х).
Эта задача гораздо сложнее, чем те две, которые мы рассматривали выше. Как мы можем выделить х сейчас? Приемы, используемые ранее, неэффективны, так как члены уравнения x2 и 10x здесь наступают друг другу на пятки. Даже если удастся освободиться от x в одном из них, другой член остается связанным. Например, если мы разделим обе части уравнения на 10, 10x сократится до x (к чему мы и стремились), но x2 превратится в x2/10, что нисколько не приближает нас к желаемому результату. Основным препятствием является то, что мы хотим одновременно сделать две, по-видимому, несовместимые вещи.
На предложенном аль-Хорезми решении квадратного уравнения стоит остановиться подробнее. Во-первых, потому что оно блестяще, а во-вторых, потому что оно настолько мощное, что позволяет решать все квадратные уравнения одним махом. Это означает, что, если известные числа 10 и 39 из нашего уравнения поменять на другие, метод все равно будет работать.
Идея аль-Хорезми состоит в том, чтобы представить каждое из слагаемых в уравнении геометрически. Первый член x2 — это площадь квадрата со стороной x.
Второй член 10x можно рассматривать как площадь прямоугольника 10 на х, или, более изощренно, как площадь двух равных прямоугольников, каждый размером 5 на х. (Разбиение прямоугольника на два меньших готовит почву для основного маневра, который последует далее, — получения полного квадрата.)
Прикрепите два новых прямоугольника к площади x2 для получения г-образной фигуры x2 + 10x:
В таком случае головоломка аль-Хорезми сводится к вопросу: если г-образная фигура занимает 39 квадратных единиц площади, то каким должен быть х?
Изображение само по себе неуклонно подталкивает к следующему шагу. Посмотрите на пустой угол. Если бы он был заполнен, то г-образная фигура превратилась бы в идеальный квадрат. Учтем это наблюдение и заполним квадрат.
Помещение в пустой угол квадрата 5 × 5 добавляет 25 квадратных единиц к уже существующей площади х2 + 10х и в общей сложности дает x2 + 10x + 25. Это равносильно выражению общей площади в виде (x + 5)2, так как каждая сторона заполненной площади равна х + 5 единиц.
Между тем, поскольку мы добавили 25 единиц к левой части уравнения x2 + 10x = 39, для сохранения баланса следует добавить 25 и к его правой части. Так как 39 + 25 = 64, то наше уравнение превращается в
(х + 5)2 = 64.
Это уравнение наверняка решаемо. Вычисляя квадратные корни из его обеих частей, получаем х + 5 = 8 и, следовательно, х = 3.
Число 3 действительно является корнем уравнения х2 + 10x = 39. Если возвести 3 в квадрат, получится 9, а затем добавить 10 раз по 3 (выйдет 30), то общая сумма составит 39, что и требовалось доказать.
В этом решении есть одна загвоздка. Если бы аль-Хорезми занимался алгеброй сейчас, то он не получил бы «полного доверия» к такому ответу, так как не упомянул, что отрицательное число х = –13 тоже является корнем. Возведение его в квадрат дает 169, умножение на 10 даст –130, а их сумма составит 39. Но это отрицательное решение в древние времена было бы проигнорировано, поскольку квадрат со стороной отрицательной длины геометрически не имеет смысла. Сегодня алгебра меньше обязана геометрии, и мы считаем положительные и отрицательные решения одинаково правильными.
Только спустя несколько столетий после смерти аль-Хорезми ученые пришли к пониманию, что все квадратные уравнения могут решаться аналогичным способом — путем заполнения квадратов до тех пор, пока они склонны это позволять отрицательным числам (и их квадратным корням), которые часто встречаются в ответах. Такая линия аргументации выявляет, что решения любых квадратных уравнений
ax2 + bx + c = 0
(где a, b, c — известные, но произвольные числа, а х — неизвестная) могут быть представлены в виде формулы для вычисления их корней
Что такого примечательного в этой формуле и насколько она точна и всеобъемлюща? Ответы находятся прямо в ней: она работает при любых коэффициентах a, b и c. Учитывая наличие бесконечного множества возможных вариантов значений каждого из них, для одной формулы это уже немало.
В наше время квадратные уравнения стали незаменимым инструментом для практического применения. Инженеры и ученые используют их для настройки радиоаппаратуры, анализа вибрации пешеходных мостов и небоскребов, расчетов движения пушечного ядра, снижения и роста популяции животных и бесчисленного множества других явлений реального мира.
Для формулы, родившейся тринадцать веков назад, это совсем немало.
11. Инструменты силы
Если вы были страстным любителем телевидения в 1980-х, то, конечно, помните сериал под названием «Детективное агентство “Лунный свет”» с живыми диалогами и романтическими отношениями между партнерами по фильму. В нем пару проницательных частных детективов Дэвида Эддисона и Мэдди Хэйс исполняли Брюс Уиллис и Сибилл Шепард.
В ходе расследования одного особенно жестокого дела Дэвид интересуется у помощника, кто ему кажется наиболее вероятным преступником. «Ума не приложу», — отвечает Мэдди. «А вы знаете, чего я не понимаю?» — спрашивает Дэвид. «Логарифмов?» — догадывается помощник. И Дэвид, реагируя на взгляд Мэдди, произносит: «А что? Вы их понимаете?»
Это довольно точно отражает всеобщее отношение к логарифмам. Большинство людей после окончания средней школы их никогда уже больше не используют, по крайней мере осознанно, и не обращают внимания на логарифмы, скрывающиеся за кулисами повседневной жизни.
То же самое касается и многих других функций[51], рассматриваемых в высшей математике и началах анализа. Степенные функции, показательные функции — в чем их суть? В этой главе я хочу помочь вам по достоинству оценить их полезность, даже если вам никогда не приходилось нажимать на кнопки инженерного калькулятора.
Математику необходимы функции по той же причине, что и строителю молотки и сверла. Инструменты преобразовывают вещи. То же самое делают функции. Поэтому математики часто обращаются к ним для выполнения преобразований. Но вместо дерева и стали функции обрабатывают числа и графики, а порой и другие функции.
Чтобы понять, что я имею в виду, давайте построим график уравнения у = 4 — х2. Возможно, вы помните, как это делается: сначала вы рисуете плоскость xy с горизонтальной осью х и вертикальной у. Затем для каждого значения х вычисляете соответствующее значение y; эта пара чисел является координатами одной точки графика на плоскости xy. Например, если х = 1, то уравнение говорит, что y = 4–12 = 4–1 = 3. Таким образом (х, у) = (1, 3) координаты точки. После того как вы вычислите и построите еще несколько точек на плоскости, возникнет следующая картина.
У нас получилась изогнутая математическими плоскогубцами кривая. В уравнении для у функция, которая преобразует x в x2, ведет себя подобно обычному инструменту для сгибания материала. Когда ее прикладывают к любой точке на оси х (прямую от точки х до точки х2 можно представить в виде прямого куска проволоки), плоскогубцы изгибают и вытягивают этот кусок проволоки в направлении вниз так, чтобы получилась изогнутая арка, как показано на рисунке.
А какую роль играет число 4 в уравнении у = 4 — x2? Это гвоздь, на который повесят картину на стену. Он поднимает изогнутые арки из проволоки на 4 единицы вверх. Так как при этом все точки кривой поднимаются на одинаковую высоту, то она считается постоянной функцией.
Данный пример иллюстрирует двойственный характер функций. С одной стороны, это инструменты: x2 изгибает часть оси х, а 4 — ее лифт. С другой — строительные блоки: 4 и x2 можно рассматривать как составные части более сложной функции 4 — х2, точно так же, как провода, аккумуляторы и транзисторы — составные части радиоприемника.
Как только вы начинаете смотреть на мир подобным образом, сразу же везде замечаете функции. Описанная выше в виде арки кривая, в математике называемая параболой, — это автограф, который дала квадратичная функция за кулисами. Ищите ее, когда любуетесь струями фонтана. И если вам доведется побывать в международном аэропорту Детройта, обязательно остановитесь у фонтана терминала Delta, чтобы насладиться потрясающими резвящимися параболами[52].
Параболы и константы ассоциируются с более широким классом функций — степенными функциями вида xn, в которых значение переменной x возводится в фиксированную степень n. Для параболы n = 2, для константы n = 0.
Разные значения n дают различные ручные инструменты. Например, возведение х в первую степень (n = 1) дает функцию, которая работает как пандус, отражая устойчивое увеличение роста или спада. Такая функция называется линейной, потому что ее графиком, построенным по точкам с координатами (x, y), является прямая линия. Если вы оставите на улице пустое ведро во время непрекращающегося ливня, то количество воды в нем будет расти линейно во времени.
Еще один полезный инструмент — обратно пропорциональная квадратичная функция у = 1/x2, здесь n = –2. (Степень этой функции равна –2, так как