами. Вот небольшая таблица, которая поможет вам собраться с мыслями.
Итак, Кантор вышел за пределы к более высоким уровням бесконечности, новым небесам и новым богам. Но в то время мало кто верил в его небесные искания. Наоборот, он был в аду, – по крайней мере, так считал математик Леопольд Кронекер. В середине XIX века Берлин стал центром математического мира, а Кронекер был одним из самых влиятельных университетских профессоров. Он был блестящим, но консервативным ученым. Кронекер говорил: «Бог создал целые числа, все остальное – дело рук человеческих». Его ужасали иррациональные числа. Конечно, он понимал стоящую за ними математику, но не видел им места в мире природы. Они были «делом рук человеческих», фантазией нетребовательных шарлатанов вроде Кантора. Кронекер был наставником Кантора, его учителем и другом. Но когда Кантор переехал из Берлина на юг, в университет Галле, он избавился от консерватизма своего учителя. Он вышел за пределы целых чисел, в сторону континуума и новых уровней бесконечности, которые таятся в нем. Кронекеру это не нравилось.