Математики стали воевать друг с другом, и вскоре вражда стала личной. Кронекер регулярно оскорблял Кантора и мешал публикации его работ в серьезных журналах. Неважно, что идеи Кантора были обоснованными и замечательными, – у Кронекера имелось преимущество в положении: он работал в Берлине, а Кантор был профессором второстепенного университета. Больше всего Кантора терзало чувство несправедливости. Он понимал, что заслуживает большего, что его способности дают право на профессорскую должность в Берлине, но он также осознавал, что из-за пагубного влияния Кронекера этого никогда не произойдет.
По мере того как атаки продолжались, Кантор отчаивался все сильнее. В несуразной попытке нанести ответный удар он подал заявление на профессуру в Берлине. Хотя ученый знал, что у него нет шансов на успех, он был уверен, что обидит Кронекера, и этого было достаточно. Он сказал шведскому математику Гесте Миттаг-Леффлеру: «Я точно знал, что Кронекер вспыхнет, как ужаленный скорпионом, и со своими резервными войсками поднимет такой вой, что Берлин решит, будто его перетащили в африканские песчаные пустыни с их львами, тиграми и гиенами».
Друзей у Кантора было немного из-за угрюмого и взрывного характера, Миттаг-Леффлер стал одним из них. Годом ранее, в 1882 году, Миттаг-Леффлер основал журнал Acta Mathematica, предоставив Кантору безопасное место для публикации его работ – вдали от интриг Кронекера. Когда Кронекер узнал об этом, он нашел способ отомстить бывшему ученику. Он написал шведу, спрашивая, может ли тот опубликовать в новом журнале статью Кронекера. Прослышавший об этом Кантор почувствовал очередную атаку: раз Кронекер надеется публиковаться в Acta, то только для того, чтобы дискредитировать его труды. Кантор отреагировал характерной вспышкой, написав Миттаг-Леффлеру гневное письмо, где грозил больше не посылать ему свои статьи. Отношения между Кантором и его другом испортились. Возможно, именно на это и рассчитывал Кронекер: он вовсе не собирался посылать свою статью в журнал Миттаг-Леффлера[160].
После этого у Кантора случился первый нервный срыв. Проблемы с психикой были неизбежны даже в обычной спокойной жизни. А ведь она была не такой. Его жизнь полнилась напряженной работой и сражениями с Кронекером. Позже математика постигла еще и личная трагедия: его младший сын Рудольф внезапно умер в 1899 году, когда Кантор уехал читать лекцию в Лейпциг.
Кантор достиг небес, бесконечности и ходил среди алефов и омег. Будучи глубоко религиозным человеком, он верил, что им руководит Бог. Его определенно вели числа, все числа, – континуум. Именно здесь, в этом небесном царстве, Кантор впервые заглянул за пределы . Он понимал, что континуум дает большую бесконечность – больше, чем , но что это за бесконечность? Это или нечто еще большее?
Всякий раз, когда у нас есть какое-то множество, будь то четыре всадника Апокалипсиса или множество натуральных чисел, мы можем говорить о том, что называется степенью множества, или булеаном. Это просто множество всех подмножеств для исходного множества. Например, рассмотрим множество из трех мушкетеров {Атос, Портос, Арамис}. У него в общей сложности восемь различных подмножеств. Это пустое множество
{},
подмножества из одного мушкетера:
{Атос},
{Портос},
{Арамис},
подмножества из двух мушкетеров:
{Атос, Портос},
{Портос, Арамис},
{Арамис, Атос}
и, конечно, подмножество из всех трех мушкетеров:
{Атос, Портос, Арамис}.
Вместе эти восемь различных подмножеств образуют множество всех подмножеств для множества из трех мушкетеров. Возможно, вы заметили, что размер множества мушкетеров равен 3, а множество всех его подмножеств имеет гораздо больший размер, 8 = 23. Это не случайное совпадение. Каждое подмножество либо включает Атоса, либо нет; либо включает Портоса, либо нет; либо включает Арамиса, либо нет. Получаем 2 × 2 × 2 = 8 вариантов. Та же логика говорит, что для 20 команд английской Премьер-лиги во множестве всех подмножеств будет 220 элементов.
То же правило применяется и к бесконечным множествам. Мы знаем, что мощность множества натуральных чисел равна . Какую мощность имеет его булеан? Это просто множество его подмножеств, то есть пустое множество
{},
подмножества из одного числа:
{0},
{1},
{2},
…
подмножества из двух чисел:
{0, 1},
{0, 2},
{1, 2},
…
И так далее. Мощность этого множества равна Это невообразимо много. Как доказал Кантор, это определенно больше, чем , и так уж получилось, что это мощность континуума. Чтобы увидеть это, запишем какое-нибудь вещественное число в двоичном виде. Это просто набор нулей и единиц в определенном порядке. Например,
будет записано в виде 0,101. Если мы хотим пробежать по всем различным способам, то у нас есть два варианта для первой цифры, два для второй, два для третьей и так далее до бесконечности. В конце мы получим такое общее количество различных способов:
Кантор предположил, что континуум должен быть следующим алефом в списке. Другими словами, он счел, что Это утверждение известно как континуум-гипотеза; возможно, вы помните, что это первая из двадцати трех нерешенных проблем Гильберта, предложенных в 1900 году. По сути, она утверждает, что континуум расположен на один алеф выше множества натуральных чисел, хотя вовсе не очевидно, что это должно быть верно. С таким же успехом континуум может иметь размер какого-то более высокого алефа, а возможно, он вообще не имеет ничего общего с алефами. Кантор был одержим своей гипотезой. В его письмах Миттаг-Леффлеру прослеживается история все более отчаивающегося человека. Он то торжествующе сообщает шведскому математику, что доказал гипотезу, то в отчаянии признается, что обнаружил в своей работе роковую ошибку. Он метался между доказательством и опровержением, между иллюзией успеха и реальностью неудачи.
По сей день континуум-гипотеза не доказана и не опровергнута. Однако в 1963 году американский математик Пол Коэн сделал важное открытие. Вдохновляясь работами великого логика Курта Геделя, Коэн показал, что континуум-гипотеза не зависит от основных строительных блоков математики, то есть аксиом, входящих в систему аксиом Цермело – Френкеля, дополненную аксиомой выбора (такая система называется ZFC, буквы обозначают математиков Эрнста Цермело (Zermelo) и Абрахама Френкеля (Fraenkel), а также слово choice – выбор)[161]. Это означает, что вы можете считать континуум-гипотезу хоть истинной, хоть ложной, и ни одно из этих утверждений никогда не приведет к противоречию. Чтобы понять это, представьте, что фаната «Ливерпуля» спрашивают, болеет ли он также за «Манчестер Юнайтед» – самого принципиального соперника «Ливерпуля». Вы сразу понимаете, что это невозможно, поскольку это взаимоисключающие вещи. Но что произойдет, если спросить, болеет ли он также за «Бостон Ред Сокс»? Если учесть, что это команда из совсем другого вида спорта (бейсбольный клуб из США), никакого противоречия нет: фанат «Ливерпуля» вполне может за нее болеть или не болеть. Коэн показал, что математикам следует так же спокойно относиться к континуум-гипотезе. Через восемьдесят лет после того, как Кантор сошел с ума, Коэн получил за свою работу Филдсовскую премию – математический эквивалент Нобелевской премии.
Со временем Кантор станет воспринимать континуум-гипотезу как догму, нечто, выходящее за рамки математики. Гипотеза принадлежала Богу, и, по мнению Кантора, Бог защищает ее. Во второй половине своей жизни Кантор все больше времени проводил в больнице. Его срывы обычно начинались взрывом, когда он разглагольствовал о несправедливости мира, а затем наступала депрессия. Как позже вспоминала его дочь Эльза, он замыкался и не мог общаться. Во время своих длительных ремиссий Кантор часто предавался другой страсти, не имевшей отношения к его битве с континуумом. Он сражался с Шекспиром.
Кантор считал Шекспира самозванцем и полагал, что его пьесы принадлежали ученому XVII века сэру Фрэнсису Бэкону. Родным языком Кантора был немецкий, он также говорил по-датски и по-русски, и, хотя английский стал его четвертым языком, он считал, что знает его достаточно хорошо, чтобы публиковать брошюры в поддержку своей радикальной шекспировской гипотезы[162]. В 1899 году, после очередного срыва, Кантор получил от университета отпуск по состоянию здоровья. За этим последовал странный эпизод, который позволяет заглянуть в тревожное состояние разума Кантора. Он отправил письмо в Министерство просвещения, где просил освободить его от профессорской должности и дать спокойно работать в библиотеке на службе у кайзера. Он сообщал, что обладает обширными познаниями в истории и литературе, предлагая в качестве доказательства свои брошюры, и даже утверждал, что у него есть новая информация об английской монархии и личности ее первого короля. Кантор заверял, что если министерство своевременно не отреагирует на его просьбу, то он предложит свои услуги русскому царю. Но министерство проигнорировало его письмо, и Кантор так и не установил контакта с русскими.
Когда в Европе разразилась Первая мировая война, важность математических работ Кантора уже признали, в отличие от его работ по английской литературе. Военные условия в Германии привели к тому, что последние дни он провел в нищете. Когда британский ученый Бертран Рассел опубликовал в 1951 году его письма, он воздал должное Кантору как «одному из величайших умов XIX века», чьи «промежутки просветления были посвящены созданию теории бесконечных чисел». Но он также добавлял: «После чтения его письма никто не удивится, узнав, что он провел большую часть своей жизни в сумасшедшем доме».