Однако имейте в виду, что это не обычная линейка: на ней нет делений и ее нельзя использовать для измерения длины. (Другими словами, она не подходит для копирования или измерения исходного отрезка.) Циркулем нельзя измерять углы, а можно только строить окружности.
Готовы? Поехали!
Вы в ступоре. С чего начать?
Логика здесь не поможет. Те, кому приходится часто принимать решения, знают, что в такой ситуации лучше всего расслабиться и попробовать разгадать головоломку в надежде, что что-нибудь придет в голову. Например, с помощью поверочной линейки попробовать через концы отрезка провести наклонные линии.
Не повезло. Хотя линии образуют треугольник, нет никакой гарантии, что он равносторонний.
Пытаемся провести несколько окружностей с помощью циркуля и опять попадаем пальцем в небо. Где выбрать центр окружности? В конечных точках отрезка?
Или в какой-то его внутренней точке?
Второй вариант выглядит совершенно бесперспективным, поэтому нет смысла перебирать все внутренние точки отрезка одну за другой. Так что давайте вернемся к построению окружности вокруг конечных точек.
К сожалению, здесь много неопределенности. Какими должны быть радиусы окружностей? Что ж, пока мы ничего не смогли придумать.
Спустя несколько минут бесполезных размышлений вы, окончательно расстроившись, готовы сдаться. Но если мы все-таки устоим перед соблазном и продолжим, то нам, возможно, повезет, и мы поймем, что нужно построить всего одну окружность. Давайте посмотрим, что произойдет, если поставить иголку циркуля на один конец отрезка, карандаш на другой, а потом сделать циркулем полный оборот. Выйдет следующее:
Конечно, если бы мы использовали в качестве центра окружности другую конечную точку, то получили бы другое изображение:
Как насчет того, чтобы одновременно нарисовать обе окружности без причины, просто ради интереса?
Вас словно током ударило? Вы даже задрожали от предвкушения? Взгляните еще раз на рисунок. Оттуда на нас «уставилось» соблазнительно округлое изображение равностороннего треугольника. Его верхний угол — точка пересечения окружностей.
А теперь давайте превратим его в обычный прямосторонний треугольник, проведя линии через точку пересечения и конечные точки исходного треугольника. В результате треугольник выглядит точно так же, как равносторонний.
Мы позволили интуиции завести нас так далеко, что теперь и только теперь наступило время логике взяться за доказательство и завершить его. Для наглядности сделаем панорамную съемку полного изображения и промаркируем интересующие нас точки как A, B и C.
А вот и само доказательство. У сторон АС и ВС такая же длина, как и у исходного отрезка АВ, поскольку радиусы обеих окружностей равны длине отрезка AB. АС и ВС — радиусы окружностей, имеющие такую же длину. Следовательно, все три длины равны и треугольник является равносторонним. Что и требовалось доказать.
Идея с радиусами окружностей существует уже много столетий. Действительно, она открывает первую книгу евклидовых «Начал». Но укоренившаяся тенденция предлагать ученикам уже готовую окончательную схему с хитрыми окружностями лишает их радости открытия. Это педагогическая ошибка. Такой подход настраивает молодого человека на то, что идея очевидна. А ведь она может стать озарением для каждого нового поколения, если учить его правильно.
Конечно, ключом к данному доказательству было вдохновенное построение двух окружностей. С его помощью можно доказать еще одну, более известную теорему, которая звучит следующим образом: сумма углов треугольника равна 180°.
В этом случае лучшим будет не доказательство Евклида, а более раннее, приписываемое пифагорейцам. Делается это так. Рассмотрим любой треугольник и обозначим его углы, как a, b и c.
Через верхний угол треугольника проведем линию, параллельную основанию.
Теперь на секунду отвлечемся и вспомним свойства параллельных прямых: если третья прямая пересекает две параллельные прямые, как здесь,
то углы, помеченные как а, равны.
Попробуем применить это свойство углов к сделанным выше построениям, в которых через вершину угла треугольника проведена прямая, параллельная его основанию.
Построив внутренние накрест лежащие углы, мы видим, что угол слева от верхнего угла треугольника должен быть равен a. Аналогичным образом угол справа от верхнего угла равен b. Таким образом, вместе углы а, b и с образуют развернутый угол в 180°. Что и требовалось доказать.
Это одно из самых убедительных доказательств во всех разделах математики. Оно начинается со вспышки молнии, сопровождаемой раскатами грома, — построения параллельной прямой. Как только прямая линия проведена, доказательство, как создание доктора Франкенштейна, начинает гулять само по себе.
И кто знает? Если мы высветим эту другую сторону геометрии — занимательную и интуитивную, где искра воображения может быстро возгореться в доказательство, — то, может быть, ученики запомнят уроки геометрии как уроки, где они научились мыслить логически и творчески[65].
14. Конический заговор
Галереи шепота — это замечательные акустические пространства, обнаруженные под определенными куполами, сводами или сводчатыми потолками. Один из таких сводчатых потолков находится в вестибюле станции метро Grand Station в Нью-Йорке. Это прекрасное место для свиданий: вы можете обмениваться милыми глупостями, находясь на расстоянии сорока футов, разделенные шумным проходом, и будете четко слышать друг друга, а прохожие не услышат ни слова из того, что вы сказали.
Для получения такого эффекта двое должны стать на одной линии в противоположных углах помещения лицом к стене так, чтобы оказаться в геометрических фокусах звука, то есть в точках, в которых сосредотачивается звук, отражающийся от изогнутой стены прохода или потолка. Обычно звуковые волны распространяются во всех направлениях, хаотично отражаются от стен и так сильно перемешиваются, что становятся нераспознаваемы для уха слушателя, находящегося в сорока футах от вас (именно поэтому прохожие не слышат, что вы говорите). Но когда вы шепчете в фокусе, все отраженные волны одновременно прибывают в другой фокус, тем самым усиливая друг друга, благодаря чему ваши слова можно расслышать.
Эллипсы демонстрируют аналогичное чутье на фокус, хотя и в более простой форме. Если мы изобразим отражатель в виде эллипса, то две особые точки внутри него (отмеченные как F1 и F2 на рисунке ниже) будут фокусами, и все лучи, исходящие из источника света в одной из этих точек, отразятся в другой.
Я продемонстрирую удивительные свойства фокусов в эллипсах на двух примерах.
Предположим, что Дарт и Люк[66] занимаются стрельбой из лазеров на эллиптической арене с зеркальными стенами. Они договорились не целиться прямо друг в друга, а стрелять в противника дуплетом. Дарт не очень разбирается в геометрии и оптике и не замечает, что оба находятся в точках фокуса. «Хорошо, — говорит Люк, — только я буду стрелять первым». Но это совсем не похоже на дуэль, потому что Люк не может промахнуться! Куда бы он ни целился, он все равно попадет в Дарта. Каждый его выстрел победный.
Если вы любитель поиграть в бильярдный пул, представьте себе, что играете в бильярд на эллиптическом столе с лузой в одном из фокусов. Чтобы направить кий для трюкового удара, который каждый раз гарантирует попадание, установите бильярдный шар в другом фокусе. Тогда, как бы вы ни ударили по шару и где бы он ни отскочил от стенки стола, он всегда угодит в лузу.
Параболические кривые и поверхности имеют другую поразительную способность — фокусировать параллельно входящие лучи в одной точке. Эта особенность их геометрии очень полезна в случае, если необходимо усилить световые или звуковые волны или другие сигналы. Например, параболические микрофоны могут использоваться для усиления приглушенных разговоров, в связи с чем представляют интерес для слежки, шпионажа и правоохранительных органов. Они также пригодятся для записи звуков природы: пения птиц, голосов животных, а во время телевизионной трансляции спортивных программ позволят услышать, как тренер ругает судей. Параболические антенны тоже способны усиливать радиоволны, поэтому телевизионные спутниковые тарелки и гигантские астрономические радиотелескопы имеют характерную изогнутую форму.
Фокусирующее свойство параболы не пропадает, если развернуть ее в противоположном направлении. Допустим, вы хотите получить в прожекторах и фарах автомобиля точно сфокусированные лучи света. Сами по себе лампочки, даже мощные, недостаточно хороши. Они расходуют слишком много световой энергии, рассеивая ее во всех направлениях. Местом, где лампы находятся в фокусе, является параболический отражатель фары, и — вуаля! — парабола автоматически создает направленный луч. Отражая лучи лампы от посеребренной внутренней поверхности фары, парабола все лучи делает параллельными.
Когда вы оцените фокусирующую способность парабол и эллипсов, то удивитесь, что среди всех геометрических фигур больше практически ни одна не обладает подобными свойствами. Не лежат ли в их основе какие-то фундаментальные закономерности?
У математиков и сторонников теории заговора[67] много общего: мы не доверяем совпадениям, особенно удачным. Отрицаем случайности. Все имеет свою причину. Применительно к реальной жизни такой способ мышления, возможно, кажется несколько параноидальным, но для математика он совершенно нормален. В идеальном мире чисел и фигур странные совпадения обычно